modelo mmc

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Diseño: Andrés Gómez 11-1

Clase # 11

Algunas variaciones al modelo M/M/s

Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín


El modelo M/M/s que trabajamos con anterioridad opera bajo el supuesto de una cola infinita. Sin embargo hay diferentes ocasiones en la cuales este supuesto no aplica.

Si el tamaño de la cola es finito, a cualquier cliente que llegue cuando la cola esté llena se le niega el acceso al sistema.

Variación de cola finita al modelo M / M / s


Modelo M / M / s / K

Este modelo es similar al M/M/s con la única excepción de que en este caso se trabajará con un tamaño de la cola finita.

La interpretación física para este modelo es que se cuenta con un espacio limitado de espera que admite un máximo de K clientes en el sistema o que los clientes desisten de entrar al sistema cuando lo ven demasiado lleno


Desde el punto de vista del proceso de nacimiento y muerte, la tasa de entradas al sistema será:

λλn =λλ para n = 0,1,2,...,K-1

0 para n ≥≥ K

a) Caso un servidor (s =1)

0 1 2 K-2 K-1 K+1K

λλ λλ λλ λλ 0

µµ µµ µµ µµ 0


Los parámetros del modelo

son:

µµn = µµ para n = 1,2,..,K

λλn =λλ para n = 0,1,2,...,K-1

0 para n ≥≥ K

Este modelo no exige que

ρρ =λλ

µµ< 1


Para s = 1, los factores Cn para el proceso de nacimiento y muerte se reducen a

Cn =

λλµµ

para n = 0,1,2,..,Kn

= ρρ n

0 para n > K

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Po =

ΣΣn = 0

K λλµµ

n

1=

1

λλµµ

K+11 -

1 - λλµµ

Po =1 - ρρ

1 - ρρK+1


ΣΣ n Pnn = 0

∞∞

L = =1 - ρρ

1 - ρρK+1ρρ

ddρρ

( ρρn )ΣΣn = 0

K

=1 - ρρ

1 - ρρK+1ρρ

ddρρ

( ρρn )ΣΣn = 0

K

Pn =1 - ρρ

1 - ρρK+1ρρn para n = 0,1,2,..,K


=1 - ρρ

1 - ρρK+1ρρ

ddρρ

1 - ρρK+1

1 - ρρ

=- (K + 1 ) ρρK + Kρρ K+1 + 1

( 1 - ρρ K+1 )ρρ

( 1 - ρρ )

=ρρ

1 - ρρ

(K + 1 ) ρρ K+1

1 - ρρ K+1-L


= L - ( 1 -P0 ) Lq

W =L

λλWq =

Lq

λλ

λλ = ΣΣ λλnPn =n = 0

∞∞

n = 0

K-1

ΣΣ λλPn = λλ (1 - Pk )


b) Caso múltiples servidores ( s > 0)

Como este modelo no permite más de K clientes en el sistema, K es el número máximo de servidores que pueden tenerse. Suponga que s ≤≤ K

0 1 2 s-2 s-1 K+1s

λλ λλ λλ λλ 0

µµ 2µµ (s-1)µµ sµµ 0



son:

λλn =λλ para n = 0,1,2,...,K-1

0 para n ≥≥ K

µµn =nµµ para n = 1,2,..,s

sµµ para n =s,s+1,..KSuponga que s ≤≤ K


ρρ =λλ

sµµ< 1

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Para s > 1, los factores Cn para el proceso de nacimiento y muerte se reducen a

Cn =

para n = 0,1,2,..,sλλµµ

n

para n =s,s+1,..K

n!

λλµµ

s

s!λλ

sµµ

n-s

0 para n ≥≥ K


ΣΣ Cnn = 0

∞∞{ }Po =-1

Po =1

ΣΣn = 0

s

+λλµµ

n

n!

λλµµ

s

s!+ ΣΣ

n = s+1

Kλλ

sµµ

n-s


Pn =

para n = 0,1,2,..,sλλµµ

n

para n =s,s+1,..K

n!

