UNIVERSIDAD NACIONAL AUTNOMA DE MXICO

PROGRAMA DE POSGRADO EN CIENCIAS DE LA TIERRA

MODELO DE EMISIN DE MASA PARA LA ERUPCIN DE 1998 DEL VOLCN DE COLIMA, MXICO

T E S I SQUE COMO REQUISITO PARCIAL PARA OBTENER EL GRADO DE: DOCTOR E N C I E N C I A S DE LA TIERRA PRESENTA RAFAEL CABRERA GUTIRREZ JURADO EXAMINADOR 1) DR. JUAN MANUEL ESPNDOLA CASTRO (TUTOR) 2) DR. SERGIO RODRGUEZ ELIZARRARS 3) DR. GERARDO CARRASCO NEZ 4) DRA. ELSA LETICIA FLORES MRQUEZ 5) DR. JOS LUIS ARCE SALDAA COMIT TUTORAL: DR. SERVANDO DE LA CRUZ REYNA DR. JOS LUIS MACAS VZQUEZ

MXICO D.F.

MARZO DE 2010

A MIS PADRES, CON MI ETERNO AGRADECIMIENTO

A MI DIRECTOR DE TESIS, DR. JUAN MANUEL ESPNDOLA CASTRO

A MIS MAESTROS

A LOS MIEMBROS DEL JURADO EXAMINADOR

A MIS COMPAEROS Y AMIGOS.

1

AGRADECIMIENTOS: QUIERO EXPRESAR M MS SINCERO AGRADECIMIENTO AL CONACYT POR HABERME OTORGADO UNA BECA DURANTE LOS AOS DE 2003 A 2007. DE IGUAL MANERA AGRADEZCO A TODAS LAS PERSONAS QUE ME AYUDARON DURANTE MI ESTANCIA EN EL INSTITUTO DE GEOFSICA: BEA, GIOVANNI, TOO, PATI, JORGE, MARCO, LORENZO, KATRIN, LILIA, WENDY, MARY, VCTOR HUGO, ARACELI, LOURDES, RAMN, RENATO, JAVIER, ESTEBAN HERNNDEZ, ESTEBAN RAMOS, CASIANO, ABEL, DR. JAIME YAMAMOTO, DR. SCAR CAMPOS, DR. SERVANDO DE LA CRUZ, DR. JOS LUIS MACAS, DR. IURI TARN, DR. JUAN CARLOS MORA, DR. HUGO DELGADO, DR. CLAUS SIEBE, DRA. ANA LILIA MARTN, AS COMO AL DEPARTAMENTO DE POSGRADO DEL INSTITUTO POR HABER FINANCIADO LA IMPRESIN DE ESTA TESIS.

2

One last rounding of a tunnels curve, deep within the volcanic dome, brought to sight an archway that glowed with a pulsing red-tinged light. The stormtroopers prodded Luke onward, out onto a tiny arc of ledge high above a vast lake of molten lava. [..] Lord Shadowspawns throne room had been cut from the living rock: an inmense vault whose ceiling and walls vanished into a shroud of sulfurous gases. [..]. The uppermost point of the platform had been carved and polished into a gleaming black throne the seize of an Imperial shuttle, positioned so that the long form of Lord Shadowspawn, lounging within it, was shadowed by the lava fall behind and the pool below into a pall of scarlet gloom.

STAR WARS: Luke Skywalker and the Shadows of Mindor. Matthew Stover. Del Rey Books.,2008. Lucasfilm Ltd.

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NDICE RESUMEN-ABSTRACT INTRODUCCIN. 1.- MODELOS DE EMISIN DE MASA. 1.1 MODELO DE BLAKE (1981) 1.2 MODELO DE WADGE (1981) 1.3 MODELO DE DRUITTS Y SPARKS (1984) 1.4 MODELO DE BLAKE (1984) 1.5 MODELO DE TAIT ET AL. (1989) 1.6 MODELO DE BOWER Y WOODS (1997) 1.7 MODELO DE SCANDONE Y GIACOMELLI (2001) 1.8 MODELO DE IDA (1996) 7 8 11 11 12 13 14 16 17 18 19

2.- VISCOELASTICIDAD. 2.1 INTRODUCCIN 2.2 FUNDAMENTOS DE VISCOELASTICIDAD 2.3 FLUENCIA Y RELAJACIN 2.4 PRINCIPIO DE CORRESPONDENCIA 3.- MODELO VISCOELSTICO DE MAEDA. 3.1 DERIVACIN DE LAS ECUACIONES DEL MODELO DE MAEDA 3.2 CLCULO DE J, EL FLUJO O TASA DE SALIDA 3.3 REDUCCIN DEL NMERO DE ECUACIONES 3.4 ADIMENSIONALIZACIN DE LAS ECUACIONES 3.5 ANLISIS DEL SISTEMA

24 24 25 27 31 36 38 43 47 49 54

4

3.6 ANLISIS DE ESTABILIDAD 3.7 PAPEL DE LOS PARMETROS , , Y D 3.8 SOLUCIN DEL SISTEMA NO LINEAL 3.9 APLICACIN DEL ALGORITMO AL MONTE UNZEN 3.10 ABASTECIMIENTO VARIABLE DE MAGMA 3.11 MODELO MEJORADO DE MAEDA PARA MAGMA COMPRESIBLE 3.12 ADIMENSIONALIZACIN DEL MODELO DE MAEDA PARA MAGMA COMPRESIBLE 3.13 COMPORTAMIENTO DEL MODELO EN EL INCREMENTO PORCENTUAL DEL VALOR DE LOS PARMETROS

58 65 67 68 71 91 94

105

4.- APLICACIN DEL ALGORITMO A LA ERUPCIN DE 1998-1999 DEL VOLCN DE COLIMA. 4.1 CICLOS ERUPTIVOS HISTRICOS DEL VOLCN DE COLIMA 4.2 ERUPCIN DE 1998 1999 DEL VOLCN DE COLIMA 4.3 MODELO INCOMPRESIBLE DE MAEDA PARA EL VOLCN DE COLIMA 4.4 MODELO MEJORADO DE MAEDA PARA MAGMA COMPRESIBLE APLICADO AL VOLCN DE COLIMA 4.5 MEJOR AJUSTE DEL MODELO MEJORADO DE MAEDA PARA MAGMA COMPRESIBLE APLICADO AL VOLCN DE COLIMA 5.- DISCUSIN Y CONCLUSIONES. 142 146 130 124 116 108 106

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6.- APNDICES A.1 MTODOS NUMRICOS A.2 PROGRAMA COLI-COM-7-71.NB A.3 PROGRAMA COL-HEAVISIDE-211.NB A.4 ARTCULO ENVIADO PARA SU PUBLICACIN EN LA REVISTA GEOFSICA INTERNACIONAL

149 149 157 165 172

7.- REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS.

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6

RESUMEN En este trabajo se presenta la aplicacin de una versin modificada del modelo visco-elstico de Maeda (2000) a la erupcin de noviembre de 1998 a enero de 1999 del volcn de Colima. En dicha versin se tom en cuenta el hecho de que el magma presenta caractersticas de fluido compresible. El modelo se ajusta razonablemente bien a los datos observados de volumen emitido suponiendo una cmara magmtica con un volumen de 30 km3 y un radio de unos 1.9 km centrada unos 3.645 km bajo la superficie del terreno; la parte superior de la cmara se halla a 1.715 km de profundidad. Estas caractersticas estn de acuerdo con los datos gravimtricos del rea y explican en trminos generales el proceso de emisin de masa que tuvo lugar en el volcn de Colima durante el periodo estudiado; mismo que consisti en la emisin lenta de lava con dos picos de gran intensidad. En este modelo tal comportamiento se atribuye a la reologa viscoelstica de la roca encajonante, la dimensin del conducto volcnico y la entrada de material a la cmara magmtica.

