UNIDAD II:MODELACIN DINMICA DE SISTEMAS DE CONTROL2.1 DEFINICIONES

El trmino sistema ha sido ampliamente referido en la literatura cientfica. Son numerosas las definiciones que pueden encontrarse acerca del mismo. El concepto se introduce como una idea abstracta que puede aplicarse a fenmenos de distinta naturaleza. Como primera aproximacin, de forma intuitiva, puede considerarse que un sistema es un objeto formado por un conjunto de partes que interaccionan entre si y el entorno (Aracil y Gordillo, 1997). Las tcnicas y herramientas asociadas con el concepto de sistema juegan un papel importante en diversas reas de la tecnologa y han sido aplicadas en una amplia variedad de disciplinas cientficas, entre ellas pueden citarse: robtica, ingeniera, economa, control de procesos, procesado de seales, sociologa, antropologa, psicologa etc. En todas estas aplicaciones subyace la intencin de modelar y analizar distintos tipos de fenmenos e interacciones (fsicas, biolgicas, econmicas, sociales etc.)La naturaleza de un sistema est determinada por las partes que lo componen y las interacciones que se establecen entre las mismas. Los elementos que cobran especial importancia a la hora de su estudio son: *Atributos: Magnitudes que representan cualidades perceptibles del sistema. Los atributos permiten realizar una descripcin cualitativa del sistema. *Interacciones: Relaciones entre las distintas partes del sistema o el entorno, que modifican el valor de los atributos. *Comportamiento: Evolucin temporal de los atributos del sistema en una situacin particular.Aunque la naturaleza fsica de los sistemas y las interacciones que los caracterizan son bien diferentes, todos tienen algo en comn: los sistemas responden a una excitacin (interaccin externa) con un comportamiento o seal de respuesta concreta (evolucin de los atributos) que depender del estado en que se encuentren las partes del sistema (interaccin interna). Un sistema tambin puede representarse como un proceso en el que una seal de entrada (interaccin externa) se transforma en una seal de salida (atributo):

Principales conceptos:*Variables de estado: representan el menor conjunto posible de magnitudes variables en el tiempo que permiten describir el estado (valor de los atributos) de un sistema (Ogata, 1980).

*Parmetros: son magnitudes que afectan al valor de los atributos del sistema pero que se mantienen fijas a lo largo del tiempo. Son los responsables de las diferencias entre un sistema u otro.

*Variables de entrada: son magnitudes que afectan al valor de los atributos del sistema y que pueden cambiar como consecuencia de una interaccin externa.

*Variables de salida: son magnitudes cuyo conocimiento interesa especificar y cuyo valor es funcin de las variables de estado y las variables de entrada. En ocasiones las variables de salida pueden coincidir con las variables de estado. Ejemplo: llenado de un depsito.

2.2 MODELOS DE PROCESOS QUMICOS

Uso de modelos en procesos qumicos:*Mejorar la comprensin de los procesos *Optimizar diseo y condiciones de operacin *Para disear y mejorar estrategias de control *Entrenamiento de personal *Planificacin de operaciones *Paradas y puesta en marchaPrincipios generales de modelacin:*Las ecuaciones del modelo son una aproximacin al proceso real * Todos los modelos son inexactos pero tiles. *La construccin de un modelo envuelve un compromiso entre exactitud y complejidad (costo de desarrollo v/s costo de uso. *La modelacin de procesos es tanto un arte como una ciencia. Se requiere creatividad para disearlo y conocimientos para asumir las simplificaciones correctas *Los modelos dinmicos de procesos resultan en ecuaciones diferenciales totales y/o parciales ms relaciones algebraicas (sistemas algebro-diferenciales).Pasos para el desarrollo del modelo:1. Definir los alcances y objetivos del modelo. Que se desea? Para qu lo usare? 2. Poner el problema es un esquema de sistema. : Diagrama de informacin, variables Entrada/Salida. 3. Seleccionar los lmites de anlisis: El (los) Volumen de control. (Microscpico distribuido) 4. Enumere todas las suposiciones realizadas. Tratar de simplificar en lo posible para alcanzar los objetivos de modelacin. 5. Escriba las ecuaciones de conservacin necesarias (masa, componente, energa, y Cantidad de movimiento) para cada V.C.6. Incorpore las ecuaciones constitutivas que relacionan las cantidades conservativas con las entradas y salidas: termodinmicas, de transporte, cinticas, geomtricas, etc. Ej.: Q = h A (T) r A = k 0 e -E/RT 7. Anlisis del modelo (G de libertad, dimensional) 8. Simplificar y ordenar el modelo para fines de solucin. (Reduccin de ecuaciones, arreglos matriciales, etc. 9. Solucin del modelo.10. Anlisis de resultadosQu balance se debe utilizar?

EJEMPLO: PROCESO DE MEZCLADO

Objetivo: conocer composicin de salida x Balance a realizar: Balance de masa total y por componente

Donde w1, w2 y w son los flujos msicos.El balance por componente es:

Y se tiene que:

Aplicando la regla de la cadena y reemplazando:

En trminos de x:

Reordenando se obtiene el siguiente sistema:

