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PROYECTO FINAL MATEMÁTICAS APLICADA PRIMERA PARTE: MODELO DE TÉRMICO DE DOS

TANQUES AISLADOS, EN SERIE NO INTERACTUANTES

NOHORA VIVIANA BONILLA

ELIANA MARIA MARTINEZ URUETA

Trabajo presentado como proyecto final de la primera parte del módulo de matemáticas

aplicadas en La Especialización en Ingeniería de Procesos.

Ing. Guillermo Valencia Ochoa.

BARRANQUILLA

UNIVERSIDAD DEL NORTE – DIVISIÓN DE INGENIERÍAS – DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA

MECÁNICA – ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS INDUSTRIALES

OCTUBRE 2009

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1. RESUMEN

El presente proyecto trata de un modelo térmico de dos tanques en serie que no interactúan,

no aislados totalmente. La temperatura de salida del primer tanque afecta la temperatura del

segundo tanque, pero la temperatura de salida del segundo tanque no afecta la temperatura

del primero, ya que ésta no se está retroalimentando, por lo que la relación causa-efecto entre

los tanques es en un solo sentido.

Se introdujeron las ecuaciones en simulink y se utilizó una temperatura promedio que

estuviera entre el rango de la temperatura de entrada (25°C) y la temperatura de salida en

estado estable del segundo tanque (80°C) para poder calcular los valores de los flujos de calor

en estado estacionario, bajo los valores de entrada siguientes:

0,5 kg/s

Cp = Cv 4186 J/KgK

T1 25°C

52,5°C

T∞ 25°C

80°C

Rth 0,0156 K/W

Se asumió una Temperatura promedio de salida del tanque uno igual a 52,5°C, para la cual se

calcularon los valores de los flujos de calor en estado estable.

Se obtuvieron las funciones de transferencia entre los tanques y se encontró una respuesta de

primer orden para el primer tanque y una respuesta de segundo orden para la temperatura de

salida y el segundo tanque. Las funciones de transferencia fueron halladas siguiendo el

procedimiento visto en clase, hallando primero los parámetros en estado estable y luego

restando las ecuaciones en estado estable de sus ecuaciones dinámicas, determinando las

variables de desviación y aplicando transformada de LaPlace. Se utilizaron las opciones de

MatLab para graficar las respuestas de la simulación del modelo para cada paso escalón y

estudiar dichas respuestas, donde se pudo verificar que al realizar el forzamiento en el primer

tanque su respuesta será de primer orden, mientras que la del segundo tanque tendrá una

respuesta de segundo orden ante el forzamiento realizado en el primer tanque.

Luego de haber realizado la simulación en Simulink, y modelar el aumento del calor en un 75%

en un tiempo igual a t = 10 min, se obtuvo la respuesta analítica para el paso escalón para un

sistema de primer orden de acuerdo con la ecuación T2(t) = + K1 Q1(1-e-t/ ) y se compararon

en Excel ambas respuestas, hallándose un porcentaje de error entre cada valor obtenido. Se

encontró que ambas respuestas tiene un porcentaje de error pequeño, por lo que se validó

que el trabajo realizado es una buena solución al problema planteado.

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Como parte final, se evaluaron los diferentes efectos que tienen sobre la respuesta del proceso la

naturaleza del aislante térmico, la resistencia térmica y el volumen del tanque. Se concluyó que

para un valor más alto de K, se genera un menor valor de Rth y por ende un menor valor de tao,

resultando en que tao es directamente proporcional a la resistencia térmica e inversamente

proporcional a la conductividad térmica del material de aislamiento. El volumen del tanque

también resultó ser directamente proporcional a la constante de tiempo, es decir que mientras

mayor sea la capacidad de almacenamiento que tenga el tanque, se necesitará más tiempo para

elevar la temperatura hasta el valor de estabilización.

2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA.

El sistema mostrado consta de dos tanques aislados térmicamente y conectados con una

tubería corta, a través de los cuales fluye agua, Al tanque 1 se le está suministrando un

calor ( ) 1 q& t y al tanque 2 un calor ( ) 2 q& t . La temperatura del agua en la entrada del

tanque 1 es de 25oC y el valor de estabilización de ( ) 3 T t debe ser 80oC.

Asumir las cantidades que no se especifican.

Figura 1. Tanques Aislados conectados en serie.

Para hallar el modelo dinámico del sistema y solucionarlo se asumirá lo siguiente:

Fluido de densidad constante.

El material de aislamiento en ambos tanques es polietileno, con k=0.34W/mK.

El tanque tiene forma cilíndrica con diámetro de 0.4m y altura 0.4m y espesor L=4mm.

Con estas dimensiones el volumen del tanque es V=0.0502m3, la masa es m V=50.2kg

y el área de transferencia de calor es A=0.754m2. , con k=0.34W/mK.

El flujo másico de entrada es 0.5kg/s

Los contenidos másicos de los tanques son iguales entre si y constantes (por ello se

tomarán los flujos de salida iguales a los de entrada)

Los calores ( ) 1 q& t y ( ) 2 q& t son funciones escalón.