ABSTRACT An application of a modified version of Maedas viscoelastic model of mass ejection (Maeda, 2000) to the November 1998 - January 1999 eruptive period of Volcn de Colima is presented here. In this new version was accounted the fact that magma itself presents compresible fluid characteristics. The model fits reasonably well the observed erupted volume and erupted volume rate assuming a magma chamber with a volume 30 km3 and radius of 1.9 km centered at about 3.645 km below the terrain surface; the upper part of the chamber is located 1.715 km depth. These characteristics are in agreement with gravimetric data and explain the behavior of process of mass emission that took place at Colima during the period studied, which consisted of slow emission of lava with two peaks of large intensity. In this model this behavior is attributed to the viscoelastic rheology of the media around the volcanic conduit and the input to the magma chamber.

7

INTRODUCCIN Los fenmenos eruptivos a lo largo de la historia, aparte de su innegable belleza, han dejado muerte y destruccin para el hombre. Baste nombrar como ejemplo al Vesubio, Krakatoa, Mt. Pele y el Paricutn como mudos testigos del gran impacto provocado por las erupciones volcnicas. Es por ello que reviste una gran importancia el poder prever la aparicin de nueva actividad eruptiva en los volcanes activos ya existentes en todo el mundo incluso el surgimiento de uno nuevo. La investigacin vulcanolgica mundial ha hecho grandes avances en todos los aspectos de la ciencia, incluyendo la formulacin de varios modelos matemticos que explican el comportamiento de los diferentes procesos fsicos involucrados en los fenmenos eruptivos. El monitoreo volcnico - que consiste en la vigilancia de volcanes activos para poder predecir futuras erupciones - se basa en el registro de la actividad ssmica asociada a volcanes; en la deformacin tanto del terreno situado alrededor del volcn como del cono mismo; en la medicin de la variacin de algunos elementos qumicos como el radn en los manantiales situados cerca de un edificio volcnico; en los campos magntico, elctrico y gravimtrico y en los depsitos pertenecientes a actividades eruptivas pasadas. La naturaleza de una erupcin volcnica es determinada en gran medida por las caractersticas fsicas y reolgicas de la mezcla de magma, cristales y gases durante su ascenso hacia la superficie terrestre; por lo que diversos modelos fsicos de distinta complejidad han sido desarrollados para calcular la tasa de emisin de masa a partir de la profundidad y las dimensiones de la cmara magmtica as como de la reologa del magma y de la roca encajonante. La tasa de emisin de masa es importante porque la longitud de los flujos de lava dependen principalmente de ella. Por lo tanto, conocer dicha tasa permitira saber de que tanto tiempo se dispone para poder evacuar las poblaciones que podran verse afectadas por futuras erupciones.

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Los modelos de emisin de masa han sido exitosos para explicar los parmetros que tienen influencia en las caractersticas de una erupcin, pero casi todos consideran que la cmara magmtica se halla inmersa en un medio elstico. Entre los recientes modelos, el publicado por Maeda (2000) explica el comportamiento de la erupcin de 1992 del Monte Unzen, situado en Kyushu, Japn, centrndose en la variacin de la tasa de emisin de masa con el tiempo, tomando en cuenta una cmara magmtica elstica, pero con un conducto volcnico de comportamiento viscoso. El modelo de Maeda fue modificado para considerar la compresibilidad del magma. El objetivo de este trabajo consisti en evaluar el modelo mejorado de Maeda y aplicarlo al volcn de Colima (193045N, 10337O; 3860 msnm) uno de los volcanes mexicanos ms activos y para una de cuyas erupciones se han determinado tasas de erupcin. Este es el volcn mexicano que cuenta con el mayor registro histrico de su actividad a lo largo de los tiempos. Esto se debe a la frecuencia de sus eventos eruptivos y a su cercana con varias ciudades importantes de los estados de Colima y Jalisco. Sin embargo, la mayor parte de dicho registro est formado por descripciones generales de su actividad eruptiva, y slo en las recientes dcadas ha sido posible por parte de los vulcanlogos obtener una descripcin completa de sus erupciones (Luhr and Carmichael, 1980; Medina, 1983; De la Cruz, 1993; Saucedo et al., 1997; Bretn et al., 2002). El Volcn de Colima ha tenido episodios reminiscentes de los del Monte Unzen. Por otro lado, Navarro-Ochoa et al. (2002) hicieron una estimacin de la tasa de descarga del Colima durante su actividad efusiva de 1998 99, datos que son necesarios para la aplicacin del modelo de Maeda. Por otro lado, con base en datos de gravimetra, Medina et al. (1996) propusieron un modelo gravimtrico en el que sobresale un cuerpo prismtico con contraste de densidad de 0.35 g/cm3 que puede ser identificado con la cmara magmtica. Con esta informacin es posible la aplicacin del modelo mejorado de Maeda a la erupcin de 1998 99 del Volcn de Colima para obtener conclusiones razonables sobre la estructura interna del mismo. En particular, los resultados de este trabajo apoyan la hiptesis de que la anomala de densidad en el modelo gravimtrico representa a la cmara9

magmtica, aunque con otras dimensiones, adems se obtienen otras variables de la erupcin con el mismo modelo, como lo es el volumen total de lava arrojada.. Como antecedente de lo expuesto anteriormente, en este trabajo (Captulo 1) se presenta una breve resea histrica de modelos anteriores de emisin de masa como marco de referencia del Modelo de Maeda (2000). Dado que este modelo supone que los conductos volcnicos poseen una reologa viscoelstica, en el captulo 2 se exponen los elementos esenciales de la teora de los cuerpos viscoelsticos. El modelo de Maeda (2000) se expone con detalle en el captulo 3. La aplicacin al caso del volcn de Colima se presenta en el captulo 4 y finalmente en el captulo 5 se presentan las conclusiones finales.

10

CAPTULO 1. MODELOS DE EMISIN DE MASA. En este captulo se presentan algunos de los primeros modelos de emisin de magma de acuerdo a una secuencia cronolgica, para destacar la contribucin de cada uno de ellos. 1.1 Modelo de Blake (1981). Este modelo calcula el volumen de magma lquido v necesario para que ocurra una erupcin, la cual tiene lugar cuando ocurre una sobrepresin P que supere a la presin litosttica PL. Dicha sobrepresin se origina por la entrada de ms material a la cmara magmtica. Este volumen es una funcin tanto de la compresibilidad del magma como del volumen de la cmara. Cuando llega ms magma a la cmara proveniente del manto, el contenido de sta debe comprimirse para dar cabida al nuevo material. El magma comprimido ocupar el volumen disponible dentro de la cmara a una presin que es mayor que la litosttica, poniendo a las paredes de la cmara bajo tensin. La condicin crtica para que las paredes de la cmara se colapsen es:

v = vc donde

(1)

v, volumen de magma que entra en la cmaravc, volumen de la cmara magmtica

, resistencia a la tensin de las paredes de la cmara , mdulo de bulto del magma, el cual puede variar de 14 GPa (basalto olivino a1200C) a 80 GPa (andesita a 1000C). En este modelo, el volumen arrojado es igual a v. Suponiendo que vc no permanece constante, la ecuacin anterior se convierte en:

11

v vcdonde s se define como:

(1 + s ) + s

(2)

s=

vc vc

1.2 Modelo de Wadge (1981). En erupciones de tipo basltico, existe en general una rpida fase creciente en la cual stas se estabilizan por medio de la apertura de una fisura, que origina un dique de magma; a partir de ese suceso, se presenta una fase menguante gradual que puede durar semanas e incluso meses. Una erupcin individual se caracteriza por una tasa de erupcin Qe, que viene siendo una tasa de descarga volumtrica promediada sobre toda la erupcin, y por una tasa de efusin Qf, la tasa de flujo volumtrico en cualquier tiempo dado. Wadge (1981) muestra que la fase menguante puede explicarse por medio de la relajacin elstica de las paredes de la cmara magmtica: Qt = Q0 exp(t / ) donde

(3)

=

12 hVr k 3l

Qt, tasa de efusin (tasa de descarga de exceso de magma) Q0, tasa de efusin inicial

, viscosidad del magmah, altura de un dique de lava

, ancho de un dique de laval, profundidad de un dique de lava

12

K, mdulo de bulto de la roca encajonante Vr, volumen total de las rocas deformadas elsticamente Es decir, la tasa de efusin de una cmara elstica decrece exponencialmente durante una erupcin. Desde un punto de vista terico, la descompresin del magma en una cmara de tamao fijo, i.e. rgida como la que plantea Blake (1981), tambin debera tener una relajacin elstica de comportamiento exponencial. Para que eso suceda, en la definicin de se debera tener que Vr y K sean reemplazados por el volumen de la cmara y el mdulo de bulto del magma, respectivamente. Con este trabajo, Wadge (1981) hizo una importante contribucin a los modelos de la evolucin eruptiva. Sin embargo, en el caso de erupciones explosivas, haba que tomar en cuenta otros factores como el contenido de voltiles, que fueron considerados por Druitt y Sparks (1984) y Blake (1984). 1.3 Modelo de Druitt y Sparks (1984). En este modelo la cada de presin p se relaciona con el cambio de volumen v de una cmara magmtica de volumen v, mediante el mdulo de bulto de la mezcla (magma y voltiles) .

p =

v v

El modelo, elaborado para la formacin de una caldera, consta de dos etapas. En la etapa 1 ocurre una erupcin donde el magma sale a la superficie a travs de un conducto volcnico, mientras la cmara magmtica presenta una sobrepresin. En la etapa 2 la presin en el interior de la cmara decrece lo suficiente para permitir un colapso del techo de la misma. Una vez comenzada la erupcin, la salida de magma de la cmara resultar en un decrecimiento de la presin a lo largo del tiempo, considerando que las paredes de la misma son rgidas. Se supone que justo en el momento en que da comienzo

13

la erupcin volcnica, en el interior de la cmara magmtica se tienen dos capas; la capa superior de magma silcico - se encuentra saturada de voltiles, mientras que la inferior contiene magma con poco contenido de agua (mfico). La fraccin volumtrica f (Vs/Vs) de la capa de magma silcico arrojada durante la erupcin se relaciona con la cada de presin p por medio de la siguiente relacin:

1 V 1 f = x + p + m (1 x ) s Vs m donde

(4)

x, fraccin volumtrica de las burbujas de agua exsueltas dentro de la capa de magma, que en este caso es silcico Vs, volumen de la capa de magma silcico Vm, volumen de la capa de magma con poco contenido de agua (en general, un magma mfico)

s, mdulo de bulto del magma silcico m, mdulo de bulto del magma mficoDruitt y Sparks (1984) utilizaron en su anlisis los valores Vm/Vs = 10 y Vm/Vs = 100, basndose en el trabajo de Blake (1981). 1.4 Modelo de Blake (1984). La exsolucin de la fase voltil, junto con el desarrollo de una sobrepresin que supere la resistencia de las rocas que rodea a la cmara magmtica, es la tesis principal del trabajo de Blake (1984), en donde la cmara presenta dos capas : una superior que consta de magma lquido y vapor de agua, as como una inferior con magma no saturado. Las variables importantes del modelo se muestran a continuacin: Vg, volumen del vapor de agua Vl, volumen de magma silicico Vm, volumern de magma no saturado a presin p14

Vmi, volumen de magma infrasaturado Vli, volumen de magma sobresaturado S, coeficiente de la expansin volumtrica de la cmara. Las variables anteriores se relacionan de la siguiente manera:Vg + Vl + Vm = (Vli + Vmi ) (1 + S )

Las cmaras magmticas silcicas poco profundas y de gran tamao, pueden generar su propio potencial para iniciar grandes erupciones que dan lugar a calderas. El proceso de diferenciacin magmtica de un magma silcico con bajo contenido inicial de agua, da lugar a una zona estable de baja temperatura, baja cristalinidad y con un alto contenido de agua en la parte superior de la cmara. Despus de estos procesos, el magma localizado en la parte superior de la cmara estar sobresaturado de agua, generando un exceso de presin. Igualando los volmenes tanto de magma como de la cmara misma con una presin situada por encima de la litosttica, el exceso de presin magmtica puede considerarse como una funcin de la compresibilidad del magma, el contenido de agua, la solubilidad, la profundidad de la cmara presin litosttica y de la capacidad de la cmara para expandirse. Por otro lado, la densidad l del magma sobresaturado es: p

l = li edonde

li, valor de la densidad del magma a la presin atmosfricap, exceso de presin

, mdulo de bulto.El hundimiento de la superficie situada alrededor de un volcn, previo al inicio de una erupcin sugiere que S, la expansin volumtrica de la cmara (V/V), tiene un valor de S>0. Cuando se tiene una cmara rodeada por rocas incompresibles,

15

S=0. Tomando en cuenta la capacidad de dilatarse de las cmaras que han sido abastecidas de magma, S tiene como valor lmite S = 10-3 (Blake ,1981). Blake (1984) estima que valores de sobrepresin entre 5 y 25 MPa son suficientes para que la parte superior (el techo) de la mayora de las cmaras magmticas se rompa. 1.5 Modelo de Tait et al. (1989). El modelo de Blake (1981) plantea que una erupcin puede iniciarse por el abastecimiento de magma proveniente de un nivel ms profundo dentro del sistema volcnico, a diferencia de Tait et al. (1989) quienes, siguiendo la lnea de Blake (1984), consideran que la exsolucin de una fase voltil dentro de la cmara es un mecanismo que puede iniciar una erupcin. A diferencia de Blake (1981) y Druitt y Sparks (1984), que utilizaron una cmara magmtica cilndrica, Tait et al. (1989) emplean una cmara esfrica. Las rocas que rodean a la cmara se comportan elsticamente. Los parmetros bsicos de este modelo son el volumen inicial de la cmara Vi, presin inicial de la cmara Pi, volumen final y presin final, cuyas expresiones se muestran ms adelante. La relacin que consideran tanto Blake (1981) como Tait et al. (1989) entre la sobrepresin P y los cambios en volumen de la cmara V, es la siguiente

P =

VV

(5)

donde 1010 Pa. En el modelo de Tait et al (1989) la cmara magmtica se encuentra inicialmente a la presin litosttica Pi y tiene un volumen Vi. Debido a la cristalizacin el magma se halla ahora sobresaturado de voltiles, y empiezan a formarse burbujas de gas. La presin dentro de la cmara se incrementa (Pi + P), as como el volumen (V). Los esfuerzos de tensin que se generan ocasionan que las rocas que rodean a la cmara se fracturen y el magma es expulsado.

16

El volumen de magma arrojado viene dado por :

V V Va = 2 + l (1- g ) donde

(6)

, esfuerzo de tensin , rigidez de la roca encajonanteVl, volumen de magma lquido V, volumen de la cmara

g, fraccin volumtrica de gas en la cmaraEste modelo puede servir tanto para magmas baslticos, mficos as como para riolticos, escogiendo adecuadamente los parmetros correspondientes. 1.6 Modelo de Bower y Woods (1997). Estos autores trabajaron con un modelo en donde la cmara est sometida a una presin litosttica, ms una sobrepresin ejercida por la exsolucin de gas y una intrusin adicional de magma. Es decir, tomaron en cuenta tanto el trabajo de Blake (1981) como el de Tait et al. (1989). El principio bsico en que se basa este modelo es el que establece que la masa de magma arrojada se incrementa con la compresibilidad de la mezcla de magma y voltiles exsueltos en la cmara. La masa M en la cmara con una presin pi y un volumen Vi se calcula como:

M = (z, pi ) dvVi

(7)

Por lo tanto, la masa arrojada durante una erupcin ser la diferencia entre la masa al final de la erupcin y la existente al principio de la misma, es decir:M = (z, pi ) dv Vi

Vf

(z, p17

f

) dv

(8)

