modelos_de_poisson_ simulación_i_2013_utem

Simulación Estratégica Colas que Obedecen a Poisson

Departamento Industrias UTEM Juan Sánchez Ramos 1

1Juan Sánchez R.

Simulación EstratégicaI Semestre 2013

Modelos de Líneas de Espera que obedecen a Poisson

Juan Sánchez R. 2

2.1 LINEAS DE ESPERA ESPECIALIZADAS DE POISSON

Cada modelo de las colas especializadas de Poisson se describe en términos de notación extendida de Kendall.

(A / B / C) : (C / D / E)



Juan Sánchez R. 3

Llegadas con Distribución de Poisson

Llegadas por unidad de tiempo0

P

Juan Sánchez R. 4

2.1.1. (M/M/1) : (DG/∞/∞)

En este modelo existe un único servidor, sin límite en la capacidad del sistema o de la fuente de llamadas.



Juan Sánchez R. 5

2.1.1. (M/M/1) : (DG/∞/∞)Se supone que:

las tasas de llegadas son independiente del número en el sistema.

El servidor completa su servicio a una tasa constante. μs = μ

El modelo tiene tasas medias λ (Lambda) y μ (Mu) respectivamente.

Definiendo ρ = λ / μ

Juan Sánchez R. 6

la expresión para Pn se reduce a:

Pn = ρ n P0 n=0, 1, 2, ....

Para determinar P0 consideraremos que la suma de todas las Pn es igual a 1;

P0 (1 + ρ + ρ 2 + ρ 3 + .....) = 1

ρ = λ/μ < 1 (el sistema esta en condición de estado estable)



Juan Sánchez R. 7

Si suponemos que P < 1, entonces1

P0 ------- = 11 - ρ

De este modo obtenemos la siguiente fórmula general:

Pn = (1 - ρ)ρn n = 0, 1, 2,..(M/M/1):(DG/∞/∞)

Juan Sánchez R. 8

Medidas básicas de desempeño

ρLs = E{n} = -------

1 - ρ

λ ρ 2

Lq = Ls - ----- = ----------μ 1 - ρ



Juan Sánchez R. 9

Ls 1Ws = ------- = ---------

λ μ (1 - ρ)

Lq ρWq = ------ = -------------

λ μ (1 - ρ)

Juan Sánchez R. 10

Ejemplo

En un servicio de lavados de autos, los autos llegan para su atención de acuerdo a una distribución de Poisson con una media de 6 vehículos por hora.

El tiempo de lavado y aseo de cada auto varía, pero se advierte que sigue una distribución exponencial con media de 8 minutos/auto. (no se puede atender más de un auto a la vez), determine los indicadores desempeño.



Juan Sánchez R. 11

2.1.2. (M/M/1) : (DG/N/∞)

En este modelo existe un único servidor, pero la capacidad del sistema es de N clientes (longitud máxima de la línea de espera es de N -1) y sin límite en la fuente de llamadas.

Cuando hay N clientes en el sistema, se impide toda nueva llegadas o no se les permite unirse a la cola.

Juan Sánchez R. 12

En términos del modelo generalizado, se traduce en:

λ, n = 0, 1, 2, .... , N-1λn =

0 n = N, N+1, .......μn = μ para todo n = 0, 1, 2, .........

Haciendo ρ = λ / μse obtiene ρ n P0, n ≤ N

Pn = 0, n > N



Juan Sánchez R. 13

i) 1 - ρ------------- ρ ≠ 1

1 - ρN+1

O bien P0 =

1ii) ------- ρ = 1

N + 1

Juan Sánchez R. 14

1 - ρ------------- ρn ρ ≠ 11 - ρN+1

Pn = 1

------- ρ = 1 N + 1



Juan Sánchez R. 15

ρ (1 - (N + 1) ρ N + N ρ N+1)------------------------------- ρ ≠ 1

(1 - ρ) (1 - ρ N+1)Ls =

N/2 ρ = 1

Juan Sánchez R. 16

λ ef = λ (1 - ρN) (Tasa efectiva de llegada)

λef λ (1 - ρ)Lq = Ls - ---- = Ls - -------------

μ μ

Lq LqWq = ---- = ----------

λ ef λ (1 - ρN)



Juan Sánchez R. 17

1 LsWs = Wq + ---- = ------------

μ λ (1 - ρN)

Juan Sánchez R. 18

Distribución de Erlang

• Una distribución intermedia es la distribución Erlang

• Esta distribución posee un parámetro de forma k que determina su desviación estándar:

mediak

1=σ



Juan Sánchez R. 19

• Si k = 1, entonces la distribución Erlang es igual a la exponencial

• Si k = ∞, entonces la distribución Erlang es igual a la distribución degenerada con tiempos constantes

