modulo razonamiento numÉrico y lÓgico · objetivo general de la asignatura fortalecer el...

Módulo Razonamiento Numérico y Lógico

1

MÓDULO RAZONAMIENTO NUMÉRICO Y LÓGICO

Abg. Gabriel Maldonado Villavicencio


2

PRESENTACIÓN DE ASIGNATURA

Este módulo de razonamiento numérico para nivelación, comprende lo que corresponde a

Razonamiento Lógico, Razonamiento Numérico y Razonamiento Abstracto.

Los temas a tratar en Razonamiento lógico es básicamente toda la parte de lógica matemática

(proposiciones, conectores, tablas de verdad, equivalencias, variaciones del condicional); con respecto a

Razonamiento numérico los temas a tratar son números reales (clasificación, propiedades, operaciones,

problemas de aplicación), regla de tres, porcentajes, ecuaciones lineales, perímetros y áreas en figuras

geométricas. En cuanto a razonamiento abstracto análisis de figuras, secuencias, orden, etc.

Cabe indicar que en cada uno de los temas hay ejercicios propuestos, pero usted deberá enriquecer su

conocimiento con otros ejercicios.

OBJETIVO GENERAL DE LA ASIGNATURA

Fortalecer el razonamiento lógico, numérico, y abstracto en los estudiantes, mediante el

desarrollo de ejercicios lúdicos y problemas de la vida cotidiana. Para despertar en ellos el

hábito de la aplicación resolución de problemas en cualquier circunstancia de vida.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS DE LA ASIGNATURA

Utilizar sus conocimientos matemáticos y su capacidad de razonamiento en la vida práctica,

para resolver situaciones y problemas reales.

Desarrollar la capacidad de descubrir y apreciar los componentes de objetos y situaciones,

disfrutando con los aspectos creativos, manipulativos y utilitarios de las matemáticas

METODOLOGÍA DE TRABAJO

Las interacciones entre el estudiante, el objeto a conocer y el docente deben ser fuertemente

participativas. El estudiante, deseando conocer por él mismo, anticipando respuestas, aplicando

esquemas de solución, verificando procesos, confrontando resultados, buscando alternativas, planteando

otros interrogantes. El docente, integrando significativamente el objeto de estudio según los significados

posibles para los estudiantes; respetando estados cognoscitivos, lingüísticos y culturales; acompañando

oportunamente las respuestas y las inquietudes y; sobre todo, planteando nuevas preguntas que le

permitan al estudiante descubrir contradicciones en sus respuestas equivocadas, o "abrirse" a otros

interrogantes. En cuanto al objeto de conocimiento, este no debe asumirse como un producto terminado,

siempre debería ofrecer posibilidades de profundización y ampliación. En diferentes momentos del

aprendizaje, el objeto poseerá diferentes significados, de acuerdo a los logros de los estudiantes para

comprenderlo en variados sistemas teóricos, los que a su vez permitirán reconocerlo en distintos

sistemas de aplicación.

PRIMERA SECCIÓN: RAZONAMIENTO NUMÉRICO: LOS NÚMEROS REALES


3

Al conjunto formado por los números racionales e irracionales se le denomina conjunto de los números

reales y se designa por . Podemos pues recordar en un diagrama, la relación entre los distintos tipos

de números que hemos estudiado a lo largo de estos cursos:

........................º,,,6,5,2:)(

.,.........7

5,

3

2,25.1:

,.......8,7

49,4:

.,.........5

50,64,5,1,0:)(

)(

)(:

3

3

áureoneIsIrracinale

iosFraccionar

NegativosEnteros

NNaturales

ZEnteros

QRacionales

EJERCICIOS:

1.- Observa la siguiente lista de números reales y coloca cada uno en el recuadro correspondiente

(observa que puede estar un mismo número en más de un recuadro):

5;8;9;2;10;10;001.0;2.43;43;6

84;

3

5;

5

3;3.0;13;1.0;11.0;11 333

Naturales(N)

Enteros(Z)

Racionales(Q)

Irracionales(I)

2.- Indica qué tipo de números reales (naturales, enteros, racionales o irracionales) utilizarías en

cada uno de los siguientes casos.

a) Número de cabras en un rebaño.

Un número______________________

b) Perímetro de la rueda de un autobús en función de su diámetro.

Un número_______________________

c) Peso de una caja de naranjas en una báscula.

Un número_______________________

d) Diagonal de un cuadrado que tiene por lado 5 cm.

Un número_______________________

e) Año en el que tuvo lugar cierto acontecimiento histórico.

Un número_______________________

3.- Escribe en forma decimal los siguientes números racionales:


4

6

25d)

10000

37c)

3

7b)

5

3)a

REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS EN LA RECTA

Representa en la recta real los siguientes números: -3, 1, -2, -4, 7, - 10

________________________________|___________________________________

0

Representa en la recta real los siguientes números

7

2

13

6

10

17

3

4

_____|_______________|_______________|_______________|_______________|___

-2 -1 0 1 2

Realice las operaciones indicadas:

a) 205108 b) 28915 c) 312714

d) 86210 e) 725 f) 796

g) 2152 h) 5679 i) 107969

j) 766296 k) 67217 l) 6479162

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

1.- El precio de un artículo a principios de la semana fue de $ 4.700. Los cambios de precio durante

la semana fueron: +$100, +$200, -$100, -$200, -$100. ¿Cuál es el precio del artículo al final de la

semana.

2.- Un comerciante realiza un pedido de 3.000 kilos de azúcar a una distribuidora. Primero le envían

854 kilos, al día siguiente 12 kilos menos que la primera vez y dos días después 156 kilos más que la

primera vez. ¿Cuánto falta por enviarle?

