modulo 5 trigonometria

CURSO DE NIVELACIN

Apunte terico - prctico

Mdulo 5: Trigonometra

1TRIGONOMETRA

En este captulo trabajaremos con las funciones trigonomtricas, que son funciones no algebrai-cas. Pero para poder entender cmo se definen, primero debemos introducir la idea de ngulo y sussistemas de medicin.

ngulos y sistemas de medicin

Se denomina ngulo a la seccin del plano que queda comprendida entre dos semirrectas quese que se originan en un mismo punto, y estn colocadas en distintas direcciones. El punto en quese inician las semirrectas se denomina vrtice del ngulo; en tanto que cada una de las semirrectasque lo delimitan, se denominan lados del ngulo.

2Se define que un ngulo es positivo cuando se mide en el sentido contrario a lasagujas del reloj (tambin llamado sentido antihorario, sentido levgiro o sentido directo), y porlo tanto es negativo si se mide en sentido contrario, es decir, en el mismo sentido quelas agujas del reloj (sentido horario, sentido dextrgiro o indirecto). En un sistema de ejescartesianos, se toma por convencin que, los ngulos se miden desde el eje positivo delas abscisas en sentido contrario a las agujas del reloj. En general los ngulos se denotancon letras griegas.

Existen distintos sistemas de medicin de ngulos (de manera anloga a la que existen distintossistemas para medir, por ejemplo, distancias: millas, kilmetros, leguas, etc.). Los sistemas queveremos en este curso sern el sistema sexagesimal, el sistema horario y el sistema circular.

Sistema sexagesimal En este sistema una vuelta completa equivale a 360 grados. Esto se denota:360. Luego, 3

4de vuelta equivale a 270, 1

2de vuelta equivale a 180 y 1

4de vuelta equivale

a 90.

3Las fracciones de grado son los minutos y los segundos, esto quiere decir que: un grado equivalea 60 minutos, 1 60, y 1 minuto equivale a 60 segundos, 1 60. De este modo podemosescribir un ngulo de dos formas equivalentes: como fraccin de grado o lo podemos expresaren grados, minutos y segundos.

Ejemplo: Supongamos que queremos escribir el ngulo = 42 30 15 como fraccin de gra-do. Para hacer esto tenemos que ver a cuntos grados equivalen 30 15. Entonces, utilizandolas equivalencias dadas anteriormente tenemos que:

60 1

15 x = x = 15 . 1

60= 0.25

As encontramos que 15 0.25. Ahora tenemos que = 42 30.25. Finalmente, para pasarde minutos a fraccin de grado hacemos el mismo procedimiento que realizamos recin:

60 1

30.25 x = x = 30.25 . 1

60= 0.50416

De este modo encontramos que = 42 30 15 = 42.50416.

Es importante recordar que cuando estemos trabajando en estas unidades la cal-culadora debe estar en la funcin deg (degree, que quiere decir grado en ingls).

4Sistema horario En este sistema una vuelta completa equivale a 24 horas. Esto se denota: 24h.Luego, 3

4de vuelta equivale a 18h, 1

2de vuelta equivale a 12h y 1

4de vuelta equivale a 6h.

Las fracciones de hora tambin son los minutos y los segundos, esto quiere decir que: una horaequivale a 60 minutos, 1h 60m, y 1 minuto equivale a 60 segundos, 1m 60s. De este modopodemos escribir un ngulo de dos formas equivalentes: como fraccin de hora o lo podemosexpresar en horas, minutos y segundos.

Ejemplo: Supongamos que queremos escribir el ngulo = 42h 30m 15s como fraccin dehora. Utilizando el mismo procedimiento que en el ejemplo del sistema sexagesimal obtenemosque = 42h 30m 15s = 42.h50416.

Para este caso las calculadoras no tienen una funcin especfica, pero como las fracciones dehora y de grado son equivalentes, para trabajar en este sistema la calculadora debeestar en la funcin deg. La diferencia estar en que si estamos trabajando en el sistemahorario un ngulo de 25h equivale a un da y una hora, 25h 1d 1h, mientras que en elsistema sexagesimal un ngulo de 361 equivale a una vuelta y un grado (pero el ngulo sesigue escribiendo como 361).

5Sistema circular En este sistema una vuelta completa equivale a 2pi radianes. Esto se denota: 2pi 2pi rad. En general en este sistema no se escribe la unidad, es decir que un ngulo de 2piradianes se expresa como 2pi. Los radianes se escriben como un nmero real, las fracciones deradianes no tienen una notacin particular.

Es importante recordar que cuando estemos trabajando en estas unidades la cal-culadora debe estar en la funcin rad (radianes).

Para definir cunto mide un radin primero debemos definir la longitud de arco. Se define lalongitud de arco, L, como un tramo de la longitud total de la circunferencia.1

1La historia del nmero pi y su significado lo pueden ver aqu. (http://www.youtube.com/watch?v=zbRP2OJ99Ek)

6Para calcular esta longitud hacemos el siguiente razonamiento: si una vuelta completa, esdecir un ngulo de 2pi radianes equivale a la longitud total de la circunferencia, 2pir, entoncesun ngulo equivale a una longitud L. Por lo tanto:

2 pi

=

2 pi r

L

Despejando L obtenemos que:

L = r (1)

De aqu podemos definir cunto mide un radin. Un radin se define como el ngulopara el cual la longitud de arco, L, es igual al radio, r, de la circunferencia.

Conversin entre sistemas

Para pasar de un sistema de medicin a otro se utilizan las equivalencias entre los valores paraun mismo ngulo en los distintos sistemas. De las tres figuras anteriores se puede ver que:

90 6h pi2

180 12h pi

270 18h 32pi

360 24h 2 pi

7Ejemplo: Supongamos que queremos pasar del sistema sexagesimal al sistema horario el ngulo = 42 30 15. Lo primero que hay que hacer es escribir el ngulo en fraccin de grado. Esto noshaba dado que = 42 30 15 = 42.50416. Luego para pasar al sistema horario utilizamos, porejemplo la equivalencia 180 12h. Entonces,

180 12h

42.50416 x = x = 42.50416 . 12h

180= 2.h83361

Para escribir el ngulo en horas, minutos y segundos hacemos el proceso inverso al que hicimosanteriormente.

Primero pasamos a minutos:

1h 60m

0.h83361 x = x = 0.h83361 . 60m

1h= 50.m016

Y la fraccin de minutos la pasamos a segundos:

1m 60s

0.m016 x = x = 0.m16 . 60s

1m= 1s

Finalmente, obtuvimos que = 42 30 15 = 2h 50m 1s.Supongamos ahora que queremos pasar al sistema circular. De forma anloga tenemos que si

= 2h 50m 1s = 2.h83361 entonces para cambiar de sistema hacemos lo siguiente:

24h 2 pi2.h83361 x = x = 2.

h83361 . 2 pi

24h= 0,741837654

Por lo tanto = 42 30 15 = 2h 50m 1s = 0,741837654.

EjercicioEscribe verdadero (V) o falso (F) segn corresponda.

a) 15 24 = 924m

b) 162.5 = 132 5

c)5

4pi = 225

8Funciones trigonomtricas

Una primera manera de definir las funciones trigonomtricas es a partir de un tringulo rectn-gulo.

Un tringulo rectngulo es aqul que tiene un ngulo recto como uno de sus ngulos interiores.En este caso, los lados que forman el ngulo recto se llaman catetos, y el tercer lado esla hipotenusa. Si uno toma un ngulo interior, que no sea el ngulo recto, entonces elcateto que forma dicho ngulo ser el cateto adyacente, mientras que el otro ser elcateto opuesto.

