módulo ii final.pdf

7/25/2019 Mdulo II final.pdf

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"Decenio de las Personas con Discapacidad en el Per 2007 - 2016""Ao de la consolidacin del Mar de Grau"

Mdulo II: REGULARIDAD, EQUIVALENCIA Y CAMBIO

1a , 2a , 3a , , na ,

Nnn

a

denotaremos una sucesin de nmeros reales, donde na representa

el trmino n-simo de dicha sucesin.

Definicin 2.1. (Sucesin)

Una sucesin de nmeros reales es una funcin : . Los trminos de

la sucesin son los valores de la funcin.

De acuerdo con esta definicin, si Nnna es una sucesin, entonces a cada

nmero natural n le corresponde un nico nmero real nf . En las sucesiones,

Los laboratorios de microbiologa toman muestras del paciente y del

medio ambiente para identificar las bacterias que presentan. Para

realizar la identificacin bacteriana las muestras se siembran en

diferentes medios de cultivo. De este modo, los tcnicos del laboratorio

proveen a las bacterias de un medio apropiado para su crecimiento.

Una vez que las bacterias hayan crecido, se cuentan e identifican. Esto

ayuda a los mdicos a saber qu y cuntas bacterias hay en la

muestra; informacin que es clave para lidiar con los microorganismos.

Un cultivo tiene inicialmente 5000 bacterias y su tamao aumenta en

8 % cada hora. Cuntas bacterias estn presentes al trmino de 5

horas?

Sucesiones

Una sucesin es un conjunto de nmeros que estn escritos en un orden

establecido. Esto significa que toda sucesinal estar sus trminos debidamente

ordenados tiene un primer trmino, un segundo trmino, un tercer trmino y

as sucesivamente. As por, ejemplo, la sucesin de nmeros 13, 11, 14, 12

corresponden a las calificaciones obtenidas por un estudiante de cuarto gradodel rea Matemtica en sus cuatro prcticas calificadas. Si una sucesin tiene

un trmino ltimo se denomina sucesin finita, si no tiene un trmino ltimo sedenomina sucesin infinita. En lo sucesivo llamaremos simplemente sucesiones alas sucesiones infinitas.

Los nmeros que forman la sucesin se llaman trminos. Usamos nmeros

naturales como subndices para identificar el lugar que ocupa un trmino en la

sucesin. Esta escritura permite distinguir un trmino de otro de la misma

sucesin.

Con


2/43

por lo general, escribimos na en lugar de nf y su clculo depende de la reglaparticular de la funcin.

Definiendo una sucesin a partir de su trmino general

Una sucesin de nmeros reales queda definida por medio de su trmino general

o n-simo. As para la sucesin Nnn

a

, cuyo trmino general es na , dando

valores naturales a n : 1 , 2 , 3 , obtenemos los trminos de la sucesin.

Ejemplo 1

Escriba los cuatro primeros trminos de la sucesin Nnn

a

definida por

nnan2

13 .

Resolucin

Tenemos la sucesin Nnna definida por

n

nan

2

13 .

En el trmino general, dando valores a n resulta:

1n :

12

1131

a 11 a

2n :

22123

2

a

4

52

a

3n :

32133

3

a

3

43

a

4n :

42143

4

a

8

114

a

Ejemplo 2


x

definida por

nnx 1

Resolucin

Tenemos la sucesin Nnn

x

definida por nnx 1 .

En el trmino general, dando valores a n resulta:


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1n : 11

1x 11 x

2

n : 2

2 1x 12

x

3n : 33

1x 13 x

4n : 44

1x 14 x

Ejemplo 3

Escriba los cinco primeros trminos de la sucesin Nnn

b

definida por 31

b y

nbmnbn

,1

.

Resolucin


b

definida por 31

b y n,bmnbn 1 .

Dado que 31

b la regla del trmino general se puede reescribir como n,mnbn 3 .

Al aplicar esta regla, para un n dado, debemos escoger el menor (mn) de los

valores que resulte de comparar 3 y n.

1n : 131

,mnb 11 b

2n : 232

,mnb 22 b

3n : 333

,mnb 33 b

4n : 434

,mnb 34 b

5n : 535

,mnb 35 b

Nnn

a

1na a partir del trmino na . Cuando de una sucesin se conoce su

trmino n-simo podemos calcular cualquier trmino de la sucesin en formaindependiente de cualquier otro. Por el contrario, cuando se conoce la frmula de

recurrencia de una sucesin, para hallar un trmino cualquiera es necesario

conocer el trmino anterior. Es decir que recurrimos al trmino na para calcular

1na .

Ejemplo 4

de nmeros reales tambin queda definida si se conoce el

primer trmino de la sucesin y una regla o ley de formacin para obtener el

trmino

Definiendo una sucesin a partir de una frmula de recurrencia

Una sucesin


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a

definida por 31 a ,

nn aa

1

21

.

Resolucin

Tenemos lo siguiente:

Primer trmino de la sucesin: 31 a

Frmula de recurrencia:n

na

a1

21

A partir de la frmula de recurrencia, dando valores a n tenemos:

1n :1

11

12

aa

3

122 a

3

72

a

2n :2

12

12

aa

7

323 a

7

173 a

3n :3

13

12

aa

17

72

4 a

17

414 a

Nnn

b

definida por 21 b ,

nn bb 21 .

Resolucin

Tenemos lo siguiente:

Primer trmino de la sucesin: 21 b

Frmula de recurrencia nn bb 21

A partir de la frmula de recurrencia, dando valores a n tenemos:

1n :111

2 bb 222 b

2n : 212 2 bb 2223 b

3n : 313 2 bb 22224 b

Ejemplo 5

Escriba los cuatro primeros trminos de la sucesin


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Definicin 2.2. (Progresin aritmtica)

Una progresin aritmtica es una sucesin Nnn

a

tal que para todo

se tiene que raa nn 1 , donde r es una constante.

Una progresin aritmtica es una sucesin en la cual la diferencia de dos

trminos consecutivos es siempre una constante. Esta constante es llamada

diferencia comn o razn de la progresin aritmtica.

As, por ejemplo, la sucesin Nnn

a

dada por 13 nan , cuyos primeros

trminos son 21

a , 52

a , 83

a , 114

a , 145

a forman una progresin

aritmtica de razn 3.

1a y la razn r de una progresin aritmtica se

puede encontrar los otros trminos de la progresin a partir de la siguiente

expresin rnaan 11 , donde .

Segn sean los valores de r podemos clasificar la progresin aritmtica como:

- Si 0r

0r : progresin aritmtica estrictamente decreciente.

- Si 0r

Nnn

a

tal que para todo

se tiene que ka

a

n

n 1 , donde k es una constante.

Una progresin geomtrica es una sucesin en la cual el cociente de dos

trminos consecutivos es siempre una constante. Esta constante es llamada

razn de la progresin geomtrica.

El trmino de lugar n en una progresin aritmtica est dado por

rnaan 11

donde1

a es el primer trmino, r la razn de la progresin y .

Dado que en una progresin aritmtica la diferencia de dos trminosconsecutivos es constante, entonces para hallar el trmino que sigue a un

trmino dado basta con sumarle a este la razn constante (diferencia).

Observacin

Conocidos el primer trmino

: progresin aritmtica constante.

Definicin 2.3. (Progresin geomtrica)

Una progresin geomtrica es una sucesin

: progresin aritmtica estrictamente creciente.

- Si


6/43


a

dada por nna 2 , cuyos primeros trminos

son 21

a , 42

a , 83

a , 164

a , 325

a forman una progresin geomtrica de

razn 2.