Si se supone una cmara de forma cilndrica, las integrales anteriores se pueden aproximar por medio de una suma que incluya la masa contenida en cada una de las rebanadas cilndricas de espesor z en que se ha dividido el volumen:

M = (z j , pi ) dv j

(z , pj j

f

) dv

(9)

Este modelo se aplica a magmas muy viscosos de composicin cida. 1.7 Modelo de Scandone y Giacomelli (2001). En este modelo la cmara est sometida a una presin litosttica constante, las rocas se comportan viscoelsticamente y las paredes de la cmara actan de manera pseudo-rgida, es decir, son rgidas al menos por un tiempo despus del comienzo de la erupcin. Cabe destacar que la distincin entre comportamiento elstico y rgido de las paredes de la cmara no es tan tajante; ms bien se tiene un comportamiento mixto. El modelo desarrollado por Scandone y Giacomelli (2001) se basa en la descompresin del magma saturado de voltiles y en el crecimiento de las burbujas de voltiles que se encuentran en solucin en el magma, como en el trabajo desarrollado por Tait et al. (1989). La erupcin termina cuando se logra la suficiente descompresin para que las paredes de la cmara magmtica sufran un colapso y se restauren las condiciones iniciales de la presin. La descarga de masa Qm(t) est dada por:dV(t) dt

Qm (t) = (t)

(10)

donde (t) es la densidad promedio de la mezcla gas-magma y V(t) es el incremento de volumen del magma como funcin del tiempo, que depende de la densidad numrica de las burbujas (Nd), y del radio de stas en funcin del tiempo. Nd se define como:

18

Nd =

1

4 3 S0 3

(11)

donde S0 es el radio de la cscara esfrica de la mezcla entre el magma y el gas que se halla dentro de una burbuja. La masa total arrojada ser:M = 0 V (x0 - x f ) (m /g ) (12)

El parmetro que ms influye tanto en la duracin de la erupcin como en la descarga de masa, es precisamente la densidad numrica de las burbujas en el magma. Este modelo de Scandone y Giacomelli (2001) se aplica a magmas que presentan un alto contenido de agua (silcicos). En estos modelos la cmara magmtica por simplicidad est inmersa en un medio elstico exceptuando a Scandone y Giacomelli (2001) que en el caso de la Tierra solo permite explicar algunos procesos, ya que el comportamiento real es mucho ms complicado (i.e. la Tierra no es elstica). Baste como ejemplo la aparicin de fracturas como resultado del cambio de volumen de la cmara, la cual no recuperar su tamao original. 1.8 Modelo de Ida (1996). La obtencin de la emisin de masa de un volcn involucra el cambio de volumen en una cmara magmtica. La mayora de los investigadores han analizado este problema suponiendo que la cmara se encuentra inmersa en un medio elstico, pero ese no siempre es el caso. En el modelo de Ida (1996), las paredes de la cmara magmtica son elsticas, pero el conducto volcnico presenta un comportamiento semejante al de un fluido viscoso. En la figura 1 se ilustran de manera esquemtica las caractersticas del modelo.

19

Figura 1. Parmetros del modelo de Ida (1996). Los parmetros mostrados en la figura 1 son los siguientes: I, flujo de entrada (constante) de magma. J, flujo de salida de magma. m, exceso de masa en la cmara. p, exceso de presin en la cmara.

, densidad del fluido.K, mdulo de bulto del fluido.

, rigidez de la roca encajonante.a, radio del conducto.

c , viscosidad de la roca encajonante. f , viscosidad del magma.q = J I. El conjunto de ecuaciones asociado con este modelo es el siguiente:

20

da = ap dt dp = -q dt dq = 4 2 a4 p dt

(13)

(14)

(15)

Empleando las siguientes condiciones iniciales: a = 1, p = p0 ,q = 0 en t = 0 la solucin del sistema es: (16)

p = p0 cos( 2 t) q = 2 p0 sen( 2 t) p a = 1 + 0 sen( 2 t) 2 Es decir, la solucin es peridica.

(17) (18) (19)

En la figura 2 se muestra un ejemplo de solucin cuando p0 = 10. Las grficas son adimensionales.

21

Figura 2. Solucin del modelo de Ida (1996) para p0 = 10 para las tres variables: p, q y a (de arriba hacia abajo). El modelo de Ida (1996) puede aplicarse de manera indistinta a magmas de diferente composicin, siempre y cuando los parmetros se elijan de manera adecuada. La solucin obtenida por Ida (1996) predice actividad volcnica cclica continua, situacin que no se observa en general. En la mayora de los casos la emisin de masa tiene lugar en dos o tres ciclos de menor intensidad (Maeda, 2000).

22

El modelo de Maeda (2000) reproduce esta situacin. En l se emplea la misma geometra que en el modelo de Ida (1996), pero ahora se tiene un conducto volcnico de material viscoelstico y un abastecimiento de magma variable. Este modelo se describir ampliamente en el captulo 3.

23

CAPTULO 2. VISCOELASTICIDAD. 2.1 INTRODUCCIN. En el estudio general de los cuerpos continuos deformables existen dos clases de comportamiento cuyo idealizacin a dado lugar a otras tantas teoras matemticas para su estudio, la teora de la elasticidad y la mecnica de fluidos. Estos comportamientos generalmente se establecen particularizando el tipo de deformacin que sufre un material ante los esfuerzos aplicados. Se dice entonces que un cuerpo es elstico si al aplicarle un esfuerzo la deformacin es proporcional al esfuerzo y al cesar este, cesa inmediatamente la deformacin. Por otro lado si al aplicar un esfuerzo se presenta una deformacin irrecuperable se dice que el material es un fluido. Dentro de este esquema general existen desde luego una serie de comportamientos que dan origen a una clasificacin mas detallada. Por ejemplo si para un fluido los esfuerzos son proporcionales a las tazas de deformacin se dice que el fluido es Newtoniano. La aplicacin de estas teoras ha permitido resolver una gran cantidad de problemas para cuerpos cuyo comportamiento se ajusta ampliamente a estos criterios. Sin embargo, esto exige en muchas ocasiones establecer lmites para la aplicabilidad del tratamiento clsico. Por ejemplo, la teora clsica de la elasticidad supone deformaciones pequeas con respecto a las dimensiones involucradas en el sistema a tratar. La razn de estas limitaciones se deriva del hecho de que el comportamiento de los materiales es en realidad ms complejo que el abarcado por estas teoras. Algunos materiales geolgicos, las rocas entre ellos, pueden presentar comportamientos que participan de los casos sealados que pueden verse como extremos. Es decir se comportan como cuerpos elsticos pues recuperan parte de la deformacin y como fluidos newtonianos, tambin llamados cuerpos viscosos, pues exhiben una deformacin permanente. Para este comportamiento se ha desarrollado tambin una teora, llamada teora de la

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viscoelasticidad o simplemente viscoelasticidad. De esta manera nos es posible extender el tratamiento terico de problemas de diversa ndole. Un ejemplo de esto lo constituye la propagacin de ondas ssmicas, mismas que son tratadas como ondas elsticas cuando interesa resolver problemas de propagacin o estructura de los materiales; sin embargo, cuando se trata de estudiar la atenuacin de las mismas, es necesario recurrir a un modelo viscoelastico puesto que en un cuerpo elstico la atenuacin interna de las ondas no ocurre. En volcanologa se presenta tambin una variedad de problemas en los que es necesario trabajar en el marco de la viscoelasticidad para lograr un tratamiento ms real de un problema. Como se expondr mas adelante, en este trabajo se hace la consideracin de que las rocas encajonantes del conducto volcnico se comportan como un material viscoelastico particular conocido como cuerpo de Maxwell. 2.2 FUNDAMENTOS DE VISCOELASTICIDAD. Para poder visualizar de manera sencilla algunos aspectos tanto de la teora de la elasticidad como de la viscoelasticidad, es muy frecuente recurrir a las interpretaciones fsicas muy simples proporcionadas por modelos mecnicos que involucran resortes y amortiguadores (Christensen, 1971). Los elementos de resorte y de amortiguador (figura 3) se emplean para representar a las deformaciones elstica y viscosa, respectivamente, dentro del marco de referencia de la teora lineal de la viscoelasticidad (Ikegami, 2001). Las ecuaciones constitutivas entre esfuerzo y deformacin son:

=kd dt

(20)

resorte

y

=

(21)

amortiguador

donde k y son las constantes elstica y viscosa, respectivamente. Como puede

25

observarse, la ecuacin constitutiva del amortiguador depende del tiempo.

