modelamiento control 1
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modelamiento control 1TRANSCRIPT
� Para realizar un sistema de control es necesario y convenientetener el modelo matemático de la planta que se desea controlar.
� Modelo matemático, es el conjunto de ecuaciones que intentanrepresentar el efecto que tienen las variables de entrada (u)sobre otras las variables de salida (y) en un sistema a lo largo deltiempo. Los modelos son una aproximación y se supone uncompromiso entre la exactitud y sencillez
� Los modelos matemáticos se pueden obtener en de varias formas:
� Analítica.- Se estudia la constitución de la planta y se aplican lasleyes físicas que caracterizan sus componentes y se formulanlas ecuaciones del modelo. Es necesario conocer loscomponentes que forman el sistema y el funcionamiento de losmismos. Los MM habitualmente se expresan mediante sistemasde ecuaciones diferenciales o ecuaciones en diferencias, o latransformada de Laplace o Z respectivamente.
� Experimental.- Se somete al sistema a pruebas en las variablesde entrada y se observa el comportamiento de las salidas,tratando de establecer las ecuaciones que determinan esemismo comportamiento. El sistema se observa como una cajanegra sometida a pruebas , sin conocer sus componentes.
� Para comprender y controlar sistemas dinámicos hay que obtenermodelos matemáticos cuantitativos. Como los sistemasconsiderados son de naturaleza dinámica, las ecuaciones quedescriben son ecuaciones diferenciales lineales o no lineales en lamayoría de los casos.
� Para sistemas no lineales es factible realizar linealización y de estamanera utilizar las técnicas de control lineal.
� En general se puede resumir el tratamiento de sistemas dinámicoscomo sigue:
� Definir el sistema y sus componentes
� Formular el modelo matemático y hacer suposiciones necesarias
� Determinar las ecuaciones diferenciales que describen el modelo
� Resolver las ecuaciones para las variables deseadas
� Examinar las soluciones y las hipótesis
Ecuaciones de estado
� Estado.- Conjunto más pequeño de variables tales que elconocimiento de estas variables en t=to, conjuntamente con elconocimiento de la entrada para t ≥ to, determinan completamenteel comportamiento del sistema en cualquier tiempo t > to.
� El estado global de un sistema dinámico se puede describirmediante los valores de un conjunto de variables de estado delmismo.
� Variables de estado.- Las variables de estado de un sistemadinámico son las variables que constituyen el conjunto máspequeño de variables que determinan el estado de un sistemadinámico.
� Si se requieren al menos n variables x1,x2,…,xn para describircompletamente el comportamiento de un sistema dinámico,entonces esas n variables son un conjunto de variables de estado.
� Ecuaciones de estado.- Un sistema MIMO :
� n integradores (variables de estado) vector x(n,1)
� r variables de entrada vector u(r,1)
� m variables de salida vector y(m,1)
� Un sistema se puede escribir mediante la expresión:
� Las salidas se obtienen de las ecuaciones
���(�) = ��(��, �, ��, … , � ; ��, �, ��, … , ��; �)
��(�) = �(��, �, ��, … , � ; ��, �, ��, … , ��; �)
⋮
�� (�) = � (��, �, ��, … , � ; ��, �, ��, … , ��; �)
��(�) = ��(��, �, ��, … , � ; ��, �, ��, … , ��; �)
�(�) = �(��, �, ��, … , � ; ��, �, ��, … , ��; �)
��(�) = � (��, �, ��, … , � ; ��, �, ��, … , ��; �)
⋮
� Si definimos matricialmente:
� � =
���⋮
�
� � =
���⋮
��
� � =
���⋮
��
� � =
��(��, �, ��, … , � ; ��, �, ��, … , ��; �)
�(��, �, ��, … , � ; ��, �, ��, … , ��; �)
⋮
� (��, �, ��, … , � ; ��, �, ��, … , ��; �)
Variables
de estado
Entradas
Salidas
�� � =
��(��, �, ��, … , � ; ��, �, ��, … , ��; �)
�(��, �, ��, … , � ; ��, �, ��, … , ��; �)
⋮
� (��, �, ��, … , � ; ��, �, ��, … , ��; �)
� Las ecuaciones que definen un sistema, así como sus salidas se convierten a las siguientes considerando las definiciones dadas anteriormente.