Las funciones trigonomtricas son el seno, sen; el coseno, cos, y la tangente, tan y se definencomo:

sen =Cateto opuesto

Hipotenusa

cos =Cateto adyascente

Hipotenusa

tan =sen

cos =

Cateto opuesto

Cateto adyascente

Entonces en el tringulo, de la figura siguiente, formado por los lados r, a y b, las funcionestrigonomtricas sern:

9sen =b

rsen =

a

r

cos =a

rcos =

b

r

tan =sen

cos =

b

atan =

sen

cos =

a

b

El teorema de Pitgoras (que demostraremos ms a delante) dice que r2 = a2+ b2. De aqu se tieneque r2 a2 y r2 b2. Aplicando raz cuadrada en ambos miembros obtenemos que r a y r b.Luego 1 |a

r| y 1 | b

r|. Finalmente, teniendo en cuenta que cos = sen = a

ry sen = cos = b

r

resulta que:

| cos | = | sen | 1| sen | = | cos | 1

De este resultado se puede decir que para cualquier ngulo, , tenemos que:

1 sen 11 cos 1 (2)

10

Si ahora agrandamos el tringulo sin modificar sus ngulos interiores, por ejemplo el tringuloformado por los lados r, a y b, resulta que

sen =b

r=

b

rsen =

a

r=

a

r

cos =a

r=

a

rcos =

b

r=

b

r

tan =b

a=

b

atan =

a

b=

a

b

Esto significa que el valor de las funciones trigonomtricas dependen del ngulo y no deltamao del tringulo. Por lo tanto podemos deshacernos del tringulo y extender las funcionestrigonomtricas a todos los ngulos (y no restringirnos a los ngulos menores que 180 solamentecomo venamos haciendo). Entonces ahora vamos a trabajar en lo que se llama la circunferenciatrigonomtrica, que es una circunferencia de radio unidad cuyo centro coincide con elorigen del sistema de coordenadas cartesiano.

En el sistema de ejes cartesianos, el plano x y se divide en 4 cuadrantes: el primer cuadrantecorresponde al semiplano en el cual x e y son positivos; en el segundo cuadrante x < 0 e y > 0; enel tercer cuadrante x e y son negativos, y en el cuarto cuadrante x > 0 e y < 0. Estos cuadrantesse denotan con nmeros romanos. Con este criterio y teniendo en cuenta que los ngulos positivosse miden desde el eje positivo de las abscisas y en sentido antihorario tendremos que un ngulopertenece al primer cuadrante si est entre 0 y pi/2, pertenece al segundo cuadrante si est entrepi/2 y pi, pertenece al tercer cuadrante si est entre pi y (3/2)pi; y pertenece al cuarto cuadrante siest entre (3/2)pi y 2pi.

11

Para calcular el valor de las funciones trigonomtricas en la circunferencia, lo que se hace esasociarle un tringulo rectngulo a cada ngulo. Este tringulo se construye trazando un segmen-to paralelo al eje de la ordenadas desde el punto de interseccin entre el lado del ngulo y lacircunferencia, hasta el eje de la abscisas. Entonces:

sen =b

1= b cos =

a

1= a tan =

sen

cos =

b

a

12

Como estamos en un sistema de ejes cartesianos tendremos que:

I ={a > 0

b > 0=

{cos > 0

sen > 0= tan > 0

II ={a < 0

b > 0=

{cos < 0

sen > 0= tan < 0

III ={a < 0

b < 0=

{cos < 0

sen < 0= tan > 0

IV ={a > 0

b < 0=

{cos > 0

sen < 0= tan < 0

Para los extremos de los cuadrantes la funciones trigonomtricas son:

= 0 = 2 pi

={sen = 0

cos = 1= tan = 0

=pi

2=

{sen = 1

cos = 0= @ tan

13

= pi ={sen = 0

cos = 1 = tan = 0

=3

2pi =

{sen = 1cos = 0

= @ tan

ATENCINLos ngulos pueden ser mayores a 2 pi, esto significa que los ngulos pueden dar una o varias

vueltas. Por ejemplo, el ngulo y el ngulo 1 = + 2 pi, son ngulos distintos pero losvalores de sus funciones trigonomtricas son iguales porque caen en el mismo lugar enla circunferencia trigonomtrica.Lo mismo sucede si damos dos vueltas, 2 = + 2 (2 pi), o tres vueltas, 3 = + 3 (2 pi), o sidamos una cantidad de vueltas tan grande como se quiera. Entonces, resulta que

k Z

sen = sen ( + 2 k pi)

cos = cos ( + 2 k pi)

tan = tan ( + 2 k pi)

14

Es importante resaltar que el dominio de las funciones trigonomtricas seno y coseno son n-meros reales que representan ngulos. Sin embargo, la imagen tanto del seno como del coseno sonlos nmeros reales que estn entre 1 y 1, es decir, Im(sen) = Im(cos) = [1, 1]. Mientras que eldominio de la tangente son todos los nmeros reales excepto los nmeros (pi/2)+2kpi y (3pi/2)+2kpi,con k Z.

Dom(sen) = RIm(sen) = [1; 1]

Dom(cos) = RIm(cos) = [1; 1]

15

Dom(tan) = R {/ 6= (pi/2) + 2kpi, 6= (3pi/2) + 2kpi y k Z}Im(tan) = R

EjercicioComplet con V (verdadero) o F (falso) segn corresponda. Justific.

a) Si el coseno de un ngulo es negativo, el ngulo pertenece al tercer o cuarto cuadrante.

b) Si el coseno de un ngulo es negativo y el seno del mismo ngulo es positivo, el ngulopertenece al segundo cuadrante.

c) Si la tangente de un ngulo es positiva, se puede asegurar que dicho ngulo pertenece alprimer cuadrante.

d) Si un ngulo pertenece al tercer cuadrante, el seno de dicho ngulo es positivo.

e) Si el seno de un ngulo es positivo y la tangente es positiva, el ngulo pertenece al primercuadrante.

Funciones trigonomtricas recprocas

Las funciones trigonomtricas recprocas (no son las funciones trigonomtricas inversas) son lacosecante, csc; la secante, sec; y la cotangente, cot, y se definen como:

csc =1

sen para sen 6= 0

sec =1

cos para cos 6= 0

cot =1

tan =

cos

sen para sen 6= 0

(3)

16

Dom(csc) = R {/ 6= 2kpi, 6= pi + 2kpi y k Z}Im(csc) = (,1] [1,+)

Dom(sec) = R {/ 6= (pi/2) + 2kpi, 6= (3pi/2) + 2kpi y k Z}Im(sec) = (;1] [1; +)

17

Dom(cot) = R {/ 6= kpi; k Z}Im(cot) = R

Relaciones Fundamentales

Lo que vamos a ver ahora son las relaciones que existen entre el seno y el coseno. Para la tangentetambin existen estas relaciones, pero como la tangente se define como el cociente del seno por elcoseno, se pueden demostrar utilizando las identidades que veremos a continuacin.

Relacin pitagrica

Para poder demostrar esta identidad, primero vamos a demostrar el teorema de Pitgoras.