3.- En un cierto día, a media noche la temperatura es 0º. De las 12 a la 1 a.m., el termómetro registra

un ascenso de 5 grados. Durante las horas 1 a 4 a.m., el termómetro registra un descenso de 8 grados.

¿Cuál es la temperatura a las 4 a.m.?

Módulo Razonamiento Numérico y Lógico 5

5

4.- Calcule el costo de pasajes de un tour, si participan 26 personas y contempla el traslado en avión,

más un traslado en bus, ambos ida y vuelta. El costo de cada pasaje en avión es US$ 600 (ida y

vuelta). El costo de cada pasaje en bus es de US$ 12 (sólo ida). Haga el cálculo en dólares.

5.- En cada caso, analice qué fracciones son equivalentes.

a)

6

5 ;

12

10 b)

8

7 ;

24

14 c)

2

1 ;

8

4

6.- ¿Qué fracción de un siglo son 40 años?

7.- ¿Qué fracción del día ha transcurrido cuando son las siete de la tarde?

8.- ¿Cuántos octavos hay en 2 unidades?

9.- Si un curso está compuesto por 25 hombres y 15 mujeres, entonces, ¿cuál es la fracción que

representa la cantidad de hombres del curso?

10.- Después de gastar 3

2 de mi dinero, me quedan $ 12.000. ¿Cuánto dinero tenía?

POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Completar el número que falta en el casillero correspondiente:

a) ( -2 )5 = e) ( +4 )4 =

b) (+11)2

= f) ( 12 )2 =

c) ( - 80 )º = g) ( -9 )3 =

d) ( -10 )3 = h) ( -5 )-3 =

Simplificar:

a) 54.6

7458

..3

...33

cab

cba = b)

245

6437

...10

...10

ymz

zym=

Resuelve las siguientes operaciones combinadas:

a) :)15(2.273 23 [ 62 – ( 9 - 83 )2 ]

b) ( -7 + 4 )4 ÷ 33 - 25 . ( -2 )

c) 9162.43

273


6

d) 13.83273.16

Resolver:

a) 9815:4321625 3

b) 1002.228162532163 32

c)

0

2

1162542101002

e) 1002.228162532163 32

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA

Se llaman ecuaciones a igualdades en las que aparecen número y letras (incógnitas) relacionados

mediante operaciones matemáticas. Ejemplo:

3x - 2y = x2 + 1

Son ecuaciones con una incógnita cuando aparece una sola letra (incógnita, normalmente la x).

Ejemplo:

x2 + 1 = x + 4

Se dice que son de primer grado cuando dicha letra no está elevada a ninguna potencia

(por tanto a 1).

Ejemplos:

3x + 1 = x - 2

x/2 = 1 - x + 3x/2

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1) 4x - 13 - 5x = -12x + 9 + 8x

2) -5 + 7x +16 + x = 11x - 3 - x

3) 6x - 12 + 4x - 1 = -x - 7x + 12 - 3x + 5

4) 2x - (x + 5) = 6 + (x + 1)

5) 8 - (3x + 3) = x - (2x + 1)

PROBLEMAS DE APLICACIÓN.

Una de las aplicaciones más importantes de las ecuaciones es la de resolver problemas de la vida

cotidiana. Ejemplo:


7

El hermano mayor de una familia con tres hermanos tiene 4 años más que el segundo y este 3

más que el menor. Si entre todos tiene la edad del padre que tiene 40 años ¿qué edad tiene cada

hermano?

Para resolver estos problemas debemos elegir algún valor desconocido para llamarle "x". En este

caso llamemos:

x = edad del hermano menor.

A partir de ello expresar los datos del problema y plantear una igualdad (ecuación) con ellos, será:

x + 3 : edad del hermano mediano

x + 3 + 4 = x + 7 edad del hermano mayor

Ecuación: suma de las edades de los hermanos x + x + 3 + x + 7 = 40,

Resolviendo la ecuación se obtiene x = 10, luego las edades de los tres hermanos son 10, 13 y 17

años.


1. En una caja hay el doble de caramelos de menta que de fresa y el triple de caramelos de naranja

que de menta y fresa juntos. Si en total hay 144 caramelos, ¿cuántos hay de cada sabor? (Sol: 12, 24,

108).

2. Un número multiplicado por 5 sumado con el mismo número multiplicado por 6 da 55. ¿Cuál es el

número?

3. ¿Qué número se debe restar de 14 para obtener 8?

4. El doble de un número aumentado en 12 es igual a su triple disminuido en 5. ¿Cuál es el número?

5. El doble de un número más el triple de su sucesor, más el doble del sucesor de este es 147. Hallar

el número.

Factorización

Antes que todo, hay que decir que todo polinomio se puede factorizar utilizando números

reales,

1. Factor Común

2. Factor Común por agrupación de términos

3. Trinomio Cuadrado Perfecto

4. Diferencia de Cuadrados

1.1 FACTORIZACION

Es una técnica que consiste en la descripción de una expresión matemática (que puede ser un

número, una suma, una matriz, un polinomio, etc.) en forma de producto.

Existen diferentes métodos de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos

estudiados; el objetivo es simplificar una expresión o reescribirla en términos de «bloques

fundamentales», que recibe el nombre de factores, como por ejemplo un número en

números primos, o un polinomio en polinomios irreducibles.

https://es.wikiversity.org/w/index.php?title=Polinomio&action=edit&redlink=1


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FACTORES

Se llama factores o divisores de una expresión algebraica a las expresiones algebraicas que

multiplicadas entre si dan como producto la primera expresión.

