modelos de programación lineal

Programacin Lineal Aplicada J. Jess Bautista Garca 22/02/2015

1. UNION AIRWAYS va a agregar vuelos desde y hacia su aeropuerto base, por lo cual necesita contratar ms agentes de servicio a clientes. Sin embargo, no est claro

cuntos ms debe contratar. La administracin reconoce la necesidad de controlar el

costo y al mismo tiempo proporcionar de manera permanente un nivel satisfactorio

de servicio. Por todo esto, un equipo de IO estudia la forma de programar a los

agentes para proporcionar un servicio satisfactorio con el menor costo en personal.

Con base en la nueva programacin de vuelos, se ha realizado un anlisis del

nmero mnimo de agentes de servicio a clientes que deben encontrarse de guardia

en diferentes momentos del da para proporcionar un nivel satisfactorio de servicio.

La columna de la derecha de la tabla muestra el nmero de agentes necesario para

los periodos dados en la primera columna. Los otros datos de la tabla reflejan uno

de los acuerdos del contrato colectivo vigente entre la compaa y el sindicato que

representa a los agentes de servicio a clientes. El acuerdo es que cada agente trabaje

un turno de 8 horas 5 das a la semana, y los turnos autorizados son: Turno 1: 6:00

a.m. a 2:00 p.m. Turno 2: 8:00 a.m. a 4:00 p.m. Turno 3: 12:00 a.m. (medioda) a

8:00 p.m. Turno 4: 4:00 p.m. a 12 p.m. (medianoche) Turno 5: 10:00 p.m. a 6:00

a.m. Las marcas en el cuerpo principal de la tabla muestran las horas cubiertas por

los turnos respectivos. Como algunos turnos son menos deseables que otros, los

salarios que se especifican en el contrato difieren de uno a otro. En el ltimo

rengln se muestra la compensacin diaria con las prestaciones por cada agente

para cada turno. El problema consiste en determinar cuntos agentes deben

asignarse a los turnos respectivos cada da para minimizar el costo total de personal

debido a los agentes, de acuerdo con este ltimo rengln, al mismo tiempo que se

cumplen (o se sobrepasan) las necesidades de servicio dados en la columna de la

extrema derecha.

Definicin de las variables.

; = {1,2,3,4,5} los turnos Funcin objetivo = 1701+1602 + 1753 + 1804 + 1955 ser el costo asignado con respecto los turnos.

Restriccin. 11 21 2 3

48 79 87

2 33

644 824 43


4 5 51

5 15 0

Haciendo uso de TORA, obtenemos los siguientes datos:

= = = = = =

2. La Confederacin Sur de Kibbutzim est formada por tres kibbutzim (comunidades agrcolas comunales) de Israel. La planeacin global de este grupo se hace en su ofi

cina de coordinacin tcnica. En la actualidad planean la produccin agrcola para

el ao prximo. La produccin agrcola est limitada tanto por la extensin de

terreno disponible para irrigacin como por la cantidad de agua que la Comisin de

Aguas (una oficina del gobierno nacional) asigna para irrigarlo. La tabla siguiente

contiene los datos:

Kibbutz Terreno Disponible (Acres) Asignacin de Agua (pies-acre) 1 400 600 2

600 800 3 300 375 Los tipos de cultivos adecuados para la regin incluyen

remolacha, algodn y sorgo, que son precisamente los tres que estn en estudio para

la estacin venidera. Los cultivos difieren primordialmente en su rendimiento neto

esperado por acre y en su consumo de agua. Adems, el Ministerio de Agricultura

ha establecido una cantidad mxima de acres que la Confederacin puede dedicar a

estos cultivos. La tabla siguiente muestra estas cantidades: Cultivo Cantidad

Mxima (Acres) Consumo de Agua (acre-pie/acre) Rendimiento Neto ($/acre)

Remolacha 600 3 1000 Algodn 500 2 750 Sorgo 325 1 250


Debido a la disponibilidad limitada de agua para irrigacin, la Confederacin no

podr usar todo el terreno irrigable para los cultivos de la prxima temporada. Para

asegurar la equidad entre los tres kibbutzim, han acordado que cada uno sembrar la

misma proporcin de sus tierras irrigables disponibles. Por ejemplo, si el kibbutz 1

siembra 200 de sus 400 acres disponibles, entonces el kibbutz 2 deber sembrar 300

de sus 600 acres, mientras que el kibbutz 3 sembrara 150 acres de los 300 que

tiene. Cualquier combinacin de estos cultivos se puede sembrar en cualquiera de

las granjas. El trabajo al que se enfrenta la oficina de coordinacin tcnica consiste

en planear cuntos acres deben asignarse a cada tipo de cultivo en cada kibbutz, de

forma que cumpla con las restricciones dadas. El objetivo es maximizar el

rendimiento neto total de la Confederacin Sur de Kibbutzim.

Definicin de variables.

De esta manera se dividen los terrenos:

Variables: { , , } done i={1,2,3} Objetivo. = 1000(1 + 2 + 3) + 750(1 + 2 + 3) + 250(1 +2 + 3) Restriccin.

1 + 1 + 1 400; 2 + 2 + 2 600; 3 + 3 + 3 300 1 + 2 + 3 600; 1 + 2 + 3 500; 1 + 2 + 3

325 31 + 21 + 1 600; 32 + 22 + 2 800; 33 + 22 + 3

375 1 + 1 + 1

400=

2 + 2 + 2

600=

3 + 3 + 3

300}

A

R

S A

R

S

A

R

S


3. Para la vigilancia de un sector de la ciudad se requieren policas como se muestra en la siguiente tabla: Perodo 1 2 3 4 5 6 Horario 6 a 10 hrs 10 a 14 hrs 14 a 18 hrs 18 a

22 hrs 22 a 2 hrs 2 a 6 hrs Policas Requeridos 80 70 100 110 60 50 Cada polica

debe trabajar 8 horas consecutivas.

Formule un modelo de Programacin Lineal para determinar el nmero ptimo de

policas que deben asignarse en cada perodo.

Determinacin de variables: a continuacin se asignan los 6 turnos como las variables.

, = {1,2,3,4,5,6} : = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 : 1 + 6 80 1 + 2 70 2 + 3 100 3 + 4 110 4 + 5 60 5 + 6 50 0

Hacemos uso de Tora para resolver el modelo de programacin lineal.

= ( ). = = = = = =

4. Problema de Transporte Una compaa de automviles tiene tres centros de distribucin, localizados en el D.F., Monterrey y Guadalajara. Estos centros tienen

disponibles 40, 20 y 40 autos respectivamente. Sus distribuidores forneos

requieren las siguientes cantidades: Mrida 25, Toluca 10, Quertaro 20,

Guanajuato 30 y Cuernavaca 15. El costo del flete por automvil expresado en

pesos, entre los centros de distribucin y forneos se muestra en la tabla siguiente:


Centro Distribuidor Mrida Toluca Quertaro Guanajuato Cuernavaca D.F. 550 300

400 500 400 Monterrey 300 300 1000 450 600 Guadalajara 400 600 950 350 300.

Se desea minimizar el costo total de todos los fletes entre los centros de

distribucin.

Determinacin de variables. =

Oferta 1 + 12 + 13 + 14 + 15 40 21 + 22 + 23 + 24 + 25 20 31 + 32 + 33 + 34 + 35 40

Demanda 11 + 21 + 31 = 25 12 + 2232 = 10 13 + 23 + 33 = 20 14 + 24 + 34 = 30 15 + 25 + 35 = 15

Objetivo: = 55011 + 30012 + 40013 + 50014

Haciendo uso de TORA, creamos una matriz de 15 variables por 8 restricciones:

= = = = = = = = = = = = = = = =

5. Problema de Transporte II Una compaa de transporte posee dos tipos de camiones; el camin del tipo A tiene 20 m3 de espacio refrigerado y 40 m3 de

espacio no refrigerado, y el camin del tipo B tiene 30 m3 de espacio refrigerado y

30 m3 de espacio no refrigerado. Una fbrica de productos alimenticios debe

embarcar por lo menos 900 m3 de productos refrigerados y 1200 m3 de productos


no refrigerados. Cuantos camiones de cada tipo debe alquilar la fbrica para

minimizar los costos, si el camin del tipo A se alquila a razn de $30000 y el

camin del tipo B a razn de $40000?

Formule un modelo de programacin lineal.

Determinacin de variables.

: :

Objetivos.

= 30000 + 40000 Restricciones.

20 + 30 900 40 + 30 1200

Haciendo uso de TORA formulando una matriz de 2 variables por 2 restricciones.

= , , = =

6. Problema de produccin

Se procesan cuatro productos sucesivamente en dos mquinas. Los tiempos de

manufactura en horas por unidad de cada producto se tabulan a continuacin para

las dos maquinas. Tiempo por unidad (horas) Mquina.

El costo total de producir una unidad de cada producto est basado directamente en

el tiempo de mquina. El costo por hora para las mquinas 1 y 2 es $ 10 y $ 15

respectivamente. Las horas totales presupuestadas para todos los productos en las

mquinas 1 y 2 son 500 y 380. Si el precio de venta por unidad para los productos 1,

2, 3 y 4 es $65, $70, $55 y $45 respectivamente. Formule el problema como un

modelo de programacin lineal para maximizar el beneficio neto total.

Determinacin d variables

: . = {1,2,3,4} Objetivos.

= 651 + 702 + 503 + 454 651 602 553 504 = 102 53 54

21 + 32 + 43 + 24 500 31 + 22 + 3 + 34 380


Haciendo uso de TORA identificamos la resolucin.

= . = = = = .

7. Mezcla 2 Problema de Mezcla II Una pequea empresa especializada en la fabricacin de

aleaciones para la industria aeroespacial, gan una licitacin para proveer 2000

libras de una aleacin de aluminio para una empresa estadounidense. El precio de

venta de la aleacin es de $ 105.00 por libra. La aleacin metlica debe cumplir las

siguientes especificaciones: cobre 15% mnimo; Magnesio 3% mximo y 2%

mnimo; Nquel 20% mnimo; impurezas 1.5 % mximo y el resto es aluminio. Se

tienen cinco metales bsicos que pueden mezclarse para fabricar la aleacin

solicitada:

Debido a la escasez del metal M2, la empresa no puede utilizar ms de 600 libras de

dicho material. Cul es la mezcla de materiales bsicos que ofrece las mayores

utilidades?

Determinacin de variables. Las variables las representaremos por los metales M. Proseguimos por identificar:

, = {1,2,3,4,5} Objetivo

= (105 45)1 + (105 82)2 + (105 73)3 + (105 35)4+ (105 95)5

= 601 + 232 + 323 + 704 + 105 Restricciones.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 2000 . 121 + .242 + .083 + .044 + .155 300 . 031 + .022 + .013 + .024 + .035 40 . 031 + .652 + .553 + .154 + .755 400 . 031 + .022 + .013 + .024 + .035 60 . 021 + .012 + .023 + .034 + .015 30

2 600

Haciendo uso de TORA identificamos la resolucin


U=77800

X1=1000 x2=600 x3=0 x4=0 x5=400

8. Mezcla 1 El gerente de una compaa de fertilizantes desea planear la combinacin de sus dos

mezclas a fin de obtener mejores utilidades. Las mezclas son:

El mayorista comprar cualquier cantidad de los fertilizantes que la compaa pueda

fabricar. Est dispuesto a pagar $70 la tonelada del Fertilizante I y $65 la tonelada

de Fertilizante II. Este mes la disponibilidad y costos de la materia prima son

Mezclar una tonelada de fertilizantes cuesta $15. Describa la maximizacin de la

utilidad como un problema de programacin lineal.

Determinacin e variables

Las variables sern representadas por el nmero de fertilizantes, F1 y F2

Objetivo

= 171 + 162

Restricciones

0.051 + 0.052 1100 0.051 + 0.102 1800 0.101 + 0.052 2000



U=370000

X1= 18000 x2=4000

9. Problema de inventario

Un barco tiene tres bodegas: en la proa, en el centro, y en la popa con los siguientes

lmites:

Los siguientes cargamentos se ofrecen, pudiendo aceptar los dueos del barco, el

total o una porcin cualquiera de cada uno de los siguientes:

Determinacin de variables. Las variables las representaremos por la combinacin de la bodega y la carga

Proa (1)

POPA (2)

Centro (3)

Xa1,xa2, xa3, xb1, xb2, xb3, xc1, xc2, xc3

Objetivo

= 6(1 + 2 + 3) + 8(1 + 2 + 3) + 5(1 + 2 + 3)

Restricciones.

1 + 2 + 3 6000 1 + 2 + 3 4000 1 + 2 + 3 2000

601 + 501 + 251 100000 602 + 502 + 252 30000

603 + 503 + 253 135000 361 + 301 + 151 122 102 52 = 0

3241 + 2701 + 1351 2403 2003 1003 = 0 1082 + 902 + 452 2403 2003 1003 = 0


1 + 1 + 1 2000 2 + 2 + 2 1500 1 + 2 + 3 3000


U=10300

Xa1=0 xa2=0 xa3=0 xb1=200 xb2= 0 xb3=0 xc1=0

xc2=1200 xc3=540

10. Problema de produccin 2

En preparacin para la temporada invernal, una compaa fabricante de ropa est

manufacturando abrigos de piel con capucha y chamarras con relleno de plumas de

ganso, pantalones con aislamiento y guantes. Todos los productos se elaboran en

cuatro departamentos diferentes: corte, aislamiento, costura y empaque. La

compaa ha recibido pedidos y el contrato estipula una penalizacin por los

artculos no surtidos. Elabore un plan de produccin ptimo para la compaa, con

base en los siguientes datos:


Determinacin de variables. Las variables las representaremos por las chamarras, relleno, pantalones, guantes,

adems de 4 penalizaciones de cada producto.

Xi i=(1,2,3,4) Productos

Si i=(1,2,3,4) Penalizaciones

Objetivo

= 301 + 402 + 203 + 104 (1 + 2 + 3 + 4)

Restricciones.

0.31 + 0.32 + 0.253 + 0.154 1000 0.251 + 0.352 + 0.303 + 0.104 1000 0.451 + 0.502 + 0.403 + 0.224 1000 0.151 + 0.152 + 0.103 + 0.054 1000

1 + 1 = 800 2 + 2 = 750 3 + 3 = 600

4 + 4 = 500


U=64625

X1=800 x2=750 x3= 387 x4=500 s1=0 s2=0 s3= 212.5 s4=0

11. Problema de inversin

El Sr. Jimnez ha recibido $225 000.00 por su seguro de retiro y bonificaciones por

antigedad en su trabajo. El desea invertir en acciones y bonos bancarios en una

institucin de crdito. El juzga maximizar el rendimiento de su inversin sabiendo

que las acciones deben de ser no ms de 80% del total y deben de ser por lo menos

el 20%. En cuanto a los bonos su asesor le recomienda comprar a lo ms el 75% y

cuando menos el 10% del total. Tambin se sabe que existe un bono que resulta en

particular interesante y quiere invertir en el, por lo menos $100,000. Se estima que

la tasa de rendimiento en bonos es del 17% y en acciones del 12%. Cunto debe


invertirse en bonos y cunto en acciones?. Formule el modelo de programacin

lineal

Determinacin de variables. X: Dinero invertido en bonos

Y: Dinero invertido en acciones

Objetivo

= 0.17 + 0.12

Restricciones.

0.8 0.2 0 0.2 0.8 0 0.9 0.1 0

20.25 0.75 0 100000

+ 0 Haciendo uso de TORA identificamos la resolucin

.

U=35437.5

X1=168750

X2= 56250

12. Problema de mezcla 3

Se obtienen distintos tipos de gasolina mezclando ciertas gasolinas que se obtienen

directamente de las operaciones de refinera. En un proceso de refinamiento real hay

varias gasolinas para mezcla, varias gasolinas que son productos finales (por

ejemplo, distintos grados de gasolina para aviacin y para motores) y varias

caractersticas de importancia para la composicin qumica de los diversos grados

de gasolina (por ejemplo, octanaje, presin de vapor, contenido de azufre, contenido

de goma). En este ejemplo simplificando se supondr que la refinera slo tiene dos

tipos de gasolina para mezcla, con las caractersticas que se presentan en la tabla

siguiente:


Estas gasolinas para mezcla pueden combinarse para obtener dos productos finales:

gasolina para aviacin y gasolina para motores. En la tabla siguiente se presentan

las caractersticas que requieren estos productos finales:

Al mezclar las gasolinas, el octanaje y la presin de vapor de la mezcla que se

obtiene estn en proporcin directa con el volumen de cada una de las gasolinas que

se mezclan. La empresa desea maximizar los ingresos de la venta de la gasolina que

se obtiene como producto final.

Determinacin de variables. X1: Barriles de gasolina para mezcla 1 usados para aviacin

X2: Barriles de gasolina para mezcla 2 usados para aviacin

X3: Barriles de gasolina para mezcla 1 usados para motores

X4: Barriles de gasolina para mezcla 2 usados para motores

Objetivo

= 451 + 452 + 323 + 324

Restricciones.

1 + 2 20000 1 + 3 30000 2 + 4 70000

21 82 0 83 21 0 1 + 32 0 33 + 4 0


U=3318181.82

X1=7272.73 x2=1818.18 x3=22727.27 x4=68181.82


13. Problema de inversin 2

Un banco desea establecer una poltica de prstamo para el siguiente trimestre y por

tal motivo asign un presupuesto de 12 millones de dlares para prestarle a sus

clientes. En la tabla siguiente se anotan los tipos de prstamo con el inters

correspondiente y las probabilidades de norecuperacin del capital prestado. Lo que

no se puede recuperar no tiene intereses. Por competencia con otros bancos, se

requiere asignar prstamos de al menos el 40% del total, a los tipos de prstamo 4 y

5. Con la habitacin debe prestarse al menos un 50% de la suma de los prstamos 1,

2, y 3. La poltica de banco es que la relacin total de los irrecuperables sea un

mximo de 0.04. Formule un modelo de programacin lineal para este problema de

inversin.

Determinacin de variables. Xi= dlares que se asignan al prstamo i= 1,2,3,4,5

Objetivo

= 0.0261 + 0.05092 + 0.8643 + 0.0644 + 0.0785

Restricciones.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 12 4 + 5 = 4.8

3 2 1 0 0.061 + 0.032 0.013 + 0.014 0.025 0


U=6.5952


X1=0 X2=0 X3=7.2 X4=0 X5=4.8

modelos de programación lineal

Documents