ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DE CHIMBORAZOFACULTAD INFORMÁTICA Y ELECTRÓNICA

INGENIERÍA ELECTRÓNICA EN CONTROL Y REDES INDUSTRIALES

RESPUESTA DE UN CIRCUITO EN SERIE RLC

Ivonne Vásconez (693)Alex Carrasco (674)

RESUMEN: Un circuito RLC, es un circuito compuesto de un resistor, una bobina y un condensador. Ya sea este en serie o en paralelo, según la implementación de estos elementos. El comportamiento de un circuito RLC se describe por una ecuación de segundo orden, donde los circuitos RL y RC se comportan como circuitos de primer orden. Su aplicación más común es de filtros de frecuencias, o de transformadores de impedancias.

PALABRAS CLAVE: Circuito RLC, Función de Transferencia, polos, ceros, corriente, voltaje.

ABSTRACT: An RLC circuit is a circuit composed of resistor, a coil and a capacitor. Whether this in series or parallel, depending on the implementation of these elements. The behavior of an RLC circuit is described by a second order equation, where circuits RL and RC circuits behave like first order. Its most common application is frequency filter or impedance transformer.

KEY WORDS: RLC circuit transfer function, poles, zeros, current, voltage.

MARCO TEÓRICO

Circuitos RLC

Los circuitos RC son circuitos que están compuestos por una resistencia, una bobina y un condensador. Estos sistemas se caracterizan por su configuración y si son sometidos a una función de voltaje de entrada. Entonces el sistema reaccionará de distinta manera de acuerdo a las excitaciones entrantes, como ejemplo, podemos representar la respuesta a la función escalón o la función de salto. Se caracteriza porque el voltaje puede variar con el tiempo, cuando el tiempo es igual cero, el condensador está descargado y la bobina se no permite el paso de corriente. En el momento que empieza a correr el tiempo, el condensador comienza a cargarse hasta alcanzar el valor en la fuente, mientras que en la bobina se empieza a almacenar la energía eléctrica en forma de campo magnético, debido a que ya existe una corriente en el circuito, devolviéndola cuando esta dismuniye. La corriente entrará en el condensador hasta que entre las placas ya no puedan almacenar más carga por estar en equilibrio electrostático. De esta forma una placa quedará con carga positiva y la otra con carga negativa, pues esta última tendrá un exceso de electrones. Mientras

que el paso de la corriente en una bobina, genera alrededor del hilo conductor un campo magnético pequeño, pero dependiendo del número de espiras, obtendremos la suma de los campos.El tiempo que se tarda la corriente en llegar a su valor máximo depende del valor resistivo de la bobina, si la inductancia es grande y la resistencia es pequeña la corriente que atraviesa la bobina aumentara lentamente, caso contrario funcionara inversamente.El tiempo de carga del condensador es proporcional a la magnitud de la resistencia eléctrica R y la capacidad C del condensador.

Los circuitos RLC se caracterizan por regirse a una ecuación diferencial de segundo orden:

Donde: E es la fuerza electromitriz de un

generador uc es la tensión en capacitor. L es la inductancia de la bobina i es la intensidad de la corriente

eléctrica q es la carga eléctrica del condensador C es la capacidad eléctrica del

condensador Rt es la resistencia total del circuito t es el tiempo

Transformada de LaplaceEs una herramienta poderosa para la resolución de circuitos eléctricos, la ecuación diferencial que está en dominio del tiempo mediante la transformada de Laplace pasa al domino en campo S, dominio de Laplace. Y una vez realizadas las respectivas operaciones algebraicas, se aplica la transformada inversa de Laplace para obtener la respuesta en el dominio del tiempo. (Ogata, 2010)Aplicando la Transformada de Laplace se puede mostrar la equivalencia de una resistencia una bobina y un condensador en función de sus condiciones iniciales.Mediante la transformada de Laplace se puede deducir que un sistema en tiempo continuo puede deducirse de la posición de sus polos y ceros en el plano s.

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ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DE CHIMBORAZOFACULTAD INFORMÁTICA Y ELECTRÓNICA

INGENIERÍA ELECTRÓNICA EN CONTROL Y REDES INDUSTRIALESCon el diagrama de polos y ceros podía interpretar para obtener información sobre la respuesta en frecuencia de estado estable, el

comportamiento transitorio y la estabilidad del sistema. (Dasí, 2012) (Guzmán, 2012)

DESARROLLO

I. SISTEMA A MODELAR

Fig.1: Circuito RLC en serie Fuente: Propia

II. APLICACIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

La transformada de Laplace existe para ecuaciones diferenciales lineales para las que la transformación integral converge. Tomando en cuenta que las condiciones iniciales del capacitor e inductor son iguales a cero. Utilizando la transformada de Laplace, calculamos la corriente i(t). (M., 2011)

1.- Aplicamos la ley de voltajes de Kirchhoff En la malla RLC, obtenemos la siguiente ecuación, sabiendo que i = i(t), dicha ecuación corresponde a la ecuación diferencial del sistema.

−V +Ri+ 1C∫−∞

t

idt+Ld i(t )dt

=0 (1)

Esta ecuación diferencial es ordinaria de grado y orden 1.

2.- Aplicamos la transformada de Laplace a cada término de la ecuación (2) en (1)

−VS

+RI (S )+ 1C

¿0 (2)

3.- Debido a las condiciones iniciales del capacitor e inductor son cero, obtendremos:Desarrollando la ecuación (2)

−VS

+RI (S )+ 1C [ 0S+I (s )S ]+LS [I (S )−0]=0

−VS

+RI (S )+ 1CI (s )S

+LI (S)=0

−VS

+ I (S )[R+ 1CS

+LS ]=0

−V + I (S )[ RCS+1+LS2

CS ]=0

Despejando I(S)/V(S), tenemos la siguiente ecuación que representa la función de transferencia del circuito:

I (S)V (S )

= CSRCS+1+LS2

(3)

4.- Reemplazando los valores de R,L y C, obtenemos:

valor de R=100Ωvalor de L=1Hvalor deC=10uF

G (s )= 10e-6 S

10e-6 S2+1e-3 S+1 (4)

5.- Con la función de transferencia podemos calcular los polos y ceros, para determinar la estabilidad del sistema:

Ceros:

S=−10e-6

Polos:

S1,2=−1e-3±√ (1e-3 )−4 (10e-6)

2(10e-6)

S1,2=−1e-3±6,24e-3 j0,02e-3

S1,2=−50±312 j

6.- Aplicamos el método matricial:

G (s )= 10e-6 S

10 x10e-6 S2+1 x10e-3 S+1

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G(S)= AS+B10 x10e-6 S2+1 x10e-3 S+1

10e−6 S=A10 x 10−6S3+A 1x 10−3S2 + AS +

B10 x 10−6S2+B1 x10−3S+B

S3 :A 10x 10−6=0

S2 :A 1x 10−3+B10 x 10−6=0

S :A+B1x 10−3=10 x10−6

Análisis Matricial

[1x 10−3 10 x10−6 01 1 x10−3 10 x 10−6 ]

Multiplicamos la fila 1 x 1/1x10-3

[1 0,01 01 1 x10−3 10 x10−6]

Multiplicamos la primera fila x -1 y la restamos de la segunda

[1 0,01 00 −9 x10−3 10 x10−6]

Multiplicamos la segunda fila x -1/9x10-3

[1 0,01 00 1 −1.11 x10−3]

