MODULO N 01

IEP SEOR DE LA VIDA ALGEBRA 1 SEC.

MODULO N 11

Observa la figura y halla el rea total:

Es un cuadrado de lado (a + b), pero luego hacemos 2 cortes imaginarios tal que se forman figuras geomtricas, 2 cuadrados (lados = a y lados = b), y 2 rectngulos tenemos:

rea total = (a + b)2 ..... (()

Ahora sumemos partes :

Cuadrado : a2Cuadrado : b2Rectngulo : ab

Rectngulo : ab

a2 + ab + ab + b2 ( a2 + 2ab + b2

que tambin es el rea total; entonces igualando : (a + b)2 ( a2 + 2ab + b2PRODUCTOS NOTABLES

Son los resultados de ciertas multiplicaciones indicadas que se obtienen en forma directa sin necesidad de aplicar la propiedad distributiva, ello por la forma como la presentan.

1. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Es el desarrollo del binomio suma o diferencia al cuadrado.

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

TCP

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

El desarrollo de un binomio suma al cuadrado nos da el cuadrado del primer trmino, ms el doble del primer trmino por el segundo trmino, ms ste elevado al cuadrado.

Ejemplo:

Efectuar: (m + 3)2.

Cuadrado del primero

m2.

Doble del primero por el segundo 2(m) (3) = 6m

Cuadrado del segundo

32 = 9

Luego:

Ejemplos:

(a + 3)2 = a2 + 6a + 9

(2x + 5)2 = 4x2 + 20x + 25

(x - 7)2 = x2 14x + 49

(3x - 1)2 = 9x2 6x + 1

(x + 6)2 =

(4x + 3)2 =

(m - 4)2 =

(5m - 2)2 =

2. DIFERENCIA DE CUADRADOS

Es el resultado generado de la multiplicacin del binomio suma por su diferencia.

(a + b) (a - b) = a2 b2

Ejemplo:

Efectuar: (2x + 5) (2x 5)

Cuadrado del primero: (2x)2 = 4x2

Cuadrado del segundo: (5)2 = 25

Luego:

Ejemplos:

(x + 3) (x - 3) = x2 - 9

(3x + 5)(3x - 5) = 9x2 25

(2x3 + 5)(5 2x3) = 25 4x6 (x + 7)(x - 7) =

(2x 4)(2x + 4) =

(x4 + 8)(8 x4) =

3. BINOMIO AL CUBO (SUMA)

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

= a3 + b3 + 3ab(a + b) *BINOMIO AL CUBO (DIFERENCIA)

(a - b)3= a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

= a3 - b3 - 3ab(a - b) *Ejemplos: (x + 3)3 = (a - 5)3= (y + 2)3 = (m - 1)3 =

4. SUMA DE CUBOS(a3 + b3) = (a + b)(a2 ab + b2)

DIFERENCIA DE CUBOS(a3 - b3) = (a - b)(a2 + ab + b2)

Ejemplo

Efectuar: (x + 2) (x2 2x + 4)

Antes de realizar la multiplicacin notable, debemos de aclarar que no se trata de una multiplicacin de un binomio por un trinomio cualquiera; sino de dos factores que cumplen con ciertas condiciones.

Reconociendo trminos:

Ejemplos: (x + 2)(x2 2x + 4) = x3 + 23 = x3 + 8

(y - 5)(y2 + 5y + 25) = y3 53 = y3 125

(2x + 3)(4x2 6x + 9) = (2x)3 + 33 = 8x3 + 27

(5x - 1)(25x2 + 5x + 1) = (5x)3 13 = 125x3 - 1 (a + 4)(a2 4a + 16) =

(m - 2) ( ) = m3 - 23 (4x + 3) ( ) = (4x)3 + 33 (x2 - 2) (x4 + 2x2 + 4) =

5. PRODUCTO DE BINOMIOS CON UN TRMINO COMN

(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab

Ejemplo 01:

Efectuar: (x + 3) (x + 8)

Cuadrado del trmino comn

x2

Suma de los trminos no comunes

3 + 8 =11

Producto de esta suma por el trmino comn11x

Producto de los trminos no comunes

3x8 = 24

Luego: (x + 3) (x + 8) = x2 + 11x + 24

Ejemplo 02:

Efectuar: (x + 5) (x 2)