Ecuación de estado
Ecuación de salida
� f, g son funciones vectoriales que dependen del tiempo; es un sistemavariante en el tiempo
� Si se linealizan las ecuaciones de estado alrededor de un estado deoperación, se tiene las ecuaciones de estado y de salida linealizadas(Sistema lineal variante en el tiempo):
A(t) Matriz de estado
B(t) Matriz de entrada
C(t) Matriz de salida
D(t) Matriz de transmisión Directa
�� � = �(�, �, �)
� = �(�, �, �)
�� � = � � � � + �(�)�(�)
� � = � � � � + � � � �
� Si las funciones vectoriales f y g no involucran al tiempo, elsistema pasa a ser un sistema lineal invariante en el tiempo(LTI). Las ecuaciones de estado y de salida serán:
� El diagrama de bloques para estas ecuaciones de estado y de salida:
B
D
∫dt C
A
u(t) y(t)x(t)
�� � = �� � + ��(�)
� � = �� � + �� �
Representación en el espacio de estado de sistemas dinámicos
� Considere un sistema de n-esimo orden (entrada sin términos derivativos)
� Esta ecuación puede ser convertida en n ecuaciones diferencialesde primer orden, para ello se tiene que elegir n variables deestado:
� �(�)
�� + ��
� ���(�)
�� ��+⋯+ � ��
�� �
��+ � � � = �(�)
�� = �
� = ��
�� = ��
⋮
� =� ���(�)
�� ��
��� = ��
�� = ��
��� = ��
⋮
�� =� �(�)
�� = −� � � − � ��
�� �
��− ⋯− ��
� ��� �
�� ��+ �(�)
Derivamos
� Derivando se obtiene��� = ��
�� = ��
��� = ��
⋮
�� =� �(�)
�� = −� � � − � ��
�� �
��− ⋯− ��
� ��� �
�� ��+ �(�)
��� = ��� = ����� = �!⋮
�� =� �(�)
�� = −� � � − � ��
�� �
��− ⋯− ��
� ��� �
�� ��+ �(�)
�� =� �(�)
�� = −� �� − � ��� −⋯− ��� + �(�)
�� = �
� = ��
�� = ��
⋮
� =� ���(�)
�� ��
Se definió
Cambio de variable
� Por lo tanto la representación a través de variables de estado, estará dado por:
� En forma matricial la ecuación de estado:
� donde:
��� = ��� = ����� = �!⋮
�� =� �(�)
�� = −� �� − � ��� −⋯− ��� + �(�)
�� � = �� � + ��(�)
� � =
�����⋮
�
� =
0 1 0 ⋯ 0
0 0 1 ⋯ 0
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
0 0 0 ⋯ 1
−� −� �� −� � ⋯ −��
� =
0
0
0
⋮
1
� La salida esta dada por:
� Donde:
∫ ∫ ∫ ∫u y
-
� � = �� � + �� �
� � =
�����⋮
�
$ � 1 0 0 ⋯ 0 � � 0
Diagrama de bloques
���� � ��
�� � � �� � ��� ⋯ ��� � ����
��� � ��� � ����� � �!
⋮
Ejemplo 3.1
� Para 03 variables de estado:
Derivamos
Cambio de variable
��������� � ��
������� � �
�� ��� � ��� � � ����
Definimos variables de estado
��� � ���� � ����� � ��
�� � �� � �� �
�� � ��
�� � ������� � ��
��� � �
�� � ��
��� � ���� �
�� ��� �
�� ��� � � ����
��� � ���� �� ���� � ����
Equivalentes
� Por lo tanto las EE:
� Matricialmente:
� Donde:
�� � � �� � � ������ � � �� � � �� �
�� � �0 1 00 0 1
�� � ��
�����
�001
����
� � � 1 0 0�����
� 0 � �
� � ������
� �0 1 00 0 1
�� � ��� �
001
� � 1 0 0
� � 0
��� � ��� � ��
��� � ���� �� ���� � ����
�� � �
� En diagrama de bloques:
∫ ∫ ∫u y
-
Diagrama de bloques
��� � ��� � ��
��� � ���� �� ���� � ������ � �
�������� ��
E Estado
�����
���
Función de transferencia
� Considerando que es la relación salida / entrada
� De las ecuaciones de estado
� Multiplicando por ambos términos de la ecuación
Laplace
CI=0
�� � � �� � � �����
� � � �� � � �� �
%& % � 0 � �& % � �'�%�
( % � �& % � �' %
%) � & % � �'�%�
%) � �� %) � & % � %) � ���'�%� & % � %) � ���'�%�
� Si remplazamos la ecuación
� en la ecuación de estado de la salida:
( % � �& % � �' %( % � � %) � ���'�%� � �'�%�
( % � � %) � ��� � � '�%�
* % � � %) � ��� � �
Función de
transferencia
& % � %) � ���'�%�
� � � �� � � �� �
%�+,��-.�/��� � (�%�
'�%� � �*�%�
Ejemplo 3.2