Figura 3. Modelos mecnicos empleados en la teora de la viscoelasticidad: (a) elemento resorte y (b) elemento amortiguador. La deformacin viscoelstica lineal se representa de igual manera por las ecuaciones constitutivas anteriores pero ahora combinando resortes y amortiguadores de cierta manera. Por ejemplo, la ecuacin constitutiva de un arreglo en serie de un resorte y un amortiguador es la siguiente:

+

dk dt

=

d dt

(22)

A esta ecuacin se le conoce como el modelo de Maxwell (figura 4).

Figura 4. Modelo de Maxwell. La ecuacin constitutiva de un arreglo en paralelo de un resorte y un amortiguador es:

= k +

d dt

(23)

26

que es conocida como el modelo de Kelvin (figura 5).

Figura 5. Modelo de Kelvin.

2.3 PRUEBAS DE FLUENCIA Y RELAJACIN. La fluencia y la relajacin son pruebas que se realizan en cuerpos viscoelsticos para caracterizar su comportamiento. En la prueba de fluencia se considera un esfuerzo unitario constante y se observa la deformacin producida como una funcin del tiempo. En el modelo de Maxwell se deriva la deformacin resolviendo la ecuacin (22) de donde:1 t k M + 1

t

+

1 k

=

(24)

donde M

=

k

es el tiempo de relajacin.

Similarmente para el modelo de Kelvin se obtiene:

27

1 = k

k t 1 - e

1 = k

t K 1 - e

(25)

donde K =

k

es el tiempo de retardo.

Ambas expresiones se ilustran en las figuras 6 y 7.

Figura 6. Fluencia del modelo de Maxwell.

28

Figura 7. Fluencia del modelo de Kelvin. Como puede observarse, la fluencia de deformacin para el modelo de Maxwell se incrementa linealmente con respecto al tiempo. En cambio, el modelo de Kelvin presenta saturacin en la deformacin de fluencia para un tiempo largo. La relajacin se define como las variaciones de esfuerzo que ocurren bajo una deformacin unitaria constante. En el modelo de Maxwell se expresa como:k t

= k e-

-

t

= k e

M

(26)

i.e., hay un decrecimiento exponencial (figura 8).

29

Figura 8. Relajacin del modelo de Maxwell. Para obtener el valor de la relajacin en el modelo de Kelvin se efectuara lo siguiente: Un cambio infinitesimal en la deformacin puede expresarse por medio de la funcin H(t) de Heaviside.

(t) = 0 H(t) 0 deformacin constante.Derivando con respecto al tiempo

(27)

d = 0 (t ) dtdonde (t) es la delta de Dirac. Substituyendo en (23):

(28)

= k 0 H (t ) + 0 (t )

(29)

30

Cuando se aplica una deformacin constante en un amortiguador (figura 4), el esfuerzo tendr un valor infinito en el instante en que sta es aplicada, por lo que dicho esfuerzo disminuir entonces rpidamente hasta cero en t=0+ y as permanecer igual a cero. De la ecuacin (29) puede verse que, debido a la presencia del amortiguador, un cambio sbito en 0 slo puede ir acompaado por un esfuerzo infinito. Por todo lo anterior puede decirse que el modelo de Kelvin no muestra una relajacin dependiente del tiempo. Al haber alcanzado el cambio en deformacin, ya sea por un esfuerzo infinito (si eso fuese posible) o por la lenta aplicacin de una deformacin dada, el esfuerzo que conlleva el amortiguador cae hasta cero, pero un esfuerzo constante permanece en el resorte (Findley et al., 1989) (figura 9).

Figura 9. Relajacin del modelo de Kelvin. 2.4 PRINCIPIO DE CORRESPONDENCIA. Las ecuaciones asociadas a los modelos de Kelvin y de Maxwell son slo dos ejemplos de la amplia variedad de ecuaciones constitutivas que pueden obtenerse empleando diferente nmero de resortes y de amortiguadores.

31

Todas estas ecuaciones pueden representarse por la siguiente ecuacin diferencial:

d d 2 d n + p2 + ..... + pn = dt dt 2 dt n d d 2 d n = q0 + q1 + q2 + ..... + qn (30) dt dt 2 dt n p0 + p1

Los coeficientes p y q representan las propiedades caractersticas de la deformacin viscoelstica lineal. Dichos coeficientes toman diferentes valores de acuerdo con el nmero de resortes y amortiguadores del modelo mecnico viscoelstico. En vista de lo anterior es posible representar a la ecuacin constitutiva del modelo de Kelvin por medio de la ecuacin diferencial del modelo general:

p0

= q0 + q1

d dt

(31)

donde, p0 = 1 , q0 = k , q1 = . Para el modelo de Maxwell se tendra que:

p0

+ p1

d dt

= q1

d dt

(32)

donde, p0 = 1 , p1 = /k , q1 = . La ecuacin constitutiva de la deformacin viscoelstica (30) puede escribirse de manera abreviada como se muestra a continuacin:

32

pkk =0

n

d k dt k

=

qkk =0

m

d k dt k

(33)

La ecuacin (33) se puede expresar en trminos de los operadores diferenciales P y Q: P=Q donde,n

(34)

P =

pkk =0

dk dt k

y Q =

qkk =0

m

dk dt k

As, la transformada de Laplace de la ecuacin (33) es:n m

pk s k k =0

=

qk =0

k

sk

(35)

donde, y son el esfuerzo y la deformacin transformados, mientras que s es la variable de la transformacin de Laplace. Escribiendo (35) en trminos de los operadores transformados P y Q se obtiene:

P = Q

; =

Q P

(36)

donde:

P =

pk s k y Q =k =0

n

qk =0

m

k

sk

33

La ecuacin (36) se puede comparar con la ley de Hooke en una dimensin. En este caso el cociente Q / P corresponde al mdulo de Young de la deformacin elstica lineal. Es decir, la deformacin viscoelstica lineal se transforma en una deformacin elstica en el espacio transformado de Laplace. Esto se conoce como el principio de correspondencia. Dragoni y Magnanensi (1989) emplearon el anterior principio en su trabajo para obtener las expresiones correspondientes del esfuerzo radial en un medio de Maxwell a partir de los clculos hechos por Love (1927) para un medio elstico. El modelo de dichos autores consiste de una cmara magmtica rodeada de un medio viscoelstico de Maxwell, que a su vez estaba inmerso en un medio elstico (figura 10), aunque despus hacan que la cmara se rodeara por completo de un medio de Maxwell al considerar que 1 = 2 = .

Figura 10. Modelo empleado por Dragoni y Magnanensi (1989)

34

El mdulo de relajacin para el modelo de Maxwell es: t

e

-

(37)

El mdulo transformado se define de la siguiente manera (vase p.ej. Findley et al., 1989):

=

Q ( s) P ( s)

(38)

Para el caso de Maxwell, el mdulo transformado sera:

ss +

(39)

Mientras que para el caso de Kelvin, se tiene que:

+ s

(40)

35

CAPTULO 3: MODELO VISCOELSTICO DE MAEDA. En este captulo se expone el modelo matemtico propuesto por Maeda (2000) y su implementacin numrica, adems de la validacin del algoritmo el cual se aplica a los procesos eruptivos del Monte Unzen (Japn). Se dar nfasis a los detalles matemticos de su trabajo, para exponer las bases que permitirn ampliarlo a un modelo de mayor generalidad, como es el que considera que el magma es un fluido compresible. En particular, se comenzar deduciendo las ecuaciones que este autor emple en su artculo partiendo de principios bsicos expuestos por otros autores (e.g. Dobran, 2001; Mogi, 1958; Ida, 1996 y Maeda, 1996). Para analizar la emisin de masa durante la actividad eruptiva del Monte Unzen en el perodo 19911994, Maeda (2000) propuso un modelo de comportamiento de la cmara basado en las siguientes suposiciones: 1) La cmara est situada en un medio elstico. 2) La variacin de presin en el depsito se determina por la diferencia de masa entre la fuente de magma y el flujo a travs de un conducto. Dicha diferencia se expresa por un exceso de volumen que se define como la diferencia de masa dividida entre la densidad del magma. La presin se calcula a partir de la presin litosttica dada en el fondo de la cmara. A esta se le conoce como exceso de presin. 3) El flujo de magma originado en la cmara se expresa como un flujo estacionario de Poiseuille el cual es controlado por la fuerza de flotacin y el gradiente de presin determinado por el exceso de presin.

36

4) El conducto volcnico es un tubo cilndrico de longitud infinita en un medio viscoelstico infinito de Maxwell. El radio del tubo es funcin de la diferencia entre las presiones que actan dentro y fuera de la pared del conducto. 5) La cmara es esfrica. 6) El exceso de presin es proporcional al exceso de masa en la cmara. 7) La seccin transversal del conducto es circular. En la figura 11 se muestra un esquema de la cmara magmtica y el conducto volcnico en el modelo de Maeda (2000).

Figura 11. I, flujo de entrada; V, volumen de la cmara; a, radio del conducto y J, flujo de salida.

37

3.1 DERIVACIN DE LAS ECUACIONES DEL MODELO DE MAEDA. En el trabajo de Maeda (2000) aparecen las ecuaciones que se aplican en las diferentes partes del modelo descrito. Estas ecuaciones se pueden obtener a partir de resultados bsicos como se desarrolla a continuacin. Para poder calcular los desplazamientos horizontales h en la superficie del terreno debidos a los cambios de presin p provocados por una fuente esfrica de radio r , se utiliza el modelo de Mogi (1958):3 r 3 p 4

h =

(Z

2

+ X2)

Z

3/ 2

(41)

donde Z es la profundidad del centro de la cmara, X es la distancia radial del punto de medicin desde el epicentro (i.e., la proyeccin del centro de la esfera en la superficie) de la cmara y es la rigidez del medio. Por otro lado, los desplazamientos radiales debidos a la compresin de una cavidad esfrica inmersa en un slido infinito se expresan de la siguiente manera:

p R 3 ur = 4 r 2de sta (Tait et al., 1989).

(42)

donde R es la distancia del centro de la cavidad a un punto situado en el interior Dado que v = 4 r 2 ur , substituyendo el valor de ur se tiene que:

v = 4 r 2Si r = R,

p R 3 4 r 2

(43-a)

v = r 3

p

(43-b)

La expresin anterior puede escribirse como38

v =puesto que

3 Vr p 4

(43-c)

Vr =

4 r3 3

es el volumen de la cmara (Murnaghan, 1951 , Tait et al., 1989). Luego entonces, igualando ambas expresiones de v:

r3

p

=

3 Vr p 4

(44)

despejando a r:

r3 =

3 Vr 4

(45-a)

Considerando el mdulo de Poisson como 0.25, la fraccin puede escribirse como: =1-. De donde la expresin de r resulta:

r3 =

Vr (1 - )

(45-b)

Substituyendo a r en la frmula de Mogi se tiene que:

h =

3 Vr p (1 - ) 4

(Z

Z2

+X

2 3/ 2

)

(46)

Integrando esta expresin sobre la superficie esfrica de la cmara se obtiene:

39

ve =

3 p Vr (1 - ) 2

(47)

(Johnson, 1995), siendo ve el cambio en volumen debido al desplazamiento h, que puede considerarse tambin como un exceso de volumen. De la expresin anterior se tiene:

ve Vr

=

3 p (1 - ) 2

(48)

El mdulo de Poisson puede expresarse por medio de los parmetros elsticos , rigidez del medio, y K, el mdulo de bulto, de la siguiente manera :

=

3K - 2 2(3K + )

(49)

Por lo tanto, puede escribirse lo siguiente:

3K - 2 3 1 2(3K + ) 3 (1 - ) = 2 2 6 K + 2 - 3K + 2 3 2(3K + ) 2 3 [3K + 4 ] 4 (3K + )

=

=

3 (1 - ) 3 [3K + 4 ] = 2 12 K + 4 2

40

Utilizando nicamente trminos de O (1) :3 (1 - ) 3 [3K + 4 ] 2 12 K

[4 + 3K ]4 K

Substituyendo en la expresin de ve :

ve VrDespejando a p:.

=

(4 + 3K ) p 4K

(50)

p =

4K ve (4 + 3K ) Vr

(51)

Seak = 4 K ( 4 + 3 K ) Vr (52)

Entonces:

p = k vePara hacer ms sencilla la notacin, se escribir p para el exceso de presin y v para el exceso de volumen. Entonces, puede decirse que el exceso de presin se escribe como: p=kv (53)

41

La conservacin de la masa en forma integral para un volumen de control se expresa de la siguiente manera:d dt

V

dv +

( v - S ) n dA = 0A

-

-

(54)

donde v es la velocidad material que cruza la superficie A que se mueve a una velocidad S (Dobran, 2001). El perfil de velocidades para un conducto volcnico de radio a es:

v = 2 vm ( 1 -

r2 ) a2

(55)

donde vm es la velocidad media. Entonces, la tasa de flujo de masa a la entrada (simbolizado por m1) es:

m1 = - 2 vm1 ( 1 0

a

r2 ) 2 r dr = - A1 vm1 = - I a2

(56)

Mientras que el de salida (simbolizado por m2) es:

m2 =

a

0

2 vm2 ( 1 -

r2 ) 2 r dr = A2 vm2 = J a2

(57)

Por lo tanto, la conservacin de la masa puede escribirse como:d dv - I + J = 0 dt V

(58)

donde I es la tasa de entrada y J la tasa de salida. Si se supone que no depende ni del volumen ni del tiempo se tiene

42

d d dv dv = dt V dv = dt dt V

(59)

Entonces,

dv - I + J = 0 dt

(60)

Eliminando a y reacomodando trminos se obtiene:

dv =I-J dt

(61)

3.2 CLCULO DE J, EL FLUJO TASA DE SALIDA Supngase que se tiene un tubo vertical lleno de lquido en donde el eje x coincide con el eje del cilindro. En el caso que se va a analizar el tubo viene siendo el conducto volcnico y el lquido es, por supuesto, magma. Se desea calcular la velocidad v - que slo depende de y y z -, por medio de las ecuaciones de NavierStokes. La componente x de estas ecuaciones es:

2v 2v 1 dp + = y 2 z 2 m dxsiendo

(62)

dp = cte dxEn el caso que se est analizando, el gradiente de presin dp/dx viene dado por:

43

dp p = g dx ldonde el significado de las variables es el siguiente:

(63)

l, es la longitud del conducto volcnico (profundidad de la cmara magmtica) g, la aceleracin de la gravedad y = r - m , donde r es la densidad de la roca y m la densidad del magma. Si la ecuacin de Navier-Stokes se escribe en coordenadas cilndricas se obtiene:1 d dv 1 p r = g + r dr dr l m (64)

puesto que en el caso que se est analizando, slo hay variacin en r. Integrando dos veces, se obtiene:1 p 2 g + r + c log r + d 4m l

v=

(65)

c y d, constantes por determinar, ya que la velocidad debe permanecer finita en el centro del conducto se tiene c = 0. La constante d se determina por la condicin de que v = 0 para r = a, el radio del conducto, de donde finalmente se obtiene:1 p 2 2 g + ( a r ) 4m l

v=

(66)

que representa un flujo de Poiseuille (v.g. Landau y Lifshitz, 2001). La tasa de salida se calcula empleando la siguiente expresin:a

J = 2 m rvdr0

(67)

Substituyendo e integrando

44

J=

m 4 p a g + l 8m

(68)

pero

m =Substituyendo: 8 m

m m

J=

p 4 g + a l

(69)

A continuacin se analizar la variacin del radio a del conducto con respecto al exceso de presin. Se supondr que la roca encajonante se halla sujeta a un flujo inelstico debido al gran gradiente de presin que se concentra alrededor del conducto volcnico. Si este flujo es newtoniano con una viscosidad de la roca , de las ecuaciones de Navier Stokes se deduce la siguiente velocidad radial w en la roca encajonante:

w =

p a2 1 2 r

(70)

donde r es la distancia medida desde el centro del conducto. Si r = a, se tiene que:

w =

pa 2

(71)

Pero w = da/dt , por lo tanto

da ap = dt 2(Ida, 1996).