Cuadrado del trmino comn

x2

Suma de los trminos no comunes

5 + (2) = 3

Producto de esta suma por el trmino comn 3x

Producto de los trminos no comunes

(5)(2)= 10

Luego: (x + 5)(x 2)= x2 + 3x 10

Ejemplos: (x + 2) (x + 1)=x2 + (2 + 1)x + 2 . 1

=x2 + 3x + 2

(x + 1) (x + 3)=x2 + (1 + 3)x + 1 . 3

=x2 + 4x + 3

(x + 4) (x - 1)=x2 + [4 + (-1)]x + (4) (-1)

=x2 + 3x 4

(x - 5) (x 3)=x2 + [-5 + (-3)]x + (-5)(-3)

=x2 8x + 15

(x - 7) (x + 1)=x2 + (-7 + 1)x + (-7) (1)

=x2 6x 7

Ahora tu!

(x + 1) (x + 5) =

(x + 2) (x + 3) =

(x + 3) (x - 1) =

(x - 2) (x - 1) =

(x 2) (x + 1) =

Ejercicios NIVEL I

1. (x + 1)(x + 2)

2. (x + 2)(x + 3)

3. (x + 3)(x + 4)

4. (x + 4)(x + 5)

5. (x + 4)(x 1)

6. (x 2)(x + 4)

7. (x 4)(x + 1)

8. (x 5)(x + 3)

9. (x 1)(x 2)

10. (x + 4)(x 5)

11. (x 2)(x 3)

12. (x 5)(x 4)

13. (x + 1)2

14. (x + 2)2

15. (5x + 3)2

16. (3x + 4)2

17. (x + 2y)218. (2x + 3)2

19. (x 1)2

20. (x 2)2

21. (x 3)2

22. (2x 1)2

23. (3x 2)224. (x 3y)2

25. (x + 2)(x - 2)

26. (x - 3)(x + 3)

27. (x + 4)(x - 4)

28. (x + 5)(x - 5)

29. (6 + x)(x - 6)

30. (3 + x)(x - 3)

31. (x + 7)(7 - x)

32. (2x + 1)(2x - 1)

33. (3x + 2)(3x - 2)

34. (4x + 3)(4x - 3)

35. (x2 + 2)(x2 - 2)

36. (x3 - 5)(x3 + 5)

37. (x + 1)3

38. (x + 2)3

39. (x + 3)3

40. (x + 4)3

41. (x2 + 2)3

42. (x3 + 1)3

43. (2x + 2)3

44. (x - 3)3

45. (x - 2)3

46. (x - 1)3

47. (x2 - 2)3

48. (3x - 2)3

1. Simplificar:

a) 1b) 2 c) 3

d) 4e) 8

2. Reducir:

a) 0b) 1 c) 2

d) 3e) 5

3. Reducir:

A = (a + b) (a b) + b2 + a2a) 0b) 1 c) a2d) b2e) 2a2

4. Simplificar:

L = (x + 1) (x 1) x2a) 1b) 0 c) 1

d) 2e) x

5. Efectuar:

L = (x + 1) (x 1) (x + 1)2a) 2b) 2x c) 2x- 2

d) 0e) 1

6. Simplificar:

a) 1b) 2 c) 3

d) 4e) 5

7. Calcular:

(x + 1) (x 2) (x 3) (x + 2)

a) 4b) -8c) 2

d) 6e) N.A.

8. Reducir:

(x - 3) (x -1) (x 5) (x + 1)

a) 2b) 5c) 8

d) 4e) N.A.

9. Reducir:

(x + 2) (x + 3) x (x + 5)

a) 5b) 6c) 7

d) 8e) N.A.

10. Reducir:

a) 4

b) 8

C) 4

d) 8

e) 2

11. Efectuar:

a) 8b) 16c) 2

d) 2

e)

12. Hallar:

a) 48b) 4

c) 100

d) 10e) 24

13. Reducir:

a) 1b)

c) 1

d)

e)

14. Si tenemos el terreno rectangular:

Entonces, cul ser su rea?