� Hallar el DB de la ecuación diferencial
� Asignando variables de estado
Derivando
Cambio a variables
de estado
��������� � 0 �����
�� � 1 ������� � 2� � � ���� �� � 0�� � 1�� � 2� � �
�� � �� � ���� � ��
��� � ���� � ��
��� � �� � 0�� 1�� 2� � �
��� � ��� � ����� � 2�� 1� 0�� � �
� � ��
Ecuación de estado y salida
� A partir de las ecuaciones de estado construimos el Diagrama de bloques
∫ ∫u(t)y(t)
-∫
��� � ��� � ����� � 2�� 1� 0�� � �
� � ��
�������������
� Hallar la función de transferencia
uy
1
1/s 1/s 1/s
∫ ∫u(t)y(t)
-∫
0 1
2
3� � 1%�
4� � 0%
4 � 1%
4� � 2%� ∆� 1 �4� � 4 � 4��
∆�� 1
3 % � 3�∆�∆
Masson
� Hallar las ecuaciones de estado
� Ecuaciones del diagrama de bloques
� Ecuaciones de estado y de salida
∫ ∫u(t)y(t)
-∫
�� �0 1 00 0 1
2 1 0� �
001
� � � 1 0 0 � � 0 �
��� � ��� � ��
��� � 2�� 1� 0�� � � � � ��
��������
Ejemplo 3.3
� Ecuaciones de estado
� Asignando variables de estado
Cambio a variables
de estado
Ecuaciones de estado y salida
��������� � 0 �����
�� � 1 ������� � 2� � � ���� �� � 0�� � 1�� � 2� � �
�� � �� � ���� � ��
��� � ���� � ��
��� � �� � 0�� 1�� 2� � �
��� � ��� � ����� � 2�� 1� 0�� � �
�� �0 1 00 0 1
2 1 0
�����
�001
�
� � 1 0 0�����
� Hallar la función de transferencia
� De la ecuación de FT:
� Remplazamos las matrices respectivas y determinamos:
� …
�� �0 1 00 0 1
2 1 0
�����
�001
� � � 1 0 0�����
* % � 1 0 0 %1 0 00 1 00 0 1
0 1 00 0 1
2 1 0
�� 001
* % � � %) � ��� � �
Modelos matemáticos de sistemas
� Sistemas mecánicos
� Movimiento de traslación.- movimiento que se realiza a lo largo de un línea recta
� Masa.- almacena energía cinética del movimiento de traslación
� Resorte lineal.- elemento que almacena energía potencial
M f(t)
y(t)
k
f(t)
y(t)K: constante de rigidez del resorte
6 ��-/7�% � 8 �
� � � 8��
� � � : �
� Fricción viscosa.- representa una fuerza que es una relación lineal entre la fuerza aplicada y la velocidad
� Movimiento de rotación.- movimiento de un cuerpo alrededor de un eje
B
f(t)
y(t)B: coeficiente de fricción viscosa
J: momento de inercia
� � � � ��
6 ; � < 0 � � < �=����� � < �>���
��
Tren de engranajes
� (trabajo)
1θ
N1
N2
2θ
1T
2T
- Paso del engranaje igual
- Distancia que recorren
- Trabajo que desarrollan
- Velocidad angular
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
ϖ
ϖ
θ
θ====
T
T
r
r
N
N
Ejemplo 3.4
1θ
N1
N2
2θ
1T
2T
b1
b2
J2J1
T
; � <��>��� � ?�
�>��� � ;�
; � <�>�� � ?
�>��
Pero hay relación de T1 y T2
@�@
� ;�;
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;
�
1θ
N1
N2
2θ
1T
2T
b1
b2
J2J1
T
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�>��� � ;�
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;
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� Utilizando la relación entre los desplazamientos
1θ
N1
N2
2θ
1T
2T
b1
b2
J2J1
T
@�@
� >>�
>� � @@�
>
; � <��>��� � ?�
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@ <
�>�� � ?
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; � @@�
<��>�� � @
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@ <
�>�� � @�
@?
�>��
Si tenemos
Remplazando AB
� A partir de la ecuación anterior:
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@@�
<� � @�@
< � �>��
@@�
?� � @�@
?
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<� � @�@
< � >�@@�
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?
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��
; � @@�
<��>�� � @
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@ <
�>�� � @�
@?
