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241Álgebra y trigonometría
Introducción
En matemáticas se encuentran con frecuencia expresiones complicadas que
involucran las seis funciones trigonométricas. El objeto de este módulo es poder
escribir estas expresiones de una forma más sencilla y simple mediante el uso de
identidades trigonométricas. Se exponen, inicialmente, siete identidades fundamen-
tales que hay que memorizar.
Objetivo
1. Estudiar las identidades básicas de la trigonometría.
Preguntas básicas
1. ¿Qué es una identidad trigonométrica?
2. ¿Cuáles son las identidades fundamentales?
Contenido
21.1 Identidad trigonométrica
21.2 Identidades fundamentales
Vea el módulo 21 delprograma de televisión
Álgebra y trigonometría
Visite el sitio
http://docencia.udea.edu.co/cen/AlgebraTrigonometria/
21Identidades fundamentales
242
Capítulo 8: Trigonometría del círculo
21.1 Identidad trigonométrica
Una identidad trigonométrica es una relación de igualdad entre funciones
trigonométricas, que se cumple cualquiera sea el valor o valores de los ángulos que
aparecen en la expresión.
Ejemplo 7
La expresión 1
seccos
! es una identidad trigonométrica porque no importa el
valor del ángulo para que la igualdad se cumpla, ya que la secante de un ángulo
cualquiera es el inverso del coseno de ese ángulo.
Ejemplo 8
La expresión 2 2sen cos 1 " ! es una identidad trigonométrica.
Si P(x, y) son las coordenadas del lado terminal de un ángulo en su forma estándar
y forman parte de un círculo de radio a, se cumple que:
2 2 2.x y a" ! Por tanto
2 2
2 21
x y
a a" ! ,
2 2
1.x y
a a
# $ # $" !% & % &' ( ' (
De la definición de funciones circulares, se tiene que 2 2sen cos 1. " !
Ejemplo 9
Si en el círculo 2 2 2x y a" ! se divide por 0,x ) se tiene que:
2 2 2
2 2 2.
x y a
x x x" ! Por tanto
2 2
1 .y a
x x
# $ # $" !% & % &' ( ' (
De la definición de funciones circulares, se tiene que 2 21 tan sec . " !
21.2 Identidades fundamentales
El estudio de las identidades trigonométricas es importante porque mediante ellas
se pueden transformar expresiones que envuelven funciones trigonométricas en
otras equivalentes y estas transformaciones hacen que ciertas operaciones, como
la integración y la diferenciación, puedan efectuarse con mayor facilidad.
Las siguientes identidades trigonométricas son fundamentales:
1. 2 2sen cos 1. " !
2. 2 21 tan sec . " !
243Álgebra y trigonometría
Módulo 21: Identidades fundamentales
3. 2 21 cot csc . " !
4.sen
tan .cos
!
5.1
sec .cos
!
6.1
csc .sen
!
7.1
cot .tan
!
Ejemplo 10
Si está en el segundo cuadrante y sen 4 / 5, ! encuentre los valores de las
demás funciones trigonométricas.
Solución
Como 2 2sen cos 1, " ! se tiene que * +2 24 / 5 cos 1. " ! Por tanto,
cos 3/ 5 ! , .
Como está en el segundo cuadrante, cos 0 - , o sea que cos 3 / 5 ! . .
1 5sec .
cos 3
! ! .
1 5csc .
sen 4
! !
Ahora, 2 21 tan sec , " ! 2 2tan sec 1. ! . Por tanto, 2tan 25 / 9 1 4 / 3. ! . ! ,
Como está en el segundo cuadrante, se tiene que tan 0 - , o sea que
tan 4 / 3. ! .
Finalmente,1 3
cot .tan 4
! ! .
Ejemplo 11
Utilice las identidades trigonométricas fundamentales para hallar los valores de las
funciones trigonométricas de un ángulo tal que:
a.2
sen y tan < 0.
3
!
244
Solución
Empleando la identidad trigonométrica 22sen cos 1, " ! obtenemos:
2
2 52cos 1 sin 1 .
3 3 # $! , . ! , . ! ,% &
' (
Comosen
tan < 0,
cos
! entonces cos < 0 y por tanto
5cos .
3 ! . Aplicando
las restantes identidades trigonométricas, tenemos:
, ,sen 2 1 5
tan cotcos tan 25
1 3 1 3sec , csc .
cos sen 25
! ! . ! ! .
! ! . ! !
b. tan 5 y sen > 0. !
Solución
Empleando la identidad trigonométrica 2 21 tan sec , " ! obtenemos:
2sec 1 tan 26. ! , " ! ,
Comosen
tan 5> 0,cos
! ! entonces cos >0 y 1
sec > 0.cos
! Así,
sec 26. ! Aplicando las restantes identidades, tenemos:
, ,
, .
1 1 5cos sen cos tan
sec 26 26
1 1 1 26cot csc
tan 5 sen 5
! ! ! !
! ! ! !
Ejemplo 12
Calcule (sec cos ) csc si tan 2. . !
Solución
Empleando las identidades trigonométricas, tenemos:
2 2
1 1(sec cos )csc cos
cos sen
1 cos 1 sen 1 sentan 2.
cos sen cos sen cos
# $. ! .% &' (
.! / ! / ! ! !
Capítulo 8: Trigonometría del círculo
245Álgebra y trigonometría
Módulo 21: Identidades fundamentalesEjemplo 13
Calcule (sec csc ) si cot 1. " !.
Solución
Empleando las identidades trigonométricas fundamentales, tenemos:
cos1
1 1 sen cos 1 cotsensec csc 0.cos sen sen cos cos cos
"" "" ! " ! ! ! !
Ejemplo 14
Exprese todas las funciones trigonométricas de un ángulo en términos de cot .
Solución
Empleando las identidades trigonométricas, tenemos:
2 2 2
2
2 2
2
2
,
,
,
,
.
1 cot csc csc 1 cot
1 1sen sen
csc 1 cot
1tan
cot
11 tan sec sec 1
cot
1 1cos cos
sec 11
cot
" ! 0 ! , "
! 0 ! ,"
0 !
" ! 0 ! , "
! 0 ! ,
"
Ejemplo 15
Si2csc 1,a ! " con en el primer cuadrante, calcule las funciones
trigonométricas del ángulo en términos de a.
Solución
Como está en el primer cuadrante, todos las funciones trigonométricas de son
positivas.
246
2
2
22
2
,
,
,
.
1 1sen
csc 1
cot csc 1 ,
1 1tan
cot
1sec 1 tan
1cos
sec 1
a
a
a
a
a
a
a
! !"
! . !
! !
"! " !
! !"
Capítulo 8: Trigonometría del círculo