modelado

Modelos de procesos y linealizacinProf. Cesar de PradaDpt. Ingeniera de Sistemas y AutomticaUniv. De Valladolid

Prof. Cesar de Prada, ISA, UVA

ModelosRepresentacin aproximada de la realidadAbstraccin: Incluimos solo aquellos aspectos y relaciones que son de inters.Modelos fsicos, cualitativos, cuantitativos,Usos de los modelos: diseo, entrenamiento, que pasa si., decisiones,...Como generarlos, resolverlos, utilizarlos, validarlos?


Qu es un modelo matemtico?Conjunto de ecuaciones que relacionan las variables de inters del proceso y representan adecuadamente su comportamientoSiempre son aproximaciones de la realidadDistintos modelos para distintos objetivos y tipos de procesosCompromiso entre facilidad de uso y exactitud


Representacin adecuadaProcesotiempoytiempoModeloymtiempo


Procesos continuos y de eventos discretosqhProcesos continuos:Las variables evolucionancontinuamente en el tiempoy pueden tomar cualquier valor en un rango dadoProcesos de eventos:Las variables solo cambianen instantes discretosy pueden tomar solo un nmero finito de valores


Procesos Continuos / EventosProcesos ContinuosDescritos principalmente por DAEs o PDE. Inters fundamental: la trayectoria de algunas variablesProcesos de eventos discretosDescritos principalmente por secuencias de actividades. Inters fundamental: el comportamiento estadstico de algunas variables.


Modelos estticos y dinmicosqhModelo esttico: Relaciona las variables en unestado de equilibrioModelo dinmico:Relaciona las variables alo largo del tiempo


Respuesta dinmicatiempoqh


Modelos estticos y dinmicosModelos estticosRepresentan situaciones de equilibrioDescritos mediante ecuaciones algebraicasOrientados a diseoModelos dinmicos en tiempo continuoRepresentan la evolucin temporalDescritos mediante DAE y PDEUso mas general: control, entrenamiento,...


Modelos para control por computador ProcesoOrdenadorD/AA/Dy(kT)u(kT) modelos en tiempo discreto deben relacionar las variables de entrada y salida en los instantes de muestreo kT Ecuaciones en diferencias y((k+1)T)=f(y(kT),u(kT))y(t)


Como obtener modelos?Mediante razonamientos,usando leyes fsicas,qumicas, etcMediante experimentaciny anlisis de datos


Modelos de conocimientoSe obtienen mediante razonamientos y la aplicacin de principios de conservacin de masa, energa, momento, etc. y otras leyes particulares del dominio de aplicacinTienen validez generalRequieren conocimiento profundo del proceso y de las leyes fisico-qumicas


IdentificacinEl modelo se obtiene a partir de datos experimentales de entrada-salida del proceso ttYUUYProcesoModelo


Modelos de conocimientoMetodologa de modelado:

Establecer los lmites y objetivos del modeloEstablecer las hiptesis bsicasEscribir las ecuaciones usando leyes de conservacin y del dominio de aplicacinEstimar el valor de los parmetrosValidar el modelo


Tipos de modelosParmetros concentradosParmetros distribuidosNo-linealesLinealesTiempoFrecuencia.


Conservacin de masaAcumulacin de masa en el sistema por unidad de tiempo =Masa que entra al sistema por unidad de tiempo - Masa que sale del sistema por unidad de tiempo -Masa que se genera en el sistema por unidad de tiempo -Masa que se consume en el sistema por unidad de tiempo -mFiF0GC


Ejemplo: DepsitoConservacin de masa

Acumulacin=flujo entrada q - flujo salida Fm masa en el depsitoA seccin del depsito densidad, k constanteqhFp0p1


Ejemplo: DepsitoConservacin de masa

Acumulacin=flujo entrada q - flujo salida Fm masa en el depsitoA seccin del depsito densidad, k constante u posicin de la vlvulaqhFEcuacin diferencial no-linealEcuacin algebraicau


Modelos en variables de estadoVariables manipuladasRespuestas observablesuyxx Estadosperturbacionesp


SimulacinIntegrando numricamente el modelo pueden obtenerse los valores del volumen de lquido en funcin de los valores de qIntegracin numrica mediante el mtodo de Euler


CausalidadCausalidad fsica: causas y efectosqhFCausalidad computacional: orden de clculo de las variablesqhFEl uso del modelo (Qu pasa si..? Control, etc.) requiere una determinada causalidad computacional.


HiptesiscicMezcla perfectaFlujo pistn


FormulacincicMezcla perfecta constanteVolumen VConcentracin ci


Computabilidadq1h1F1h2F2q2Leyes + restricciones


Reactor Qumico IsotermoReactorFTATProductosMateria primaReaccin:AA, BA B


Modelo MatemticoA BFCA CB TCAi , TiProducto ABalance msico del producto ABalance msico del producto BHiptesis:Mezcla perfecta en el reactorTemperatura T constanteVolumen constante V


Presin en un recipienteFiFappf


Conservacin de energaT temperatura, V voltajem masa en el depsitoH entalpia, ce calor especficoA seccin del depsito densidad, R resistenciaqEcuacin diferencial no-linealVRTHiptesis:T uniforme en el depsito Aislamiento perfecto densidad constanteTi


Conservacin del momentoxmFSistema de referencia


Masa suspendidamgm-kxx0F


Vehiculos acopladosxmFMfkyK coef. resorte f coef. friccin viscosasin friccin de deslizamientosin resistencia del aire


Grua unidimensionalFmgLxModelar la posicin de la masa m y el carro M respecto al sistema de referenciamposicin de la masa M: xposicin de la masa m : x + L sen Dos grados de libertad: x, Friccin viscosaSin friccin de deslizamiento M


Grua unidimensionalFmgLxmConservacin de la cantidad de movimiento del carro y la masa m en la direccin xMSe necesita otra ecuacin para


Grua unidimensionalFmgLxmConservacin del momento angular referido a unos ejes moviles asociados al eje de la gruaMRespecto a los ejes fijos, aparece una aceleracin - d2x/dt2 en direccin horizontal


Flujo en una tuberiaqah p0Conservacin de cantidad de movimientoEcuacin diferencial no-lineal


Vlvula de regulacinMuelleDiafragmaLquidoFriccinx desplazamiento desde la posicin de equilibrioL carrera de la vlvulap presin de airexp


Circuito RCRI1CVEI1-I2I2Impedancia infinita I2 =0


CircuitosLR1VECR2I1I2I1-I2


Motor CCLRVExcitacin independienteIT par externok2 f.c.e.mT


Procesos distribuidosxTiF


Proceso distribuidoxTiTi+1Ti-1TsFSe divide el proceso en celdas de ancho x en las que T pueda considerarse uniformeBalance de energia en un elementoLimite cuando x 0T(x,t)x


Proceso distribuidoxTiTi+1Ti-1TsFT(x,t)rBalance energticoEcuaciones en derivadas parciales


Modelos de conocimientoFormados por conjuntos de ecuaciones diferenciales y algebraicas frecuentemente no linealesUtiles para muchos finesRequieren ciertos conocimientosDifciles de manipular matemticamenteSe resuelven mediante simulacin


Simulacin: EcosimProLenguaje de Modelado / SimulacinQu pasa si?Basado en tecnologa orientada a objetosMtodos numricos y funcionalidades avanzadasESA: Agencia Europea del EspacioGenerador de cdigo C++ con un entorno de desarrollo y ejecucinLibrera / Componente / Particin / ExperimentoAbierto


EcosimPro


Entorno Grfico


Simulacin


Modelos linealizadosAproximaciones lineales de las ecuaciones no-linealesMas fciles de manipular matemticamente pero su rango de validez es limitado


LinealizacinDesarrollo en serie de Taylor sobre un punto de operacin u0, y0, z0, .Ecuacin lineal en las nuevas variables u, y, z


Modelo Linealizado del DepsitoEcuacin diferencial linealVariables desviacin h = h - h0 q = q - q0


SimulacinRespuestas del modelo no lineal y linealizado para 2 saltos en q


Modelo Linealizado del DepsitoEl valor de los coeficientes depende del punto de linealizacinVariables desviacin h = h - h0 q = q - q0


Modelos linealizadosttYUU0UY0Ylas variables u e y soncambios sobre un punto de operacin U0 , Y0El rango de validez est limitado a un entorno del punto de operacinProceso


Flujo en una tuberiaqah p0Ecuacin diferencial no-lineal


Modelo linealizado del flujo


Cambios del punto de operacinqtt crece en puntos de operacin con apertura alta K2 decrece en puntos de operacin con apertura alta


Modelo linealizado qVRTTi


Semejanza formalqVRTTiqah p0


Modelo linealizado del reactorA BFCA CB TCAiProducto ADos ecuacionesF


Modelo linealizado (1)Punto de operacin:Valor calculado en el punto de operacinDesarrollando en serie de Taylor.....