2.3.- LINEARIZACIN DE PROCESOS NO LINEALES

En las secciones anteriores hemos visto como representar los sistemas lineales. En esta seccin se estudia una manera de obtener una aproximacin lineal de un sistema no lineal. La primer pregunta que uno se debe hacer es cmo se representa un sistema no lineal? Los objetivos son 1) obtener representaciones o soluciones lineales aproximadas de las funciones o sistemas no lineales, 2) entender el comportamiento de un sistema no lineal al ser perturbado alrededor de una solucin o punto de operacin nominal.Se considera un sistema dinmico no-lineal se puede representar por un conjunto de ecuaciones diferenciales de la forma general en donde f y h son funciones que representan la dinmica del sistema y la salida de este dados en trminos de la variable de estado x y la entrada ux(t) = f(x(t),u(t)) , x(t0) = x0y(t) = h(x(t))Donde f es una funcin vectorial de n 1 elementos, expresada en trminos de un vector de estado lo cual es una variable de estado de dimensin x R n1 . El nmero de estados n es conocido como el orden del sistema. La solucin x(t) de la ecuacin corresponde a una curva en el espacio de estado donde t varia de cero hasta infinito. Esta curva es conocida como la trayectoria de estado.Interpretacin grficaAnaloga entre una funcin no lineal de cierta curvatura cuya representacin lineal es la lnea recta que pasa tangente en uno de sus puntos y las ecuaciones que describen un sistema dinmico no lineal cuya representacin lineal se obtiene a partir de las derivadas parciales de la misma funcin con respecto a sus variables. Considere que una determinada funcin f(t) es no lineal. Por lo tanto, esta se representa como una grfica con ciertas curvaturas dependiendo de los trminos que contenga. El comportamiento no lineal de esta curva obedece a cada uno de los trminos que contiene. Suponiendo que se desea analizar la forma lineal en que se comporta esta curva, entonces se deber realizar un anlisis en un solo punto del espacio. Esto se puede describir grficamente por medio de una lnea tangente a ese punto, la cual describir linealmente a la funcin. La lnea representa la derivada de la funcin analizada en cierto punto especfico, lo cual es la representacin lineal de la curva en un punto especfico. El anlisis en un sistema dinmico no lineal se realiza de manera similar. Las ecuaciones de los sistemas no lineales se pueden entender de la misma forma que se describe este comportamiento grfico de una curva. La interpretacin grfica de una linealizacin es encontrar la forma de la lnea tangente en un punto de la funcin de una curva. Este punto se tomar en cuenta como el punto de operacin o el punto de equilibrio. curva x(t) entonces la tangente en el punto de linealizacin t = t1 es x(t1), y la lnea que describe el comportamiento del sistema en dicho punto es la tangente a dicho punto. En una vecindad alrededor de este punto se dice que la tangente no cambia, de igual manera suceder alrededor del punto de operacin para el cual se encuentra la linealizacin del sistema dinmico. Poner una grafica describiendo esta interpretacin usando matlab.

2.4.- SISTEMAS DE PRIMER ORDEN

Los sistemas de primer orden continuos son aquellos que responden a una ecuacin diferencial de primer orden

La funcin de transferencia es:

Reacomodando trminos tambin se puede escribir como:

Dnde:

Es la ganancia estable.

Es la constante de tiempo perdido.

El valor se denomina polo.

Respuesta de un sistema de primer orden ante una entrada impulso La salida en Laplace es

Utilizando transformada inversa de Laplace

Se obtiene la salida en funcin del tiempo Se evala la ecuacin anterior en tiempos mltiplos de 2.4.- SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN

Eningeniera de controlunsistema de segundo ordense caracteriza porque tiene dospolos, lafuncin de transferenciagenrica de un sistema de segundo orden en bucle cerrado tiene la siguiente forma:K Ganancia Factor de amortiguamiento o frecuencia propia no amortiguadan Frecuencia naturalSi sacamos las races del denominador observaremos que los sistemas de segundo orden pueden clasificarse en tres tipos diferente de sistemas, las races son:

Observando las races vemos que se nos presentan tres posibilidades segn el valor que tomeya que puede ser mayor, menor o igual a 1, as pues la clasificacin quedaraSistemas SubamotiguadosLos sistemassubamortiguadosslo se dan cuando, as pues obtenemos un par denmeros complejos, desarrollndolo obtenemos:d Frecuencia forzadaSistema crticamente amortiguado y sistema sobreamortiguadoEste tipo de sistema lo obtenemos cuando, la grfica que siguen estos tipos de sistemas son una sigmoide y es el caso frontera, por decirlo de alguna manera, es el caso que separa un sistema subamortiguado de un sistemasobreamortiguado. La grfica que describe un sistema crticamente amortiguado es parecida a la siguiente:Los sistemas Sobreamortiguados se dan cuandola curva que representa a estos tipos de sistemas es tambin una sigmoide como en el caso anterior pero todas las curvas que pueden seguir los sistemas Sobreamortiguados estn por debajo de la que sigue unocrticamente amortiguadocon lo que podemos deducir que es ms lento que el caso frontera.Especificaciones de TransitorioLas especificaciones del transitorio solo tienen sentido para los sistemas subamortiguados, presentaremos primero la grfica que seguiremos para la explicacin y seguidamente pasaremos a definir cada termino.

2.5.- SISTEMA DE ORDEN SUPERIOR

Los sistemas de orden superior contienen ceros y polos adicionales que afectan al comportamiento tanto en rgimen transitorio como permanenteLa funcin de transferencia de un sistema de segundo orden con polo adicional es la siguiente:

La respuesta transitoria viene dada por la siguiente expresin:

Que podemos comparar con la de un sistema de segundo orden puro.

Su efecto sobre la respuesta transitoria depender de la posicin relativa del nuevo polo con respecto al par de polos complejos conjugados:

Respuestas transitorias de orden superiorPartimos de una funcin de transferencia genrica del tipo:

Separando polos en el origen, polos reales y polos complejos queda:

Y descomponiendo en fracciones simples:

Agrupando trminos:

Con lo que estos sistemas pueden verse como una combinacin de sistemas de primer y segundo orden.La respuesta ante escaln vendr dada por Y(s)=H(s)/s. Descomponiendo en fracciones simples:

Pasando al dominio temporal: