MATEMATIKA B 89

Hasi baino lehen.

1.Antzekotasuna .............……………….orria 92 Antzeko figurak Talesen teorema Antzeko triangeluak 2.Triangelu angeluzuzenak.Teoremak….orria 96 Katetoaren teorema Altueraren teorema Pitagorasen teorema orokortua 3.Antzekotasunaren arrazoia.……………orria 99 Antzekotasunaren arrazoia luzeratan Antzekotasunaren arrazoia azaleratan Antzekotasunaren arrazoia bolumenetan 4.Aplikazioak .................................orria 102 Eskalak Heldu ezinezko distantziak neurtzea Ariketak Gehiago jakiteko Laburpena Autoebaluazioa

Tutoreari bidaltzeko jarduerak

ERANSKINA

Helburuak Hamabostaldi honetan hauxe ikasiko duzu:

• Antzeko figurak ezagutzen eta marrazten.

• Triangeluen antzekotasunaren irizpideak aplikatzen.

• Katetoaren eta altueraren teoremak erakusten eta erabiltzen.

• Pitagorasen teorema orokortua aplikatzen.

• Figura baten azalerak eta bolumenak kalkulatzen haren antzeko beste bat hartuta.

• Distantziak plano eta mapatan kalkulatzen.

• Neurrien problemak ebazten, Talesen teorema eta antzekotasuna erabiliz.

Antzekotasuna 6

90 MATEMATIKA B

MATEMATIKA B 91

Hasi baino lehen

Iker ezazu jolas eginez Nola egin alde bateko karanbola? Billarrean ibili bazara, jakingo duzu, banda batera karanbola egiteko, jaurtitako bolak karanbola egin aurretik mahaiaren markoan behin eman behar duela. Nahikoa da antzekotasuna aplikatzea hori lortzeko. Baina, nola?

Norantz bideratu behar dugu bola horia aldean errebotea egin ondoren bola gorrirantz joan dadin?

Gogora ezazu: Aurrera jarraitu aurretik, komeni zaizu egiaztatzea zertxobait gogoratzen dituzula triangeluen zuzeneko proportzionaltasuna eta oinarrizko zenbait propietate.

Antzekotasuna

92 MATEMATIKA B

1. Antzeko figurak

Antzeko figurak zoom (homoteziak) eta mugimenduen bidez (birak, traslazioak eta simetriak) bat etor daitezkeenak dira. Poligono bat bere albo eta angeluek zehazten dute, beraz, bi poligono antzekoak izan daitezen, nahikoa da albo homologoak proportzionalak (zoomarekin albo guztiak zenbaki beraz biderkatzen dira) eta bere angeluak berdinak (homoteziek, birek, traslazioek eta simetriek ez dituzte irudien angeluak aldatzen)izatea.

Talesen teorema Bi poligono antzekoak izan daitezen bi baldintza bete behar dira:

1. Angelu berdinak 2. Alde proportzionalak

Baina triangeluetan nahikoa da baldintza bat betetzea. Talesen Teoremak, hau azaltzen du: triangeluetan

angelu berdinak ⇒ alde proportzionalak

Teoremaren arabera, bi zuzen paraleloen bidez ebakitzen badira, paraleloek zuzenetan definitzen dituzten segmentuek proportzio bera gordetzen dute.

Talesen Teoremaren elkarrekikotasuna ere betetzen da,

Segmentu proportzionalak ⇒ paraleloak.

Antzeko triangeluak. Irizpideak Bi triangelu antzekoak dira ondoko irizpide hauetako bat betetzen bada, antzekotasunaren irizpideak deitzen direnak

Antzekotasuna

r s t

b” a

a” b

a’

b’

a a’ a” r, s y t paralelas => = =

b b’ b”

Mide ángulos con el transportador

Angelu berdinak

Alde proportzionalak

paraleloak

B' Â’

a b

B Â

Ĉ

c

a’ b’

Ĉ’

c’

1. Angelu berdinak (birekin nahikoa da)

 = Â’ y ˆ ˆB B'=

2. Angelu berdin bat eta osatzen Duten aldeak proportzionalak

 = ’ y bb'

cc'

=

3. Alde proportionalak

bb' c

aa'

c'

= =

MATEMATIKA B 93

Ebatzitako ARIKETAK

1. Hondartzatik itsasontzira dagoen distantzia kalkulatzeko, irudiko neurriak hartu dira. Kalkula ezazu itsasontzira dagoen distantzia.

m1400714070

x770

140x

=⋅

=⇒=

2. Aplika ezazu Talesen Teorema x, y, z segmentuen neurriak kalkulatzeko.

x kalkulatuko dugu: ⇒=z4

zx x=4

y aurkituko dugu: 4 +y + x = 14

x=4 izanik, y=6 ateratzen da,

eta berriz ere Talesen Teorema aplikatuta:

2zy3

4z

=⇒=

3. Begira iezaiezu ondorengo irudian Talesen Teorematik ondorioztatzen diren

proportzioei: Egiazkoak Ez dute zergatik egiazkoak izan behar

axcy ⋅=⋅ cxay ⋅=⋅

db

xcya=

−−

ddc

aba +=

+

cdc

aba +=

+ db

a =

ca

db=

ac

db=

xy

db=

yx

db=

4. Irudiko triangeluak antzekoak dira. Aurki ezazu x aldearen neurria

= ⇒ =x 10

x 54 8

Antzekotasuna

4

x

8

10

94 MATEMATIKA B

Ebatzitako ARIKETAK (jarraipena)

5. Erantzun ezazu modu arrazoituan:

a) Antzekoak al dira?

b) 30ºko angelu bat eta 40ºko beste bat dituen triangelu bat, 30ºko angelu bat eta 110ºko beste bat dituen triangeluaren antzekoa al da nahitaez?

Bai, izan ere, triangelu baten angeluek 180º osatzen dituztenez, bi triangeluen angeluak berdinak direla ondorioztatzen da eta, beraz, 1. irizpideari jarraiki, antzekoak direla.

c) 3, 6 eta 7 cm-ko aldeak dituen triangelu bat 9, 36 eta 49 cm-ko aldeak dituen beste baten antzekoa al da?

Ez, aldeak ez baitira proportzionalak.

d) 3, 4, 5 eta 6 cm-ko aldeak dituen lauki bat 6, 8, 10 eta 12 cm-ko aldeak dituen beste baten antzekoa al da nahitaez?

Ez, aldeak proportzionalak izan ez arren, hiru alde baino gehiagoko poligonoetan hori ez baita nahikoa antzekotasuna egon dadin; angeluek, gainera, berdinak izan behar dute.

e) Bi triangeluk 20ºko angelu bat baldin badute eta horietako baten aldeek 6 eta 15 cm neurtzen badute eta bestearenek 4 eta 10 cm., bi triangeluak antzekoak al dira?

Bai, bigarren irizpidearen arabera, angelu berdina osatzen duten aldeen arteko proportzioa bi kasuetan 2/5 baita.

f) Alde berdinak dituzten bi poligono erregular antzekoak al dira? Bai, angeluak berdinak dira, (alde kopurua - 2)180º/alde kopurua, eta aldeak proportzionalak.

g) Triangelu baten aldeek 3, 6 eta 7 cm neurtzen dute, eta beste baten aldeek,

berriz, 18 , 2

12 eta 27 27 . Antzekoak al dira?

Bai, aldeak proportzionalak baitira: ⋅ ⋅

= ⋅ =6 2 212

18 3 2;2 2

eta triangeluetan nahikoa baita baldintza hori betetzea (3. irizpidea)

Antzekotasuna

Bai, aldeen arteko proportzioa 2/3 baita eta angeluak berdinak baitira.

Ez, izan ere, angeluak berdinak dira, baina aldeak ez; alderantziz, proportzionalak dira.

Ez, angeluak ez dira berdinak.

MATEMATIKA B 95

Ebatzitako ARIKETAK (jarraipena) 6. DIN-A orri bat erditik moztean, antzeko bat lortzen da. Horretatik ondoriozta ezazu

orri horien zabaleraren eta altueraren arteko proportzioa.

2alto

anchoalto

ancho2

altoancho

2anchoalto 2

=⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇒=

7. Partenoian eta Giocondan agertzen den urrezko angeluzuzenaren ezaugarri bat da alde txikienaren laukia moztean, antzeko beste angeluzuzen bat lortzen dela. Kalkula ezazu luzeren arteko proportzioa.

251

x01xx1x

11x 2 +

=⇒=−−⇒−

= Urrezko arrazoia: 62,1≈Φ

8. Aurki ezazu zuhaitzaren altuera

6,384,04,1

16,2x84,04,1

16,2x

=⋅=⇒=

9. Angeluzuzen bat tolestean, irudian ageri den bezala, antzeko hiru triangelu lortzen

dira, zergatik dira antzekoak?

Antzekotasuna

Angeluak berdinak direlako dira antzekoak, hiruak triangelu angeluzuzenak baitira, bi triangeluk beste angelu berdin bat dute, erpinarekiko kontrakoak baitira. Eta H berdina da, tolesten den ertzarekin 90º gehitzerakoan, beste triangeluetan markatutako angeluaren osagarria ematen baitu.

zabalera/2

altuera

altuera

zabalera

x-1 1

1

x

altuera

altuera altuera altuera zabalera

zabalera zabalera zabalera

Itzala

Itzala

96 MATEMATIKA B

2. Triangelu angeluzuzenak. Teoremak

Katetoaren teorema Triangelu angeluzuzen batean, katetoaren karratua katetoak hipotenusan duen proiekzioaren emaitzaren berdina da. Triangelu osoaren eta katetoak eta hipotenusan duen proiekzioak definitzen dutenaren arteko antzekotasunetik ikus daiteke hori.

Triangelua alderantziz jartzen da eta biratu egiten da Talesen Teoremaren posizioan jartzeko.

⇒=cp

hc

c2 = p·h

Teorema triangelu zorrotzetara eta kamutsetara orokor daiteke, dagozkien triangeluak alderatuta.

Altueraren teorema Triangelu angeluzuzen batean hipotenusaren gainean kokatzen den altueraren karratua hipotenusaren gaineko katetoen proiekzioen biderkadura da.

Triangelua biratzen da Talesen posizioan jartzeko. Hortaz, aipatu teoremaren arabera:

ap

qa= eta, beraz, a2=p·q

Katetoaren teoremaren puzzlea “T_” hiru piezak moztuta karratua edo angeluzuzena osa daiteke. Behin hori eginda, bi azalerak berdinak direla eta, beraz, teorema ere zuzena dela egiaztatu behar da.

Triangeluaren altuera ondokoa da

x

Gogora ezazu:

Hiru triangelu antzeko. 1 eta 2 alderatuta => Katetoaren Teorema 1 eta 3 alderatuta => Altueraren Teorema

Antzekotasuna

A triangelu baten alde handiena bada

Talesen Teoremaren arabera KATETOAREN TEOREMA

Azalera

Azalera

KATETOAREN TEOREMA

katetoa

c-ren proiekzioa h-n

katetoa

c-ren proiekzioa h-n

beraz,

Talesen Teoremaren arabera beraz,

MATEMATIKA B 97

Pitagorasen teorema orokortua Pitagorasen teorema. 2 2 2C 90º c a b= ⇒ = +

Teorema triangelu kamutsetara eta zorrotzetara orokortzen da:

C>90º bada, beraz, c2 > a2+b2

c2 = a2+b2+2·a·pa

Azalpena

Altuera irudikatuta, bi triangelu angeluzuzen osatzen dira, AHB eta AHC, Pitagorasen Teorema aplikatzeko.

Triangelu angeluzuzen handienean: c2 = (a+pa)2+h2

Triangelu angeluzuzen handienean: b2 = pa2+h2

Bi berdintasunak kenduta: c2 – b2 = a2+2pa·a Eta ebatzita: c2 = a2+b2+2·a·pa

C<90º bada, beraz, c2 < a2+b2

c2 = a2+b2 – 2·a·pa

Azalpena

Altuera irudikatuta, bi triangelu angeluzuzen osatzen dira, AHB eta AHC, Pitagorasen Teorema aplikatzeko.

Triangelu angeluzuzen handienean: c2 = (a - pa)2+h2

Triangelu angeluzuzen txikienean: b2 = pa2+h2

Bi berdintasunak kenduta: c2 – b2 = a2–2pa·a Eta ebatzita: c2 = a2+b2–2·a·pa

Antzekotasuna

a2

b2 c2

C=90º c2=a2+b2

A

B C H

A

B H C

a b

c h

c

a

b

pa

pa

h

Katetoaren Teoremaren arabera

Eta batuz

98 MATEMATIKA B

Ebatzitako ARIKETAK

10. Kalkula ezazu 2 dm-ko 8 ertz eta gainerakoak 3 dm-koak dituen ortoedro baten diagonala.

11. Erabaki ezazu 3, 6 eta 8 cm-ko aldeak dituen triangelua angeluzuzena, kamutsa edo zorrotza den. Erabaki triangeluaren angelurik luzeena kamutsa, zuzena edo zorrotza den. Pitagorasen teorema orokortua aplikatzen da eta 82=64 eta 32+62=9+36=45 alderatzen dira. 64 45 baino handiagoa denez, triangelua kamutsa dela ondorioztatzen da.

12. Irudiko triangeluan kalkula itzazu hipotenusa, katetoen proiekzioak eta altuera.

Pitagorasen Teorema aplikatuta:

Hipotenusa= 200160120 22 =+

Katetoaren Teorema aplikatuta: pc(a)=1202/200=72 y pc(b)=200–72=128

Altueraren Teoremarekin:

alt= 9612872 =⋅

13. Egiazta ezazu, M, N (M>N) bi balio oso baldin badira (M2-N2, 2MN, M2+N2) terna pitagorikoa dela.

Adibidez, M=3, N=2 hartuko ditugu eta ordezkatu egingo dugu: M2-N2=5, 2MN=12, M2+N2=13 Orain, pitagorikoa dela egiaztatuko dugu 52+122=169=132 Egiazta ditzakezun beste terna pitagoriko batzuk: 3, 4, 5 ; 7, 24, 25 ; 8, 15, 17 ; etc

14. Kalkula ezazu irudiko zirkunferentzierdiaren erradioa.

Altueraren Teorema aplikatuta, 62=4·p ⇒ p=9 Hortaz, diametroa = 9+4=13 eta erradioa = 6,5

15. Kalkula ezazu x katetoaren neurria irudian.

Katetoaren Teoremaren bidez, x2= diametroa·4=9·4=36 Hortaz, x=6

Ortoedroaren diagonalak, oinarriaren diagonalak eta altuerak triangelu angeluzuzen bat osatzen dute. Oinarriaren diagonala Pitagorasen Teoremaren arabera kalkulatzen da:

22 22 + eta, Teorema aipatu triangeluari berriro aplikatuta, diagonala

ondokoa dela ondorioztatzen da: 12,417322 222 ≈=++

Antzekotasuna

9

MATEMATIKA B 99

3. Antzekotasunaren arrazoia Luzerak

Bi figura, A eta B, antzekoak baldin badira, A irudiaren gaineko B irudiaren antzekotasunaren arrazoia ondokoa da: B irudiaren segmentu bat zati A irudiaren irudiko bere homologoa.

Antzekotasunaren arrazoiak definitzen du A irudia B bihurtzen duen homotezia.

Azalerak

Bi irudi, A eta B, antzekoak baldin badira, B-ren azalera zati A-ren azaleraren zatidura A gaineko B irudiaren antzekotasunaren arrazoiaren karratua da.

Bolumenak Bi figura, A eta B, antzekoak baldin badira, B-ren bolumenaren zati A-ren bolumenaren zatidura B figurak A-rekiko duen antzekotasunaren arrazoiaren kuboa da.

Antzekotasuna

A irud.

B irud.

luzera luzera luzera

Luzera ; arrazoia

arrazoia

. arrazoiaLuzera Luzera; arrazoialuzera

luzera . arrazoia

azalera azalera

azalera; arrazoia2.arrazoia2azalera

A irud.B irud.

Azalera Azalera

Azalera Azalera;

arrazoia2

. (arrazoia

Azalera = Azalera

bolumena bolumena

arrazoia3bolumena; bolumena

A irud.

B irud.

.arrazoia3Bolumena

Bolumena Bolumena;

kubo

. (arrazoia Bolumena

Bolumena = Bolumena

arrazoia3

100 MATEMATIKA B

Ebatzitako ARIKETAK

16. Zein da 5 m-ko luzera duen segmentu bat 3 m-ko luzerako segmentu bihurtzen duen antzekotasunaren arrazoia?

Antzekotasunaren arrazoia luzera homologen arteko zatidura da.

Arrazoia = 3/5=0,6

17. Kalkula ezazu 4 m-ko segmentuarekiko homologoa den segmentuaren luzera, arrazoi beraren antzekotasuna aplikatzean 3 m-ko segmentua 7,2 m-koa bihurtzen dela jakinda.

Arrazoia =7,2/3=2,4

x=4· arrazoia =4·2,4=9,6 m

18. Antzekotasunean 5 m-ko segmentua 10 m-ko segmentu bihurtzen da. Aldatutako irudian 8 m-ko luzera duen segmentua dago. Zein da jatorri duen segmentuaren luzera?