Ejemplo:

a(a + b) = a2 + ab

(x + 2) (x +3) = x2 + 5x + 6

(m + n) (m- n) = m2 - mn - n2

CASOS DE FACTORIZACION

CASO I

CUANDO TODOS LOS TERMINOS DE UN POLINOMIO TIENEN UN FACTOR

COMUN

Sacar el factor común es extraer el literal común de un polinomio, binomio o trinomio con el

menor exponente y el divisor común de sus coeficientes.

Factor Común Monomio:

Factor común por agrupación de términos

Ejemplo 1:

14x2 y2 - 28x3 + 56x4

R: 14x2 (y2 - 2x + 4x2)

Ejemplo 2:

X3 + x5 – x7 = R: x3 (1 + x2 - x4)

Ejemplo 3:

100a2 b3c –150ab2c2 + 50 ab3c3 - 200abc2=

R: 50abc (2ab2 – 3bc +b2c2 – 4c)

Factor Común Polinomio:

Primero hay que sacar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la

que tenga menor exponente) para luego operar; ejemplo:

Ejemplo 1:

a(x + 1) + b(x + 1)


9

R: (x + 1) (a +b)

Ejemplo 2:

(3x + 2) (x + y – z) – (3x + 2) - (x + y – 1)( 3x +2)

R: (3x + 2) (x + y – z) – (3x + 2)(1) – ( x - y +1)( 3x +2)

(3x + 2) (x + y – z -1 –x - y + 1)

-z ( 3x +2)

Ejemplo 3:

(a + b -1) (a 2 + 1) – a2 – 1

R: ( a + b -1) (a 2 + 1) –( a2 + 1)

( a2 + 1)(a + b - 1)-1

( a2 + 1)(a + b -1 -1)

( a2 + 1)(a + b -2)

Ejemplos del primer caso (resolver los ejercicios).

1.- a2 +ab

2.- b + b2

3.- x2 y + x2 z

4.- 15y3 + 20y2 – 5y

CASO II

FACTOR COMUN POR AGRUPACION DE TÉRMINO

Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos

características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos. Para

resolverlo, se agrupan cada una de las características, y se le aplica el primer caso, es decir:

Ejemplo 1:

a2 + ab + ax + bx

(a2 + ab) + (ax + b)

a(a + b) + x(a +b)

(a + b) (a +x)


10

Ejemplo 2:

4am3 – 12 amn – m2 + 3n

= (4am3 – 12amn) – (m2 + 3n)

=4am (m2 – 3n) – (m2 + 3n)

R: (m2 – 3n)(4am-1)

Ejemplo 3:

a2b3 – n4 + a2b3x2 – n4x2 – 3a3b3x + 3n4x

= (a2b3 – n4 + a2b3x2 – n4x2 – 3a3b3x + 3n4x)

= (a2b3 + a2b3x2 – 3a2b3x) – (n4 + n4x2 - 3n4x)

= a2b3 (1 + x2 – 3x)- n4 (1 + x2 -3x)

R: (1 + x2 – 3x) (a2b3 - n4 )

Ejemplos del segundo caso. (Resuelve los ejercicios)

1.- a2 + ab + ax +bx

2.- am – bm + an – bn

3.- ax – 2bx – 2ay + 4by

4.- 3m - 2n – 2nx4 + 3mx4

CASO III

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces exactas, y el restante

equivale al doble producto de las raíces. Para solucionar un T.C.P. debemos organizar los

términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego

extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis,

separándolos por el signo que acompaña al segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos

todo el binomio al cuadrado.

Ejemplo:

(45x-37y)^26564 = 25x^2-30xy+9y^2

(67x+25y)^2456 = 9x^2+12xy+4y^2

(5x+7y)^256 = x^2+2xy+y^2

867x^2+25y^2456-67567xy

Organizando los términos tenemos

467x^2 - 5675xy + 567y^2

Extrayendo la raíz cuadrada del primer y último término y agrupándolos en un paréntesis

separados por el signo del segundo término y elevando al cuadrado nos queda:


11

( 2x - 5y )^2

Ejemplos del tercer caso. (Resuelve los ejercicios)

1.- a2 - 2ab + b2

2.- a2 + 2ab + b2

3.- x2 – 2x + 1

4.- y4 + 1 + 2y2

CASO IV

DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS

Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se

resuelve por medio de los paréntesis, (parecido a los productos de la forma), uno positivo y

otro negativo, En los paréntesis deben colocarse las raíces.

Ejemplo 1:

X2 y 2 x y = Raíces

Se multiplica la suma por la diferencia

R: = (x + y) (x y)

Ejemplo 2:

100m2n4 169y6

10mn2 13y3 = Raíces


R: = (10mn2 + 13y3) (10mn2 13y3)

Ejemplo 3:

1 9a2b4c6d8

1 3 ab2c3d4 = Raíces


R: = (1 + 3 ab2c3d4) (1 3 ab2c3d4)

Ejemplos del cuarto caso. (Resuelve los ejercicios)

1.- x2 - y2

2.- a2 - 1

3.- a2 – 4

4.- 9 - b2

CASO V

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICION Y SUSTRACCION


12

Ejemplo 1:

a4 + a2 + 1

+ a2 - a2

a4 + 2a2+ 1 - a2

(a4 + 2a2+ 1) - a2

(a2 + 1)2 - a2

R: (a2+ a + 1) (a2– a + 1)

Ejemplo 2:

254 + 54a2b2 + 49b4

+ 16 a2b2 - 16 a2b2

254 + 70a2b2 + 49b4 - 16 a2b2

(254 + 70a2b2 + 49b4) - 16 a2b2

(5a2 + 7b)2- 16 a2b2

R: (5a2 + 7b2 + 16 ab) (5a2 + 7b2- 16 ab)

(5a2 + 16ab +7b2) (5a2 - 16 ab +7b2)

Ejemplo 3:

81a4b8 - 292a2b4x8 + 256x16

+ 4 a2b4x8 – 4 a2b4x8

81a4b8 - 288a2b4x8 + 256x16 – 4 a2b4x8

(81a4b8 - 288a2b4x8 + 256x16) – 4 a2b4x8

(9a2b4 - 16x8)2 – 4 a2b4x8

R: (9a2b4 - 16x8 + 2 ab2x4) (9a2b4 - 16x8 – 2 ab2x4)

(9a2b4 + 2 ab2x4- 16x8) (9a2b4 – 2 ab2x4 - 16x8 )

CASO VI

TRINOMIO DE LA FORMA

x2 + bx + c

Ejemplo 1:

x2 + 7x + 10

R :( x + 5 ) ( x + 2 )


13

Ejemplo 2:

n2 + 6n – 16

R: ( n + 8 ) ( n – 2 )

Ejemplo 3:

a2 + 42a + 432

R: ( a + 24 ) (a + 18 )

CASO VII

TRINOMIO DE LA FORMA

ax2 + bx + c

Ejemplo 1:

2x2 + 3x – 2

(2) 2x2 +(2) 3x –(2) 2

= 4x2 + (2) 3x – 4

= (2x + 4 ) (2x – 1 )

2 x 1

R= (x + 2) (2x – 1)

Ejemplo 2:

16m + 15m2 – 15

15m2 + 16m – 15

15(15m2) +(15) 16m –(15) 15

= 225m2 + (15) 16m – 225

= (15 m + 25 ) ( 15 m – 9 )

5 x 3

R= ( 3m + 5 ) ( 5m – 3 )

Ejemplo 3:

30x2 + 13x –10

(30) 30x2 +(30) 13x – (30) 10

900x2 + (30)13x – 300

= (30x + 25 ) (30 x – 12 )

5 x 6

= (6x + 5) (5x – 2)

CASO VIII


14

CUBO PERFECTO DE BINOMIOS

Ejemplo 1:

a3 + 3a2 + 3a + 1

Raíz cúbica de a3 = a

Raíz cúbica de 1 = 1

Segundo término= 3(a)2(1) = 3a2

Tercer término = 3(a)(1)2 = 3a

R: (a + 1)3

Ejemplo 2:

64x9 – 125y12 – 240x6y4 + 300x3y8

64x9 – 240x6y4 + 300x3y8 – 125y12

Raíz cúbica de 64x9 = 4x3

Raíz cúbica de 125y12 = 5y4

Segundo término= 3(4x3)2(5y4) = 240x6y4

Tercer término = 3(4x3)(5y4)2 = 300x3y8

R: ( 4x3 – 5y4 )3

Ejemplo 3:

125x12 + 600x8y5 + 960x4y10 + 512y15

Raíz cúbica de 125x12 = 5x4

Raíz cúbica de 512y15 =8y5

Segundo término= 3(5x4)2(8y5) =600x8y5

Tercer término = 3(5x4)(8y5)2 =960x4y10

R: (5x4 + 8y5)3

CASO IX

SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS

Ejemplo 1:

1 + a3

(1 + a) (12 – 1(a) +( a)2)

R:(1 + a) (1 – a + a2)

Ejemplo 2:


15

x3 – 27

(x – 3 ) ((x)2 + (x)3 + (3)2)

R: (x – 3 ) (x2 + 3x + 9)

Ejemplo 3:

x6 – 8y12

(x2 – 2y4) ((x2)2 + (x2)(2y4) + (2y4)2)

R: (x2 – 2y4) (x4 + 2x2 y4 + 4y8)

CASO X

SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES

Ejemplo 1:

a5 + 1

a5 + 1 = a4 – a3 + a2 – a + 1

a + 1

Ejemplo 2:

m7 – n7

m7 – n7 = m6 + m5n + m4n2 + m3n3 + m2n4+ mn5 + n6

m – n

Ejemplo 3:

x7 + 128

x7 + 128 = x6 – 2x5 + 4x4 – 8x3 +16x2 – 32x + 64

x + 2

REGLA DE TRES SIMPLE

Por preparar un campo de 7 ha de superficie, un labrador cobra 21.315 € ¿Cuánto cobraría si

la superficie del campo midiera 12 ha?

Por 7 Ha. Cobra 21.315 €.

Por 12 Ha. Cobrará X €.

Pasos a dar:

a) A más Ha. ,se cobra más

1.Tipo de

proporcionalidad:

Directa

b)Al doble de Ha, doble paga


16

2.Cálculo X

21315

12

7 .€ 540.36

7

2131512

xX

Los soldados de un cuartel se colocan formando 9 filas de 40 reclutas cada una. ¿Cuántas filas

de 30 hombres cada una se puede formar?

A 9 filas. 40 reclutas.

A X filas 30 reclutas

Pasos a dar:

A más filas, menos reclutas por fila

1.Tipo

proporcionalidad

Inversa Al doble de filas, mitad de reclutas

2. Cálculo 40

309

X .filas 12

30

409

xX

Observar el cambio de lugar que debe producirse en la

disposición de los datos cuando la proporcionalidad es

inversa.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. Si para repartir el vino de un barril en botellas de 0,75 litros, se necesitan 1040 botellas. ¿Cuántas

botellas de 0,65 litros se necesitarán?

2. Un automóvil que va a 90 km/h recorre 160 km. ¿Cuántos kilómetros recorrería si hubiese ido a

50 km/h?

3. La nave espacial Columbia, al despegar, recorre en 15 minutos 47.535 m. Si mantiene esa

velocidad, ¿cuánto tiempo tardará en alcanzar los 255.000 m de altura?

