modulo de estadística_n°5

8/16/2019 Modulo de Estadística_N°5

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Módulo deEstadística 2016Prof. Alan Navarro C.


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Unidad Nº2: ESTADÍSTICOS BÁSICOS

• Las medidas de tendencia central para datos noagrupados

Co !n ente " edidas son usadas #ara descri$ir el %centro& o%locali'ación central& de un con(unto de datos:La moda La mediana La media (o

promedio)Cada una de estas edidas inter#reta la idea de %centro& en

diferentes aneras )* la elección de una a#ro#iada edida #aracual+uier con(unto de datos* de#ender, de al enos dos factores:

-os as#ectos de la %locali'ación central& +ue #retenden ca#turarse.

El ti#o de datos de +ue se dis#on a* es decir* si los datos sonno inales* ordinales o nu /ricos.-a se unda consideración es i #ortantísi a* #or+ue* de#endiendo

del ti#o de datos* ser, #osi$le calcular todas o solo al unas de lasedidas de tendencia central reci/n encionadas*


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• i los datos son nu /ricos entonces la edia* ediana ) edia#ueden ser calculados*

• i los datos son ordinales* la edia no de$ería ser calculada*• i los datos son no inales* entonces* la !nica edida de

locali'ación central seria la oda.

Medidas detendencia central

Tipos de datosNu /ricos rdinales No inales

Moda i i iMediana i i NoMedia i No No


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La moda para datosnuméricos

• -a oda inter#reta el si ni cado de %centro& co o el valor +ueocurre ,s a enudo en los datos. El valor de la oda se #uedecalcular de la si uiente for a:

• Arre lar los datos en for a creciente*• Contar el n! ero de veces +ue cada valor ocurre*• 3denti car el valor 4o valores* si 5a) ,s de uno +ue ocurre con

a)or frecuencia. Este valor es la oda.

Ejemplo 1. -os si uientes datos re#resentan la duración* en 5oras*de 17

#ilas el/ctricas.2"8 292 2"2 292 272 2"2 299 292 2 9262 2"9 220 22 296 2"2 217 227 290


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Ejemplo 2. Considere os los valores diarios. En días 5,$iles* del#recio del dólar 4transfor ado a #eso c5ileno en el es de fe$rero

de 2001. estos valores se #resentan en la ta$la si uiente:

Valor deldólar

Frecuencia

8 1; "

61 162 96" 969 1

6 268 167 282 1


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Pro#iedades de la oda•

El c,lculo de la oda no usa toda la infor ación en lauestra* es decir* no involucra todos los valores o$tenidosen la uestra* sólo usa el valor +ue ocurre ,s a enudo.Este 5ec5o #odría considerarse de$ilidad si #ensa os +uetoda la infor ación dis#oni$le en la uestra de$ería serusada.

• =e$ido a lo anterior* la oda #odría no ser u) descri#tivade lo +ue ocurre en al uestra. Por e(e #lo* si las notas deun alu no en la asi natura de estadística fuesen:

"*1* "*9 "*9 *6 *7 *; 6*0 6*2 6* 6*6

$tendría os +ue la oda es la nota "*9 #or lo +ue al (u' arel rendi iento de ese alu no en estadística* #or edio dela oda* #arece #oco adecuado.


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-a oda #uede no ser !nica 4co o lo vi os en e(e #los#revios . Es co !n lla ar distri$ución $i odal al caso +ue losdatos tienen dos odas.

-a oda es una edida vol,til* esto si ni ca +ue es sensitiva a#e+ue>os ca $ios de los valores u/strales.

-a oda no es #articular ente afectada #or valores e?tre osen la uestra 4estos valores e?tre os son conocidos co o#untos aislados ,s co !n ente lla ados outliers . on esosvalores +ue resultan uc5o as randes o uc5o as#e+ue>os +ue el resto de los datos. -a inclusión de un valoroutlier #uede deter inar +ue una edida de locali'ación central

sea #oco re#resentativa de los datos.-a oda es sie #re i ual a uno de los valores #resentes en la

uestra 4en el caso de datos no a ru#ados


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La moda para datos nonuméricos• El #rocedi iento es el is o +ue en el caso de datos nu /ricos.

-a oda es el valor 4cate oría +ue ocurre ,s frecuente enteen la uestra.

Ejemplo 1. Una compañía telefónica realiza entre susclientes de telefonía mó il! una encuesta acerca de su

ser icio! entreg"ndole como opciones# mu$ satisfec%o&satisfec%o& insatisfec%o $ mu$ insatisfec%o.La ta'la siguiente resume la información de 1 clientes.

Categoría FrecuenciaMu)satisfec5o

1

atisfec5o 63nsatisfec5o 2Mu)insatisfec5o

1


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La mediana para datosnuméricos

• -a ediana identi ca el valor central de los valores#rovenientes de una uestra. -a ediana es entonces una

edida de centralidad. -a itad de los valores de lauestra ser,n as randes +ue la ediana ) la otra itad

ser,n as #e+ue>os.


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• Ejemplo 1 Los índices diarios de calidad del aire registradosen al zona *uda%uel+,erro -a ia+Lo *rado durante el mes dea'ril 2 se presenta en la ta'la siguiente#

=ía @ndice1 22 "" 689 9

866 98 ;7 7; 6810 911 ;12 621" 6619 681 80

=ía @ndice16 6618 ;17 91; 10"20 221 8622 ;2" 10"29 10"2 926 628 10"27 682; 10""0 2

El diagrama de tallo y hoja con los datosordenados de menor a mayor resulta

4 5 55 2 2 2 3 4 4 4 8 9 9 9 96

2 5 6 6 7 7 7 77 0 6 68 9

10 3 3 3 3 3

Como la cantidad de datos es par 30!"entonces e#isten dos lugares centrales estosson el $5 y $6% la mediana se de&ine como elpromedio de estos 'alores" es decir" 5,63

26562

=+


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*rocedimiento para calcular la mediana

rdena os los datos de enor a a)or.

e calcula el valor . e usa #or+ue se +uiere encontrarel valor +ue de(e a#ro?i ada ente el 0 de los datos $a(o el )a#ro?i ada ente el 0 de datos so$re el.

i es entero 4ocurre cuando n es i #ar * se u$ica el dato +ue est,en el lu ar . Este valor corres#onde a l a ediana.En el caso +ue no sea entero 4ocurre cuando n es #ar * seu$ican los datos +ue est,n en los lu ares as #ró?i os* )a sea a lai'+uierda o a la derec5a de . En este caso los lu ares ,s#ró?i os son

) . -a ediana corres#onde al #ro edio entre estos dos datos.

)1(21

+n

)1(21)1(

10050 +=+ nn

12

+n

2n

)1(21

+n

)1(21 +n

)1(21

+n


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• Considere os nueva ente los valores diarios del#recio del dólar en el es de fe$rero de 2001.

Valor del dólar Frecuencia8 1; "

61 1

62 96" 969 16 268 167 282 1


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ugar deordena!iento

Valordeldólar

1 8

2 ;

" ;9 ;

61

6 62

8 62

7 62

; 62

"# $%&

Para calcular la mediana de estos datos, los ordenamos en formaascendente, como se p resenta la siguiente t abla:

ugar deordena!iento

Valordeldólar

"" $%&

12 6"

1" 6"19 69

1 6

16 6

18 68

17 67

1; 67

20 82

Como n = 20, los lugarescentrales son . Los datosubicados en los l ugares 10y 11 corresponden a losvalores 5 63 y 563. así, lamediana res ulta i gual a


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Pro#iedades de laediana

• -a ediana no es vol,til co o la oda* de$ido a +ue resultara'ona$le ente esta$le frente a B#e+ue>os& ca $iosreali'ados a los datos.

• -a ediana* co o la oda* es #articular ente no sensitivaa valores e?tre os 4outliers .

•Para un con(unto de n datos e?iste una !nica ediana.• i n es i #ar* la ediana resulta ser uno de los datos de la

uestra. En el caso en +ue n es #ar* la ediana resultai ual a uno de los datos de la uestra* solo si los datosu$icados en los lu ares son i uales.

• Co o en el caso de la oda* la ediana no usa toda lainfor ación #resente en la uestra* desde +ue el valornu /rico de la ediana es calculado usando sola ente elvalor central de los datos* el resto de los datos sondesesti ados.


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a !ediana para datos cualitati'os

• El #rocedi iento #ara calcular la ediana cuando los datosson ordinales nu /ricos es e?acta ente el is o +ue eldescrito #ara el caso de datos nu /ricos* esto es* se calculaa #artir de la ta$la de frecuencias.


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Ejemplo. La ta'la muestra el puntaje del test de pgar! parauna muestra de /0 recién nacidos.

(unta)e *+!ero dereci,n nacidos

Frecuenciaacu!ulada

0 0 01 1 12 1 2" 89 7 1

12 286 19 918 17 67 1; 87; 11 7;10 ; ;7


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• Ejemplo 2. Consideremos los 'alores del d lar en pesos chilenos!registrados en el mes de &e*rero del a o 200$%

Valor deldólar Frecuencia Frecuenciarelati'a8 1 0*0; " 0*1

61 1 0*062 9 0*206" 9 0*2069 1 0*06 2 0*10

68 1 0*067 2 0*1082 1 0*0


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Pro#iedades de la ediaarit /tica

• El c,lculo de la edia involucra todos los valores de lauestra* es decir* usa toda la infor ación dis#oni$le.

• -a edia es afectada #or outliers.

• -a edia* eneral ente* no es i ual a al uno de losvalores +ue co #onen la uestra.


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• Ejemplo . En una sección de una tienda co ercial* se 5aofrecido a sus e #leados un incentivo econó ico #orlo rar cierta eta en las ventas ensuales. A cada uno delos 9 vendedores se les ofrece un incentivo de 70.000 )#ara el (efe de la sección el incentivo de 900.000.

-a edia de los incentivos es 199.000* este valor nodescri$e la situación +ue ocurre en esta sección de latienda. -a ediana* #or otra #arte* es 70.000 ) es al

enos re#resentativa de lo +ue 9 de los e #eladosreci$irían de incentivo.


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Actividades1.D -as cali caciones o$tenidas #or 8 a i os en Estadística

5an sido: 6*8 "*7 2*2 9*; *7 9*1 6*6

a.D Calcula la edia de las notas o$tenidas.$.D Calcula la ediana de las notas o$tenidas.c.D Calcula la oda de las notas o$tenidas.

2.D En una o cina el (efe ana 600.000 ) los tres e #leadosanan 900.000* " 0.000 ) 128.000. Flaedia de los sueldos es un valor re#resentativo de esos

sueldosG

".D -a asa en H de 7 co #a>eros de clases es:" 97 98 9" 2 7 62 9;a.D FCu,l es la ediana de las asa de los 7 co #a>erosG$.D FCu,l es la ediana de las asas* si inclui os al #rofesor

+ue #esa 8" H G

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