�>��
; � >�� � >��
� La ecuación diferencial para el tren de engranajes es:
>� � ; 1� >�
��
1/s1/s
T(s)
1/A
B/A
-
Diagrama de bloques
>>�>�
Ejemplo 3.5
� Considérese el sistema LTI, constituido por una masa, un resorte yuna fricción viscosa, como se muestra en la figura
� La ecuación diferencial del sistema:
� Podemos afirmar que es de segundo orden, grado 2, integradores2, variables de estado 2
m
f(t)k
b
C �7�� � ? �7
�� � :7 � � � � � C7� � ?7� � :7
z
Ecuación diferencial
� Hallar EE
� Matricialmente
� Que corresponde a las ecuaciones de estado y de salida
7 � 1 0 ��� � 0 f
derivando
Ecuación salidaEcuación estado
� � � C7� � ?7� � :7
�� � 7� � 7� �� � 7�
��� � 7��� � :
C �� ?C � � 1
C ������� � �
����� �
0 1 :
C ?C
��� �
01C
�
�� � � �� � � ����� � � � �� � � �� �
ED
� Construir diagrama de bloques del sistema
∫ ∫1/mf(t)
b/m
k/m
z(t)
-
� � � C �7�� � ? �7
�� � :7
7� � ?C 7� :
C 7 � 1C ����
77�7�
� Diagrama de bloques del sistema
∫ ∫1/m
f(t)
b
k
z(t)
-
� � � C �7�� � ? �7
�� � :7
7� � ?C 7� :
C 7 � 1C ����
77�7�
7� � 1C ?7� :7 � ����
� Hallar la función de transferencia
� La FT a partir de la ecuación diferencial. Tomamos la T Laplace(ci=0)
Función de transferencia
� � � C �7�� � ? �7
�� � :7
D % � C %E % %E 0 E 0 � ? %E 0 E 0 � :E�%�C%E % � ?%E % � :E % � D %E % C% � ?% � : � D %
E %D % � 1
C% � ?% � :
Ecuación diferencial
� Hallar la función de transferencia
� Aplicando la ecuación para hallar la FT
����� �
0 1 :
C ?C
��� �
01C
�
7 � 1 0 ��� � 0 �
* % � � %) � ��� � �
* % � 1 0 % 00 %
0 1 :
C ?C
�� 01C
� 0
* % � 1 0 1% % � ?
C � :C
% � ?C 1
:C %
01C
F. Transferencia
* % � 1C% � ?% � :
Ecuaciones de estado
Ejemplo 3.6
� Hallar las ecuaciones diferenciales
m2f
k2
m2
B2
m1k1
m1
k2
y2y1
C���� � :��� � :�� ��� C�� � ��� � : � �� � �
� Construir el diagrama de bloques C���� � :��� � :�� ���C�� � ��� � : � �� � �
∫ ∫y1
-∫∫
-
y2
�� � �C
�� :C
� � :C
�� � 1C
�
�� �� � ���
��� � :�C�
�� � :C�
� :C�
��
� :�C�
� :C�
�� � :C�
�
�
�C
:C
:C
:C�
:�C�
� :C�
���1C
ED
� Hallar las ecuaciones de estado
� Definimos variables de estado
derivamos
Remplazando Cambio de variables
�� � ��� � ����� � ��! � ��
��� � ����� � ������ � ����! � ��
��� � ��� � ��� � :�
C�� :
C��� � :
C���
��� � �!
��! � :C
�� :C
�� �C
�! � 1C
�
��� � ����� � ��� � :�
C�� :
C��� � :
C��
��� � ����! � �
C�� :
C� � :
C�� � 1
C�
��� � :�C�
� :C�
�� � :C�
�
�� � �C
�� :C
� � :C
�� � 1C
�
ED
� A partir de estas ecuaciones obtenemos la EE
��� � ��� � :�
C�� :
C��� � :
C���
��� � �!
��! � :C
�� :C
�� �C
�! � 1C
� Ecuaciones de estado
����������!
�
0 1 0 0 :�
C�� :
C�0 :
C�0
0 0 0 1:C
0 :C
�C
������!
�
0001
C
�
�� � ��� � ����� � ��! � ��
��� � 1 0 0 0
0 0 1 0
������!
� Construir el diagrama de bloques
∫ ∫f
y1
-∫∫
-
y2
��!
��� � �
���
�� � :�C�
� :C�
�� � :C�
����� � �!��! � :
C�� :
C�� �
C�! � 1
C�
�� � �� �� � �
������
:�C�
� :C�
:C��!
:C
��
:C
�C
1C
��
Ejemplo 3.7
� sistema control de marcha
� Definiendo las variables de estado
� Ecuaciones de estado y de salida
ecuaciones
DerivamosCambio de variables
CF� � ?F � �� � F
u(t)b
FC
�� � F��� � F���� � ?
C F � 1C � � ?
C �� � 1C �
� � ����� � ?C �� � 1
C �