a) x2 + 14x + 9 b) x2 9x 14

c) x2 + 5x 9 d) x2 9x + 5

e) x2 + 9x + 14

15. Reducir:

(x + 1)(x+2) - (x + 3) (x + 4) + 4(x + 1)

a) 2x 5b) 6c) 12x + 8

d) 5e) N.A.16. Si:

a + b = 7

a . b = 10; hallar: a2 + b2a) 29b) 49c) 39

d) 109e) 69

17. Sabiendo que:

a + b = 5

a2 + b2 = 13; Hallar ab

a) 2b) 4c) 6

d) 8e) 9

18. Calcular:

(x + 1)(x - 2) - (x - 3)(x + 2)

a)-4b)-8c)2

d)6e)4

19. Reducir:

(x - 3)(x - 1) - (x - 5)(x + 1)

a)2b)5c)8

d)4e)6

20. Efectuar:

(x + 3)(x - 6) - x(x - 3)

a)-9b)3c)-3

d)6e)-18

21. Efectuar:

(x + 2)2 - (x - 2)2

a)4b)0c)8x

d)4xe)16x

22. Efectuar:

(x + 1)2 + (x - 1)2 - 2x2

a)x2b)2c)0

d)4x2e)-x223. Efectuar:

(x + 3)2 - (x - 3)2

a)12b)0c)4x

d)18xe)12x

24. (x - 6) (x + 3) + 3x + 18

a) 1

b) 3x

c) x2d) 18

e) 3x + 18

25. (x - 3) (x + 4) x2 x + 10

a) 2

b) x2

c) 2

d) x

e) 0

26.

a) 1

b) 5

c) y

d) 1/5

e) y

27. (3 + x) (3 - y) (3x 3y - xy)

a) 0

b) 3

c) 9

d) 1

e) 0

28. = E, cunto vale E?

a) 2a

b) 3b

c) ab

d) 1

e) 4ab

29. = E, cunto vale E?

a) 2 b) 1/2

c) a2 + b2d) a b

e) a + b

30. E = (- ) ( + + )

a) 6

b) 4

c) 10

d) 6

e) 2

31. E = (2 + ) (4 - 2 + )

a) 0

b) 4

c) 16

d) 8

e) N.A.

32. E = (1 + y) (1 y + y2) y3a) 1

b) 2

c) 3

d) y

e) y233. E = (3 - ) ( + 3 + 9) 23

a) 1

b) 2

c) 2

d) 1

e) 0

34. E = (+) (-+)- 14

a) 1

b) 0

c) 2

d) 1

e) 2935. Resolver:

(7 + x)(7 - x) + (x + 1)(x - 1) + (x + 4)(x - 4) + (5 + x)(5 - x) a) 45 b) 57 c) -51 d) 53e) -4736. Resolver: (x + 1)3

a) x2 + 3x + 3x2 + 1 d) x3 + 3x + 3x2 + 3

b) x3 + 3x2 + 3x +1e) x3 + 1

c) x3 + x2 + x + 1

37. Calcular: (x + 3)3

a) x3 + 9x2 + 27x + 27 d) x3 + 27x2 + 27x + 9

b) x3 + 3x2 + 9x + 27 e) x3 + 27x2 + 9x + 9

c) x3 + 27x2 + 9x + 27

38. Calcular: (x + 5)3

a) x3 + 25x2 + 5x + 125 d) x3 + 25x2 + 45x + 125

b) x3 + 15x2 + 75x + 125 e) x3 + 75x2 + 45x + 125

c) x3 + 12539. Resolver: (2x + 3)3

a) 2x3 + 16x2 + 24x + 9 d) 4x3 + 18x2 +9x + 9

b) x3 + 18x2 + 24x + 9e) N.A.

c) 8x3 + 36x2 + 54x + 27

40. Resolver: (x - 4)3

a) x3 - 12x2 + 48x + 64 d) x3 - 24x2 + 48x - 64

b) x3 + 24x2 - 48x 64e) x3 - 64

c) x3 - 12x2 + 48x - 64

41. Efectuar: (3x - 1)3

a) 27x3 - 27x2 + 9x 1 d) 27x3 + 27x2 - 9x + 1

b) 9x3 - 27x2 + 27x 1 e) 3x3 - 54x2 + 27x - 1

c) 3x3 - 9x2 + 27x - 1

42. Resolver: (x + 2)3 + (x - 2)3 - 2x3

a) -24x b) 2x3c) 24x

d) 0e) -2x3

1) Simplifica :

3(

a) 5

b) 12

c) -17

d) 20e) -12

2) Calcula la diferencia entre :

2 y

3

a) 1

b) 2

c) -5

d) 6

e) -7

3) Efecta :

(t + 2)(t2 - 2t + 4) - (t - 2) (t2 + 2 t + 4)

a) 8

b) 10

c) 16

d) 20

e) 24

4) Efecta :

(x + 1)3 + (x 1)3 2x3

a) 5

b) 6X

c) 2X

d) 4Xe) N.A.