Teorema de Pitgoras

Dado un tringulo rectngulo cualquiera, el cuadrado de la longitud de su hipotenusa es iguala la suma de los cuadrados de la longitud de sus catetos.

c2 = a2 + b2

18

Demostracin

Para demostrar la identidad vamos a utilizar un cuadrado de lado a + b subdividido como semuestra en la figura:

La superficie del cuadrado es (a + b)2, pero tambin la podemos escribir como la suma de

la superficie del cuadrado del medio ms la superficie de los 4 tringulos: c2 + 4a b

2. Por lo

tanto:

(a + b)2 = c2 + 4a b

2a2 + b2 + 2 a b = c2 + 2 a b

a2 + b2 = c2

De este modo hemos demostrado que la suma de los cuadrados de los catetos es igualal cuadrado de la hipotenusa2.

a2 + b2 = c2 (4)

2Esta misma demostracin es la que explica Paenza aqu (http://www.youtube.com/watch?v=BA61JrwgKDQ).Si quers saber ms sobre este teorema hac clic aqu (http://www.youtube.com/watch?v=yvsmwRROCkw).

19

Una vez demostrado el teorema de Pitgoras, podemos reemplazar sus catetos por expresionesen funcin del ngulo . Esto lo hacemos de la siguiente manera:

sen =b

c= b = c sen

cos =a

c= a = c cos

Si reemplazamos estas dos expresiones en el teorema de Pitgoras obtenemos que:

a2 + b2 = c2

(c cos )2 + (c sen )2 = c2

c2 cos2 + c2 sen2 = c2

c2 (cos2 + sen2 ) = c2

As obtenemos la relacin pitagrica:

cos2 + sen2 = 1 (5)

Esta relacin es una identidad, por lo tanto vale para cualquier ngulo.

Funciones trigonomtricas de la suma de dos ngulos

sen ( + ) = sen cos + cos sen cos ( + ) = cos cos sen sen (6)

Estas expresiones las vamos a demostrar grficamente. Tomemos dos tringulos. El primeroser un tringulo cuya hipotenusa es igual a uno, sus catetos son a y b, y es el nguloformado por b y la hipotenusa. El segundo tiene a b como hipotenusa, sus catetos son e y fy es el ngulo formado por b y f .

sen = acos = b

sen =e

b=

c

a

cos =f

b=

d

a

20

Ahora, despejando c, d, e y f tenemos que:

c = a sen d = a cos e = b sen f = b cos

Y reemplazando a y b por sen y cos, respectivamente, obtenemos que:

c = sen sen d = sen cos e = cos sen f = cos cos

Por otro lado, de la figura tambin tenemos que:

sen ( + ) = d + ecos ( + ) = f c

Reemplazando c, d, e y f por las expresiones encontradas obtenemos que:

sen ( + ) = d + e = sen cos + cos sen cos ( + ) = f c = cos cos sen sen

De este modo hemos encontrado las funciones trigonomtricas para la suma de dos ngulos:

sen ( + ) = sen cos + cos sen cos ( + ) = cos cos sen sen

Funciones trigonomtricas de la resta de dos ngulos

sen ( ) = sen cos cos sen cos ( ) = cos cos + sen sen (7)

Esto lo vamos a demostrar de forma anloga al procedimiento anterior. De la siguiente figuratenemos que:

21

sen = acos = b

sen =e

b=

c

a

cos =f

b=

d

a

Ahora, despejando c, d, e y f tenemos que:

c = a sen d = a cos e = b sen f = b cos

Y reemplazando a y b por sen y cos, respectivamente, obtenemos que:

c = sen sen d = sen cos e = cos sen f = cos cos

De la figura tambin tenemos que:

sen ( ) = e dcos ( ) = f + c

Reemplazando c, d, e y f por las expresiones encontradas obtenemos que:

sen ( ) = e d = cos sen sen cos cos ( ) = f + c = cos cos + sen sen

De este modo hemos encontrado las funciones trigonomtricas para la suma de dos ngulos:

sen ( ) = sen cos cos sen cos ( ) = cos cos + sen sen

22

Las relaciones fundamentales se pueden sintetizar de la siguiente manera:

cos2 + sen2 = 1sen ( ) = sen cos cos sen cos ( ) = cos cos sen sen

(8)

De estas expresiones se pueden deducir las funciones trigonomtricas para el ngulo opuesto, elngulo doble y el ngulo mitad.

Funciones trigonomtricas del ngulo opuesto

Si es un ngulo cualquiera, su opuesto ser el ngulo . Las funciones trigonomtricasdel ngulo se pueden escribir en funcin de . Para esto vamos a utilizar las expresionesencontradas para la resta de dos ngulos (relacin 7) teniendo en cuenta que el ngulo opuestose puede escribir como una resta: = 0 . Entonces,

sen () = sen (0 )= sen (0)

=0

cos() cos (0) =1

sen()

= sen Para el coseno hacemos lo mismo:

cos () = cos (0 )= cos (0)

=1

cos() + sen (0) =0

sen()

= cos

Por lo tanto, las funciones trigonomtricas para el ngulo opuesto son:

cos () = cos sen () = sen (9)

Funciones trigonomtricas del ngulo doble

Ahora vamos a utilizar las relaciones encontradas para la suma de dos ngulos (relaciones 6)ya que si es un ngulo cualquiera, el ngulo doble ser 2 = + . Entonces,

sen (2) = sen ( + )= sen () cos() + cos () sen()= 2 sen cos

Para el coseno hacemos lo mismo:

23

cos (2) = cos ( + )= cos () cos() sen () sen()= cos2 sen2

Por lo tanto, las funciones trigonomtricas para el ngulo doble son:

cos (2) = cos2 sen2 sen (2) = 2 sen cos

(10)

Funciones trigonomtricas del ngulo mitad

Esta demostracin requiere un poco ms de esfuerzo, pero de todos modos es bastante simple.Para encontrar las funciones del ngulo mitad vamos a hacer lo siguiente. Escribimos a unngulo cualquiera como 1

2 + 1

2. Luego el coseno de es:

cos = cos

(1

2 +

1

2

)

= cos2(1

2

) sen2

(1

2

)

Ahora, por la relacin pitagrica (ec. 5) tenemos que:

cos2(1

2

)+ sen2

(1

2

)= 1

Entonces, para encontrar el seno del ngulo mitad despejamos el cuadrado del coseno de larelacin anterior, esto es:

cos2(1

2

)= 1 sen2

(1

2

)Y esto lo reemplazamos en la expresin para el coseno de . As encontramos que:

cos = cos2(1

2

) sen2

(1

2

)

=

[1 sen2

(1

2

)] sen2

(1

2

)

= 1 2 sen2(1

2

)

24

Finalmente, despejando el seno del ngulo mitad:

sen

(1

2

)=

1 cos

2

Para hallar el coseno del ngulo mitad despejamos el coseno cuadrado de la relacin pitagricay la reemplazamos en la expresin del coseno de .

cos = cos2(1

2

) sen2

(1

2

)

= cos2(1

2

)[1 cos2

(1

2

)]

= 1 + 2 sen2(1

2

)Finalmente, despejando el coseno del ngulo mitad:

cos

(1

2

)=

1 + cos

2

Por lo tanto las funciones trigonomtricas para el ngulo mitad sern:

cos

(1

2

)=

1 + cos

2

sen

(1

2

)=

1 cos

2

(11)

El doble signo est asociado a la incertidumbre del cuadrante en el cual se encuentre el ngulo1

2.

ATENCIN

.Tener en cuenta que estas ltimas tres demostraciones se desprenden de la suma y resta de

ngulos. Se pueden deducir y no es necesario aprenderlas de memoria.

.

