Modelado MatemáticoModelado Matemático

Modelado y Simulacióny

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Dr. Andrés Blanco Ortega

Modelado y SimulaciónModelado y Simulación

Una etapa muy importante en el proceso de diseño es el análisis delp y p psistema. En el cual se obtiene una abstracción del sistema medianteun modelo matemático para posteriormente realizar simulaciones y asícomprender su funcionamiento bajo diversas condiciones deoperación.La simulación es una etapa importante paraevitar que se construyan prototipos yq y p p yexperimentar con estos para conocer dichofuncionamiento. Fkxxm

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Modelo matemático y su aplicaciónModelo matemático y su aplicaciónUn modelo matemático es una descripción del mundoreal; es una representación simple de formas másreal; es una representación simple de formas máscomplejas, procesos y funciones de fenómenos físicos oideas.

E b d l l lid d i lifi l En un buen modelo la realidad se simplifica losuficiente para permitir los cálculos matemáticos ysimulación del mismo.

Permite describir el comportamiento de sistemas. Permite construir teorías o hipótesis que explica el

comportamiento obtenido de la simulación.comportamiento obtenido de la simulación. Usar estas teorías para predecir el comportamiento

futuro, es decir, los efectos que se producirán porcambios en el sistema o en su operación

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cambios en el sistema o en su operación.

Simplificación de sistemasSimplificación de sistemas

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Simplificación de sistemasSimplificación de sistemas

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Clasificación de sistemas en función del principio de superposiciónUn sistema se dice lineal si cumple con el principio dep p psuperposición, es decir, si la salida producida por la sumade 2 entradas es igual a la suma del efecto producido porcada entrada aplicada individualmente. Si la relaciónpanterior no se cumple, entonces el sistema es no lineal.

dd 00 2

xyyyyyyyyydxxdy

202

00 2

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Clasificación de los sistemas en función de sus parámetrosUn sistema se dice que es invariante en el tiempo, fijo oUn sistema se dice que es invariante en el tiempo, fijo o estacionario, si sus propiedades son invariables con traslaciones en el tiempo. En caso contrario, el sistema es variante en el tiempovariante en el tiempo.

12121211 32 uyytyyyyy

212122 235 uyyyyy

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Clasificación de sistemas en función de las entradas y salidas

Un sistema se dice monovariable o escalar si tiene una sola entrada yUn sistema se dice monovariable o escalar si tiene una sola entrada y una sola salida.

bba

1001 22

3 2 2

xy

ubbx

aax

0010010

0

1

0

1 y y y u u 3 2 2

Si el sistema tiene más de una entrada o más de una salida se llamará multivariable.

32 uyytyyyyy

12121211 32 uyytyyyyy

212122 235 uyyyyy

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Segunda Ley de NewtonSegunda Ley de Newton

La masa inercial es una medida de la inercia de un objeto que es laLa masa inercial es una medida de la inercia de un objeto, que es laresistencia que ofrece a cambiar su estado de movimiento cuando sele aplica una fuerza.La fuerza neta aplicada sobre un cuerpop pes proporcional a la aceleración que adquieredicho cuerpo:

xmF La fuerza que actúa sobre un cuerpoes directamente proporcional al producto

xmFes directamente proporcional al productode su masa y su aceleración

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Segunda Ley de NewtonSegunda Ley de Newton

El momento de inercia es similar a la inercia, excepto enEl momento de inercia es similar a la inercia, excepto enque se aplica a la rotación más que al movimiento lineal.Para sistemas rotacionales, la segunda ley de Newton

dpuede expresarse como:

JT

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Unidades de fuerzaUnidades de fuerzaLa unidad de fuerza en el Sistema Internacional es el Newton y serepresenta por N. Un Newton es la fuerza que hay que ejercer sobreun cuerpo de un kilogramo de masa para que adquiera una aceleraciónde 1 m/s2, o sea,

1 N = 1 Kg 1 m/s21 N = 1 Kg · 1 m/s2

El valor de la aceleración de la gravedad se toma igual a 9.81 m/s2.

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EnergíaEnergía

Energía: puede ser definida como la capacidad de efectuar trabajo.

Cuando la energía proviene del movimiento de la partícula se llama energía cinética.g

Cuando proviene de la posición de la partícula, medida desde un punto fijo o plano de referencia se denominadesde un punto fijo o plano de referencia, se denomina energía potencial.

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Energía cinéticaEnergía cinética

Para una masa inercial o inercia lineal m la energía cinética que g qalmacena puede ser expresada como:

2

21 xmK

D i il i i t i l t d i i J

2

De manera similar, para una inercia rotacional o momento de inercia Jla energía cinética está dada por:

21 JK 2

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Clasificación de sistemas en función de conservar o disipar la energía

Para un sistema conservativo, la energía total del sistemaPara un sistema conservativo, la energía total del sistema es invariable con el tiempo. En caso contrario, el sistema es no conservativo.

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Ley de HookeLey de Hooke

Cuerpo elástico: es aquel que recobra su tamaño y su forma originalp q q y gcuando deja de actuar sobre él una fuerza deformante.Robert Hook descubrió que cuando una fuerza F actúa sobre unresorte produce en él un alargamiento x que es directamenteproporcional a la magnitud de la fuerzaproporcional a la magnitud de la fuerza.

kxF

La constante k varía de acuerdo conel tipo de material y recibe el nombrede constante de rigidez.

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Resortes lineales y rotacionalesResortes lineales y rotacionales

Los resortes almacenan Energía Potencial:Los resortes almacenan Energía Potencial:

2

21 kxV

2

212

kV

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Resortes en serie y paraleloResortes en serie y paralelo

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Resortes en paraleloResortes en paralelo

Considere dos resortes lineales La deformación en ambos conectados en paralelo y sometidos a una fuerza común Pcomo sigue:

resortes es la misma, por lo tanto:

eq

eq

kkk

kkkP

21

21

n

iieq kk

1

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Resortes en serieResortes en serie

Considere ahora dos resortes Ambos resortes están sujetos a la lineales conectados en serie y sometidos a una fuerza común Pcomo sigue:

jmisma fuerza P, por lo tanto:

kkkP

T

TeqkkkP

21

2211

eq k

PkP

kP

21

n

i ieq kk 1

11

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Fuerzas de amortiguamientoFuerzas de amortiguamiento

El amortiguamiento se comporta como una fuerza proporcional a laEl amortiguamiento se comporta como una fuerza proporcional a la velocidad, como lo son las fuerzas de rozamiento de fluidos (aire, agua, etc.): xcF donde c denota la constante de amortiguamiento viscoso.La disipación de energía en un sistema que contiene amortiguamiento viscoso está dada por:viscoso está dada por:

2

21 xcD

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Respuesta de un sistemaRespuesta de un sistema

La respuesta en el tiempo de un sistema consiste de 2 p ppartes:Respuesta transitoria: parte de la respuesta total que tiende a cero a medida que el tiempo tiende a infinitotiende a cero a medida que el tiempo tiende a infinito.Respuesta estacionaria, permanente o en estado estable: parte de la respuesta total que no tiende a cero a medida que el tiempo tiende a infinitoque el tiempo tiende a infinito.

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Formulismo Euler LagrangeFormulismo Euler-Lagrange

DLLd i

iii

QqD

qL

qL

dtd

L = K - V

L: Lagrangiano

K: Energía cinética total del sistemaK: Energía cinética total del sistema

V: Energía potencial total del sistema

D: Disipación de energía

qi: Coordenada generalizada: cada grado de libertad del sistema se expresa mediante una coordenada generalizada.

Qi: Fuerzas externas aplicadas al sistema

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Qi: Fuerzas externas aplicadas al sistema

Grados de libertadGrados de libertadEs el número mínimo de coordenadas necesarias para establecer completamente el movimiento de un sistemaestablecer completamente el movimiento de un sistema.

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Grados de libertadGrados de libertad

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Modelado de un péndulo: NewtonModelado de un péndulo: Newton.

