MODULO DE LÓGICO MATEMÁTICA

MODULO Nº 6

Diagrama de Carroll, Venn

2008

UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURAPrograma Nacional De Formación Y

Capacitación Permanente 2008

DIAGRAMAS DE CARROLL Y VENN

INTRODUCCIÓN

LOGRO DE APRENDIZAJE

RESUELVE SITUACIONES PROBLEMÁTICAS APLICANDO CONCEPTOS Y PROCEDIMIENTOS

MATEMÁTICOS Y COMUNICA LOS RESULTADOS A TRAVÉS DE DISTINTAS FORMAS DE

REPRESENTACIÓN

Situación Problemática

Cuatro acusados de haber ocasionado los apagones en el IDEPUNP son entrevistado por el director, ellos afirman.Samuel:”Benito participo”.Benito: “Domingo participo”.Luisa: “Yo no fui”.Domingo: “Benito miente”.Se sabe que tres de ellos mienten y el otro dice la verdad. ¿Quién es el único inocente?

Samuel b) Benito c) Luisa d) Domingo e) Faltan Datos

INTRODUCCION

Estimados docentes participantes:

Les presentamos a continuación el módulo denominado DIAGRAMAS

MATEMATICOS: Diagramas de Venn, Lewis Carroll y Cuadros Lógicos.

Teniendo en cuenta que una de las principales teorías dentro de la matemática

actual es la Teoría de los Conjuntos. Podríamos decir que es una teoría que nos

explica el funcionamiento de una colección de elementos cuando realizamos

alguna operación con ellos.

Una primera dificultad que se nos presenta al estudiar esta teoría, pues se

empieza sin una definición valida. El concepto de conjunto se acepta sin

definición.

La segunda dificultad es la de las operaciones con conjuntos. Una parte que sin

lugar a dudas es muy importante puesto que influirá en otras teorías matemáticas.

Es por ello que en el presente modulo trabajaremos los diferentes diagramas

matemáticos que nos permitirán corregir, de alguna manera, dichas dificultades

Diagramas de Venn

Consiste en representar gráficamente los conjuntos matemáticos mediante círculos, elipses, rectángulos u otras figuras

de regiones planas; lo cual nos permite realizar una serie de operaciones como unión, intersección, etc.

Así tenemos:

Donde R es un conjunto referencial; A, B son conjuntos arbitrarios.Estas operaciones se pueden aplicar a más de dos conjuntos.

PROPIEDADES

Sean los conjuntos arbitrarios A, B y C. Además el conjunto universal U.Unión:

Intersección:

Complemento:

Diferencia Simétrica:

Leyes de Morgan

Problemas Resueltos

1. Si A = {mujeres} B = {gente que fuma} ¿Cómo se expresa el enunciado hombres que no fuman? a) A ∩ B b) A' ∩ B' c) A' ∩ B d) (A ∩ B)' e) A ∩ B'

Solución: A' = {hombres} B' = {gente que no fuma}A' ∩ B' (sector común o gente con ambas características) → A' ∩ B' = {hombres que no fuman} Rpta b.

2. Si una lista de 5 entrenadores de Vóley se debe formar un comando técnico integrado por lo menos por 2 personas.¿Cuántas posibilidades se tienen? a) 26 b) 27 c) 28 d) 29 e) 30

Solución Sea el conjunto de entrenadores dado por E = {A, B, C, D, E}

Se puede formar en total: Comandos técnicos diferentes pero como debe haber como mínimo 2

entrenadores se anulará: los conjuntos unitarios (5) y el conjunto vacío.Luego el total será: 32 - 6 = 26 Rpta a

Problemas Propuestos

1. En un estante hay 80 libros, de los cuales 20 sólo son de aritmética, 34 son de geometría y 13 son de aritmética y geometría. ¿Cuántos libros son de otros cursos? a) 24 b) 25 c) 26 d) 28

2. De 80 integrantes del Colegio profesional de Maestros, 43 practican fútbol; 34 básquet; 21 natación; 18 fútbol y básquet; 14 básquet y natación; 10 fútbol y natación y 9 practican los tres deportes. ¿Cuántos no practican ninguno de los tres deportes? ¿Cuántos juegan por lo menos un deporte? a) 20;60 b) 25;55 c) 30;50 d) 15;65

3. En la empresa de fumigación AVIASA, trabajan 125 personas entre obreros, empleados y funcionarios. Si 45 son hombres, 68 son obreros, 11 mujeres son funcionarios y 26 son empleados, de los cuales 14 son hombres, ¿Cuál es el número de obreras? ¿Cuál es el número de empleadas? a) 57;12 b) 14;12 c) 57;14 d) 11;14