25

Ejercicios

1. Hallar el seno, el coseno y la tangente del ngulo , en funcin de las funciones trigonomtricasdel ngulo I, sabiendo que:

a) y son ngulos complementarios.

b) y son ngulos suplementarios.

2. Demuestre, utilizando las relaciones fundamentales, las siguientes identidades:

a) tan( + ) =tan + tan

1 tan() tan()b) sen =

cos

cot

c) sec =1 + tan2

d) 1 sen = (sen /2 cos /2)2

e) sec(2) =1

1 2 cos2

Reduccin al primer cuadrante

La reduccin al primer cuadrante consiste en escribir el seno y el coseno de un ngulo cualquiera,en funcin de las funciones trigonomtricas de un ngulo , tal que I.

ngulo perteneciente al segundo cuadrante.

26

Del grfico se ve que para cualquier ngulo del segundo cuadrante existe su suplementario. Porlo tanto, se puede escribir como pi . Utilizando las relaciones fundamentales se encuentraque:

cos(pi ) = cos pi =1

cos + sen pi =0

sen = cos

sen(pi ) = sen pi =0

cos cos pi =1

sen = sen

Luego, para cualquier ngulo del segundo cuadrante tendremos que:

cos(pi ) = cos sen(pi ) = sen (12)

ngulo perteneciente al tercer cuadrante.

Del grfico se ve que cualquier ngulo del tercer cuadrante se puede escribir como pi + .Utilizando las relaciones fundamentales se encuentra que:

cos(pi + ) = cos pi =1

cos sen pi =0

sen = cos

sen(pi + ) = sen pi =0

cos + cos pi =1

sen = sen

Luego, para cualquier ngulo del tercer cuadrante tendremos que:

cos(pi + ) = cos sen(pi + ) = sen (13)

27

ngulo perteneciente al cuarto cuadrante.

Del grfico se ve que cualquier ngulo del cuarto cuadrante se puede escribir como 2 pi .Utilizando las relaciones fundamentales se encuentra que:

cos(2 pi ) = cos(2 pi) =1

cos + sen(2 pi) =0

sen = cos

sen(2 pi ) = sen(2 pi) =0

cos cos(2 pi) =1

sen = sen

Luego, para cualquier ngulo del cuarto cuadrante tendremos que:

cos(2 pi ) = cos sen(2 pi ) = sen (14)

Las relaciones encontradas para el seno y el coseno de (pi ), (pi + ) y (2pi )valen siempre, aunque no pertenezca al primer cuadrante. Esto es as porque hemosutilizado las relaciones encontradas para el seno y el coseno para la suma y para laresta de ngulos.

28

EjercicioCompleta la siguiente tabla.

0 pi6

pi

4

pi

3

pi

22

3pi 3

4pi 5

6pi pi 7

6pi 5

4pi 4

3pi

3

2pi 11

6pi 7

4pi 5

3pi 2 pi

sen xcos xtan xcsc xsec xcot x

A estos ngulos se les conoce con exactitud el valor de sus funciones trigonomtricas. Esto quieredecir que en la resolucin de problemas los podemos tomar como datos conocidos.

Funciones trigonomtricas inversas

Son las funciones arcoseno (arc sen), arcocoseno (arc cos) y arcotangente (arctan). Estas funcio-nes se utilizan cuando la incgnita forma parte del argumento de las funciones trigonomtricas. Esimportante mencionar que la imagen de estas funciones son ngulos.

Funcin arcoseno: Se define como:

Dom(arc sen) = [1; 1]Im(arc sen) = [pi/2; pi/2]f(x) = arc sen (x)

29

Que el seno y el arcoseno sean funciones inversas significa que si sen = x entonces,

arc sen[sen ] = sen[arc sen x] = x

En las calculadoras normalmente esta funcin se denota como sen1, en este caso

sen1 6=1

sen .

Dependiendo del signo del argumento del arcoseno, la imagen ser un ngulo de algn cua-drante en particular. Es decir, si = arc sen (x) entonces resulta que x = sen (). Entonces,entre [pi

2; pi2] tendremos que:

si x = 1 = = pi2

si 1 < x < 0 = pi2< < 0 = IV

si x = 0 = = 0si 0 < x < 1 = 0 < < pi

2= I

si x = 1 = = pi2

(15)

ATENCIN

Utilizando las relaciones encontradas anteriormente, cuando estudiamos la reduccin al primercuadrante (relaciones 12, 13 y 14), podemos encontrar los valores de [0; 2pi) que satisfacen = arc sen(x).

si x = 1 = = 32pi

si 1 < x < 0 = pi < < 32pi o 3

2pi < < 2pi = III o IV

si x = 0 = = 0 o = pisi 0 < x < 1 = 0 < < pi

2o pi

2< < pi = I o II

si x = 1; = = pi2

(16)

De aqu que entre [0; 2pi) siempre tendremos dos soluciones, excepto cuando sen() = 1 osen() = 1.

30

Funcin arcocoseno: Se define como:

Dom(arc cos) = [1; 1]Im(arc cos) = [0; pi]

f(x) = arc cos (x)

Ahora si cos = x entonces,

arc cos[cos ] = cos[arc cos x] = x

En las calculadoras normalmente esta funcin se denota como cos1.

Dependiendo del signo del argumento la imagen ser un ngulo de algn cuadrante en parti-cular. Si = arc cos (x) entonces resulta que x = cos (). Entonces, entre [0; pi] tendremosque:

si x = 1 = = pisi 1 < x < 0 = pi

2< < pi = II

si x = 0 = = pi2

si 0 < x < 1 = 0 < < pi2

= Isi x = 1 = = 0

(17)

31

ATENCIN

Utilizando las relaciones encontradas anteriormente, cuando estudiamos la reduccin al primercuadrante (relaciones 12, 13 y 14), podemos encontrar los valores de [0; 2pi) que satisfacen = arc cos(x).

si x = 1 = = pisi 1 < x < 0 = pi

2< < pi o pi < < 3

2pi = II o III

si x = 0 = = pi2

o = 32pi

si 0 < x < 1 = 0 < < pi2

o 32pi < < 2pi = I o IV

si x = 1; = = 0

(18)

De aqu que entre [0; 2pi) siempre tendremos dos soluciones, excepto cuando cos() = 1 ocos() = 1.

Funcin arcotangente: Se define como:

Dom(arctan) = R

Im(arctan) = (pi/2; pi/2)f(x) = arctan (x)

Ahora si tan = x entonces,

arctan[tan ] = tan[arctan x] = x

32

En las calculadoras normalmente esta funcin se denota como tan1.

Dependiendo del signo del argumento la imagen ser un ngulo de algn cuadrante en particu-lar. Si = arctan (x) entonces resulta que x = tan (). Entonces, entre (pi

2; pi2) tendremos

que:

si x < 0 = pi2< < 0 = IV

si x = 0 = = 0si 0 < x = 0 < < pi

2= I

(19)

ATENCINUtilizando las relaciones encontradas anteriormente, cuando estudiamos la reduccin al primercuadrante (relaciones 12, 13 y 14), podemos encontrar los valores de [0; 2pi) que satisfacen = arctan(x).

si x < 0 = pi2< < pi o 3

2pi < < 2pi = II o IV

si x = 0 = = 0 o = pisi 0 < x = 0 < < pi

2o pi < < 3

2pi = I o III

(20)

De aqu que entre [0; 2pi) siempre tendremos dos soluciones.