4. El cable de un globo cautivo está enrollado 72 veces en un eje y cada vuelta mide 4 m. Si el eje

tuviera 3 m, ¿cuántas vueltas daría el cable?

5. Cinco obreros realizan en 6 días una pared de 240 m de largo. ¿Cuántos días tardarían en realizar

la misma obra 12 obreros?

6. Con 25 m3 de agua un campesino riega las 4 ha de su propiedad. Si dispusiera de 125 m3 de agua,

¿cuántas hectáreas podría regar?

7. Según las ordenanzas municipales de cierta ciudad lo máximo que puede construirse en

determinada zona corresponde a 28 pisos de 3 m de altura cada uno. ¿Qué altura deberá tener

cada piso si en dicha zona se desea construir un edificio de 30 plantas?

8. En las 24 horas de Le Mans un vehículo en la recta de tribuna alcanza una velocidad de 360 km/h

y la recorre en 12 segundos. ¿Cuánto tiempo emplearía si su velocidad fuera de 300 km/h?

9. Para realizar las excavaciones necesarias para la construcción de un gran complejo industrial se

calcula que se necesitarán 3 máquinas iguales trabajando 160 horas cada una. Si la empresa

constructora dispusiera de 10 máquinas iguales a las anteriores, ¿cuánto tiempo tardarían?

10. Un ciclista ha tardado 20 minutos en recorrer cierta distancia a la velocidad de 40 km/h. ¿A qué

velocidad deberá circular si desea recorrer la misma distancia en 35 minutos?


17

11. Si 4 grifos iguales tardan 24 horas en llenar un depósito, ¿cuánto tardarían 12 grifos iguales a los

anteriores en llenar el mismo depósito?

12. Por cada 2805 toneladas de mineral de hierro extraído se obtienen 150 toneladas de hierro. ¿Qué

cantidad de mineral de hierro es necesario extraer para obtener 100 toneladas de hierro?

13. Por la compra de 200 macetas de plástico un jardinero paga 4 500 €. ¿Cuánto dinero hubiera

tenido que desembolsar por 325 macetas?

TANTO POR CIENTO

1. Al congelarse el agua aumenta su volumen en un 9%. ¿Qué cantidad de agua (expresar en litros)

se debe congelar para obtener 5450 cm3 de hielo?

2. Después de distribuir el 27% de las cajas que había en un depósito han quedado 389. ¿Cuántas

cajas había?

3. El precio de un artículo con pago al contado es de $750. Si el precio en cuotas resulta de $840.

¿Cuál es el porcentaje de recargo?

4. El aumento del 15% en el peso de un animal y su posterior disminución en un 15% ¿se anulan?

¿Es lo mismo que primero disminuya el peso en un 15% y luego aumente el mismo en un 15%?

Justifica la respuesta.

5. ¿Cuál es la forma más rápida de calcular el valor original de una cantidad, conociendo el valor

aumentado en un 18%? ¿Y si conociéramos el valor disminuido en un 18%?

6. De un bidón de 4 litros lleno de fertilizante puro, se extrae 1 litro y se lo completa con agua. De

esa mezcla, se extrae 1 litro y nuevamente se completa con agua

a) Qué porcentaje de fertilizante puro tiene esa última mezcla?

b) Cuántos envases de 200 cm3 se pueden llenar con los 4 litros de fertilizante?

SUCESIONES NUMÉRICAS

Es una secuencia lógica de números ya que puede ser creciente o decreciente. Estas sucesiones

pueden ser ARITMÉTICAS O GEOMÉTRICAS.

Sucesiones aritméticas.- La razón de cambio entre un miembro y otro es la suma o resta de la misa

razón, es decir:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8,13, es la serie o sucesión de Fibonacci, que se logra sumando los dos

números anteriores, 0+1= 1, 1+1=2, 1+2=3, etc.

Ejemplos

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25,...

En esta sucesión la razón es +3 entre cada dos términos; por lo tanto es una sucesión creciente

60, 55, 50, 45, 40, 35, 30……….

+3

- 5


18

En esta sucesión la razón es -5entre cada dos términos; por lo tanto es una sucesión decreciente

10, 12, 9, 11, 8, 10, 7,……….

En esta sucesión la razón es +2 y -3 entre cada dos términos; por lo tanto es una sucesión alternada

Sucesiones geométricas.- En la sucesión geométrica el número siguiente de la sucesión se logra por

multiplicar o dividir la razón de cambio. Ejemplos:

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256,...

Esta sucesión la razón es 2 entre cada dos términos.

2187, 729, 243, 81, 27…...

Esta sucesión razón es 3 entre cada dos términos


1. La siguiente serie 2-4-6, 10-12-14, 24-26-28 se completa lógicamente con la siguiente opción.

45, 90, 101 ( ) 32, 34, 36 ( )

6,25 ; 9,25 ; 12,25 ( ) 60, 61, 62 ( )

2. ¿Cuál es el número que sigue en esta serie 4, 8, 10, 20, ____?

a) 22 b) 24 c) 30 d) 26

3. 12, 11, 13, 12, 14, 13, __________ cuál es el número que sigue en la serie?

a) 15 b) 13 c) 14 d) 16 e) 12

4. ¿Cuál es el número que sigue en esta serie 8, 24, 72, 216, ____?

a) 322 b) 280 c) 648 d) 526

5. Los estudiantes deben completar los cuatro números que continúan en estas secuencias:

1. 8, 10, 12, _____, _____,_____,_____

2. 15, 18, 21, _____, _____,_____,_____

3. 40, 42, 44, _____, _____,_____,_____

4. 30, 33, 36, _____, _____,_____,_____

5. 32, 30, 28, _____, _____,_____,_____

+2 -3


19

PERÍMETROS Y ÁREAS DE FIGURAS GEOMÉTRICAS

Antes de entrar al análisis de fórmulas referente al perímetro, área y volumen de figuras geométricas,

repasemos estos temas y efectuemos ejercicios pertinentes.