4. De un grupo de 120 estudiantes de la I.E. San José Obrero, 48 son mujeres, 81 estudian inglés y 19 son mujeres que no estudian inglés. ¿Cuántos hombres no estudian inglés?a) 40 b) 20 c) 30 d) 80

5. De 100 docentes de la I.E. Nuestra señora de Perpetuo Socorro, que leen por lo menos dos tres diarios A, B y C, 40 leen B y C 60 leen A y C. ¿Cuántas docentes leen los tres diarios?a) 15 b) 25 c) 35 d) 55

6. De 120 alumnos de la I.E. Enrique López Albujar, a 92 les gusta manejar bicicleta y a 32 les gusta montar a caballo. ¿Cuántos son los alumnos a los que les gustan ambas cosas, si todos gustan por lo menos de alguno de estos juegos?

a) 4 b) 5 c) 3 d) 8

7. En la sección del primer año A de la I.E. Almirante Miguel Grau, hay 36 Alumnos, de los cuales 16 gustan del curso de comunicación y 28 gustan del curso de matemática. Si todos gustan de, al menos, uno de los dos cursos, ¿Cuántos alumnos gustan a la vez de los dos cursos?

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8

8. De un grupo de 40 personas de la Ejidos de Huan , 15 no estudian ni trabajan, 10 estudian, y 3 estudian y trabajan. ¿Cuantos realizan solo una de las dos actividades?a) 20 b) 23 c) 21 d) 22

Problemas de Autoevaluación

1.- En una reunión, 46 docentes de la I.E. José Olaya Balandra, usaban relojes, 24 usaban pulseras y 12 usaban ambas cosas. ¿Cuántas docentes asistieron a la reunión, si todas llevaban al menos una de las dos prendas?

a) 50 b) 58 c) 52 d) 46

2.- De 100 estudiantes de la I.E. Nuestra Señora de Pilar, son encuestados, sobre si practican fútbol y básquet, 20 no practican estos dos deportes, 30 no practican fútbol y 60 no practican básquet. ¿Cuántos practican fútbol y básquet?a) 20 b) 23 c) 30 d) 22

3.- De 106 alumnos de la I.E. PNP. Bacilio Ramírez Peña, los que hablan sólo inglés son tantos como los que hablan inglés y francés; además, los que hablan sólo francés son la quinta parte de los que hablan inglés. Si 10 alumnos no hablan ninguno de estos idiomas, ¿Cuántos hablan sólo francés? a) 40 b) 32 c) 4 d) 16 e) 8

4.- Se reciben 80 alumnos de la I.E: Ignacio Sánchez, para hacer deporte. 25 juegan fútbol, 45 juegan básquet, y ninguno de los que juegan fútbol o básquet juega voley. Si los que juegan voley son 20, ¿Cuántos juegan fútbol y básquet?a) 9 b) 10 c) 20 d) 12 e) 13

ESTRATEGIAS DE SOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Diagrama de Lewis Carroll Cuando trabajamos con conjuntos disjuntos, utilizamos diagramas de Carroll, que son cuadros de doble entrada usados para organizar datos en la solución de problemas en los que se establecen relaciones dobles.

Problemas Resueltos

1. En un aula de 75 alumnos de la I.E. Complejo La Alborada, el 32% son mujeres. Al 64% del salón la biblioteca les presta su libro de aritmética y 8 mujeres tuvieron

que comprar el libro. ¿Cuántos hombres prestaron el libro de aritmética, si todos los alumnos tienen libros? a) 25 b) 28 c) 32 d)38 e)40

Solución

Completamos la tabla según los datos dados. Sea # de hombres que prestaron el libro: “x”

Luego: x = 51-19 = 32 . Rpta: c

2. De un grupo de 70 mujeres de la I.E. Víctor Francisco Rosales Ortega:

24 tienen ojos azules pero no tienen 15 años. 8 no tienen ojos negros ni azules y son mayores de 18 años. De los que no son mayores de 18 años, 14 no tienen ojos azules ni negros.