Ejemplos: Vamos a resolver ecuaciones donde la incgnita es el ngulo, utilizando las funcionestrigonomtricas inversas:

Ejemplo 1: Supongamos que queremos hallar un ngulo tal que su seno sea igual a 1/2.La ecuacin que queremos resolver es:

sen =1

2

Entonces para despejar nuestra incgnita de la ecuacin aplicamos la funcin arcoseno enambos miembros.

sen =1

2

arc sen[sen ] = arc sen

(1

2

)

= arc sen

(1

2

)

33

Ahora, como sen > 0 tenemos entonces que I II. De acuerdo a las relacionesencontradas en 16 y a los resultados encontrados en el ejercicio anterior, tendremos que lassoluciones, en [0; 2 pi), sern 1 = pi/6 y 2 = pi 1 = 56pi.En el caso en el que las soluciones no estn restringidas a un intervalo particular, entonceslas soluciones son de la forma 1 = pi/6 + 2 pi k y 2 =

5

6pi + 2 pi k, con k Z.

Ejemplo 2: Supongamos que queremos hallar un ngulo tal que su coseno sea igual a1/2. La ecuacin que queremos resolver es:

cos = 12

Entonces para despejar nuestra incgnita de la ecuacin aplicamos la funcin arcocoseno enambos miembros.

cos = 12

arc cos[cos ] = arc cos

( 1

2

)

= arc cos

( 1

2

)Ahora, como cos < 0 tenemos entonces que II III. Entonces, de acuerdo a lasrelaciones 18 y a los resultados encontrados en el ejercicio anterior, las soluciones, en [0; 2 pi),sern 1 =

2

3pi y 2 = 2 pi 1 = 43pi.

En el caso de que las soluciones no estn restringidas a un intervalo particular, entonces lassoluciones son de la forma 1 =

2

3pi + 2 pi k y 2 =

4


Ejemplo 3: Supongamos que queremos hallar un ngulo tal que su tangente sea igual a1. La ecuacin que queremos resolver es:

tan = 1

Entonces para despejar nuestra incgnita de la ecuacin aplicamos la funcin arcotangenteen ambos miembros.

tan = 1arctan[tan ] = arctan( 1)

= arctan(1)

34

Ahora, como tan < 0 tenemos entonces que II IV. Entonces, de acuerdo a lasrelaciones 20 y a los resultados encontrados en el ejercicio anterior, las soluciones, en [0; 2 pi),sern 1 =

3

4pi y 2 = pi + 1 =

7

4pi.

En el caso de que las soluciones no estn restringidas a un intervalo particular, entonces lassoluciones son de la forma 1 =

3

4pi + 2 pi k y 2 =

7


EjercicioEncuentra el valor de los ngulos, pertenecientes al intervalo [0, 2pi), que satisfacen las siguientes

condiciones:

a) tan() = 1

b) sen() =3 cos()

c) arc cos 1 =

Resolucin de tringulos

Una aplicacin de la trigonometra es la resolucin de tringulos. Esto consiste en determinarlos lados y/o los ngulos interiores a un tringulo conociendo algunos datos del mismo.

Para resolver este tipo de problemas, adems de poder utilizar la relaciones fundamentalesvistas anteriormente (identidades 8 y las relaciones 16, 18 y 20) vamos a utilizar dos teoremas y lasrelaciones entre los ngulos interiores de un tringulo.

Teorema del seno

El teorema del seno dice que dado cualquier tringulo de lados a, b y c, y cuyos ngulosinteriores son , formado por los lados b y c; , formado por los lados a y c; y ,formado por los lados a y b, se cumple que:

sen

a=

sen

b=

sen

c(21)

Demostracin

Para demostrar este teorema hay que ver que la relacin 21 se cumple para todos los tringulos,por lo que vamos a demostrarlo para los tringulos acutngulo, obtusngulo y recto.

35

Tringulo acutngulo: Si en el tringulo trazamos la altura h tomando al lado c como basepodemos escribir que:

sen =h

b

sen =h

a

=

{h = b sen

h = a sen

Luego, igualando las dos expresiones de h encontramos que:

b sen = a sen

sen

a=

sen

b

Si ahora trazamos la altura h tomando al lado a como base podemos escribir que:

sen =h

c

sen =h

b

=

{h = c sen h = b sen

Luego, igualando las dos expresiones de h encontramos que:

c sen = b sen

sen

b=

sen

c

Finalmente, encontramos que comosen

a=

sen

by

sen

b=

sen

cdemostramos que el

teorema del seno se cumple para los tringulos acutngulos.

Tringulo obtusngulo: Esta demostracin sigue la misma metodologa que llevamos acabo anteriormente. Trazamos la altura h tomando al lado c como base. Entonces,

36

sen =h

b

sen(pi ) = sen = ha

=

{h = b sen

h = a sen

Por lo tanto,

sen

a=

sen

b

Si ahora trazamos la altura h tomando al lado b como base podemos escribir que:

sen =h

c

sen =h

a

= h

= c sen = a sen = sen a

=sen

c


a=

sen

by

sen

a=

sen

cdemostramos que el

teorema del seno se cumple para los tringulos obtusngulos.

Tringulo rectngulo: Esta demostracin es un poco ms simple porque ahora = pi/2entonces sen = 1.

37

sen =a

b

b sen = ab sen = a sen (vale porque sen = 1)

sen

a=

sen

b

Anlogamente tenemos que:

sen =c

b

b sen = cb sen = c sen

sen

c=

sen

b


a=

sen

by

sen

b=

sen

cdemostramos que el

teorema del seno se cumple para los tringulos rectngulos.

De este modo hemos demostrado que el teorema del seno vale para cualquier tringulo.

Teorema del coseno

El teorema del coseno dice que dado cualquier tringulo de lados a, b y c, y cuyosngulos interiores son , formado por los lados b y c; , formado por los lados a y c;y , formado por los lados a y b, se cumple que:

a2 = b2 + c2 2 b c cos b2 = a2 + c2 2 a c cos c2 = a2 + b2 2 a b cos

(22)

38

Demostracin

Nuevamente este teorema hay que demostrarlo para todos los tringulos.

Tringulo acutngulo: Si en el tringulo trazamos la altura h tomando al lado c como basepodemos escribir que:

sen =h

b= h = b sen

cos =c1b

= c1 = b cos c = c1 + c2 = c2 = c c1 = c b cos

Por el teorema de Pitgoras tenemos que:

a2 = h2 + c22

Luego, reemplazamos que h = b sen y c2 = c b cos ,

a2 = h2 + c22

= (b sen )2 + (c b cos )2= b2 sen2 + c2 2 c b cos + b2 cos2 = b2(sen2 + cos2 ) + c2 2 b c cos = b2 + c2 2 b c cos

De este modo encontramos que a2 = b2 + c2 2 b c cos . Ahora hay que encontrar las otrasdos igualdades. Esto se hace de forma anloga.

sen =h

a= h = a sen

cos =c2a

= c2 = a cos c = c1 + c2 = c1 = c c2 = c a cos

39


b2 = h2 + c21

= (a sen )2 + (c a cos )2= a2 sen2 + c2 2 c a cos + a2 cos2 = a2(sen2 + cos2 ) + c2 2 a c cos = a2 + c2 2 a c cos

Y para encontrar la ltima igualdad trazamos la altura h y luego hacemos lo siguiente:

sen =h

b= h = b sen

cos =a1b

= a1 = b cos a = a1 + a2 = a2 = a a1 = a b cos


c2 = (h)2 + a22

= (b sen )2 + (a b cos )2= b2 sen2 + a2 2 a b cos + b2 cos2 = b2(sen2 + cos2 ) + a2 2 a b cos = a2 + b2 2 a b cos