• La forma de la distribución Erlang varía de acuerdo con k

Juan Sánchez R. 20

Media Tiempo0

P(t)k = ∞

k = 1 k = 2

k = 8



Juan Sánchez R. 21

Distribución Desviación estándarConstante 0Erlang, k = 1 mediaErlang, k = 2Erlang, k = 4 1/2 mediaErlang, k = 8Erlang, k = 16 1/4 mediaErlang, cualquier k

Juan Sánchez R. 22

2.1.3 Modelo (M / Ek / 1)

Indicadores:

1

1)1(2)1(2

<

=+=

−+

==

ρλμ

ρρλ

qqqs

qss

LWWW

kkLWL



Juan Sánchez R. 23

2.1.4 (M/M/c) : (DG/ ∞/∞)

Modelo donde los cliente llegan con una tasa constante λ y un máximo de c clientes pueden ser atendidos simultáneamente, la tasa de servicio por servidor activo es también constante e igual a μ de 2.1.3 se tieneλ = λef

λρ = --- Y sistema esta en condiciones de

μ estado estable cuando ρ /c < 1

Juan Sánchez R. 24


λ n = λ, n ≥ 0

n μ n < cμ n =

c μ n ≥ c



Juan Sánchez R. 25

λ nPn = ------------- P0 para n ≤ c

c! cn-c μn

ρ n

------ P0 0 ≤ n ≤ cn!

Pn =ρ n

---------- P0 n > cc! cn-c

Juan Sánchez R. 26

c-1 ρ n ρ c -1

P0 = ∑ --- + ---------------n = 0 n! c!(1 - ρ /c)

ρ c+1 cρ 2Lq = ----------------- P0 = ----------

(c -1)! (c - ρ)2 (c - ρ)2



Juan Sánchez R. 27

Ls = Lq + ρLq

Wq = -------λ

1Ws = Wq + ----

μ

Juan Sánchez R. 28

2.1.5. (M/M/c) : (DG/N/∞)este modelo los cliente llegan con una tasa

constante λ y un máximo de c clientes pueden ser atendidos simultáneamente, la tasa de servicio por servidor activo es también constante e iguala μ.

_

Sea: c Número estimado de servidores inactivos

_ c

c = ∑ (c-n)Pn

n=0 _

λef = λ(1 – Pn) = μ(c – c) número esperado canalesocupados



Juan Sánchez R. 29


λ, 0 ≤ n < Nλn = 0 n ≥ N

n μ 0 ≤ n < cμn =

c μ c ≤ n < N

Juan Sánchez R. 30

ρ n

---------- P0 para c ≤ n < Nc! cn-c

Pn = ρ n

---- P0 para 0 ≤ n < cn!



Juan Sánchez R. 31

c-1 ρ n ρ c (1- ρ/c )N–c+1 -1

∑ --- + --------------------- ρ/c ≠ 1n = 0 n! c!(1 - ρ /c)

P0 =c-1 ρn ρ c -1

∑ ---- + --- (N – c + 1) ρ/c = 1n = 0 n! c!

Juan Sánchez R. 32

ρ c+1 SiLq = ------------- P0 1 – (ρ/c)N-c – (N – c)(ρ/c)N-c(1-ρ/c) ρ/c≠1

(c-1)(c-ρ)2

ρ c (N-c)(N-c+1)Lq = P0 ---------------------- Si ρ/c=1

2 c!



Juan Sánchez R. 33

_ λefLs = Lq + (c – c) = Lq + ----

μLq

Wq = -------λef

1Ws = Wq + ----

μ

Juan Sánchez R. 34

2.1.6 (M/M/R) : (DG/K/K)

Modelo de servicio de Máquinas.Este modelo supone que se dispone de R técnicos

de reparaciones para dar servicio a un total de K máquinas. Como una máquina descompuesta no puede generar nuevas llamadas mientras este en reparación (servicio), el modelo es un ejemplo de una fuente finita de llamadas.

El modelo puede definirse como un caso especial del modelo generalizado. Si definimos λ como la tasa de descompostura/máquina, se tiene.



Juan Sánchez R. 35

(K - n)λ 0 ≤ n < Kλn =

0 n ≥ K

nμ 0 ≤ n < Rμn = μ Ru R ≤ n ≤ K

0 n > K

Juan Sánchez R. 36

K ρn P0 0 ≤ n < R

nPn =

K n! ρn

----------- P0 R ≤ n ≤ Kn R! Rn-R



Juan Sánchez R. 37

R K K K n! ρn

P0 = Σ ρn + Σ -----------n=0 n n=R+1 n R! Rn-R

Juan Sánchez R. 38

K

Lq = Σ ( n - R) Pnn=R+1

_ λefLs = Lq + (R - R) = Lq + ----

μ



Juan Sánchez R. 39

_ R

R = Σ (R - n) Pn (Número esperado de técnicos)

n=0

_ λef = μ (R - R) = λ (K - Ls)

Juan Sánchez R. 40

2.1.7 (M/M/∞) : (DG/∞/∞)

Modelo de autoservicio

En este modelo el número de servidores es ilimitado porque el cliente mismo es también un servidor.