Punto de linealizacinSi el punto de linealizacin corresponde a una operacin en equilibrio:Si cAi0 = 8 y cA0 = 0.8 cB0 = 7.2Si F0 = 26.66 y V = 80 ke-E/RT = 2.999


Modelo linealizado (2)Mediante un desarrollo en serie en torno al punto de operacin:


Modelo en variables de estado


Reactor isotermoA BFCA CB TCAiProducto AFReactor isotermo


Modelos en variables de estadoqah p0


Modelos en variables de estadox variables de estado: conocido su valor en el instante inicial y los valores de u(t) a lo largo del tiempo, puede determinarse el valor de las salidas a lo largo del tiempoSolucin analtica:


EquivalenciauyExisten muchas representaciones equivalentes entrada-salida


AutovaloresLos autovalores son invariantes en representaciones equivalentes


Modelo de Respuesta Impulsionalg(t)(t)respuesta impulsional


Modelo de Respuesta Impulsionalg(t)(t)


Transformada de Laplacef(t) funcin temporalf(t) = 0 para t < 0tf(t)Cambio de variable t s


Transformada de LaplaceCambio de variable t sResolucin del problema en el dominio s X(s)Interpretacin y expresin de la solucin en el dominio tCambio de variable s t


Ejemplof(t) funcin saltof(t) = 0 para t < 0f(t) = k para t >= 0tf(t)=kTablas de transformadas de las funciones mas comunes


Tabla de Transformadas


Tabla de transformadas


Propiedades de la T. LaplaceTransformada inversa


Propiedades I


Propiedades


Propiedades II


Propiedades III


Resolucin de LODESEjemplo:


Descomposicin en fracciones simples


Funcin de TransferenciaTomando transformadas de Laplace:s variable compleja


Funcin de TransferenciaTomando transformadas de Laplace, con condiciones iniciales nulas:


Funcin de TransferenciaG(s) es una funcin racional en la variable sSolo contiene operaciones racionales +-*/


Representaciones matemticas de modelos linealizadosVariables de estadoRespuesta impulsionalFuncin de transferencia


Matriz de TransferenciaEn un proceso con varias entradas y salidas (MIMO) G(s) es una matriz de funciones de transferenciau1u2y1y2y3


Depsito. Modelo en FTTomando Transformadas de Laplace:Q(s)H(s)


Circuito RC. Modelo en FTRI1CVEI1V(s)E(s)Tomando Transformadas de Fourier, con C.I. Nulas:


Flujo. Modelo en FTqap0Tomando transformadas de Laplace con c.i. nulas:Q(s)P(s)A(s)


Temperatura. Modelo en FTTomando transformadas de Laplace con c.i. nulas:T(s)Q(s)V(s)qVRTTi


Reactor Isotermo. Modelo en FTTomando transformadas de Laplace con c.i. nulas:A BFCA CBCAi A


Diagrama de bloquesA BFCA CBCAi ACAi(s)F(s)CA(s)CB(s)


Diagrama de bloquesCAi(s)F(s)CB(s)


Reactor IsotermoCAi(s)F(s)CB(s)A BFCA CBCAi A


Bloques en serieG1(s)G2(s)U(s)Y(s)X(s)Y(s) = G2(s)X(s) = G2(s)G1(s)U(s) = G(s)U(s)G (s)Y(s)U(s)G(s) = G2(s)G1(s)


Proceso distribuidoEcuacin en derivadas parcialesT(0,t)T(L,t)FTs P


Proceso distribuidoPara F = cte.En equilibrio:En terminos de las desviaciones T sobre el equilibrio:s Transformada de Laplace respecto a tp Transformada de Laplace respecto a x


Proceso distribuidoTransformada s respecto a t:p respecto a x:Tsx0LPerfil de los cambios de temperatura del vapor respecto a x


Proceso distribuidoTsx0LxEl perfil puede obtenerse como la diferencia de dos perfiles tipo salto desfasados una distancia L


Proceso distribuidoDoble funcin de transferencia en p y s respecto a los cambios de temperatura en la entrada y en el vapor de calefaccin


Proceso distribuidoTomando la transformada inversa respecto a p: (0x L)Para x = L:Funcines de transferencia respecto a s: sistemas de primer orden con retardo T(L,s) temperatura a la salida del cambiador


Proceso distribuidoV, volumen de los tubosA superficie de los tubosRetardo V/F en la respuesta a cambios en la temperatura de entrada


Funcin de transferencia de un PIDR(s)U(s)E(s)


Entradas Normalizadasuytutututuimpulsosaltorampat=0t=0t=0t=0seno


Polos y cerosCeros de G(s) = races de N(s) = 0Polos de G(s) = races de D(s) = 0


Por qu son importantes los polos (y los ceros)?Como se ver mas adelante, el tipo de respuesta temporal a una determinada entrada depende de las posiciones de los polos (y ceros) del sistema.Igualmente la estabilidad est ligada a las posiciones de los polos


Gananciatuyuy


Polos y AutovaloresAutovalores de A = polos de G(s) (salvo cancelaciones polo/cero)Polos: raices de D(s) = 0Autovalores: raices de


Realizabilidad FsicaqhSistema fsico continuoExisteDada una funcin de transferencia G(s)Puede existir un sistema fsico cuya funcin de transferencia sea G(s)?


RealizabilidadPara que G(s) sea fisicamente realizable: m nEn caso contrario:Para una entrada en salto en u(t) tendria que dar una y(t) infinita


Un proceso con retardo (de transporte)TTuuq(1-u)qTcTfq , TeL, volTmSuponiendo , ce ctes.u: seal en tanto por uno


Mezcla con retardoTTuuq(1-u)qTcTfq , TeL, volTmT0 , u0 punto de operacin estacionario


Mezcla con retardoTTuuq(1-u)qTcTfq , TeL, volTmModelo con retardo a la entrada


Retardo a la salidaTTuuq(1-u)qTcTfq , TeL, volTmModelo con retardo a la salidaTm


RetardoqVRTTiTTLtyutd


Aproximacin de PadeG(s) con un retardo d no es racional. Si se necesita, puede aproximarse el retardo por una expansin en serie:Aproximacin de Pade de primer ordenAprox. de 2 orden:resppade


Control de procesos por computadorProcesoTransmisoru(t)y(t)4-20 mA4-20 mAOrdenadorD/AA/Dy(kT)u(kT)wRegulador digitalActuadorLas seales que recibe y procesa el ordenador son de naturaleza distinta: digitales y solo cambian en ciertos instantes de tiempo


SealesProcesou(t)y(t)OrdenadorD/AA/Dy(kT)u(kT)wtu(t)ty(kT)ty(t)tTLa informacin en el ordenador se actualiza cada T unidades de tiempo (periodo de muestreo)


Modelo discretizadou(t)y(t)OrdenadorD/AA/Dy(kT)u(kT)wtu(t)tu(kT)Encontrar un modelo y(kT) = f( u(kT) ) tal que y(kT) = y(t) en los instantes de muestreo


Modelo discretizadoTomando como tiempos de inicio y final los instantes kT y (k+1)T de un periodo de muestreo:


Modelo discretizadou(t)Durante un periodo de muestreo u(t) es constante e igual a u(kT)


Modelo discretizadou(t)Para este tipo de entradas, el modelo discretizado da los mismos valores en los instantes t = kT que el modelo continuo. (Partiendo del mismo estado inicial y aplicando las mismas entradas)Ecuacin en diferenciasMatlab c2dy(t)y(kT)


Modelo discretizadoNotacin simplificada:k se refiere al primer, segundo, tercer, etc. periodo de muestreo


Ejemplo: DepsitoModelo discretizado: Ecuacin en diferenciasSi q = 0:


Ejemplo: DepsitoModelo discretizado: Ecuacin en diferenciasSi q = 0:Si


Respuesta temporalCondiciones iniciales: x(0)


Respuesta impulsional pulsadaTu(k)ZOH+ProcesoTy(k)tTImpulso unitario en t = 01Respuesta partiendo de condiciones iniciales nulash(k)Modelo de respuesta impulsional


Modelo respuesta impulsoth(k)Como h(i) = 0 para i 0 y para condiciones inociales nulas: u(i) = 0 para i < 0 :La salida es una combinacin lineal de valores pasados de la entrada


Ejemplo: MezclaTTuuq(1-u)qTcTfq , TeL, volTmPara q=4 l/min, V=10 l, Tc=60C, Tf=10C, vol=4 l, periodo = 0.5 min.


Operador desplazamiento q-1Funcin racional de q


Funcin de transferencia pulsada


Funcin de transferencia pulsadaLa salida es una combinacin lineal de valores pasados de la salida y de la entrada al proceso


Ejemplo: DepsitoT = 0.5Polo = Autovalor = 0.535


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