λλµµ

n

s! sn-s

0 para n > K

P0

P0


=Lq

λλµµ

s

s! (1- ρρ)2

P0 ρρ { 1-ρρ K-s - (K - s)ρρ K-s (1 - ρρ)}

L = ΣΣn = 0

s -1

nPn + Lq + s 1 - ΣΣn = 0

s -1

Pn

W y Wq se obtienen a partir de estas cantidades, como se mostró para el caso de un servidor


Ahora supongamos que el tamaño de la población es finito con tamaño N. Cuando el número de clientes en el sistema de colas es n (n=0,1,2,...,N), existen sólo (N-n) clientes potenciales en la fuente de entrada

Este problema se aplica a la reparación de máquinas, en el que se asigna a uno o más técnicos de mantenimiento la responsabilidad de mantener en operación cierto número de N máquinas dando servicio a las que se descomponen.

Variación fuente de entrada finita al modelo M / M / s


Observemos que todos los miembros de la población potencial se encuentran alternativamente dentro y fuera del sistema de colas.

Las máquinas que están descompuestas siendo reparadas o esperando serlas se consideran clientes en el sistema. Las máquinas que están funcionando se consideran fuera del sistema

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El tiempo que pasa desde que una máquina deja el sistema hasta que regresa tiene una distribución exponencial con parámetro λλ

Cuando N - n miembros están fuera del sistema la distribución de probabilidad del tiempo que falta para la próxima llegada es la distribución del mínimo de los tiempos restantes afuera para esos N - n miembros.

Parámetro λλn = ( N -n) λλ



λλn =(N -n)λλ para n = 0,1,2,...,N

0 para n > N

a) Caso un servidor (s =1)

0 1 2 n-2 n-1 N-1n

Nλλ (N-1) λλ (N-n+2)λλ (N-n+1)λλ λλ

µµ µµ µµ µµ µµ

N



ρρ =λλ

µµ< 1


son:

µµn = µµ para n = 1,2,....,N

λλn =(N -n)λλ para n = 0,1,2,...,N

0 para n > N


Para s = 1, los factores Cn para el proceso de nacimiento y muerte se reducen a

Cn =

λλµµ

para n ≤≤ Nn

0 para n > N

N!(N-n)!


Po =

ΣΣn = 0

N

1

λλµµ

nN!

(N-n)!

Pn = λλµµ

nN!

(N-n)!Po si n = 1,2,...,N


= N -Lqλλ + µµ

λλ( 1 - Po) = N -L µµ

λλ( 1 - Po)

W =L

λλWq =

Lq

λλ

λλ = ΣΣ λλnPn =n = 0

∞∞

n = 0

∞∞

ΣΣ (N-n)λλPn = λλ (N-L )

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λλn =(N -n)λλ para n = 0,1,2,...,N

0 para n ≥≥ N

0 1 2 s-2 s-1 N-1s

Nλλ (N-1) λλ (N-s+2) λλ (N-s+1) λλ λλ

µµ 2µµ (s-1)µµ sµµ sµµ

N

b) Caso múltiples servidores ( s > 0)



ρρ =λλµµ

< 1


son:

λλn =(N -n)λλ para n = 0,1,2,...,N

0 para n > N

µµn =nµµ para n = 1,2,...,s

sµµ para s = s+1,s+2...


Para s > 1, los factores Cn para el proceso de nacimiento y muerte se reducen a

Cn =

para n = 0,1,2,..,s

0 para n > N

λλµµ

nN!

(N-n)! n!

λλµµ

nN!

(N-n)! s!sn-s para n = s,s+1,..N


Po =

ΣΣn = 0

s-1

1

λλµµ

nN!

(N-n)! n!λλµµ

nN!

(N-n)! s!sn-sΣΣn = s

N+

Pn =

para n = 0,1,2,..,s

0 para n > N

λλµµ

nN!

(N-n)! n!

λλµµ

nN!

(N-n)! s!sn-s para n = s,s+1,..N

Po

Po


ΣΣ (n-s)Pnn = s

∞∞Lq =

ΣΣ n Pn + Lq + s n = 0

s-1L = 1 -

n = 0

s-1

ΣΣ Pn

W y Wq pueden obtenerse con las mismas ecuaciones que en el caso de un servidor.

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