Llamamos área o superficie a la medida de la región interior de un polígono. El perímetro corresponde

a la suma de los lados del polígono.

Figura Geométrica Perímetro y Área

Triángulo Cualquiera

P = a + b + c

2

·

2

· hcalturabaseá

Triángulo Rectángulo

P = a + b + c

2

·

2

· bacatetocatetoá

Triángulo Equilátero

P = 3a

4

32aá

Cuadrado

P = 4a

á = a2

2

2dá

Rectángulo

P = 2a + 2b

á = lado · lado = a·b

Rombo

P = 4a

á = base · altura = b · h

2

·

2

· fediagonaldiagonalá

Romboide


20

P = 2a + 2b

á = a · h

Trapecio

P = a + b + c + d

2

)·(

2

)·21( hcaalturabasebaseá

á = Mediana · altura = m · h

Trapezoide

P = a + b + c + d

á = á 1 + á 2 + á 3 + á 4

Circunferencia

P = 2 · r

Círculo

á = · r2

Sector Circular

360

222

rrABrp

2 ·

360

rá

Áreas Sombreadas (achuradas)

Son una forma de aplicación del cálculo de áreas de diferentes figuras que están relacionadas entre sí.

Para distinguir la parte que se debe calcular como resultado final se procede a sombrearla, es decir, se

pinta o raya imitando texturas.

Suma de áreas:


21

Algunas veces, la parte achurada está formada por la unión de áreas de figuras, por lo tanto, hay que

descomponerla, luego hacer el cálculo de cada parte, y finalmente, sumarlas para encontrar el área total.

Veamos el siguiente ejemplo: ABCD cuadrado de lado 4 cm.

Esta figura se descompone en medio círculo y un cuadrado. Primero, tendremos que calcular

el área del círculo. Como AB = 4 cm, entonces OC, radio del semicírculo, mide 2 cm. y su

área es r2 / 2 = 2. Determinemos ahora el área del cuadrado, á = a2 = 42 = 16 cm2. Sumando

ambas áreas nos dará el área total sombreada, o sea 2 + 16 = 2( + 8)

Resta de áreas:

Este tipo de ejercicios es el más común y son las que tienen unas figuras dentro de otras. En estos casos,

la solución se encuentra buscando la diferencia entre las figuras que forman el sector sombreado. Por

ejemplo: ABCD rectángulo de lado AB = 12 cm.

El área del rectángulo es AB · BC, BC mide lo mismo que el radio de la

semicircunferencia, por lo tanto el producto debe ser 12 cm · 6 cm = 72 cm2. Ahora

calculemos el área del semicírculo, o sea r2 / 2, lo cual resulta 18.

El área sombreada queda determinada por la resta entre el área mayor, que es la del

rectángulo, y el área menor, que es el del semicírculo, es decir,

72 – 18 = 18(4 – ).


1. Si el lado de un cuadrado aumenta al doble. ¿Qué ocurre con el área y su perímetro?

2. ¿En cuánto aumenta el área de un rectángulo de lados 12 m. y 4 m. si se aumentan ambos lados

en un 25%?

3. Determina el perímetro y el área de las siguientes figuras:

a) ABCD cuadrado

4.- Resuelve:

a) Calcula el área de una esfera de 10 cm. de diámetro.

b) Calcula el área de una esfera de 25 cm. de radio.

c) Si el área de una esfera es 100 cm2, determina su diámetro

d) Encuentra el perímetro de un círculo máximo de una esfera cuya área es 36 cm2

e) ¿Cuál es la arista de un cubo cuya área total es de 54 cm2?

l) Encuentra las dimensiones de la base de un paralelepípedo rectangular de 720 cm3 y 15 cm. de altura,

si el largo de la base es el triple del ancho.

m) Si las dimensiones de un paralelepípedo son 4 cm., 5 cm. y 6 cm. Determina la medida de las

diagonales de las tres caras diferentes.


22

6. Determina el perímetro del rectángulo cuya superficie es 24 cm2 y uno de sus lados mide 3 cm.

7. La cuarta parte de la superficie de un cuadrado es 9 cm2. ¿Cuánto mide su lado?

8. Calcula la medida del lado de un cuadrado cuyo perímetro es 64 cm.

9. Si el radio de una circunferencia es 6 m. ¿Cuánto mide el perímetro del cuadrado circunscrito a ella?

RAZONAMIENTO ABSTRACTO

1. Diga qué cantidad de cuadrados hay en la figura dada

2. Observa con atención el siguiente gráfico y contesta ¿Cuántos triángulos existen?

Elija la figura que completa la serie.

a b c d


23

Señale la figura que completaría el espacio en blanco.

Elija la opción que completa la serie.

BIBLIOGRAFÍA

Matemáticas Moisés Villena Muñoz

DOC]Análisis de fórmulas de perímetros, áreas y volúmenes en...

www.profeperedo.cl/psu/otrosensayospsu/perimetros_y_areas1.doc

DOC]Ecuación de primer grado - Material Curricular Libre

www.mclibre.org/.../EJERCICIOS%20ECUACIONES%20PRIMER%20G...

[DOC]PROPOSICIONES LÓGICAS - matclase

matclase.pbworks.com/f/proposiciones.doc

[DOC]ejercicios repaso 4º eso. números reales - IES Jovellanos

www.iesjovellanos.com/archivos/NUMEROS_REALES.1276193070.doc

[DOC]GUIA NÚMERO 2

www.duoc.cl/matemática/material/material.../MAT1001G01012008.doc

http://www.profeperedo.cl/psu/otrosensayospsu/perimetros_y_areas1.doc

http://www.mclibre.org/otros/daniel_tomas/diversificacion/EJERCICIOS%20ECUACIONES%20PRIMER%20GRADO.doc

http://www.mclibre.org/.../EJERCICIOS%20ECUACIONES%20PRIMER%20G

http://matclase.pbworks.com/f/proposiciones.doc

http://www.iesjovellanos.com/archivos/NUMEROS_REALES.1276193070.doc

http://www.duoc.cl/matematica/material/material-clase/guias-MAT1001/MAT1001G01012008.doc


24

GUÍA

DE


25

ESTUDIO

INTRODUCCIÓN

Esta guía de estudio está encaminada a la resolución de situaciones problemáticas que posibilitan a los

estudiantes un mejor desarrollo de las competencias básicas del pensamiento matemático. Por esta

razón, el módulo presenta características muy singulares, tanto en los contenidos seleccionados, como

en la presentación y desarrollo de estos, que lo apartan notablemente de los modelos clásicos que

enmarcan los textos de enseñanza.

Se pretende que el estudio del módulo sea abordado por los estudiantes, a través del maestro que será el

facilitador de la propuesta.

OBJETIVO GENERAL DE LA GUÍA DE ESTUDIO

Constituir el comienzo de un cambio actitudinal, frente a la preparación de los estudiantes en

torno a las pruebas de admisión, mostrando que la mejor preparación, es el resultado consolidado de un

proceso a lo largo de la actividad académica seria y disciplinada y no el "adiestramiento inmediatista y

superficial" que se espera obtener en un tiempo breve.

OBJETIVO ESPECÍFICO

Desarrollar el pensamiento matemático y con sistemas propios de la matemática. Estos procesos

específicos se relacionan con el desarrollo del pensamiento numérico, espacial, métrico y aleatorio,

entre otros.


26

Adquirir habilidades intelectuales de gran importancia que permiten el llamado pensamiento

abstracto y la resolución de problemas complejos.

VALORES QUE SE DESARROLLARAN EN LA ASIGNATURA

Los valores que la asignatura de matemática que desarrollará en los estudiantes son: el orden, la

pulcritud, la honestidad y sobre todo el sentido de responsabilidad.

METODOLOGÍA DE TRABAJO

Se retoman las actividades anteriores y/o se proponen otras y se abordan con los referentes teóricos

propuestos.

La organización de los esquemas mentales, como resultado de la integración de las experiencias y

conocimientos previos con la nueva información, propicia el aprendizaje significativo en la dirección de

los conocimientos aceptados como válidos en determinada área del saber; en este caso de las

matemáticas.

PRIMERA SECCIÓN:

NÚMEROS REALES

Ejercicios en clases

1.- Ordena de menor a mayor los siguientes números:

a) 3'1426325 y 3'1426321

b) 2'273159 y 2'27316

2.- Determine si las siguientes frases son verdaderas o falsas.

a) Si a un número positivo se le resta un número negativo el resultado es positivo.

b) Si se suman dos números negativos el resultado es negativo.

c) Si resta dos números negativos, el resultado siempre es positivo.

d) Al sumar dos números negativos el resultado es siempre negativo.

e) Al multiplicar una cantidad par de números negativos el resultado es positivo.


3.- La suma de dos números enteros es 842 y el triple del menor de ellos es 522. ¿Cuál es el número

mayor?

4.- La distancia entre las ciudades A y B es de 520 km. Un automóvil sale de la ciudad A, a una

velocidad media de 65 kilómetros por hora., en dirección a la ciudad B. ¿Cuántas horas de demora en

realizar el trayecto?


27

5.- Siete hermanos compran una propiedad en $24.062.500, dividiendo en partes iguales el valor de la

propiedad. A los 5 años venden la propiedad y cada uno de ellos recibe $5.055.000, ¿Cuánto ganó cada

uno de ellos?

TALLER GRUPAL (GRUPO DE 4 ESTUDIANTES)

1.- Dí cuál de los dos números es mayor utilizando las expresiones fraccionarias:

a)9

5y

7

3

b)4

15y

3

13

2.- ¿Qué número es mayor: 5

4 o

6

5 ?. Razona la respuesta.

3.- Ordena de menor a mayor los siguientes números:

12 , 6

1 ; ; 1'1623 ;

10

15 ;

5

3 ; 3

4.- Un padre de familia deja una herencia de $ 127.160.000. La mitad de la herencia le corresponde a la

viuda y lo restante, en partes iguales, para sus 11 hijos. ¿Cuánto recibe cada heredero?

5.- Francisco necesita comprar 4 neumáticos para su camioneta. Cada uno le cuesta $52.500 y pagará, a

precio contado, en 8 cuotas iguales. ¿Cuál es el valor de cada cuota?

6.- Julio recibió $ 550.000 gastó la quinta parte para pagar sus estudios y la cuarta parte para reparar el

auto, ¿cuánto dinero le queda?

7.- Una pelota de goma cae de una altura de 80 centímetros sobre el piso, luego que rebota se eleva a

una altura igual a 4

3 de la altura que cayó. ¿A cuántos centímetros se eleva después del rebote?

NÚMEROS REALES


1.- Una botella de bebida contiene 4

7 litros de bebida. Se saca la bebida necesaria para llenar 5 vasos de

4

1 litro cada uno. ¿Cuánta bebida queda en la botella?

2.- Juan tiene una deuda de $680.000 y paga los 5

3 de ella. ¿Cuánto queda debiendo después del pago?

3.- Hay 5 gallinas y algunos gatos. En total hay 18 patas. ¿Cuántos gatos hay?

4.- En un bus viajan 40 personas. En una parada bajan 16 personas y suben 18. En la siguiente parada

bajan 28 y suben 13. ¿Cuántas personas continúan en el bus?

5.- Una piscina contiene 1.200 litros de agua cuando está llena hasta 4

1 de su capacidad.

a) ¿Cuál es la capacidad total de la piscina?

b) ¿Cuántos litros le faltan para llenarla?


28

POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN


Aplica las propiedades de la potenciación y escribe como una sola potencia:

( -3 )2 ( -3)3 ( -3)4 =

( x3 )2 . ( x4 )3 =

3

9

)6(

)6(

=

5.5

5.5.52

846

=

[ ( a3 )2 ( a2 )5 ]3

Aplica las propiedades de la radicación y calcula:

10081x =

1252163 x =

512)343(273 xx =

2536144 xx =

633 2543 xx =


Resolver:

a) 1.49162.4.24

b) 133210 2322

c) 8729236144 02

3

d)

0

2

1162542101002

e) 133210 2322


29

REGLA DE TRES Y PORCENTAJES


a) Una mecanógrafa escribe realizando 1470 pulsaciones cada 7 minutos. ¿Cuántas veces toca las

teclas de su máquina en 100 segundos?

b) Un productor de cine para realizar una película de 5 000 m de largo gasta 12 750 m de película.

¿Cuántos metros gastaría para una película de 1 200 m de longitud?

c) En el comedor de un colegio se gastan, en los 20 días lectivos de un mes, 2540 barras de pan.

¿Cuál ha sido el gasto de una semana (5 días lectivos)?

d) En el letrero de una farmacia aparece el siguiente cartel:

DESCUENTO A

JUBILADOS

70% + 30%

i) ¿Qué intentan decir?

ii) ¿Son gratis los medicamentos?

iii) ¿Cuánto deberá abonar un jubilado por un medicamento que cuesta $84?

iv) ¿Cuál es el porcentaje de descuento?

e) En un laboratorio hacen un 20% de descuento en época de rebajas, pero, además, ha de pagarse

el IVA, que es de un 21%. Al comprar un artículo ¿prefieres que el vendedor te haga primero el

descuento y después aplique el IVA o, al contrario, que primero aplique el IVA y después el descuento?

ECUACIONES DE PRIMER GRADO


1) 4x - 2 = 7x - (x + 3) + (-x - 6)

2) 2x + [2x - (x - 4)] = -[x - (5 - x)]

3) x - {5 + 3x - [5x - (6 + x)]} = -3

4) - {7x + [-4x + (-2 + 4x)] - (5x + 1)} = 0

5) - {-[-(-6x + 5)]} = -(x + 5)

6) -{4x - [-2x - (3x + 6)]} = 4 - {-x + (2x - 1)}

7) El exceso que tiene un número sobre 30, es igual al exceso que tiene 82 sobre el número. ¿Cuál es el

número?

8) Un número más el doble del número, más el triple del número, da 126. ¿Cuál es el número?

9) Si a un número se le agrega el triple del número disminuido en 4, resulta el doble del número

aumentado en 20. ¿Cuál es el número?

10) Un número aumentado en 8 es multiplicado por el mismo número disminuido en 4, obteniéndose el

número al cuadrado aumentado en 20. ¿Cuál es el número?


1. Si a cierto número se agrega 180, resulta 7 veces el exceso del mismo número sobre 60. ¿Cuál es el

número?


30

2. Cierto número aumentado en tres, multiplicado por sí mismo, es igual a su cuadrado más 24. ¿Cuál es

el número?

3. Si un número aumentado en 12 se multiplica por el mismo número disminuido en 5, resulta el

cuadrado del número más 31. ¿Cuál es el número?

4. Si al cuadrado de un número entero se agrega 17, se obtiene el cuadrado del número entero que sigue.

5. Si se resta un número de 923 se obtiene el mismo resultado que si se suma este número a 847. ¿Cuál

es el número?

6. ¿Qué número es aquel que aumentado en 3 unidades, resulta ser igual al exceso del doble del número

sobre 4?

SUCESIONES NUMÉRICAS

Los estudiantes deben completar los cuatro números que continúan en estas secuencias:

a) 8, 10, 12, _____, _____,_____,_____

b) 15, 18, 21, _____, _____,_____,_____

c) 40, 42, 44, _____, _____,_____,_____

d) 30, 33, 36, _____, _____,_____,_____

e) 32, 30, 28, _____, _____,_____,_____

f) 90, 88, 86, _____, _____,_____,_____

g) 15, 25, 35, _____, _____,_____,_____

h) 40, 45, 50, _____, _____,_____,_____

i) 17, 19, 21, _____, _____,_____,_____

j) 33, 30, 27, _____, _____,_____,_____

PERÍMETROS Y ÁREAS DE FIGURAS GEOMÉTRICAS


1.- Resuelve:

a) Encuentra las dimensiones de la base de un paralelepípedo rectangular de 720 cm3 y 15 cm. de

altura, si el largo de la base es el triple del ancho.

b) Si las dimensiones de un paralelepípedo son 4 cm., 5 cm. y 6 cm. Determina la medida de las

diagonales de las tres caras diferentes.


31

2.- Determina el perímetro del rectángulo cuya superficie es 24 cm2 y uno de sus lados mide 3 cm.

3. La cuarta parte de la superficie de un cuadrado es 9 cm2. ¿Cuánto mide su lado?

4. Calcula la medida del lado de un cuadrado cuyo perímetro es 64 cm.

5. Si el radio de una circunferencia es 6 m. ¿Cuánto mide el perímetro del cuadrado circunscrito a ella?

modulo razonamiento numÉrico y lÓgico · objetivo general de la asignatura fortalecer el...

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