Dado que en una progresin geomtrica el cociente de dos trminos consecutivos

es constante e igual a la razn, entonces para hallar el trmino que sigue a un

trmino dado basta con multiplicarle a este la razn.

Observacin

Conocidos el primer trmino1

a y la razn k

1

1

nn kaa , donde .

Segn sean los valores de k podemos clasificar la progresin geomtrica como:

- Si 1k : progresin geomtrica estrictamente creciente.

- Si 10 k

: progresin geomtrica estrictamente decreciente.

- Si 1k : progresin geomtrica constante.

- Si 0k : progresin geomtrica oscilante.

Sumatoria

Sea una sucesin de nmeros reales Nnn

a

, cuyos primeros trminos son1

a , 2a

, 3a , na , llamamos sumatoria a la suma de dichos trminos.

Ejemplo 6

Considere la sucesin Nnn

a

dada por 13 nan , cuyos primeros trminos son

21

a , 52

a , 83

a , 114

a , 145

a . De aqu tenemos lo siguiente:

321

3

1

aaaa

i

i

8523

1

i

ia

El trmino de lugar n en una progresin geomtrica est dado por

1

1

nn kaa

donde1

a es el primer trmino, k la razn de la progresin y .

Denotamos con

n

i

ia1

la sumatoria de los n primeros trminos de

la sucesin Nnn

a

, donden

n

i

i a...aaaa

321

1

.

de una progresin geomtrica se

puede encontrar los otros trminos de la progresin a partir de la siguiente

expresin


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"Decenio de las Personas con Discapacidad en el Per 2007 - 2016"

"Ao de la consolidacin del Mar de Grau"

153

1

i

ia

54321

5

1

aaaaaa

i

i

14118525

1

i

ia

405

1

i

ia

Sumatoria de progresiones

Sumatoria de los n primeros trminos de una progresin aritmtica

Nnn

a

de razn r :

1

1

1

2

n

i

i

n r

a a n

naa

a n

n

i

i

2

1

1

Sumatoria de los n primeros trminos de una progresin geomtrica

Nnn

a

de razn k .

k

kaa

nn

i

i1

1

1

1

donde 1k

Sucesiones montonas

Una sucesin Nnn

a

es montona si es creciente o decreciente. La sucesin

Nnn

a

es montona creciente sin

a aumenta conforme n aumenta. La sucesin

Nnn

a

es montona decreciente sin

a disminuye conforme n aumenta.

Definicin 2.4. (Sucesin creciente)

Decimos que la sucesin Nnn

a

es creciente si para todo se cumple

quenn

aa 1

.

Definicin 2.5. (Sucesin estrictamente creciente)


a

es estrictamente creciente si para todo

se cumple quenn

aa 1

.


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Definicin 2.6. (Sucesin decreciente)


a

es decreciente si para todo se

cumple quenn

aa 1

.

Definicin 2.7. (Sucesin estrictamente decreciente)


a

es estrictamente decreciente si para todo

se cumple quenn

aa 1

.


a

definida porn

an1

es una sucesin

montona estrictamente decreciente ya que sus trminos 11 a ,212 a ,

313 a ,

4

1

4 a ,

5

15 a , disminuyen conforme n aumenta: ...aaaaa

54321. De

manera formal escribimos que1n n

a a

, .

Dado que una sucesin es una funcin con dominio su grfica estar formada

por puntos aislados, de la forma nn,a , que nos estn conectados. A

continuacin mostramos la grfica de la sucesin Nnna

definida porn

an

1 ,

donde podemos notar claramente el comportamiento estrictamente decreciente.

Sucesiones acotadas

Una sucesin Nnn

a

es acotada si ninguno de sus trminos es mayor que un

cierto nmero real pero tampoco es menor que otro nmero real. Diremos que

una sucesin tiene cota superior si ninguno de los elementos de la sucesin es

mayor que un cierto nmero real y que tiene cota inferior si ninguno de los

elementos de la sucesin es menor que un cierto nmero real. Una sucesin ser

acotada si tiene tanto cota superior como cota inferior.


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Definicin 2.8. (Sucesin acotada superiormente)

Una sucesin Nnn

a

est acotada superiormente si existe un nmero

real M , tal que Man para toda .

Definicin 2.9. (Sucesin acotada inferiormente)

Una sucesin Nnn

a

est acotada inferiormente si existe un nmero real

K , tal que Kan para toda .

Definicin 2.10. (Sucesin acotada)

Nnn

a

est acotada si existen los nmeros reales M y K , tal que

MaKn para toda .

Ejemplo 7

Probar que la sucesin Nnn

b

definida por34

13

n

nbn

es acotada.

Resolucin

Tenemos:34

13

n

nbn

34

1

4

5

4

3

nbn

Dado que , 1n : 734 n 7

1

34

10

n

Multiplicamos por4

5 : 0

34

1

4

5

28

5

n

Sumamos43 : 0

43

341

45

43

285

43

n

4

3

7

4 nb

Dado que4

3

7

4

nb , , esto prueba que la sucesin es acotada.

Ejemplo 8


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Sea la sucesin Nnn

b

definida por 11 b y 32

4

11

nn

bb para 2n .

a. Probar que la sucesin Nnn

b

es tal que3

2n

b , .

b. Probar que la sucesin Nnn

b

es estrictamente creciente.

c. Probar que la sucesin Nnn

b

es acotada.

Resolucin


b

dada por: 11 b y 32

4

11

nn

bb

Primera parte:

Probaremos, utilizando el mtodo de induccin, que3

2n

b , .

1) Dado que2

31 y que 1

1 b , entonces

2

31b

Esto prueba que2

3nb es verdadera para 1n .

2)

Suponemos verdadero que 2

3

nb parakn

, es decir 2

3

kb

3) Si2

3

kb 32 kb

632 k

b

4

632

4

1

kb

2

31

kb

Esto prueba que2

3nb es verdadera para 1 kn .

De 1), 2) y 3) por induccin matemtica concluimos que2

3nb para todo .

Esto ltimo prueba la sucesin es acotada superiormente.

Segunda parte:

Dado que 32

4

1

1

nn bb

nnnn bbbb

324

1

1


11/43



nnn

bbb2

1

4

31

()

Dado que2

3

nb

4

3

2

1

nb

02

1

4

3

nb ()

De () y () se desprende que 01

nn bb , es decir que nn bb 1 para todo ,

lo que prueba que la sucesin Nnn

b

es estrictamente creciente.

Tercera parte:

1. Dado que la sucesin Nnn

b

es estrictamente creciente, entonces es

acotada inferiormente. El primer trmino de la sucesin, 11 b , es cota

inferior de esta sucesin y por tanto 1n

b para todo .

2. De la primera parte obtuvimos que2

3nb para todo .

De 1. y 2. tenemos que3

12

nb para todo , lo que prueba que la sucesin

es acotada.

Convergencia de una sucesin

Una sucesin Nnn

a

puede tener la propiedad de que cuando n aumenta cada

vez ms, los trminosn

a se aproximan a un nico nmero real. En estos casos

diremos que la sucesin es convergente y tiene como valor lmite dicho nmero

real.

Definicin 2.11. (Lmite de una sucesin)

Si la sucesin Nnna converge al nmero real L , decimos que L es el

lmite de la sucesin.

Proposicin 2.1.

Toda sucesin montona y acotada es convergente.

Proposicin 2.2.

Toda sucesin convergente es acotada.

Si el lmite de una sucesin existe, entonces este lmite es nico y la sucesinconverge. Si el lmite no existe, entonces la sucesin no converge. Las sucesiones


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que no convergen a un nmero real son llamadas divergentes. Son divergentes

aquellas sucesiones en las que, cuando n aumenta cada vez ms, sus trminos

aumentan (o disminuyen) ilimitadamente. Esto es aquellas sucesiones quetienden al infinito.