Finalmente, encontramos que para un tringulo acutngulo se cumple que:

a2 = b2 + c2 2 b c cos b2 = a2 + c2 2 a c cos c2 = a2 + b2 2 a b cos

Tringulo obtusngulo: Esta demostracin es bastante similar a la anterior. Trazamos laaltura h tomando al lado c como base podemos escribir que:

40

sen =h

b= h = b sen

cos =c1b

= c1 = b cos c1 = c + c2 = c2 = c1 c = b cos c


a2 = h2 + c22

= (b sen )2 + (b cos c)2= b2 + c2 2 b c cos

Para el lado b hacemos lo mismo:

sen(pi ) = sen = ha

= h = a sen

cos(pi ) = cos = c2a

= c2 = a cos c1 = c + c2 = c1 = c a cos


b2 = h2 + c21

= (a sen )2 + (c a cos )2= a2 + c2 2 a c cos

Y para el lado c trazamos la altura h.

sen =h

a= h = a sen

cos =b2a

= b2 = a cos b = b1 + b2 = b1 = b a cos

41


c2 = (h)2 + b21

= (a sen )2 + (b a cos )2= a2 + b2 2 b c cos

De este modo demostramos que el teorema del coseno vale para tringulos obtusngulos.

Tringulo rectngulo: Esta demostracin es ms simple porque en este caso = pi/2 porlo que cos = 0.

Entonces, por el teorema de Pitgoras tenemos que:

b2 = a2 + c2

Pero como cos = 0 resulta entonces que 2 a c cos = 0. Por lo tanto,

b2 = a2 + c2 2 a c cos

Ahora, para hallar la segunda igualdad, despejamos a2 de la expresin b2 = a2 + c2 ysumamos y restamos c2 en el segundo miembro:

a2 = b2 c2= b2 c2 + c2 c2= b2 + c2 2 c2

De la figura tenemos que:

42

cos =c

b= c = b cos

Luego podemos escribir que:

c2 = c . c = c b cos

Reemplazamos esto en la expresin de a2 y obtenemos que:

a2 = b2 + c2 2 c2= b2 + c2 2 b c cos

Para hallar la ltima igualdad, hacemos el mismo procedimiento que hicimos para a2, peroahora teniendo en cuenta que cos = a

b= a = b cos . Entonces,

c2 = b2 a2= b2 a2 + a2 a2= b2 + a2 2 a2= a2 + b2 2 a b cos

Finalment,e demostramos que el teorema del coseno se cumple para cualquier ngulo. Ahorapodemos pensar al teorema de Pitgoras como un caso particular del teorema del coseno.

ngulos interiores de un tringulo

Geomtricamente se puede demostrar, utilizando el teorema de Thales3, que los ngulos inte-riores de un tringulo cualquiera suman 180.

3El teorema de Thales dice que cuando dos rectas secantes son cortadas por varias rectas paralelas, los seg-mentos que se forman en una de las secantes son proporcionales a los que se forman en la otra. El grupo musicalllamado Les Luthiers hizo una cancin con el enunciado y la demostracin del teorema, que lo pueden ver en aqu(http://www.youtube.com/watch?v=DsIh1m7B-xQ).Una aplicacin de este teorema la pueden encontrar en aqu (http://www.youtube.com/watch?v=w4rbEowQ7rY).

43

+ + = 180 (23)

Resolucin de tringulos

Como dijimos al comienzo de esta seccin, la idea de resolver tringulos es poder determinarlos lados y los ngulos interiores conociendo algunos datos del tringulo en cuestin.

Para poder resolver completamente un tringulo se necesitan conocer, al menos, tres de suselementos. De modo que tendremos 5 casos diferentes, pero slo existen 4 casos diferentes para loscules 1 lado siempre ser conocido y por lo tanto podremos resolver el problema.

Se conocen los tres ngulos:

En el caso de que no se conozca ninguno de los lados, no se podr resolver el problema debidoa que existen infinitos tringulos semejantes.

44

Se conocen los tres lados:

Supongamos que conocemos las longitudes de los lados a, b y c de un tringulo y queremoshallar sus ngulos interiores. Para resolver el problema vamos a utilizar el teorema del coseno.

a2 = b2 + c2 2 b c cos = cos = b2 + c2 a2

2 b c

b2 = a2 + c2 2 a c cos = cos = a2 + c2 b2

2 a c

+ + = 180 = = 180 As encontramos los tres ngulos que buscbamos:

= arc cos

(b2 + c2 a2

2 b c

)

= arc cos

(a2 + c2 b2

2 a c

) = 180

En este caso, como los ngulos interiores a un tringulo son menores que 180, si el coseno espositivo pertenecen al primer cuadrante, mientras que si es negativo pertenecen al segundo.Si la suma de dos de los ngulos interiores es mayor a 180, no existe el tringulo.

Se conocen un lado y dos ngulos:

Supongamos que conocemos la longitud del lado b y la amplitud de los ngulos y deun tringulo y queremos hallar sus elementos restantes. Para resolver el problema vamos autilizar el teorema del seno.

45

+ + = 180 = = 180 sen

a=

sen

b= a = b sen

sen

sen

c=

sen

b= c = b sen

sen

As encontramos los dos lados y el ngulo que buscbamos:

= 180 a = b

sen

sen

c = bsen

sen

Se conocen dos lados y el ngulo comprendido:

Supongamos que conocemos las longitudes de los lados a y b, y la amplitud del ngulo deun tringulo y queremos hallar sus elementos restantes. Para resolver el problema vamos autilizar el teorema del coseno.

46

c2 = a2 + b2 2 a b cos = c =a2 + b2 2 a b cos

a2 = b2 + c2 2 b c cos = cos = b2 + c2 a2

2 b c

+ + = 180 = = 180 As encontramos el lado y los ngulos que buscbamos:

c =a2 + b2 2 a b cos

= arc cos

(b2 + c2 a2

2 b c

) = 180

En este caso se omite el doble signo cuando despejamos c, porque como es una longitud estobligado a ser positivo.

Se conocen dos lados y un ngulo no comprendido:

Supongamos que conocemos las longitudes de los lados a y b, y la amplitud del ngulo deun tringulo y queremos hallar sus elementos restantes. Para resolver el problema vamos autilizar el teorema del seno y del coseno.

sen

a=

sen

b= sen = b

asen

En este caso, como sen > 0 tenemos dos soluciones: 2 I y 1 = pi 2 II. Por lotanto tendremos dos tringulos posibles, uno para cuando II:

47

+ 1 + 1 = 180 = 1 = 180 1

c21= a2 + b2 2 a b cos 1 = c1 =

a2 + b2 2 a b cos 1

Y otro para cuando I:

+ 2 + 2 = 180 = 2 = 180 2

c22= a2 + b2 2 a b cos 2 = c2 =

a2 + b2 2 a b cos 2

Este es el nico caso en el que tenemos dos soluciones.

1 = pi 2; 1 II1 = 180

1c1 =

a2 + b2 2 a b cos 1

2 = arc sen

(b

asen

); 2 I

2 = 180 2

c2 =a2 + b2 2 a b cos 2

48

Ejemplo: Problema de EratstenesEratstenes naci en Cyrene (Actualmente Libia) en el ao 276 a. C. Fue astrnomo, historiador,

gegrafo, filsofo, poeta, crtico teatral, matemtico y tambin gran amigo de Arqumedes. Estudien Alejandra y Atenas. Alrededor del ao 255 a. C fue el tercer director de la Biblioteca deAlejandra. Trabaj con problemas de matemticas, como la duplicacin del cubo y nmeros primos.Escribi muchos libros de los cuales slo se tienen noticias por referencias bibliogrficas de otrosautores.