A=0 B=-1.11x10-3

G (s )= 1,11 x 10−3

10 x10e-6 S2+1 x10e-3 S+1

III. FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

Una función de transferencia se define como la variable de salida dividida para la variable de entrada, la función de transferencia se usa para describir redes que tiene por lo menos dos puertos. En general, la función de transferencia

relaciona a la transformada de una cantidad de un puerto con la transformada de otra cantidad en otro puerto. Por consiguiente, las funciones de transferencia que relacionan los voltajes con las corrientes tienen las siguientes formas:

a) La relación de un voltaje a otro voltaje

b) La relación de una corriente a otra corriente

c) La relación de una corriente a un voltaje

Malla 1

−V +Ri+ 1C∫−∞

t

idt+ Ld i(t )dt

=0

−VS

+RI (S )+ 1C [0S+I (s )S ]+LS [I (S )−0]=0

−VS

+RI (S )+ 1CI (s )S

+LI (S)=0

−VS

+ I (S )[R+ 1CS

+LS ]=0

−V + I (S )[ RCS+1+LS2

CS ]=0

I (S )=CSV i (S )

RCS+1+LS2 (5)

Malla 2

V o=1Cdi(t )dt

V o (S )= 1CSI (S)

CSV o (S )=I (S) (6)

Reemplazamos Ecuación 5 en la Ecuación 6

CSV i (S )RCS+1+L S2 =CSV o (S )

V i (S )=(RCS+1+LS2

CS )CSV o (S )

V i (S )=(RCS+1+L S2)V o (S )

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V o (S )V i (S )

= 1S2+0.001 S+1

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INGENIERÍA ELECTRÓNICA EN CONTROL Y REDES INDUSTRIALESV o (S )V i (S )

= 1RCS+1+LS2

(7)

La ecuación 7 corresponde a la Función de Transferencia del circuito en serie RLC. Remplazando los valores de R y C en la ecuación 7 obtenemos lo siguiente:

V o (S )V i (S )

= 1(100Ω ) (10 μF )S+1+(1H )S2

V o (S )V i (S )

= 1S2+0.001 S+1

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

IV. POLOS Y CEROS DEL CIRCUITO EN SERIE RLC

Para la representación de los polos y ceros del sistema, ocupamos matlab

fig.5: Polos y ceros en MatlabFuente: Propia

Código:

% Grafica de funciones en matlabclc,clearnum=[10e-6];den=[10e-6 1e-3 1]

G=tf(num,den)pzmap(G)polo=pole(G)cero=zero(G)

G = 1e-05 ------------------------ 1e-05 s^2 + 0.001 s + 1

La respuesta en el dominio del tiempo del sistema se puede determinar a partir de la gráfica en el plano s de los polos y ceros de la función de transferencia obtenida, así como las transformadas de las fuentes de la red. Los polos de la función de transferencia del sistema determina el comportamiento de i(t) en el dominio del tiempo.

CONCLUSIONES

Las leyes físicas que rigen el sistema en serie RC son las Leyes de Voltaje de Kirchhoff y las leyes de Ohm, por tratarse de un modelamiento eléctrico.

Los polos y ceros de una función de transferencia, indica la estabilidad del sistema, se dice que un sistema es inestables cuando sus polos se encuentran en la parte positiva del plano s (lado derecho).

La función de transferencia es la relación que existe entre la salida del sistema con la entrada. La misma que me permite analizar el comportamiento del sistema y determinar los polos y ceros.

Para poder aplicar la transformada de Laplace a cada uno de los términos de las ecuaciones diferenciales debe cumplir con la condición de linealidad y en caso de no cumplir se le deberá linealizar.

REFERENCIAS (M., 2011)

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INGENIERÍA ELECTRÓNICA EN CONTROL Y REDES INDUSTRIALESDasí, M. (2012). Obtenido de flahoz.webs.ull.es/EM%20II/RLCenCC.docGuzmán, J. (2012). Control Automático con herramientas Interactivas. España: Pearson.

M., P. S. (2011). Circuitos Eléctricos. En P. Infante, Circuitos III (págs. 42-44). Riobamba.

Milenio, U. T. (11 de Novimbre de 2013). Circuitos RC. Obtenido de http://sistemamid.com/panel/uploads/biblioteca/2014-08-07_12-25-52108396.pdf

Ogata, k. (2010). En Ingeniería de Control Moderna (pág. 210). España: Pearson.

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