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Formulismo Euler LagrangeFormulismo Euler-Lagrange

La energía cinética y potencial del péndulo es:222

21

21 mlJK cos1 mglmghV

La energía cinética y potencial del péndulo es:

cos11 22 mglmlL El lagrangiano del sistema es L=K-V: cos12

mglmlL

0sin0

lgLL

dtd

El lagrangiano del sistema es L K V:Finalmente el modelo matemático

del péndulo está dada por:

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ldtdel péndulo está dada por:

Conceptos básicosConceptos básicos

Resonancia: la resonancia es un estado de operación en el pque una frecuencia de excitación se encuentra cerca de una frecuencia natural del sistema.Una frecuencia natural es la frecuencia propia de unUna frecuencia natural es la frecuencia propia de un cuerpo o sistema al poseer elementos elásticos e inerciales. Es la frecuencia resultante de la vibración libre.

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Frecuencia natural y ResonanciaFrecuencia natural y Resonancia

Obtenga el modelo matemático del sistema que se muestraObtenga el modelo matemático del sistema que se muestra a continuación y determine la frecuencia natural. Simule el sistema con una fuerza armónica al bloque para que el sistema entre en resonancia.

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Sistema masa resorte amortiguadorSistema masa-resorte-amortiguadorObtenga el modelo matemático delsistema que se muestra asistema que se muestra acontinuación.Realice la simulación del modeloobtenido. Considere m120kg,k=400N/m, b=125Ns/m, Pm=10 yf=6 3rad/sf 6.3rad/s .

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Formulismo Euler LagrangeFormulismo Euler-LagrangeConsidere un carro que puededesplazarse en la dirección horizontaly que tiene acoplado un péndulo.Además, el carro está acoplado a las, pparedes mediante dos resortes,como se muestra en la figura.Las energías cinética y potencial del sistema están dadas por: 222

21sin

21cos

21 xMlmlxmK

22

21

21cos1 kxkxmglV

22222 cos11cos21 kxmglxMlxlxmL

30

cos12

cos22

kxmglxMlxlxmL

mlxmlL cos 2

ll

mlxmlxml

mlxml

L

Ldtd

ii

sincos

cos2

mlxmM

mglxml

xL

L

cos

sinsin

kx

mlmlxmM

xL

xL

dtd

2sincos 2

Finalmente las ecuaciones que rigen la dinámica del sistema son:

x

02sincos

0sincos2

2

kxmlmlxmM

mglmlxml

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Sistema barra horizontal pénduloSistema barra horizontal-péndulo

Considere el sistema mecánico que consiste de una barra horizontal de masa m, restringida a tener sólorestringida a tener sólo movimiento en la dirección vertical. La barra se encuentra interconectada con un péndulointerconectada con un péndulo de masa despreciable y longitud l como se muestra en la figura Determine el modelola figura. Determine el modelo matemático que rige la dinámica de este sistema.

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Sistema de EmpaquetadoSistema de EmpaquetadoDetermine el modelo matemático que rige la dinámica de la máquinaque rige la dinámica de la máquina para envolver cajas. El sistema consiste de un brazo (J, M) que gira un ángulo al aplicar un g g ptorque el cual es proporcionado por un motor. En el brazo se encuentra montado el rollo de masa m (plástico que se utiliza para envolver las cajas), el cual puede moverse en la dirección

ti l d bid l f Fvertical debido a la fuerza F.Consideré el amortiguamiento Centre el brazo y el piso, y el amortiguamiento c entre la cuerdaamortiguamiento c entre la cuerda y el rollo.

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Sistema de Péndulo-Resorte-Amortiguadorg

Determine el modelo matemático del péndulo que se muestra en la figura La varilla rígida del péndulo de masamuestra en la figura. La varilla rígida del péndulo de masa m se encuentra fija en el punto 0. Posteriormente, determine la frecuencia del péndulo, considerando ángulos d il ió ñ ( 1) b 0de oscilación pequeño (sen= y cos=1) y b=0.

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Sistemas MecánicosSistemas Mecánicos

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Péndulo con longitud variablegUna pequeña masa m puede deslizar libremente sobre una varilla homogénea de sección uniforme gde masa M y longitud l, la cual está pivotada en uno de sus extremos. La barra es controlada por un torque que es proporcionado por un motor.