Se considera que Eratstenes fue el primero en medir, con un mtodo cientfico, la longitud decircunferencia de la Tierra. Para ello utiliz la trigonometra.

Estudiando los papiros de la biblioteca, encontr un escrito que le llam la atencin: en Siena(hoy Asun, en Egipto) el da del solsticio de verano los objetos no proyectan sombra alguna y la luzdel sol alumbra el fondo de los pozos. De aqu l dedujo que la ciudad estaba situada justamentesobre la lnea del trpico (el trpico de Cncer) y su latitud era igual a la de la eclptica4 queya conoca. Eratstenes, suponiendo que Siena y Alejandra tenan la misma longitud (realmentedistan 3) y que el sol se encontraba tan alejado de la Tierra que sus rayos podan suponerseparalelos, observ que en Alejandra el mismo da del solsticio de verano al medioda los objetoss proyectaban sombra. Este resultado fue muy importante para la poca, ya que demostraba quela Tierra era esfrica5. Midiendo la longitud de dicha sombra encontr que la ciudad distaba 1/50parte de la circunferencia, es decir, 7 12 de Alejandra.

Posteriormente, midi la distancia entre ambas ciudades. Existen distintas versiones sobre cmofue que midi esta distancia. Algunos dicen que contrat un regimiento de soldados que diera pasosde tamao uniforme y los contara. Otros afirman que utiliz la distancia estimada por las caravanasque comerciaban entre ambas ciudades. Tambin hay quienes creen que pudo obtener el dato en lapropia Biblioteca de Alejandra.

Fijando la distancia entre las ciudades en 5.000 estadios, pudo calcular la circunferencia de laTierra resultando de 250.000 estadios, de modo que a cada grado equivale, aproximadamente, a 700estadios6.

Si suponemos que Eratstenes us el estadio equivalente a 185 m, resulta que la longitud de

4Se llama eclptica al plano que contiene al sol y a la Tierra. El Ecuador tiene una inclinacin de 23 27 conrespecto a la Eclptica.

5Slo dos personas que vivieron antes de Eratstenes haban sugerido la idea de esfericidad de la Tierra. Elprimero fue Pitgoras, pero su idea se basaba en que la esfera era la figura geomtrica perfecta y por lo tanto laTierra, para ser perfecta, deba ser esfrica. El segundo fue Aristteles, su conclusin se basaba en dos cuestiones:la primera era que los viajeros que viajaban hacia el sur vean las constelaciones de ese hemisferio subir su posicinen el horizonte. Eso slo es posible si dicho horizonte se encuentra formando un ngulo con respecto al horizonte dealguien ubicado ms al norte. Por lo tanto, la forma de la Tierra no poda ser plana. La segunda era que el borde dela sombra de la Tierra en la Luna durante la fase parcial de un eclipse lunar siempre es circular, sin importar cuanalta est la Luna sobre el horizonte. La nica figura geomtrica cuya sombra proyectada en cualquier direccin escircular, es la esfera.

6Haciendo clic aqu podrs ver un video donde se cuenta esta historia.(http://www.youtube.com/watch?v=H5kRZdsX7p4)

49

circunferencia de la Tierra es de 46250 km. Sin embargo, si suponemos utiliz el estadio egipcio(equivalente a 300 codos de 52,4 cm), la circunferencia calculada es de 39300 km.

El radio ecuatorial terrestre es de 6371 km, por lo tanto, la longitud de circunferencia sobre elEcuador es igual a 40030 km. Esto significa que los clculos de Eratstenes fueron muy exactosconsiderando que los hizo hace ms de 2200 aos.

Resolucin de problemas

Problema 1: Calcular:

sen(x + pi)

sen(pi x)cos(3 pi x)cos(pi + x)

+ sec2(x) + csc2(pi x) =

Para resolver este problema debemos utilizar las relaciones fundamentales y sus corolarios (fun-ciones trigonomtricas del ngulo opuesto, del ngulo doble y del ngulo mitad).

Analicemos factor por factor.

sen(x + pi)

sen(x + pi) = sen(x) cos(pi) + cos(x) sen(pi)= sen(x) (1) + cos(x) 0= sen(x)

50

sen(pi x)

sen(pi x) = sen(pi) cos(x) cos(pi) sen(x)= 0 cos(x) (1) sen(x)= sen(x)

cos(3 pi x)

cos(3 pi x) = cos(3 pi) cos(x) + sen(3 pi) sen(x)= cos(2 pi + pi) cos(x) + sen(2 pi + pi) sen(x)= cos(pi) cos(x) + sen(pi) sen(x)= (1) cos(x) + 0 sen(x)= cos(x)

cos(pi + x)

cos(pi + x) = cos(pi) cos(x) sen(pi) sen(x)= (1) cos(x) 0 sen(x)= cos(x)

sec2(x)

sec2(x) = [sec(x)]2

=

[1

cos(x)]2

= [cos(x)]2

= [cos(x)]2

= cos2(x)

csc2(pi x)

csc2(pi x) = [csc(pi x)]2

=

[1

sen(pi x)]2

= [sen(pi x)]2

= [sen(pi) cos(x) cos(pi) sen(x)]2

= [0 cos(x) (1) sen(x)]2

= [sen(x)]2

= sen2(x)

51

Ahora juntamos todos los resultados y resolvemos:

sen(x + pi)

sen(pi x)cos(3 pi x)cos(pi + x)

+ sec2(x) + csc2(pi x) =

= sen(x)sen(x)

cos(x) cos(x) + cos

2(x) + sen2(x) =

=sen(x)

sen(x)

XXXXX cos(x)XXXXX cos(x)

+ cos2(x) + sen2(x) =

= 1 . 1 + 1 == 0

52

Problema 2: Claudio y Daniel estn a 53 metros uno de otro. Claudio, desde su posicin, veun cofre pirata, e inmediatamente mide el ngulo que el mismo forma con la posicin de Daniel,resultando de 37. Daniel, al advertirlo, mide enseguida el ngulo que forma el cofre con Claudio,resultando de 44. Calcular quin de los dos se halla ms cerca del cofre.

En estos problemas hay dos puntos importantes a tener en cuenta: uno es hacer el grfico de lasituacin correctamente, y el otro es su resolucin.

En el grfico vamos a llamar C a la posicin de Claudio, D a la posicin de Daniel y c a laposicin del cofre. Queda claro que stos sern los vrtices del tringulo.

Luego hay que reconocer los ngulos que corresponden a los datos del problema. Uno es elngulo que mide Claudio, que es el ngulo que el cofre forma con Daniel. Esto quiere decir que elvrtice del ngulo ser Claudio.

El otro ngulo es el medido por Daniel, por lo tanto ser el ngulo cuyo vrtice es D.Para poder saber quin est ms cerca del cofre hay que calcular las longitudes de los segmentos

Cc y Dc. A estas distancias las llamaremos x e y respectivamente. Finalmente, nuestro esquemadel problema es el siguiente:

Ahora para resolver el problema, primero vamos hallar la amplitud de ngulo restante, quellamaremos . Esto lo hacemos utilizando el hecho de que los ngulos interiores suman 180.