¿Cuántas quinceañeras tienen ojos azules, si ellas son la tercera parte de todas las que tienen ojos negros?.

a) 4 b) 5 c) 6 d)7 e)8

Solución Completando la tabla:

De la 1º premisa y la tabla: a+c=24 (1)

De la 3º premisa y la tabla: x+y=14 (2) De la condición y la tabla : 3b = p+q+z (3) El total de mujeres es 70 (dato) y de la tabla :

Total = (a+p+8)+(b+q+x)+(c+z+y) = 70 (a+c)+(p+q+z)+(x+y)+b+8 = 70 (4)Reemplazando (1), (2) y (3) en (4) se tiene: b = 6 Rpta: c

Problemas Propuestos

Hombres Mujeres totalPrestaron x ? 64%(75)=48Compraron 27-8=19 8 75-48=27Total 75-24=51 32%(75)=24 75

Edad Azules Negros Otros colores TotalMayores de 18 a p 8 a+p+815 años b? q x b+q+xMenores de 18 c z y c+z+yTotal p+q+z 70

1. En un salón de clase de la I.E. San Miguel, se hace una encuesta para saber quien es el mejor jugador de fútbol de todos los tiempos, entre el argentino Maradona, el brasileño Pelé y el francés Zidane. Se sabe que 18 mujeres votaron en total; 5 hombres eligieron a Zidane; 18 en total votaron por Pelé; 5 hombres votaron por Maradona; 7 en total votaron por Zidane y 10 mujeres eligieron a Pelé. ¿Cuántos alumnos tiene la clase y cuantos votos obtuvo el ganador de la encuesta?

a) 36; 18 b) 32;16 c) 38;18 d) 35;150

2. El Congreso de la República de un país está compuesto por 120 congresistas (entre oficialistas y de oposición), de los cuales 53 son oficialistas. Se hizo una votación para aprobar al aumento de sueldo de los maestros. Si sabemos que 40 congresistas de la oposición votaron a favor del aumento, 28 congresistas oficialistas votaron en contra, ninguno se abstuvo y todos asintieron, ¿se aprobó el aumento de sueldo de los maestros? ¿Con cuántos votos?

a) Sí 65 b) Sí 55 c) No 65 d) No 55

3. En una encuesta entre 149 alumnos de la Universidad Nacional de Piura y de la Universidad Nacional Pedro Ruz Gallo se averiguo que 79 alumnos estudian en la UNPRG; 43 estudian Ciencias; 18 estudian Educación en la UNPRG; 23 alumnos estudian Ciencias en la UNP y 32 estudian Letras en la UNP. ¿Cuántos alumnos estudian Ciencias en la UNPRG? ¿Y cuántos Educación en la UNP?

a) 20; 18 b) 18; 20 c) 20;15 d) 23;15

4. En un congreso sobre educación organizado por la UNP. participaron 90 personas entre escolares, universitarios y profesionales: 8 varones son escolares, 23 varones no son universitarios, 27 varones no son escolares y 10 damas son profesionales. ¿Cuántas damas son escolares o universitarias?a) 35 b) 45 c) 55 d) 40

5. Una examen aplicado a 90 docentes participantes de PRONAFCAP - PIURA, nos ofrece la siguiente información: 32 son varones y no fuman; 31 son mujeres y no se dedican a la política; 11 son varones, se dedican a la política y fuman; 3 son mujeres, se dedican a la política y fuman, y 8 son mujeres, se dedican a la política y no fuman. ¿Cuántos varones no se dedican a la política y fuman?

a) 5 b) 10 c) 15 d) 8

6. En una aula de 40 alumnos de la I.E. Jorge Basadre: hay 4 mujeres que tienen 17 años,12 mujeres no tienen 18 años,16 mujeres no tienen 17 años, 8 varones no tienen 17 ni 18 años, además hay tantos estudiantes de 17 años como de 18 años. Hallar la cantidad de varones de 18 años.

a) 4 b) 5 c) 3 d) 8

7. En una reunión en donde asistieron cierto número de docentes de la I.E. Nuestra Señora de Fátima, se sabe que la cantidad de hombres excede a la de mujeres en 6. Si hay 15 mujeres bailando y entre los que no bailan hay 3 hombres por cada 2 mujeres; el número de hombres que asistieron a la reunión ,es:a) 28 b) 26 c)33 d)29 e)35

8. En la I.E. Sagrado Corazón de Jesús, tiene 140 docentes (entre nombrados y contratados), de los cuales 22 son docentes nombrados con más de un año en el colegio; 75 son docentes contratados y 83 son docentes con menos de un año en el colegio. ¿Cuántos docentes nombrados hay en total? a) 75 b) 57 c) 43 d) 65

Cuadros Lógicos de Decisiones

En Ciertos problemas la diversidad de datos, es necesario la construcción de una tabla, en la cual se relacionen y ubiquen dichos datos ya sea los nombres de personas, animales, cosas y las características de los sujetos. Se debe tener en cuenta que la ubicación depende de la persona que construye y emplea el cuadro.

A continuación se procede a marcar con una x o un No en cada casilla correspondiente a una imposibilidad definida y a colocar un visto bueno o un Sí en la casilla que corresponda a un dato confirmado. Además se debe verificar tanto en cada fila horizontal y vertical la existencia de un solo Sí a menos que las condiciones del problema afirmen lo contrario o señalen características especiales de los datos.

Problemas Resueltos

1. Pierina tiene un amigo en cada una de las ciudades siguientes: Lima, cusco e Iquitos; pero cada uno tiene caracteres diferentes: tímido, agresivo y liberal. Además: André no está en Lima. (1) Julio no está en el Cusco. (2) El que está en Lima no es tímido. (3) Julio no es liberal, ni tímido. (4)Se quiere saber en que ciudad vive Dante, que es uno de los amigos y que carácter tiene.Además se sabe que quien vive en Iquitos es agresivo. (5)

Solución De las premisas:

(4) , se deduce que Julio es agresivo……..(6) (5) y (6), se deduce que Julio vive en Iquitos…………(7)

Ciudades CaracterísticasLima Cusco Iquitos Tímido Agresivo Liberal

André no Sí noJulio no no sí no sí noDante Sí no no

Problemas Propuestos

1. Cinco amigos entran a la Biblioteca Municipal de Piura para leer un libro diferente cada uno. Ellos son Augusto, Betty, Carlos, Daniel y Enrique. Los libros a leer son A, B, C, D y E. Sabemos que ni Betty ni Carlos leen B ni E; que Augusto no lee B, D y E, y que Daniel no lee A ni B. ¿Qué libros leen Daniel Y Enrique, respectivamente?

A B C EAugustoBettyCarlosDanielEnrique

2. Se desea constituir una empresa, y para ellos se asocian una administradora, una contadora, una abogada y una arquitecta. Los nombres de ellas, aunque no necesariamente en ese orden, son Romy , Fiorella , Liliana y Paola . Se sabe que Fiorella y la contadora no se llevan bien; Romy se lleva muy bien con la arquitecta; Liliana se lleva bien con la arquitecta y es cuñada de la abogada, y la administradora es muy amiga de Paola y de la arquitecta. ¿Cuál es la profesión de Paola y Fiorella?

Admin. Cont. Abogada Arquitecta

RomyFiorellaLilianaPaola

3. Tres amigos practican vóley, tenis y natación. Cada deporte se caracteriza por un color: blanco, rojo y azul. Justo no participa por el color azul. Los rojos no nadan. Arnulfo y Justo no juegan vóley. ¿Qué deporte corresponde a Gerardo?

4. Guillermina tiene 3 hijas que estudian en diferentes ciudades: Ica, Tumbes e Iquitos. Cada hija estudia una carrera diferente:

Voley Tenis Natación ArnulfoJustoGerardo

Blanco Rojo Azul

Contabilidad, Administración y Publicidad. Shirley no está en Iquitos y Stephany no está en Tumbes. La que esta en Tumbes no estudia Administración; la que está Iquitos estudia Publicidad, y Shirley no estudia Contabilidad. ¿Qué estudia Karina y dónde?

Ica Tumbes IquitosShirleyStephanyKarina

5. Margarita, Silvia y Janet radican en 3 países distintos: Perú, Chile y España. Ellas estudian Medicina, Administración y Arte. Se sabe que:

I. Margarita no radica en Chile.II. Silvia no radica en España.III. La que radica en Chile no estudia Administración.IV. Silvia no estudia Medicina.V. La estudiante de Arte radica en España.¿Dónde radica Janet y qué estudia?

Problemas de Autoevaluación

1. Tres profesoras de la I.E. Los Algarrobos: Catherine, Verónica , Mariela tienen X, Y, Z libros aunque no necesariamente en ese orden. Identificar ¿Cuántos libros tienen cada una respectivamente? Si: I.- Verónica le dice a la que tiene Y que la otra tiene Z libros.II.- Mariela le dice a la que tiene Z que tiene sed.a) X, Y, Z b) Z, Y, X, c) Z, X, Y, d) Y, Z , X, e) No se puede determinar.

2. Manuel, Percy, Cesar y Miguel, tienen diferentes ocupaciones y domicilios. Sabemos que:

I.- Manuel reside en Piura.II.- Miguel vive en Morropón III.- Uno de ellos es profesor.IV.- El dibujante vive en Catacaos.V.- César no vive en Piura ni en Catacaos.

Contabilidad Administración

Publicidad

Perú Chile España Margarita Silvia Janet

Medicina Admin. Arte

VI.- El vendedor trabaja en Tumbes.VII.- Miguel es agricultor.¿Cuál es la ocupación y el domicilio correcto de cada uno de ellos?

a) Percy- Catacaos - Agricultor.b) César – Catacaos - Vendedor.c) Miguel- Piura – Profesor.d) César- Tumbes- Vendedor.e) Miguel-Morropón- Vendedor.