(72)

45

Para hallar la tasa de deformacin elstica supngase que el conducto es un tubo de longitud infinita situado en un medio elstico infinito. El campo de desplazamiento en un sistema de coordenadas cilndrico (r,,z) slo es funcin de r por lo que la ecuacin de Navier Stokes se reduce a :

1

u u r - 2 r r r

=

1 V p2

2u t2

(73)

donde u es el desplazamiento en la direccin r; , deformacin de corte y Vp, velocidad de la onda P. La condicin de frontera es

rr (a, t ) = ( + 2 )

u r

+

u r r = a

= - p(t )

(74)

donde y son las constantes de Lam. Se supondr que la variacin del sistema es lo suficientemente lenta para poder despreciar al trmino de inercia. En esta aproximacin cuasi-esttica, el lado derecho de la ecuacin (73) es igual a cero. Existen dos soluciones independientes para (73) igual a cero. Slo se considerar a :

u (t ) =

c(t ) r

(75)

donde c(t) es la constante de integracin, la cual puede ser dependiente del tiempo con una variacin lo suficientemente lenta. Substituyendo (75) en (76) se obtiene:

2

c = p (t ) a (t )2

(76)

46

Debido a que la velocidad de desplazamiento en a es igual a da/dt, se obtiene (eliminando c de (75) y (76)) lo siguiente:

1 d (a p) da d ap = = dt dt 2 2 dt

(77)

Finalmente, tomando en cuenta los trminos viscoso y elstico de da/dt, se obtiene:

1 d (a p) da ap = + dt 2 2 dt

(78)

Las ecuaciones (53),(61),(69) y (78) constituyen un sistema cerrado a partir del cual Maeda analiz el comportamiento eruptivo del Unzen. 3.3 REDUCCIN DEL NMERO DE ECUACIONES. Las ecuaciones sealadas anteriormente pueden reducirse a slo dos ecuaciones, como se muestra a continuacin : Substituyendo (69) en (61),

dv = I g + 8 f dt

p 4 a l

(79)

Se sabe que p = k v ; por lo tanto, (78) se puede expresar como:

47

1 d ( a k v) da akv = + 2 2 dt dt = k 1 av d (a v) + k 2 2 dt

da k k d (a v) = av + 2 2 dt dt

(80)

De igual modo, (79) se rescribe como :

dv k v 4 = I g + a dt 8 f l

(81)

Escribiendo las dos expresiones anteriores en trminos de la presin (para ello, recurdese que v = (1/k) p ):

da k 1 = a p dt 2 k

k + 2

d (a

1 p) k dt

da ap 1 d (a p) = + dt 2 2 dt

(82)

d p k = I g + 8 f dt k l dp k = I k g + 8 f dt p 4 a l

p 4 a k

(83)

48

3.4 ADIMENSIONALIZACIN DE LAS ECUACIONES. Las ecuaciones anteriores, (82) y (83), pueden ser adimensionalizadas con el objeto de obtener soluciones generales que permitan el anlisis del comportamiento del sistema representado por el modelo. Para ello se seguirn los siguientes pasos : 1) Identificar todas las variables dependientes e independientes. 2) Reemplazar cada una de ellas con una cantidad escalada relativa a una unidad caracterstica de medida por determinar. 3) Dividirlos entre el coeficiente del trmino de la derivada de orden polinomial ms alto. 4) Elegir cuidadosamente la definicin de la unidad caracterstica para cada variable, de tal manera que la mayora de los coeficientes de los trminos sea la unidad. 5) Reescribir el sistema de ecuaciones en trminos de sus nuevas cantidades adimensionales. Proceso de adimensionalizacin. Paso 1) Consideramos a y p como variables dependientes y t como variable

independiente. Paso 2) Introducimos las variables adimensionales , y definidas como:

= aa 0

= pp 0

= tt 0

49

donde a0, p0 y t0 son variables tpicas del sistema y tienen unidades de longitud, presin y tiempo respectivamente. Derivando, y aplicando la regla de la cadena, se obtienen las siguientes expresiones:

da d = a0 dt dtPor lo tanto,

dt = t0 d

a d da = 0 dt t0 d p d dp = 0 dt t0 d

d (ap ) d = dt dt =

( a0 p0 )

a0 p0 d ( ) t0 d

Substituyendo en (82) y (83) se obtiene:

a0 t0 p0 t0 d d

d d

=

a0 p0 1 + 2 2

a0 p0 t0

d ( ) d

(84)

k = I k - 8 f

4 4 ( g ) a0

k 8 f

p0 4 a0 4 l

(85)

50

Pasos 3) y 4)

Dividiendo (84) entre

a0 t0

, resulta:

d d

=

p0 t0 p0 + 2 2

d ( ) d

(86)

Sea

p0 = 1 . Entonces, p0 = 2 . 2

Igualando a 1 el otro coeficiente de (86),

p0 t0 2 t0 =

=

2 t0 2

= 1

(87)

De donde, (86) queda como:

d d

= +

d ( ) d

(88)

Ahora se proceder de manera anloga con la ecuacin (85); dividiendo dicha ecuacin entre

p0 se tiene que: t0 k t0 - p0 8 f t0 p0 4 4 ( g ) a0 t0 p0 k 8 f k 8 f t0 p0 p0 4 a0 4 l p0 4 a0 4 l t0 p0

p0 t0 d t0 p0 d d d

= Ik

= Ik

k t0 - p0 8 f

( g )

4 4 a0 51

-

(89)

A continuacin se igualarn los coeficientes de la ecuacin anterior a 1. Sea

k 8 fSubstituyendo los valores de t0 y p0 :

t0 4 g a0 = 1 p0

k 8 f

4 g a0 = 1 2

Factorizando y despejando a0 resulta que:

4 a0 =

16 f 2

k g

(90)

Ahora se ver el caso del coeficiente de 4 :

k 8 f

t0 p0

p0 4 a0 l

4 Substituyendo el valor de a0 en el coeficiente anterior este se reduce a :

16 2 t0 8 l g Pero t0 =

52

Factorizando, se obtiene que el coeficiente se expresa como que representaremos como D. As:

2 mismo al g l

D =

2 g l

(91)

Ahora slo falta considerar a I k

t0 . Substituyendo los valores de t0 y p0 : p0

I k 2A este coeficiente se le llamar .

= I

k . 2 2

=

k I 2 2

(92)

D es una medida adimensional del flujo de magma, que es determinado por la razn entre las fuerzas de flotacin (~ ) y la rigidez del medio (). es la tasa adimensional de abastecimiento de magma. Finalmente, el sistema de ecuaciones se reduce al siguiente par de ecuaciones :d d d d d ( ) d

= +

(93)

= - 4 - D 4 (94)

53

Este sistema, en el que se considera un abastecimiento constante de magma, es un sistema autnomo de segundo orden no lineal.

3.5 ANLISIS DEL SISTEMA. Maeda (2000) llev a cabo un anlisis general del comportamiento del sistema suponiendo un abastecimiento constante. Para analizar dicho sistema, se aplicar la teora de sistemas no lineales (vase por ej. Drazin, 1994 y Verhulst, 1996) Anlisis de puntos fijos. Las ecuaciones (93) y (94) pueden expresarse de la forma:

dx = f ( x) ddonde x = (,). Al buscar la solucin de la ecuacin

f ( x) =

dx =0 d

lo que se trata de encontrar son valores en donde x no vara en (puesto que su derivada es cero), que se conocen por lo tanto como puntos fijos. Igualando a cero las ecuaciones (93) y (94):0 = = 0

0 = - 4 - D 4

como = 0, se tiene que:

54

- 4 = 0 = 4

Recurdese que el abastecimiento de magma es constante (i.e. I es constante). En este anlisis slo se considerar el caso > 0 y 1, i.e., el magma nunca fluir hacia abajo (hacia la cmara). Se tomar en cuenta el caso 1. Considrese un pequeo incremento dx=(x,y) a partir del punto x* = ( 1/ 4 , 0) . Se sabe que x = (,). Utilizando el valor de x* en la expresin x = x* + dx se tiene que:x = ( 1/ 4 , 0) + ( x, y ) ( ', ') = ( 1/ 4 , 0) + ( , )

Por lo tanto,

' = 1/ 4 + ' =

Substituyendo en las ecuaciones (93) y (94) :

55

d d d d d d

= +

d ( ) d

(95)

= - 4 - D 4

= - 4 (1 + D )

(96)

d ' d = d d

= ( 1/ 4 + ) + d{

d{(

1/ 4

+ ) }

d1/ 4

= 1/ 4 +

+

+ } d+ d ( ) d d ( ) d (97)

= d d

1/ 4 +

+

d{ 1/ 4 } d d d

=

1/ 4 +

+ 1/ 4

+

Desarrollando el valor de 4 y substituyendo en la expresin para la derivada de , resulta que:

d d

= -

{

+ 4 3/ 4

+ 6 2 / 4 2

+

4 1/ 4 3

+ 4

} [1

+ D ]

(98)

Empleando slo trminos de O(1):

56

d d d d

=

1/ 4

+ 1/ 4

d d

(99)

=

-

{ {

+

4 3/ 4 }[1 + D ] + 4 3/ 4 + 4 3/ 4 D }

= d d =

-

+ D - D

- 4 3/ 4

(100)

Substituyendo en la expresin de d/d :

d d

= =

1/ 4 1/ 4

+ 1/ 4 -4 3/ 4 - 4

- D (101)

- 1/ 4 D

Finalmente, se obtiene

d d d d

=

-4

+ 1/ 4 [1 - D ]

(102)

=

- 4 3/ 4

- D

(103)

Este sistema est formado por las ecuaciones linealizadas en la vecindad del punto fijo (1/4,0) .

57

Escribiendo el anterior sistema en forma matricial:

d d d d

=

-4 1/ 4 [1 - D ] 3/ 4 - D -4

donde -4 3/ 4 -4

Ja =

1/ 4 [1 - D ] - D

es el Jacobiano del sistema. 3.6 ANLISIS DE ESTABILIDAD. Antes de comenzar con el anlisis propiamente dicho, se esbozarn algunos principios bsicos de la teora de la estabilidad (v.g. Kiseliov et al., 1991 y Drazin, 1994). Sea el sistema de ecuaciones diferenciales

dxi = Fi ( x1 , x2 ,..., xn , t ) dtdonde Fi (0,0,...,0, t ) 0 Decimos que xi 0

(i = 1, 2,..., n)

(i = 1, 2,..., n) .

(i = 1, 2,..., n) (i.e., la solucin nula) es un punto de equilibrio

del anterior sistema de ecuaciones. El punto de equilibrio xi 0

(i = 1, 2,..., n) es estable segn Liapunov, si para

cualquier >0 es posible hallar un >0 tal que cualquier solucin xi (t ) (i = 1, 2,..., n) cuyos datos iniciales xi 0 = xi (t0 ) (i = 1, 2,..., n) satisfacen la condicin

58

xi 0 <

(i = 1, 2,..., n) , se verifica la desigualdad xi (t ) <

(i = 1, 2,..., n) , para todo

t t0 . Si adems de la desigualdad anterior, se cumple tambin quelim xi (t ) = 0t

(i = 1, 2,..., n) , la estabilidad se llama asinttica.

Considrese ahora un sistema de dos ecuaciones diferenciales lineales cuyos coeficientes son constantes:

dx = a11 x + a12 y dt dy = a21 x + a22 y dtcuyo determinante es distinto de cero. El punto x=0, y=0 en el que se anulan los segundos miembros del sistema anterior, se llama punto de equilibrio del sistema. Para analizar los puntos de equilibrio hay que calcular los valores propios del Jacobiano del sistema, lo que significa resolver la ecuacin caracterstica:a11 a21

a12 =0 a22

y hallar sus races 1 y 2. Caractersticas de las races. I Las races 1 y 2 son reales y distintas. a) 1 < 0 , 2 < 0 . El punto de equilibrio tiene estabilidad asinttica (nodo estable). b) ) 1 > 0 , 2 > 0. punto de equilibrio inestable (nodo inestable). c) ) 1 > 0 , 2 < 0. punto de equilibrio inestable (punto silla de montar). II Las races de la ecuacin caracterstica son imaginarias.

1 = p + iq ; 2 = p - iq59

a) p0 , q0. punto de equilibrio inestable (foco inestable). c) p=0 , q0. punto de equilibrio estable (centro). III Races mltiples 1 = 2 a 1 = 2 0. punto de equilibrio inestable (nodo inestable). Se proceder ahora al anlisis de estabilidad, que como se mencion ms arriba comienza con el clculo de los valores propios del Jacobiano: La ecuacin caracterstica viene dada por: det [Ja - ] = 0 Substituyendo:

-4 det 3/ 4 -4

1/ 4 (1 - D ) 0 - - D 0 = 0

= 0

-4 - 1/ 4 (1 - D ) det 3/ 4 - D - -4Es decir,

[ -]Por lo tanto,

(4 + ) [ -] ( D + ) - 1/ 4 (1 - D ) (-4 3/ 4 ) = 0

2 + [ 4 + D ] + 4 = 0la cual se resuelve como:

=

- [ 4 + D ]

16 2 + 8D 2 + D 2 2 - 16 260

Anlisis del discriminante:

1 = 2 16 + 8 D + D 2 - 16 Si 1 = 0, se tiene que:

=

16

[4

+ D]

2

Substituyendo en la expresin de , se obtiene:

= -

8 [4 + D]

Es decir, es estable. Ahora, se analizar el caso en que:

>

16

[4

+ D]

2

Es decir, es igual a:

=

16 +

[4

+ D]

2

donde > 0. Substituyendo en:

61

2 [ 4 + D ] - 162

se obtiene:

(16 + ) 2

[4

+ D]

4

[4

+ D]

2

- 16

(16 + )

[4

+ D]

2

=

( 16 + )

[4

+ D]

2

Sacando raz cuadrada del resultado:

(16 + )

[4Substituyendo en ,

+ D]

2

=

2 + 16 [4 + D]

-

16 +

=

[4 + D]

2

[4 + D] 2

2 + 16 [4 + D]

=

- (16 + ) (16 + ) 2 [4 + D]

Escogiendo el signo positivo:

1 =

- (16 + ) + (16 + ) 2 [4 + D]

Puede verse que 1 es negativo, dado que:(16 + ) > (16 + )

puesto que, elevando al cuadrado ambos miembros, se tiene que:62

(16 + ) 2 > (16 + ) (16 + ) 2 (16 + ) 16 + > 16 > 0

>

1 < 0 , i.e. es estable.Eligiendo ahora el signo negativo, se tiene:

2 =

- (16 + ) (16 + ) 2 [4 + D]

i.e. 2 < 0por lo tanto, es estable. Es decir, se ha demostrado que cuando

>

16

[4

+ D]

2

el sistema es estable. Ahora se analizar el caso en que:

63