+ 37 + 44 = 180

= 180 37 44 = 99

Luego, para determinar los valores de x e y vamos a usar el teorema del seno. Primero busquemosx.

53

sen

53m=

sen 44

x

x = 53msen 44

sen

x = 53msen 44

sen 99

x ' 37,28mAhora hacemos el mismo procedimiento para halla el valor de y.

sen

53m=

sen 37

y

y = 53msen 37

sen

y = 53msen 37

sen 99

y ' 32,29mFinalmente, encontramos que el que est ms cerca del cofre es Daniel ya que se encuentra a

una distancia de aproximadamente 32,29m, mientras que Claudio se encuentra a una distancia de 37,28m.

54

PRCTICA 5

1. Calcula, en grados sexagesimales, el valor aproximado de cada uno de los siguientes ngulos: = 1 rad, = 8pi, =

pi

3y = 3,5.

2. Expresa los siguientes ngulos en radianes, dando las respuestas en funcin de pi: = 150, = 210, = 60 y = 315.

3. Completa el siguiente cuadro:

Sistema horario Sistema sexagesimal Sistema circular270

pi

6

12h2

3pi

3

4pi

3h

20

84h

4. Dibuja en cada una de las circunferencias trigonomtricas los segmentos que representan alsen , cos y tan .

55

5. Encuentra el valor de los ngulos, pertenecientes al intervalo [0, 2pi), que satisfacen las si-guientes condiciones:

a) sen() =

3

2

b) cos() =12

c) tan() = 1010000

d) arc sen 0 = x

6. Calcula el valor de las restantes funciones trigonomtricas, sin hallar el ngulo x, teniendo encuenta los siguientes datos:

a) sen x =1

2y x I

b) cos(2 x) =1

2y x III

c) tan x = 3 y x II

56

d) cos x =

3

2y x IV

7. Marca con una cruz la opcin correcta. Justifique.

a) Si f(x) = sen2(pi2 x

), entonces f(pi/3) es igual a:

2

3

22

3

22

1

42

1

2

b) Si f(x) = 2 tan(pi x), entonces f(pi/6) es igual a:

2 23

32 2

3

3233

2 3

c) Si f(x) = tan(pi2 x

), entonces f(pi/3) es igual a:

2 3 2

3

32

3 2

3

3

8. Resuelve.

a) cos(x) sen(pi2 x

) sen(pi + x) cos

(pi2 x

)=

b)sen(pi + x) 2 sen(x)

4 cos(pi + x) + cos(2 pi x) =

c)cos(pi x) cos(pi + x)

2 tan(pi2 x

) =d) sen3(pi + x) cos3

(pi2 x

)=

e) tan(x) cos(pi + x) (csc x)1 + sen2(pi + x) + 2 cos2(x) =

f)cos(pi + y)

sen(pi/2 y)sen(2 y)

sen(4pi + y)tan(y) arc cos(1) + sen(y + pi) =

9. Utilizando las frmulas del seno y el coseno para la adicin y sustraccin y la tabla dada en lareduccin al primer cuadrante, calcula en forma exacta (sin hacer la cuenta en la calculadora):

a) sen(75)

57

b) cos( pi12

)c) tan(15)

d) csc

( 5 pi

12

)

e) sec

(7

12pi

)

10. Simplifica la expresin mediante la aplicacin de una frmula de ngulo doble o semingulosegn corresponda:

a) sen(18) 2 cos(18) =

b)1 cos(4)

sen(4)=

c) sen2(5 ) + cos2(5 ) =

d)

1 cos(8 )

2=

11. Determina cules de las siguientes expresiones son identidades trigonomtricas.

a) cos2 = 1 sen2 b) sen + cos = tan

c) tan . cot = 1

d) sen = 1 csc e) cos = (sec )1

f) sen + cos = 1

12. Verifica las siguientes identidades trigonomtricas.

a)1 + cos

sen + tan =

1 + cos

sen . cos

b)1 + tan

1 + cot = tan

58

c)1

1

cos2 (1 sen2 )

+ tan2 = sec2

d)sen(x + y) sen(x y)cos(x + y) + cos(x y) = tan y

13. Plantea y resuelve cada uno de los siguientes problemas.

a) Cul es el ngulo de elevacin del sol cuando un mstil de 24 m proyecta una sombrade 16 m?

b) Cul es la altura de una antena si una persona que se encuentra a 250 m de su base,observa la punta bajo un ngulo de 22?

c) Cul es el rea de un pentgono regular de 40 cm. de permetro?

d) Un barrilete se encuentra a 40 m de altura y su cuerda tiene una longitud de 80 m. Cules el ngulo que forma la cuerda con el piso?

e) Cul es el rea de un rombo de 4 cm. de lado y un ngulo interior de 67?

f) Un rbol est situado en la orilla de un ro. El extremo superior del rbol, desde uncierto punto ubicado en la otra orilla del ro, determina un ngulo de elevacin de 17.Si a 25 m de dicho punto y en direccin al rbol, el ngulo es de 35, cul es la alturadel mismo?

g) Tres pueblos X, W y Z, estn unidos por carreteras rectas. La distancia entre X y W esde 6 Km.; a los pueblos W y Z los separan 9 Km. El ngulo que forman las carreterasque unen X con W y W con Z es de 120.Qu distancia hay entre X y Z?

h) En una plazoleta de forma triangular, los lados miden 60 m, 75 m y 50 m Qu ngulosse forman en las esquinas de las mismas?

i) Un helicptero viaja de una ciudad a otra, distantes entre si 40 Km. En un determinadomomento, los ngulos que forman las visuales, desde el helicptero, hacia las ciudadescon la horizontal son de 14 y 26, respectivamente. Qu distancia hay en ese momentoentre el helicptero y las ciudades?

j) Mara est mirando por la ventana cmo llega su hijo de la escuela. Cuando est paradoen el cordn de la vereda de enfrente, lo ve con un ngulo de 40, y cuando llega alcordn de la vereda de su casa, lo ve con un ngulo de 28. Si el ancho de la calle es de15 m, a qu altura est la ventana?

k) Claudio observa un rbol desde la orilla opuesta de un ro, mide el ngulo que forma suvisual con el punto ms alto del rbol y obtiene 43; retrocede 10 m y mide un nuevongulo, obteniendo un resultado de 35.Qu altura tiene el rbol?

59

l) Desde un acantilado se ve un barco. El ngulo que forman la visual y la vertical esde 37. Cuando el barco se aleja 200 m ms desde el acantilado, se ve con un ngulode 52.Cul es la altura del acantilado y a qu distancia se encontraba el barco delacantilado originalmente?

14. Problema de Eratstenes

Para poder realizar el clculo de Eratstenes tomando dos punto cualesquiera del mundo, loque hay que tener en cuenta es que ambos puntos deben tener la misma longitud.

Entonces, vamos a suponer que tomamos dos postes de longitud L y los ubicamos en dospuntos diferentes, separados por una distancia d, sobre la superficie de la Tierra de modo queambos estn sobre el mismo meridiano. Luego a la misma hora se miden las longitudes desus sombras, siendo la sombra de uno de los postes de longitud s y la otra de longitud s.Siguiendo el razonamiento de Eratstenes calcule la longitud del radio terrestre (expresadoen funcin de los datos del problema)7.

7Sugerencia: Primero relea y comprenda bien el ejemplo dado anteriormente sobre el clculo realizado por Era-tstenes. Luego, tenga en cuenta que los tringulos formados por el poste, su sombra y el rayo de sol son rectngulos.

modulo 5 trigonometria

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