Veamos el caso de la sucesin Nnn

c

definida porn

ncn

1 . Sus primeros

cinco trminos son 01c ,

2

12 c ,

3

23 c ,

4

34 c ,

5

45 c . Se puede probar que

dicha sucesin es montona (estrictamente creciente) y acotada ( 0 1n

c ,

). Esta sucesin es tal que cuando n aumenta cada vez ms los trminos

nc crecen y se acercan cada vez ms a 1, tal como se nota en los siguientes

grficos.

De aqu podemos afirmar que la sucesin Nnn

c

, definida porn

n

cn

1 ,

converge a 1.

c1 c2 c3 c4 c5c6

0 1


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El texto chino Nueve captulos sobre el Arte Matemtico fuecompuesto durante la poca Han (entre los aos 206 a. C. y 221 de

nuestra Era) por un autor desconocido que se pudo inspirar en un

trabajo anterior, destruido en un incendio que tuvo lugar en los

tiempos del emperador Chin Shih Huang (siglo III a. C.). El captulo

octavo del libro se consagra a la resolucin de sistemas de

ecuaciones lineales por el mtodofangcheng. Salvo excepciones seresuelven problemas en los que hay tantas ecuaciones como

incgnitas.

Hay tres tipos de cereales. Tres haces de la primera clase,

dos de la segunda y uno de la tercera produce 39 medidasde grano. Dos haces de la primera clase, tres de la segunday uno de la tercera produce 34 medidas de grano. Un haz dela primera clase, dos de la segunda y tres de la terceraproducen 26 medidas de grano. Cuntas medidas de granoproducen un haz de cada clase?

El mtodo se puede describir considerando la matriz

1 2 3

2 3 2

3 1 1

26 34 39

Despus de esto la matriz se convierte en una triangular mediante

la aplicacin reiterada de las dos tcnicas siguientes:

1. Bianchengque consiste en multiplicar todos los elementos deuna columna por el nmero situado en la parte superior de

una columna situada a su derecha.

2. Zhichu que consiste en efectuar tantas veces como sea

posible una serie de sustracciones, trmino a trmino, entre

los elementos de una columna y los elementos

correspondientes de otra columna situada a su derecha,

hasta la eliminacin del nmero situado en la parte superior

de la primera.

Adaptado de Meavilla, V. (2013). Cunto vale la x?


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Sistemas de ecuaciones lineales

Definicin 2.12. (Ecuacin lineal)

Una ecuacin lineal n con incgnitas es una ecuacin que se puede poner

de la siguiente forma:

1 1 2 2 ... n na x a x a x b

donde 1 2, ,..., na a a y b son nmeros reales llamados coeficientes y

1 2, ,...,

nx x x son las incgnitas a priori desconocidas.

Una solucin de una ecuacin es una asignacin de valores a las incgnitas de

forma que se verifique la igualdad. As, por ejemplo, la ecuacin1 2

3 17x x es

una ecuacin lineal en las incgnitas1

x y2

x . El par 1 2, 4,5x x es solucin

de esta ecuacin ya que si sustituimos 4 y 5 en la ecuacin1 2

3 17x x en

lugar de1

x y2

x , respectivamente, se obtiene una igualdad numrica lcita:

3 4 5 17 . Del mismo modo la ecuacin 1 27 9x x tambin es una

ecuacin lineal en las incgnitas1

x y2

x . Sin embargo el par 1 2, 4,5x x no

es solucin de esta ecuacin. Al sustituir1

x por 4 y2

x por 5 en1 2

7 9x x

no se verifica la igualdad: 4 7 5 9 .

Diremos que dos ecuaciones forman un sistema de ecuaciones lineales cuando

buscamos encontrar la solucin que es comn a ellas. As tenemos que

1 2

1 2

3 17

7 9

x x

x x

es un sistema de ecuaciones. Su solucin est dada por el par 1 2, 5,2x x ya

que este par verifica las dos ecuaciones incluidas en el sistema.

Definicin 2.13. (Sistema de ecuaciones lineales)

Un sistema de mecuaciones lineales con n incgnitas es un conjunto de

mecuaciones lineales en las mismas n incgnitas.

Definicin 2.14. (Solucin de un sistema de ecuaciones lineales)

Decimos que la coleccin de nmeros reales 1 2, ,..., n es solucin del

sistema de mecuaciones lineales con n incgnitas


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11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

...

...

.........................................

...

n n

n n

m m mn n m

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

si al sustituir en cada ecuacin del sistema los nmeros de la coleccin,

en lugar de las correspondientes incgnitas1 2

, ,...,n

x x x , se obtienen m

igualdades numricas lcitas.

Resolver un sistema de ecuaciones lineales significa hallar todas sus soluciones o

demostrar que el sistema no tiene soluciones.

Definicin 2.15. (Sistema compatible)

Un sistema de ecuaciones lineales es compatible (consistente) si tiene por

lo menos una solucin.

Definicin 2.16. (Sistema incompatible)

Un sistema de ecuaciones lineales es incompatible (inconsistente) si no

tiene soluciones.

Definicin 2.17. (Sistema compatible determinado)

Un sistema de ecuaciones lineales es compatible determinado si tiene una

solucin nica.

Definicin 2.18. (Sistema compatible indeterminado)

Un sistema de ecuaciones lineales es compatible indeterminado si tiene

infinitas soluciones.

Ejemplo 9

Considere el siguiente sistema

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 2 1

2 2 6

3 4 3 5

x x x

x x x

x x x

1. A la ecuacin 2 le sumamos la ecuacin 1 multiplicada por -2. El

resultado lo ponemos como una nueva ecuacin 2. Obtenemos:

1 2 3

2 3

1 2 3

2 2 1

2 3 4

3 4 3 5

x x x

x x

x x x


16/43





1 2 3

2 3

2 3

2 2 1

2 3 4

2 3 2

x x x

x x

x x



1 2 3

2 3

2 2 1

2 3 4

0 2

x x x

x x

Ntese que la tercera ecuacin dice que 0 2 lo cual es falso. No importando

que valores numricos se asignen a las incgnitas1

x ,2

x y3

x , la tercera

ecuacin nunca ser verdadera. Esto significa que el sistema de ecuaciones no

tiene solucin y por tanto es incompatible.

Ejemplo 10


1 2 3

1 2 3

1 2 3

5 2

2 4 2

2 4 2 8

x x x

x x x

x x x



1 2 3

2 3

1 2 3

5 2

3 6 6

2 4 2 8

x x x

x x

x x x



1 2 3

2 3

2 3

5 2

3 6 6

6 12 12

x x x

x x

x x




17/43



1 2 3

2 3

5 2

3 6 6

0 0

x x x

x x

Ntese que la tercera ecuacin dice que 0 0 , lo que es verdadero pero no nos

da informacin nueva. Podemos eliminar la tercera ecuacin del sistema y

quedarnos solo con las dos primeras.

1 2 3

2 3

5 2

3 6 6

x x x

x x

De este sistema equivalente, al simplificar la segunda ecuacin resulta

2 32 2x x de donde, al despejar 2x , obtenemos 2 32 2x x . Sustituimos este

resultado en la primera ecuacin:

1 3 32 2 5 2x x x 1 33x x

Podemos ver que tanto1

x como2

x dependen de3

x . Si asignamos un valor

numrico a3

x obtendremos los correspondientes a1

x y2

x . De manera general,

si3

x toma el valor t , entonces1

x tomara el valor 3t y2

x el valor 2 2t . De

aqu que la terna 3 ,2 2,t t t , donde t es cualquier nmero real, es solucin

del sistema. Esto significa que el sistema tiene infinitas soluciones y por tanto es

compatible indeterminado.

De este ejemplo, la variable t se denomina parmetro. Si se quiere obtener una

solucin particular de las infinitas soluciones que tiene el sistema basta con dar

un valor especfico al parmetro. As, por ejemplo, si hacemos 1t tenemos que

la terna 3,4,1 es una solucin del sistema y si hacemos 2t resulta la

solucin 6, 2, 2 . Se puede comprobar que estas ternas verifican las tres

ecuaciones del sistema. Dado que hay un nmero infinito de opciones para el

parmetro t , entonces podemos afirmar que el sistema tiene infinitas soluciones.

Ejemplo 11


1 2 3

1 2 3

1 3

5

5 9 16 40

3 0

x x x

x x x

x x

1. A la ecuacin 2 le sumamos la ecuacin 1 multiplicada por -5 y el

resultado lo ponemos como una nueva ecuacin 2. Al mismo tiempo, a la

ecuacin 3 le sumamos la ecuacin 1 multiplicada por -1 y el resultado lo

ponemos como una nueva ecuacin 3. Obtenemos:


18/43



1 2 3

2 3

2 3

5

4 11 15

4 5

x x x

x x

x x

2. A la ecuacin 2 le sumamos la ecuacin 3 multiplicada por 4. El resultado

lo ponemos como una nueva ecuacin 2. Obtenemos:

1 2 3

3

2 3

5

5 5

4 5

x x x

x

x x

De este sistema equivalente, la segunda ecuacin nos permite despejar3

x .

Obtenemos3 1x . Sustituimos este resultado en la tercera ecuacin:

2 4 1 5x 2 1x

Sustituimos2 1x y

3 1x en la primera ecuacin:

1 1 1 5x 1 3x

La terna 3,1,1 es la nica solucin del sistema. Esto significa que el sistema es

compatible determinado.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales

Definicin 2.19. (Matriz)

Una matriz es un arreglo rectangular de elementos ordenados en filas y

columnas.

Los elementos de una matriz suelen ser nmeros reales, pero no siempre. Las

matrices se denotan con letras maysculas y sus elementos con letras

minsculas correspondiente acompaado de subndices que indican su posicin.

Los elementos de una matriz A, con m filas y n columnas, contienen elementos

de la forma ija dispuestos segn la siguiente forma general:

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

1 2 3

...

...

...

.. .. .. ... ..

...

n

n

n

m m m mn

a a a a

a a a a

a a a a A

a a a a


19/43



Los subndices de un elemento ija indican que el elemento est ubicado en la

interseccin de la fila iy la columna jde la matriz A. Por ejemplo, el elemento

32a est ubicado en la interseccin de la tercera fila y la segunda columna.

Definicin 2.20. (Orden de una matriz)

Si una matriz Atiene m filas y n columnas, decimos que Atiene orden

m n .

As, por ejemplo, la matriz

1 2 2 1

2 2 1 6

3 4 3 5

A

tiene 3 filas y 4 columnas, entonces

su orden es 3 4 (se lee: Tres por cuatro). Los elementos de la primera fila son

11 1a ,

12 2a ,

13 1a y 14 1a .

Representacin matricial de un sistema de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones lineales puede escribirse por medio de una ecuacin

matricial. As el sistema

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

...

...

.........................................

...

n n

n n

m m mn n m

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

es equivalente a la ecuacin matricial:

11 12 1 1 1

21 22 2 2 2

1 2

...

...

: : : : : :

: : : : : :

...

n

n

m m mn n m

a a a x b

a a a x b

a a a x b

Sean, las matrices:

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

: : : :

: : : :

...

n

n

m m mn

a a a

a a a

A

a a a

;

1

2

:

:

n

x

x

X

x

;

1

2

:

:

m

b

b

B

b

entonces la ecuacin matricial se puede escribir como A X B .


20/43



La matriz Aes llamada matriz de coeficientes; X es la matriz de incgnitas y B es la matriz de trminos independientes.

As, por ejemplo, el sistema de ecuaciones lineales

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 2 1

2 2 6

3 4 3 5

x x x

x x x

x x x

se puede

expresar como A X B donde:

1 2 2

2 2 1

3 4 3

A

;

1

2

3

x

X x

x

;

1

6

5

B

Definicin 2.21. (Matriz aumentada)

Dado el sistema de ecuaciones lineales

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

...

...

.........................................

...

n n

n n

m m mn n m

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

se define la matriz aumentada asociada a dicho sistema como la matriz de

orden 1m n denotada por :A B y dada por:

11 12 1 1

21 22 2 2

31 32 3 3

1 2

...

...

...

.. .. .. ... ..

...

n

n

n

m m mn m

a a a b

a a a b

a a a b

a a a b

Los procedimientos seguidos en los ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales

anteriores muestran que las incgnitas 1x , 2x y 3x solo indican posiciones o

lugares que guan nuestros clculos. Los coeficientes de las incgnitas y los

trminos independientes son los nicos que intervienen en los clculos. Esto

muestra que, en lugar de escribir las ecuaciones completas de un sistema de

ecuaciones lineales, podemos escribir los coeficientes de las incgnitas y las

constantes organizados en una matriz. Esta matriz es la matriz aumentada. A

continuacin mostramos la matriz aumentada del sistema de ecuaciones lineales

del primer ejemplo.


21/43



Sistema de ecuaciones lineales Matriz aumentada del sistema de ecuacioneslineales

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 2 1

2 2 6

3 4 3 5

x x x

x x x

x x x

1 2 2 1

2 2 1 6

3 4 3 5

Cada fila de la matriz aumentada corresponde a una ecuacin del sistema de

ecuaciones lineales. Al escribir la forma matricial de un sistema de ecuaciones

lineales debe cuidarse de que, en cada ecuacin del sistema, las incgnitas estn

ordenadas del mismo modo.

Operaciones elementales de filas

Las operaciones que se hacen sobre un sistema de ecuaciones lineales

corresponden a operaciones en la matriz aumentada del sistema. A estas

operaciones se les llama operaciones elementales de filas. Las operaciones

elementales por filas son:

1. Sumar a una fila un mltiplo de otra fila.

2. Multiplicar una fila por una constante distinta de cero.

3. Intercambiar (permutar) dos filas.

Al efectuar operaciones elementales de filas en la matriz aumentada de unsistema de ecuaciones lineales, la solucin del sistema no cambia. Dos matrices

se dicen equivalentes por filas cuando realizando operaciones elementales de

filas en una se obtiene por resultado la otra.

Con el fin de abreviar la escritura, al realizar operaciones elementales de filas,

usaremos las siguientes notaciones:

Notacin Descripcin de la operacin

i j if kf f A la fila de lugar ile sumamos kveces la fila de lugarj. Elresultado se coloca en el lugar de la fila i.

ikf Multiplicamos la fila de lugar ipor k.i jf f Intercambiamos la fila de lugar icon la fila de lugarj.

Ejemplo 12

A continuacin mostraremos, en paralelo, la descripcin del procedimiento

seguido para resolver un sistema de ecuaciones lineales y sus correspondientes

operaciones elementales por filas.


22/43



Sistema Matriz aumentada

1 2 3

1 2 3

1 2 3

4 3 8

2 3 4

2 3

x x x

x x x

x x x

4 3 1 8

2 1 3 4

1 1 2 3

Intercambiamos la ecuacin1 con la ecuacin 3.

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 3

2 3 4

4 3 8

x x x

x x x

x x x

1 3f f

1 1 2 3

2 1 3 4

4 3 1 8

A la ecuacin 2 le sumamosla ecuacin 1 multiplicadapor -2. El resultado loponemos como nuevaecuacin 2.A la ecuacin 3 le sumamosla ecuacin 1 multiplicadapor -4. El resultado loponemos como nuevaecuacin 3.

1 2 3

2 3

2 3

2 3

2

7 20

x x x

x x

x x

2 1 22f f f

3 1 34f f f

1 1 2 3

0 1 1 2

0 1 7 20

A la ecuacin 3 le sumamosla ecuacin 2 multiplicadapor -1. El resultado loponemos como nuevaecuacin 3.

1 2 3

2 3

3

2 3

2

6 18

x x x

x x

x

3 2 3f f f

1 1 2 3

0 1 1 2

0 0 6 18

Multiplicamos la ecuacin 3por -1/6.

1 2 3

2 3

3

2 3

2

3

x x x

x x

x

3

1

6f

1 1 2 3

0 1 1 2

0 0 1 3

Llegado a este punto, podemos determinar la solucin del sistema de ecuaciones

lineales por sustitucin hacia atrs. Sustituimos3

3x en la segunda ecuacin

y obtenemos2 1x ; sustituimos 2 1x y 3 3x en la primera ecuacin y

obtenemos1 2x . Podemos comprobar que la terna 2,1,3 es la nica

solucin del sistema de ecuaciones lineales. Se trata de un sistema compatibledeterminado.

Definicin 2.22. (Fila nula de una matriz)

Una fila de una matriz se dice nula cuando todos sus elementos son ceros.

Definicin 2.23. (Pivote)

El pivote de una fila no nula de una matriz es el primer elemento no nulo

de dicha fila.

Definicin 2.24. (Matriz escalonada)


23/43



Una matriz est en su forma escalonada cuando cumple las siguientes

condiciones:

1. Las filas nulas estn por debajo de las filas nonulas.

2. El pivote de cada fila est a la derecha del pivote de la fila

anterior.

A continuacin mostramos cuatro ejemplos de matrices escalonadas. Estas

corresponden a las matrices aumentadas de los sistemas de ecuaciones lineales

resueltos en los ejemplos anteriores.

1 2 2 1

0 2 3 4

0 0 0 2

1 1 5 2

0 3 6 6

0 0 0 0

1 1 1 5

0 1 4 5

0 0 5 5

1 1 2 3

0 1 1 2

0 0 1 3

Definicin 2.25. (Matriz reducida)

Una matriz escalonada es reducida cuando cumple las siguientes

condiciones:

1.Todos los pivotes son iguales a 1.

2. Los otros elementos de la columna que contienen un pivote son

ceros.

Sabemos que todo sistema de ecuaciones lineales se puede expresar por medio

de su matriz aumentada. Esta se puede transformar en una matriz escalonada

equivalente. Haciendo operaciones elementales de filas podemos llevar una

matriz escalonada a su forma reducida equivalente. El proceso de transformar

una matriz cualquiera a su forma reducida equivalente se conoce como

eliminacin Gaussiana.

A continuacin mostramos las matrices reducidas equivalentes a las matrices

escalonadas mostradas lneas arriba.

1 0 1 0

0 1 1.5 0

0 0 0 1

1 0 3 0

0 1 2 2

0 0 0 0

1 0 0 3

0 1 0 1

0 0 1 1

1 0 0 2

0 1 0 1

0 0 1 3

Proposicin 2.3.

Toda matriz es equivalente por filas a una nica matriz reducida.

Cuando la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales se lleva a su

forma reducida resulta bastante sencillo determinar la naturaleza del sistema deecuaciones lineales y su solucin (o soluciones). Advirtase que la eliminacin


24/43



Gaussiana no es exclusiva de sistemas que tienen el mismo nmero de

ecuaciones que incgnitas. Es ms bien en los casos de sistemas con mayor

nmero de incgnitas que ecuaciones donde este procedimiento resulta de granayuda.

Sistema Matriz aumentada

1 2 3

1 2 3

1 2 3

4 3 8

2 3 4

2 3

x x x

x x x

x x x

4 3 1 8

2 1 3 4

1 1 2 3

Matriz escalonada equivalente

1 1 2 3

0 1 1 2

0 0 1 3

1 2 1f f f

1 0 1 1

0 1 1 2

0 0 1 3

1 3 1f f f

2 3 2f f f

Matriz reducida

1 0 0 2

0 1 0 1

0 0 1 3

Obtenida la forma reducida podemos determinar la solucin del sistema deecuaciones lineales por simple inspeccin. De la tercera ecuacin (fila) obtenemos

3 3x ; de la segunda ecuacin

2 1x y de la primera

1 2x .

Definicin 2.26. (Rango de una matriz)

El rango de una matriz A, denotado por ran A , es una funcin que

asigna a una matriz el nmero de pivotes de la matriz reducida

equivalente.

1 0 1 0

0 1 1.5 0

0 0 0 1

1 0 3 0

0 1 2 2

0 0 0 0

1 0 0 3

0 1 0 1

0 0 1 1

1 0 0 2

0 1 0 1

0 0 1 3

3rango 2rango 3rango 3rango

El rango de una matriz es un valor nico para cada matriz. Este es el sentido de

la definicin anterior. Dada una matriz Acualquiera, de mfilas, esta tendr por

rango un nico nmero entero menor o igual que m. Si bien la definicin alude a

la matriz reducida, de manera general podemos decir que:


25/43



Una consecuencia de la definicin de rango es que el rango de la matriz ampliada

:A B de un sistema de ecuaciones lineales es mayor o igual que el rango de la

matriz de coeficientes Ade dicho sistema. Esto debido a que la matriz :A B

tiene una columna ms que la matriz A.

Hemos visto que un sistema de ecuaciones lineales puede tener solucin nica

(compatible determinado), infinitas soluciones (compatible indeterminado) o

ninguna solucin (incompatible). Sea la ecuacin matricial A X B ,

correspondiente a un sistema de ecuaciones lineales dado, la comparacin delrango de la matriz Ay la matriz ampliada :A B nos permite determinar el tipo

de conjunto solucin que tiene el sistema de ecuaciones lineales que se analiza.

Esto se puede hacer a partir de las siguientes proposiciones que corresponden a

los teoremas de Rouche-Frobenius.

Proposicin 2.4.

La condicin necesaria y suficiente para que un sistema A X B , de m

ecuaciones lineales con n incgnitas, sea compatible es que

:ran A ran A B

.

Proposicin 2.5.

Un sistema compatible, de m ecuaciones lineales con n incgnitas, ser

determinado si el rango comn es igual a n , en caso contrario ser

indeterminado.

Dado un sistema A X B , de mecuaciones lineales con n incgnitas, a partir

de lo dicho anteriormente podemos anotar:

1. Si :ran A ran A B n , el sistema es compatible determinado.

2. Si :ran A ran A B n , el sistema es compatible indeterminado.

3. Si :ran A ran A B el sistema es incompatible.

As, por ejemplo, el sistema de ecuaciones lineales dado por

1 2 3

1 2 3

1 2 3

3 2 3

2 3 2

4 4

x x x

x x x

x x x

es tal que su matriz :A B ,

El rango de una matriz es el nmero de filas no nulas que tiene la

matriz en cualquiera de sus formas escalonadas.


26/43



en su forma reducida, est dada por

1 0 7 /11 0

0 1 1/11 0

0 0 0 1

. Podemos notar que la

forma reducida de la matriz A (esto es sin considerar la ltima columna de la

matriz ampliada) tiene dos filas no nulas, luego 2ran A . La forma reducida

de :A B tiene tres filas no nulas y por tanto : 3ran A B . De aqu tenemos

que :ran A ran A B por lo que el sistema analizado es incompatible.

Sea el sistema de ecuaciones lineales de tres ecuaciones con cuatro incgnitas

dado por

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

0

2 2 0

5 6 2 1

x x x x

x x x x

x x x x

La matriz ampliada del sistema est dada por

1 1 1 1 0

: 2 2 1 1 0

5 6 2 1 1

A B

y se

puede probar que su matriz reducida equivalente es

1 0 0 13 3

0 1 0 5 1

0 0 1 17 4

. De aqu

que 3ran A y : 3ran A B , por tanto el sistema es compatible. Dado que se

tienen cuatro incgnitas ( 4n ), entonces estamos en el caso que

: 4ran A ran A B por lo que se trata de un sistema de ecuaciones lineales

compatible indeterminado. El sistema de ecuaciones lineales tiene infinitas

soluciones. Estas soluciones dependen de cierto nmero de parmetros.

Definicin 2.27. (Columna distinguida)

En una matriz reducida llamaremos distinguida a la columna que contieneel pivote 1.

Dado un A X B , de m ecuaciones lineales con n incgnitas, en la matriz

reducida equivalente de A las columnas distinguidas corresponden a las

llamadas incgnitas bsicas. Las otras columnas (no distinguidas) corresponden

a las incgnitas libres. Si el sistema de ecuaciones lineales es compatible se

cumple que :ran A ran A B , sea r este rango comn. Dado que el nmero

de columnas distinguidas es siempre igual a r , entonces el nmero de incgnitas

libres ser igual a n r . Esta diferencia (tambin llamada grados de libertad)

indica el nmero de parmetros que tendr la solucin del sistema de ecuaciones


27/43



lineales. El nmero de parmetros requerido en nuestro ejemplo es 4 3 , esto es

1parmetro.

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

0

2 2 0

5 6 2 1

x x x x

x x x x

x x x x

1 0 0 13 3

0 1 0 5 1

0 0 1 17 4

En la matriz reducida equivalente de A la cuarta columna es la distinguida y

esta corresponde a la incgnita4

x . Esta es la incgnita libre y a la que se le

asignar el parmetro. Las otras incgnitas sern dependientes de este

parmetro.

Sea t el parmetro ( ). Hacemos4

x t . De la tercera fila, despejando3

x ,

tenemos3

4 17x t . De forma similar de la segunda fila obtenemos2

1 5x t y

de la primera1

3 13x t . Puede verificarse que la solucin mostrada verifica las

tres ecuaciones lineales del sistema.


28/43



Funciones

Definicin 2.28. (Par ordenado)

Sean dados dos elementos a y b, si a es identificado como el primero y b

como el segundo, representamos con ,a b al par ordenado formado por a

y b.

En un par ordenado ,a b el elemento a se denomina primera componente y b

segunda componente. Adems,

- ( , ) ( , )a b b a - ( , ) ( , )a b c d a c b d

Definicin 2.29. (Producto cartesiano)

El producto cartesiano de dos conjuntos Ay B , denotado por A B , se

define por el conjunto: { ( , )/ }A B a b a A b B .

Ejemplo 13

Dados los conjuntos {1,2 }A y { , , }B a b c , tenemos:

Al analizar las relaciones cuantitativas de los fenmenos que ocurren

en el mundo real hemos de tratar valores numricos de distintas

magnitudes, por ejemplo, de tiempo, distancia, velocidad, aceleracin,

etc. En dependencia de las condiciones que se analizan, algunas

magnitudes tienen valores numricos constantes y las otras, variables.

Tales magnitudes se denominan constantes y variablesrespectivamente. Por ejemplo, al realizarse un movimiento uniforme, la

velocidad ves constante, mientras que la distancia dy el tiempo tson

variables, con la particularidad de que d v t .

El estudio de los fenmenos que nos rodean muestra que las

magnitudes variables cambian no de manera independiente una de la

otra sino que la variacin de los valores numricos de algunas de ellas

lleva tras de s el cambio de otras magnitudes.

Tomado de Potpov, Alexndrov y Pasichenko (1980). lgebra y anlisis de las

funciones elementales. Mosc: Editorial MIR, p. 286


29/43



- Producto cartesiano A B : { 1, , 1, , 1, , 2, , 2, , 2, }A B a b c a b c

- Producto cartesiano B A : { ,1 , ,2 , ,1 , ,2 , ,1 , ,2 }B A a a b b c c

Ntese que, en general: A B B A .

El producto cartesiano se puede representar por medio de un diagrama de Venn.

Propiedades

1. A B B A A B

2. A B A B

3. n A B n A n B ; donde n A nmero de elementos de A(cardinal)

Representacin grfica del producto cartesiano

Para representar grficamente el producto cartesiano A B , sobre el eje

horizontal se ubican los elementos deA

y sobre el eje vertical los deB

, de talmanera que cada par de A B se representa mediante un punto sobre el plano

formado por estos dos ejes.

As, por ejemplo, dados los conjuntos {1,2,3,4 }A y { , , }B a b c , la

representacin grfica de A B es:

Definicin 2.30. (Relacin)

Dados dos conjuntos no vacos Ay B , se denomina relacin R de Aen

B a todo subconjunto del producto cartesiano A B .

1

2

a

b

c

A B

AxB

. . ..

1 2 3 4

b

a

c

. .. . .. . .

B

A


30/43



Decimos que un conjunto R de pares ordenados es una relacin de Aen B si y

solo si R A B . Si R es una relacin de Aen B , al conjunto Ase le llama

conjunto de partida y aB

conjunto de llegada.

As tenemos que, dados los conjuntos {1,2,3,4}A y { 5,6 }B , los conjuntos

1 { 1,5 , 1,6 , 2,5 , 2,6 }R y 2 { 3,5 , 3,6 , 4,6 }R son dos ejemplos de

relaciones de Aen B .

Ejemplo 14

En {1,2,4 }A se define la relacin , / 3R x y A A es divisor de x y .

Halle el nmero de elementos de R .

Resolucin

Dado el conjunto {1,2,4 }A tenemos el producto cartesiano:

1,1 , 1,2 , 1,4 , 2,1 , 2,2 , 2,4 , 4,1 , 4,2 , 4,4A A

Son cinco los pares ordenados ,x y de A A que cumplen la condicin 3 es

divisor de x y , por lo que la relacin R est dada por

1,2 , 2,1 , 2,4 , 4,2R . De aqu que 4n R .

Definicin 2.31. (Relacin reflexiva)

Una relacin R es una relacin reflexiva en un conjunto A( R A A ) si

cumple que a A , ,a a R .

Definicin 2.32. (Relacin simtrica)

Una relacin R es una relacin simtrica en un conjunto A( R A A ) si

cumple que ,a b A

, ,a b R

,b a R

.

Definicin 2.33. (Relacin transitiva)

Una relacin R es una relacin transitiva en un conjunto A( R A A ) si

cumple que , ,a b c A , ,a b R ,b c R ,a c R

Ejemplo 15

En se define la relacin = {(, ) Z x Z / = 2, Z}. Analice si R es

reflexiva, simtrica y transitiva.

Resolucin


31/43



Tenemos = {(, ) x / = 2, }

1. Sea , entonces 0 2 0a a y dado que 0 podemos afirmar que

,a a R para todo . Luego, R es reflexiva.

2. Sean , , si ,a b R se tiene que 2a b k , con , y de esta

condicin resulta que 2 2b a k k . Dado que , entonces .

De aqu podemos afirmar que si ,a b R , entonces ,b a R para todo

, . Luego, R es simtrica.

3. Sean ,, , si ,a b R y ,b c R se tiene que 12a b k y 22b c k

con , . Sumando las igualdades de estas condiciones tenemos

1 22a c k k . Dado que , , entonces (, ) . Esto nos

permite afirmar que si ,a b R y ,b c R , entonces ,a c R para todo

,, . Luego, R es transitiva.

Definicin 2.34. (Relacin de equivalencia)

Una relacin R en un conjunto A ( R A A ) es una relacin de

equivalencia si simultneamente es reflexiva, simtrica y transitiva.

La relacin = {(, ) x / = 2, }es una relacin de equivalencia tal

como se pudo mostrar en el ejemplo 13.

Definicin 2.35. (Dominio de una relacin)

Llamamos dominio de una relacin R , denotado por Dom R , al conjunto

de todas las primeras componentes de los pares ordenados de la relacin.

/ ,Dom R a a b R

Definicin 2.36. (Rango de una relacin)

Llamamos rango de una relacin R , denotado por

Ran R , al conjunto de

todas las segundas componentes de los pares ordenados de la relacin.

/ ,Ran R b a b R

Funciones

Definicin 2.37. (Funcin como relacin)

Dados dos conjuntos no vacos Ay B , y una relacin f A B , decimos

que fes una funcin de Aen B , si para cada a A existe a lo ms un

elemento b B tal que ,a b f .


32/43



La definicin anterior nos muestra que una funcin es una relacin, pero no es

cualquier relacin. En una funcin f de A en B cada elemento de A debe

estar relacionado con un nico elemento de B . Dicho de otro modo, un mismoelemento de A no puede relacionarse con dos (o ms) elementos de B . La

definicin no niega que dos (o ms) elementos de Ase relacionen con un mismo

elemento de By, adems contempla, que un elemento (o ms) de A puede

quedar sin relacionarse con alguno de B .

Si es funcin Si es funcin No es funcin

Definicin 2.38. (Definicin formal de funcin)

Sea ffuncin de Aen B , entonces a A , ! b B tal que ,a b f .

Si una funcin f est expresada como un conjunto de pares ordenados,

entonces dos pares distintos de f no tienen la misma primera componente. Esto

se seala en la condicin de existencia:

Si ,

a b f y ,

a c f , entonces b c

Ejemplo 16

Sea 2, , 3, , 2,3 , 3,4f x y x y una funcin. Halle el valor de 2x y .

Resolucin

De la condicin de existencia:

1. Dado que 2,x y f y 2,3 f , entonces 3x y

2. Dado que 3,x y f y 3,4 f , entonces 4x y

De 1 y 2 se desprende que7

2x ,

1

2y y por tanto

132

2x y .

Observaciones

- Toda funcin es una relacin, pero no toda relacin es una funcin.

- En una funcin f de Aen B no pueden existir dos pares ordenados

diferentes con la misma primera componente.

A Bf

A Bf

A Bf


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- En una funcin f de A en B es obligatorio que todo elemento del

conjunto de partida a A sea primera componente de algn par

ordenado ,

a b f .- En una funcin f de Aen B no es obligatorio que todo elemento del

conjunto de llegada b B sea segunda componente de algn par

ordenado ,a b f .

- En una funcin f de Aen B , si un elemento del conjunto de llegada

b B es la segunda componente de un par ordenado de f, entonces

este mismo elemento puede ser la segunda componente de varios

pares ordenados de f .

Si ,a b f , funcin de Aen B , escribiremos b f a , y se dice que bes laimagen de a va fo que b f a es el valor de fen el punto a . De lo anterior

y, en general, se tiene que ,x y f y f x y diremos que x es la variable

independiente y y la variable dependiente.

Definicin 2.39. (Dominio de una funcin)

El dominio de la funcin f A B es el conjunto de todas las primeras

componentes de los pares ordenados de f .

/ ,Dom f x A y B tal que x y f A

Definicin 2.40. (Rango de una funcin)

El rango de la funcin f A B es el conjunto de todas las segundas

componentes de los pares ordenados de f .

/Ran f f x B x Domf B

Definicin 2.41. (Aplicacin)

Llamamos aplicacin de Aen B , denotada por :f A B , a toda funcin

tal que todo elemento de A, sin excepcin, est asignado a un elemento de

B , y solamente uno.

Una aplicacin es un tipo particular de funcin. La diferencia radica en que en

una funcin f de A en B podran existir elementos de A que no estn

Si A y B , a la funcin f de Aen B se

denomina funcin real de variable real.


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asignados a algn elemento de B , en una aplicacin :f A B todos los

elementos de Asin excepcin tienen asignado algn elemento de B . Algunos

autores no hacen distincin entre funcin y aplicacin tomndolos comosinnimos. En el presente documento reservaremos la notacin :f A B solo a

aquellas funciones que son aplicaciones.

Observacin

En una funcin :f A B , su dominio siempre coincide con todo el conjunto de

partida A.

El concepto de funcin hace posible determinar el comportamiento de una variable de

acuerdo al cambio de otras. Dadas dos variables x e y , podemos decir, que y es

funcin de x si al asignarle un valor a x se obtiene un nico valor de y . Sea

podemos, por medio de una regla f , poner en correspondencia a cada x A un

nico valor de y . As, dada una funcin :f A B , podemos pensar en esta como

un mquina que toma cada x de A (entrada), lo procesa de acuerdo a la regla f

(proceso) y obtiene como producto un xfy del conjunto B (salida).

Definicin 2.42. (Funcin como regla)

Una funcin fes una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto

Aexactamente un elemento xfy de un conjunto B .

La regla de correspondencia es una ecuacin que, en la funcin f de Aen B ,

nos permite relacionar los elementos de Acon los elementos de B . Usualmente

se suele presentar una funcin indicando su regla de correspondencia. Decimos

que una funcin queda bien definida cuando se especifica su dominio y regla de

correspondencia.

Ejemplos:

1.

Funcin: definida por

3 24 7 3

f x x x x


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2. Funcin: ]1,[ , definida por 2

1

xf x

x

3. Funcin : ],4] , definida por 4f x x

Definicin 2.43. (Grfica de una funcin)

La grfica de la funcin fcon dominio el conjunto A, es el conjunto de

pares ordenados , /x y y f x x A localizados en un plano de

coordenadas.

La grfica de f proporciona una imagen que describe el comportamiento de

y f x a medida que x toma los diferentes elementos de su dominio A.

Grfica de : [0,[ , definida por

xxf

Grfica de : , definida por

f x sen x

Propiedad fundamental

Una relacin fes una funcin real de variable real si y solo si toda recta

vertical corta a su grfica a lo ms en un punto.

No toda grfica en un plano cartesiano corresponde a una funcin. Si y es

funcin de x , entonces a cada valor de x en su dominio le corresponde un nico

valor xf . Esto significa que en la grfica de una funcin f solo existe un

punto con abscisa x . En consecuencia toda recta vertical ax , donde a

pertenece al dominio de f , corta a la grfica solo una vez.

x

y

x

y


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La grfica corresponde a una funcin La grfica no corresponde a una funcin

Funciones especiales

Funcin constante

: , con regla de correspondencia f x c , donde .

Funcin identidad

: , con regla de correspondencia f x x .

Funcin valor absoluto

: , con regla de correspondencia f x x .

Funcin raz cuadrada

: [0,[ , con regla de correspondencia f x x .

Funcin potencial

: , con regla de correspondencia nf x x , donde +, 1n .

Funcin exponencial: , con regla de correspondencia xf x a , donde +, 1a .

Funcin afn

: , con regla de correspondencia f x ax b , donde , .

Funcin cuadrtica

: , con regla de correspondencia 2f x ax bx c , donde ,,

y 0a .


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Funcin polinomial de grado n

: , con regla de correspondencia 11 1 0...n n

n nf x a x a x a x a

,

donde +, , , , , y 0na .

Funcin racional

: , con regla de correspondencia

P xf x

Q x , donde P x y Q x

son funciones polinomiales, tales que 0Q x para todo x A , .

Monotona de una funcin

Una funcin es montona si es creciente o decreciente.

Definicin 2.44. (Funcin creciente)

La funcin :f A B es creciente en un intervalo I A , si 1 2,x x I se

tiene1 2

x x 1 2f x f x .

Definicin 2.45. (Funcin decreciente)

La funcin :f A B es decreciente en un intervalo I A , si 1 2,x x I

se tiene1 2

x x 1 2f x f x .

Ejemplo 17

Probar que la funcin afn f x ax b es creciente en cuando 0a .

Resolucin

Sean , tales que 1 2x x .

Si 0a y 1 2x x 1 2ax ax

1 2

ax b ax b .

1 2f x f x

Lo que prueba que f x ax b es creciente en .

Periodicidad de una funcin


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Definicin 2.46. (Funcin peridica)

La funcin :f A B es peridica si existe un nmero 0T tal que

1. x A x T A

2. ,f x T f x x A

Ejemplo 18

Probar que la funcin : , definida por f x sen ax b , con 0a , es

peridica.

Resolucin

Decimos que fes peridica si existe un nmero 0T tal que para todo :

f x T f x sen a x T b sen ax b

sen ax b aT sen ax b

sen ax b cos aT cos ax b sen aT sen ax b

La igualdad se verifica si 0sen aT y 1cos aT , esto es si aT k , donde

. Luego, existe nmeros reales de la forma kTa

, con y 0a lo que prueba

que f x sen ax b es peridica.

Funciones pares e impares

Definicin 2.47. (Funcin par)

La funcin :f A B es par si:

1. x A x A

2. ,f x f x x A

Definicin 2.48. (Funcin impar)

La funcin :f A B es impar si:

1. x A x A

2. ,f x f x x A

Funcin inyectiva, sobreyectiva y biyectiva

Definicin 2.49. (Funcin inyectiva)


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La funcin :f A B es inyectiva cuando cumple la condicin:

1 2 1 2 1 2, ,x x A f x f x x x

Definicin 2.50. (Funcin sobreyectiva o suryectiva)

Una funcin fde Aen B es sobreyectiva cuando Ran f B .

Definicin 2.51. (Funcin biyectiva)

Una funcin es biyectiva cuando es inyectiva y sobreyectiva.

Ejemplo 19

Probar que la funcin : , definida por 2 3f x x es biyectiva.

Resolucin

Sean1 2

x , x . Si 1 2f x f x 1 22 3 2 3x x

1 2

2 2x x

1 2

x x

Esto prueba que fes inyectiva.

Sea . Si tomamos3

2

yx

, tenemos que:

3

2

yf x f

32 3

2

yf x

3 3f x y

f x y

Esto prueba que fes sobreyectiva.

Dado que fes inyectiva y sobreyectiva, entonces fes biyectiva.


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ANEXO

GRFICA DE UNA FUNCIN CUADRTICA

La grfica de : , funcin cuadrtica con regla cbxaxxf 2 , es una

parbolade eje vertical.

A manera de ejemplo mostramos las grficas de dos funciones cuadrticas.

Grafica de 1)( 2 xxf Grafica de 34)( 2 xxxg

Las curvas de color rojo son parbolas de eje vertical. Las parbolas se

caracterizan por su simetra con respecto a un eje, en este caso un eje vertical.

Las parbolas presentan un punto extremo denominado vrtice. En el caso delas parbolas de eje vertical, este vrtice puede corresponder al punto ms bajo

de todos los de la curva (como en la grfica de f ) o al punto ms alto de todos

ellos (como en la grfica de g).

La grfica de 1)( 2 xxf tiene como vrtice el punto de coordenadas

1,01 V .

La grfica de 34)( 2 xxxg tiene como vrtice el punto de coordenadas

7,22V .

Tomando como referencia su vrtice podemos decir que la parbola se abre porencima o por debajo de l. Diremos que una parbola es convexa si esta se abrepor encima del vrtice y que una parbola es cncavasi esta se abre por debajodel vrtice.

La grfica de 1)( 2 xxf es una parbola convexa.

La grfica de 34)( 2 xxxg es una parbola cncava.

En casos de funciones cuadrticas como el de f, cuyo coeficiente del trmino

cuadrtico es positivo, las parbolas son cncavas hacia arriba y en casos como


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el de g , cuyo coeficiente del trmino cuadrtico es negativo, las parbolas son

cncavas hacia abajo. De manera general diremos:

Dada: cbxaxxf 2

Si 0a , entonces la parbola es convexa.

Si 0a , entonces la parbola es cncava.

Coordenadas del Vrtice

Sea la funcin cuadrtica : , cbxaxxf 2 ; 0a , las

coordenadas del vrtice de la parbola se representan por k,hV y se

calculan segn:

1. Abscisa del vrtice:a

bh

2

2. Ordenada del vrtice: hfk

Ejemplo

Encuentre las coordenadas del vrtice de la grfica de la funcin

742 xxxf e indique si se trata de una parbola cncava o convexa.

Resolucin

Tenemos: 742 xxxf

7

4

1

c

b

a

Aplicando las frmulas dadas:a

bh

2

124

h

2h

hfk 2fk

7242 2 k

3k

Luego, las coordenadas del vrtice son 32,V .

Dado que para 742 xxxf el coeficiente del trmino cuadrtico es 1a y

por tanto 0a , entonces la parbola correspondiente es convexa.


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Ejemplo

Encuentre las coordenadas del vrtice de la grfica de la funcin

562 xxxg e indique el tipo de concavidad.

Resolucin

Tenemos: 562 xxxg

5

6

1

c

b

a

Aplicando las frmulas dadas:a

bh

2

126

h

3h

hgk 3gk

5363 2 k

4k

Luego, las coordenadas del vrtice son 43,V .

Dado que para 562 xxxg el coeficiente del trmino cuadrtico es 1a

y por tanto 0a , entonces la parbola correspondiente es cncava hacia abajo.

y


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Vrtice como valor extremo de la funcin cuadrtica

Toda parbola tiene un vrtice y en el caso de una parbola vertical dicho

vrtice es su punto extremo, el mismo que puede corresponder a unpuntomximo opunto mnimo. Cuando una parbola es convexa su vrtice estasociado con el valor mnimo de la funcin y cuando una parbola es

cncava su vrtice est asociado con el valor mximo de la funcin.

Dada la funcin cuadrtica: cbxaxxf 2 ; 0a , cuya parbola tiene por

vrtice al punto k,hV ,

Si 0a , la funcin tiene un mnimo en hx y el valor mnimo de f est

dado por hfk .

Si 0a , la funcin tiene un mximo en hx y el valor mximo de f est

dado por hfk .

Ejemplo

Dada la funcin 942 2 xxxf , encuentre el valor de x para el cul f

alcanza su mximo valor y el valor mximo de f.

Resolucin

Tenemos 942 2 xxxf

9

4

2

c

b

a

Calculando las coordenadas del vrtice con las frmulas dadas obtenemos 1h

y 11k . Dado que el coeficiente del trmino cuadrtico es negativo ( 2a ),

t l f i ti i 1 l i l d l f i

y

módulo ii final.pdf

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