El caso de los establecimientos de autoservicio. Un ejemplo común es tomar la parte escrita de una prueba para obtener licencia de conducir.



Juan Sánchez R. 41

Sin embargo hay que tener cuidado que un banco-matico un autoservicio de gasolina no se clasifiquen en esta categoría de modelo,


λn = λ, para todo n ≥ 0

μ n = nμ, para todo n ≥ 0

Juan Sánchez R. 42

ρ n

Pn = ------- P0n!

P0 = e-ρ

Ls = ρ1

Ws = ---μ

Lq = Wq = 0 (note que es = a cero, porque cada cliente se atiende a sí

mismo.



Juan Sánchez R. 43

2.1.8 Variantes del modelo de Autoservicio.

Modelos (M/GI/∞):(DG/∞/∞) y (GI/G/∞) : ( DG/∞/∞)Sistemas de infinitos servidores donde los tiempos

entre llegadas y los tiempos de serviciopueden seguir arbitrarias distribuciones de

probabilidad, estos sistemas operan del siguiente modo:

Juan Sánchez R. 44

.

a) Los tiempos entre llegadas son independientes, con una distribución común A.

Se define E(A) = 1/λ. Así λ es la frecuencia o rapidez de llegada.

b) Cuando un cliente arriba al sistema, inmediatamente pasa al servicio. El tiempo que cada cliente esta en el sistema esta gobernado por la distribución S, con

E(S) = 1/μ



Juan Sánchez R. 45

Sea L el número esperado de clientes en el sistema en estado estable, y W el tiempo esperado que un cliente pase en el sistema.

Por definición W = 1 /μ, entonces:

L = λ /μEcuación que no requiere hipótesis de exponencialidad.

Juan Sánchez R. 46

Si los tiempos entre llegada son exponenciales, se puede demostrar, aún para una distribución arbitraria de tiempos de servicio, que la probabilidad de estado estable Pj de que haya j clientes en el sistema sigue distribución de Poisson con media λ /μ, lo que implica:

(λ /μ)j e-(λ /μ)

Pj = --------------------j!



Juan Sánchez R. 47

Ejemplo:En un pueblo durante cada año abren en promedio 3

nuevos negocios de acuerdo a distribución normal y desviación estándar de 0,6. Si hoy existen 300 negocios y, el tiempo de vida de los negocios es de 10 años en promedio de cuerdo a distribución exponencial.

a) ¿Cuál sería la cantidad de negocios en dicho pueblo el 1ºde Enero del 2030?.

b) ¿Cuál es la probabilidad de estado estable que el 1º de Enero del 2030 hayan 330 negocios?

Juan Sánchez R. 48

Optimización de sistemas de colas

En problemas donde un tomador de decisiones debe escoger entre sistemas alternativos de colas se denominan problemas para optimizar sistemas de colas.



Juan Sánchez R. 49

En estos problemas la meta es minimizar la suma de los costos de servicio y de los costos generados por espera, causado por el tiempo ocioso de los servidores.

En estos casos, el componente del costo debido a clientes que esperan en la cola se denomina costo de demora, en consecuencia, la empresa desea minimizar el costo esperado por unidad de tiempo:

Juan Sánchez R. 50



Juan Sánchez R. 51

Ejemplo:

Los mecánicos que trabajan en el servicio de mantención y reparación de camiones de una empresa de Logística, deben retirar las herramientas desde una bodega. Llega un promedio de 10 mecánicos por hora en busca de herramientas.

Actualmente la bodega es atendida por un bodeguero a quien se le cancela $1.250 por hora, este demora en promedio de 5 minutos para poder entregar la herramienta requerida por cada mecánico.

Juan Sánchez R. 52

Ejemplo:

Sí a los mecánicos se les paga $ 2.800 por hora, y cada hora que un mecánico pasa en la bodega le cuesta $3.200 a la empresa. Suponga que tanto los tiempos de llegadas, así como los tiempos de servicios tienen distribución exponencial.

¿Determine si vale la pena contratar un ayudante de bodeguero a $1.000 la hora, sabiendo que si se contrata al ayudante el bodeguero tardara solo 4 minutos en atender los pedidos de herramientas?

modelos_de_poisson_ simulación_i_2013_utem

Documents