5) Efecta :

(2x-1)(2x+1)(4x2+1)(16x4+1)+1-256 x 8a) 5

b) 3

c) 1

d) 0

e) -1

6) Si : a + b = 5 ; ab = 2

Calcula : a2 + b2

a) 21 b)

c) 5

d) 17 e) 25

7) Sabiendo que : x + y = 8; xy = 4

Halla el valor de : P = x2 + y2a) 3 b) 2 c) 52 d) 4 e) 56

8) Halla el equivalente de :

A = (a-1)(a+1)(a2+1)(a4+1)+1

a) 1b) ac) a8d) a4e) -1

9) Efecta :

(x + 1)(x + 2) - (x + 3)2 + (x - 3)2 - (x - 4)(x - 5)

a) 14 b) 16

c) 18

d) 20

e) -22

10) Reduce :

(x + 3)2 - (x + 2)2 + (x + 4)2 - (x + 5)2

a) 4 b) 3

c) 2

d) 1

e) 0

11) Efecta :

(5x + 4)(4x + 5) 20 (x + 1)2

a) 3x b) xc) 0d) xe) 3x

12) Reducir:

A = (2x + 3)2 (2x - 3)2 + (3x - 4)2 8x2 - 16

a) 0

b) 2

c) x

d) x2

e) 2x213) Efectuar:

a) x2

b) 1

c) 0

d) 2x2

e) 2

14) Reducir:

a) 15

b) 20 c) 25

d) 60

e) 67

15) Simplificar:

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 6

16) Efectuar:

E = (x + 2)(x - 2)(x2 + 4)(x4 + 16) + 256

a) x

b) x2

c) x4d) x6

e) x817) Multiplicar:

M = (x + 1)(x2 + x + 1)(x - 1)(x2 x + 1) + 1

a) x3

b) x4

c) x6d) x9

e) N.A.

18) Efectuar:

a) 1

b) 10

c) 2

d) 8

e) 1

19) Reducir:

A = (xn + 8)(xn + 2) (xn + 3)(xn + 7)

a) xn

b) x2n c) 2xnd) -5

e) -1

20) Hallar el valor de A si:

a) 2/3 b) 4/3c) 5/3 d) 3/4e) 5/4

21) Reducir:

a) 2b) 3 c) 4 d) 5

e) 6

22) Reducir:

a) 2b) 3 c) 4 d) 5

e) 6

23) Reducir:

a) 2b) 3 c) 4 d) 5

e) 1

24) Simplificar:

a) 2b) 3 c) 4 d) 5

e) 6

25) Efectuar:

a) 1 b) 2 c) -1 d) -2 e) x

26) Reducir: a) 12 b) 121 c) 144 d) 81 e) 18

27) Evaluar:

a) 9

b) 3 c) 81

d) 1

e) 6

28) Si: (x + 1)3 ( ax3 + bx2 + cx + b

Hallar:

a) 1

b) 3

c) 4

d) 1/3

e) 2/3

29) Simplificar: [(x + 3) (x 3) + 10] [(x 4) (x + 4) + 15] + 1

a) x4 1b) 1 + x4c) x2

d) x4e) x4 + x230) Simplificar:

a)

b) x4c) 4 x2

d) x4 x2e) x431) Efectuar: M = 8436 976 2 8436 975 2

a) 18 673 901b) 16 738 591 c) 16 873 951

d) 14 863 951e) 26 873 951

32) Simplificar:

a) 7b) 12c) 1

d) 0e) 7

33) Efectuar:

a) 5b) 25c) 125

d) 1e) 625

34) Efecta:

a) 3

b) 2

c) 5

d) 3

e) 1

35) Calcular:

a) 32b) 4 c) 15 d) 36 e) 8

Explican correctamente los principales productos notables, y su utilizacin directa en la resolucin de ejercicios.

CAPACIDADES

a

Las equivalencias que aparecen con asterisco son para problemas con condicin.

Diferencia de Cuadrados

ACTIVIDAD EN EL AULA

3

2

1

4

b

b

a

1

2

3

4

x+7

x+2

ACTIVIDAD DOMICILIARIA

PAGE Lic. Jos Azaero Snchez www.iepsenordelavida.edu.pePgina 2

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