model matematika numerik - ugm
TRANSCRIPT
Model Matematika NumerikModel Matematika Numerik
Difusi Numeris
Djoko LuknantoDepartemen Teknik Sipil dan Lingkungan
Fakultas TeknikUniversitas Gadjah Mada
Difusi Numeris
Djoko LuknantoDepartemen Teknik Sipil dan Lingkungan
Fakultas TeknikUniversitas Gadjah Mada
8/26/2021 Djoko Luknanto 2
Persamaan Dasar
• Persamaan Adveksi Murni
• C, konsentrasi polutanU, kecepatan alirant, waktux, ruang, lokasi
0
xCU
tC
8/26/2021 Djoko Luknanto 3
Interpretasi Persamaan Adveksi
Karena adveksi murni, maka distribusi polutan hanya bergerak karena pengaruh kecepatan aliran sebesar U, sedangkan bentuk distribusi konsentrasinya harus tetap.
x
C distribusipolutan akhir t=tn
distribusipolutan awal t=t0
U
8/26/2021 Djoko Luknanto 4
Penyelesaian Karakteristik Linier
• Dengan metoda karakteristik dengan interpolasi linier diperoleh
akan diselidiki apakah formulasi diatas benar-benar merupakan penyelesaian persamaan adveksi murni:
11 1n n ni i i
xC C Cx x
0
xCU
tC
8/26/2021 Djoko Luknanto 5
Gunakan deret Taylor
ke parameter
• Ekspansikan semua parameter di atas:
tn
tn+1
Udtdx
CK
niC 1
niC
niC 1
11niC
niC
niC 1
11niC
niC 1
8/26/2021 Djoko Luknanto 6
Deret Taylor
• Faktor turunan kedua dari C terhadap tdijelaskan pada slide berikut.
2
2
2
2
11
1t
tCt
tCCC n
ini
2
2
2
2
1x
xCx
xCCC n
ini
22
2
11 22 xxCx
xCCC n
ini
8/26/2021 Djoko Luknanto 7
Manipulasi Pers. Dasar• Pers. Dasar diubah menjadi
• Jadi
xCU
tC
xCU
tC
0
xC
tU
tC
xCU
ttC
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
xCU
tC
xCU
xU
tC
tC
xU
tC
8/26/2021 Djoko Luknanto 8
Diperoleh korelasi2 2
1 21 1 2 2n ni i
C C tC C t Ut x
2
2
2
2
1x
xCx
xCCC n
ini
22
2
11 22 xxCx
xCCC n
ini
8/26/2021 Djoko Luknanto 9
... manipulasi lanjut ... 1
2 21 2
1 1 2 2n ni i
C C tC C t Ut x
2 2
1 2(1 ) (1 ) (1 ) (1 )2
n ni i
C C xC C xx x x x x x
22
1 1 22 2n ni i
C CC C x xx x x x x x
11 1n n ni i i
xC C Cx x
dengan
8/26/2021 Djoko Luknanto 10
... manipulasi lanjut ... 22 2 2 2
22 2(1 ) (1 3 )
2 2C C t C C xt U xt x x x x x
2 2 2 22
2 2(1 ) (1 3 )2 2
C C C x C tt x Ut x x x x x
2 2 2 22
2 2( ) (1 3 )2 2
C C C x C tt x Ut x x x x
2 2 2 22
2 2(1 3 )2 2
C x C C x C tt Ut t x x x x
8/26/2021 Djoko Luknanto 11
... manipulasi lanjut ... 3
2 2 2 2 2
2 2
2(1 3 )2 2
C C C x C x xU tt x x x x
2
22C C x CUt x t x
U t x
2 2 2 2 2
2 2
2(1 3 )2 2
C C C x C x xU tt x x x x
substitusi (lihat gambar di depan):
2
22C C x CU tt x x
2 2 2
2 2
32 2
C x Cxx x
2 2 2
2 22C Cxx x
8/26/2021 Djoko Luknanto 12
... manipulasi lanjut ... 4
2
22C C x CUt x t x
U tCrx
Definisi: U t x
( 1)U t x Cr x x Cr x
2 2
2( 1)(2 )2
C C x CU Cr Crt x t x
8/26/2021 Djoko Luknanto 13
... manipulasi lanjut ... 5
2
22C C x CUt x t x
U tCrx
Definisi lebih umum: U t k x
( )U t k x Cr x k x Cr k x
2 2
2( )(1 )2
n
C C x CU Cr k Cr kt x t x
K
2
2nC C CU Kt x x
8/26/2021 Djoko Luknanto 14
Persamaan Dasar Berubah• Dengan metoda karakteristik (linier) ini
persamaan berubah menjadi
Kn disebut difusi numeris, karena koefisien tersebut merupakan side-effect dari teknik numerik yang dipilih.
2
2
xCK
xCU
tC
n
8/26/2021 Djoko Luknanto 15
Koefisien Difusi Numeris
• Koefisien Difusi Numeris, Knmerupakan fungsi dari bilangan Courant:
xtUCr
8/26/2021 Djoko Luknanto 16
Kn versus Cr• Contoh kasus
korelasi antara Knversus Cr
• Kn membesar maka penyelesaiannya mengalami dampingmakin besar.
Cr
Kn 2
( )(1 )2nxK Cr k Cr kt
8/26/2021 Djoko Luknanto 17
Difusi Numerik vs Damping
Karena Difusi Numeris, Kn, maka distribusi polutan tidak hanya bergerak karena pengaruh kecepatan aliran sebesar U, namun mengalamai dispersi semu karena teknik numerik yang digunakan.
x
C distribusi polutan akhir t=tn yang seharusnya
distribusipolutan awal t=t0
U
damping
8/26/2021 Djoko Luknanto 18
Skema-skema lain
• Untuk skema-skema beda hingga yang lain misalkan skema maju dan skema mundur dapat dilakukan hal yang sama dan dapat diperoleh sifat difusi numerisnya.
• Demikian pula untuk persamaan dasar yang lainnya dapat diperoleh karakteristik penyelesaian numeriknya terhadap skema yang digunakan.