Se obtendrán las soluciones para cambios escalón en los calores de entrada =

15KW y

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Se suponen constantes las propiedades y se evalúan a 300K:

Propiedades del H20: Cp=Cv=4186J/kgK, =1kg/L

3. DESARROLLO

3.1. Mostrar las ecuaciones en simulink.

En la figura xx se muestra las ecuaciones del modelo, tal como fueron ingresadas en

simulink.

Balance de Energía en Estado Dinámico en el Tanque 2

°K

J/s°K

J/s

J/s

Balance de Energía en Estado Dinámico en el Tanque 1

°K

J/s

°KJ/s

J/s

q2(t)

q1(t)

q1 t2

q1 t1

m.

50.2

m

25

Tinf

25

T1

Subtract1

Subtract

Scope1

0.0156

Rth

Product5

Product4

Product3

Product2

Product1

Product

1

s

Integrator1

1

s

Integrator

[mCp]

Goto8

[q2]

Goto7

[q1]

Goto6

[TinfsRth]

Goto5

[mCv]

Goto4

[Rth]

Goto3

[T3]

Goto2

[T2]

Goto1

[T3]

From9

[Rth]

From8

[T2]

From7

[T2]

From6

[mCv]

From5

[TinfsRth]

From3

[mCp]

From2

[mCp]

From14

[T3]

From13

[Rth]

From11

[T3]

From10

[T2]

From1

Divide4

Divide3

Divide2

Divide1

Divide

52.499999994069

Display1

79.999999996337

Display

4186

Cp

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Figura 2. Ecuaciones de Balance de Energía en los Tanques 1 y 2.

3.2. Ajustar todos los parámetros para lograr estado estable. Establezca gráficas para T2(t),

T3(t).

Conociendo la temperatura en estado estable del flujo de salida del tanque (T3(EE) = 80°C) y

dado que la temperatura de entrada del flujo en el tanque uno es constante (T1 = 25°C); se

escoge una temperatura intermedia para calcular los flujos de calor en las ecuaciones en

estado estacionario.

Las ecuaciones en estado estacionario para el sistema de los dos tanques en serie son las

siguientes:

Ec. 1

Ec. 2

En estado estacionario son los términos de la derecha se hacen cero, por lo que las

ecuaciones anteriores se pueden escribir de la siguiente manera:

Ec. 4

Ec. 5

Como se había mencionado antes, se escoge una temperatura intermedia en T2, para

calcular los calores en estado estacionario. Se asume una T∞ de los alrededores igual a

25°C y se escogió una temperatura promedio de 52,5°C, para la cual se obtuvieron los

valores de los flujos de calor en estado estacionario:

0,5 kg/s

59320,3205 W

Cp 4186 J/KgK

T1 25°C

52,5°C

T∞ 25°C

80°C

Rth 0,0156 K/W

Tabla 1. Flujos de calor en estado estacionario en los tanques 1 y 2.

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Los valores de los flujos de calor en estado estacionario, fueron ingresados en el modelo en

simulink, para poder obtener las gráficas en estado estable para las temperaturas de salida de los

tanques 1 y 2.

Figura 3. Gráfica de T2 y T3 en estado estacionario.

3.3. En una gráfica muestre el comportamiento de las temperaturas si se produce un aumento

del 75% en el q1(t) en el tiempo t = 10 min. (Explique por qué se dio esa respuesta).

Figura 4. Temperaturas de salidas de los tanques al realizar un paso escalón de 75% q1

Al hacer un cambio en el calor de entrada q1, se aumenta la temperatura de salida del tanque 1 y

a su vez e puede observar que la temperatura de salida del tanque 1 afecta la temperatura de

salida del tanque 2. Esto se puede comprobar analizando las ecuaciones diferenciales en estado

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dinámico (Ec. 1 y Ec. 2), las cuales muestran que son diferenciales de primer orden con una

variable de salida y dos de entrada. Si se analizan las gráficas, se puede observar que la respuesta

de la temperatura de salida del primer tanque (T2) es de una dinámica de primer orden, mientras

que la dinámica del segundo tanque y la respuesta de su temperatura de salida T3 es de segundo

orden sobreamortiguada (muy parecida a la de una respuesta de primer orden, pero el perfil

inicial después del cambio escalón ya no es exponencial, si no que tiene una forma de S). Esto se

puede verificar si se expresa la ecuación del segundo tanque en función de T2.

3.4. En una gráfica muestre el comportamiento de la temperatura T2(t) y T3(t) si: el flujo

másico disminuye al 50% en t = 5 min, luego en t = 50 min q1 aumenta en un 75%, más

tarde en t = 100 min, q2 aumenta en un 25% y finalmente en el t = 150 min, el flujo

másico se duplica. Explique por qué se dio esta respuesta.

3.5. Obtener las siguientes funciones de transferencia:

T2(s)/q1(s)

T3(s)/q1(s)

T3(s)/q2(s).

Retomando el segundo ítem del presente punto, las ecuaciones en estado estacionario

son:

Ec. 4

Ec. 5

Y determinando las variables de desviación:

Restando las ecuaciones en estado dinámico y las en estado estable para el primer

tanque (ED1 – EE1):

→

Reemplazando en términos de las variables de desviación:

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Reordenando la ecuación:

Comparando con la ecuación de un sistema lineal de primer orden:

, se tiene obtienen los parámetros dinámicos:

y Ec 6 y Ec. 7.

Aplicando Transformada de LaPlace: L

Realizando un proceso similar para el segundo tanque:

Restando las ecuaciones en estado dinámico y las en estado estable para el primer

tanque (ED2 – EE2):

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Expresando en términos de las variables de desviación:

Reordenando:

Aplicando Transformada de La Place:

, se iguala a cero y se despeja,

, Ordenando la expresión,

Reemplazando T2(s), se tiene que:

,

hallando las funciones de transferencia para cada T3(s)/Q1(s) y T3(s)/Q2(s), los términos

Q2(s) y Q1(s) se hacen cero para cada caso respectivamente, por lo que se tiene que:

y

Calculando las constantes a partir de las ecuaciones 6 y 7:

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K1 = 4,63 x 10-4 sK/J

3.6. Obtener analíticamente la respuesta de la temperatura T2(t) si se produce un aumento

en el 75% en el q1(t) en el tiempo t = 10 min, comparar con la solución en la respuesta

obtenida en la pregunta 3.

Conociendo que la respuesta para un forzamiento paso escalón de magnitud x esta dada

por la ecuación:

Donde Y(t) es la variable de desviación y x es la magnitud del paso escalón, si se expresa

la anterior ecuación en términos de la T2(t) y se ordena, se obtiene:

y teniendo en cuenta que

, entonces la

ecuación para la respuesta paso se puede escribir de la siguiente manera:

Si el valor inicial del flujo de calor en el tanque 1 era 59320,3205 W, el 75% más de este valor sería

103826,3108 W y el en este caso sería igual a 44505,9903 W. Reemplazando estos valores y

otros conocidos en la ecuación anterior, se tiene que para el presente ejercicio, la respuesta sería

representada por la siguiente ecuación:

Utilizando esta ecuación en Excel, se halla el valor de T2(t) analíticamente y se compara con el

valor obtenido en matlab.

3.7. Qué efecto tiene sobre la respuesta del proceso los siguientes parámetros:

Resistencia de los tanques y tipo de aislante térmico.

1 = 97,42 seg

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Si se toma en cuenta la ecuación de la constante de tiempo para el primer tanque:

, se puede inferir que la constante de tiempo depende de la

resistencia térmica y de la capacidad del tanque.

Se puede deducir entre mayor sea la resistencia térmica, mayor será la constante de

tiempo y se necesitará mayor tiempo para alcanzar un valor de temperatura de

estabilización.

Si se toma un valor diferente al dado por el ejercicio de conductividad térmica (K), para un tipo de

aislante distinto, por ejemplo 0,018 W/mK para el poliuretano, y se vuelve a calcular el valor de

la resistencia térmica se obtiene un valor de Rth igual a 0,29472443 K/W. Reemplazando este

valor en la ecuación de la constante de tiempo, se tiene que ésta es igual a

100,237503 seg.

En la siguiente tabla se muestran algunos valores de tao para diferentes valores de Rth y Ktermica.

Material Conductividad

Térmica Rth

poliuretano 0,018 0,29472443 100,237503

ladrillo 209,3 2,5347E-05 5,05793451

aluminio 0,8 0,0066313 93,6523754

madera 0,13 0,040808 99,2381128

plomo 35 0,00015157 24,1801047

Se puede ver que para un valor más alto de K, se genera un menor valor de Rth y por ende un

menor valor de tao. Para un valor mucho más pequeño de K, el Rth es mayor, aumentando el valor

de la constante de tiempo.

Volumen de los tanques. Con el volumen del tanque ocurre un caso similar al

anterior. Mientras mayor sea la capacidad de almacenamiento que tenga el tanque, se

necesitará más tiempo para elevar la temperatura hasta el valor de estabilización.

Siguiendo un procedimiento análogo para la capacidad del tanque, sustituyendo los

valores en la ecuación de tao se obtienen los siguientes resultados:

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Volumen del tanque m3 masa que puede

almacenar kg seg

2 veces mayor 0,1004 100,4 200,475006

Mitad 0,0251 25,1 50,1187516

4. BIBLIOGRAFIA

http://es.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_de_conductividad_t%C3%A9rmica

Maloney, Timothy J. Electrónica Industrial Monderna.

http://books.google.com.co/books?id=H-irtU49BOkC&pg=RA1-PA380&lpg=RA1-

PA380&dq=resistencia+t%C3%A9rmica+de+tanque&source=bl&ots=F8v_83Mr5t&sig

=KXdXAQ09meRHduLDZ38x-

y1Az3c&hl=es&ei=Q6TlSrDIN9Xg8Qa4gvyHBw&sa=X&oi=book_result&ct=result&res

num=1&ved=0CAgQ6AEwAA#v=onepage&q=resistencia%20t%C3%A9rmica%20de%2

0tanque&f=false

Smith, Carl A.; Corripio, Armando B. “Principles and Practice of Automatic Process

Control” Second Edition.