Arrazoia =10/5=2

x· arrazoia =8 => x·2=8; x= 4

19. Zure koadernoan marraz ezazu 3 eta 4 cm-

ko katetoak dituen triangelu angeluzuzen bat eta aplika iezaiozu 1/4 arrazoiko antzekotasuna antzeko beste bat lortzeko. Kalkula ezazu hipotenusaren luzera triangelu bakoitzean.

Pitagorasen Teoremaren arabera:

= + = =2 2hipotenusa 3 4 25 5

1/4 arrazoiko antzekotasuna aplikatuz gero, hipotenusa=5·1/4=1,25

Antzekotasuna

luzera luzera

arrazoiaLuzera; . (arrazoia Luzera

luzera luzera

arrazoiaLuzera; . (arrazoia Luzera

luzera luzera

arrazoiaLuzera; . (arrazoia Luzera

MATEMATIKA B 101

Ebatzitako ARIKETAK

20. Zein da irudi bat laurden bateko azalerako beste bat bihurtzen duen antzekotasunaren arrazoia?

21

41

razón41

razón2 ==⇒=

21. Zein da 2 m2-ko azalerako irudi bati arrazoiaren antzekotasuna aplikatzean lortzen den figuraren azalera?

Azalera = 2 m2 · arrazoia2 = 2·2,42 = 11,52 m2

22. 0,6 arrazoiko antzekotasunean 7,2 m2-ko azalera lortzen da. Zein da hasierako irudiaren azalera?

22

2m20

6,0

m2,7Área ==

23. Zure koadernoan marraz itzazu 3 eta 4 cm-

ko katetoak dituen triangelu angeluzuzen bat eta antzeko beste bat, baina azalera laurdenera murriztuta.

Azalera laurden bat bada, aplikatuko dugun antzekotasunaren arrazoia ondorengoa izango da:

=1 14 2

24. Etxearen bolumena 1.200 m3-koa da eta maketa batean etxe horrek 150 dm3-

hartzen ditu. Zein da maketaren eskala?

Bolumenen zatidura arrazoiaren kuboa da, 3

33

m1200

dm150r =

Izendatzailea dm3-ra igaro eta sinplifikatuz gero, honakoa geratzen da: 201

80001

r 3 ==

Antzekotasuna

102 MATEMATIKA B

4. Aplikazioak Eskalak Mapek eta etxebizitzetako planoek eskala honela adierazi ohi dute:

1:2500000 errepide-maparen batean edo 1:250 etxebizitza baten planoan.

Eskalak luzeretan, azaleretan eta bolumenetan aplikatzen jakiteko, ondoko formulak gogoratu besterik ez da.

Eskala=1:I I = Distantzia erreala / Planoko distantzia I2= Azalera erreala/planoko azalera I3= Bolumen erreala/Maketako bolumena

1) 1. irudiko planoko eskala kalkulatu

2139cm2,3cm6844

planociatanDisrealciatanDis

==

Eskala = 1:2139 2) Eskala 1:120 da, zein da etxeko egongelaren

benetako azalera?

6·4·1202=345600 cm2=34,56 m2 3) Dorreetako baten benetako bolumena 139.650 m3-

koa da eskala 1:700 baldin bada. Zein da maketaren bolumena?

Maketaren bolumena: 3700

139650=407,14 cm3

Heldu ezinezko distantziak Talesek piramidearen altuera kalkulatzeko bere itzala neurtu zuen bezala, antzekotasuna eskuragarri ez dauden distantziak kalkulatzeko aplika dezakegu. Aurretik ere ikusi genuen nola kalkulatu itsasontzi bateraino edo eskuragarri ez dagoen puntu bateraino dagoen distantzia.

4) A eta B puntuen arteko distantzia kalkulatu nahi da. Horretarako, irudiko neurriak hartu dira: QM=1 m, XM=0,69 m y QB=5,67 m

Talesen Teorema aplikatuta: QMXM

QBx

=

Hortaz, x=5,67·0,69=3,91 m

5) Zein da arrantza egiteko hariaren luzera? Pitagorasen Teoremarekin kainaberaren luzera kalkulatzen dugu, eusteko punturaino:

543a 22 =+=

Antzekotasuna aplikatuta: 57

33,4x=

−

Ondokoa lortuko dugu: x=8,5 m

Antzekotasuna

Irudia 1

Irudia2

Irudia 4

Irudia 5

Luzera Zabalera EGONGELA

Benetako Planoko

Irudia 3

MATEMATIKA B 103

37 4

7

x

Praktikatzeko

1. Aurki ezazu x kasu bakoitzean

2. Bi lauki antzekoen hiru alde homologoen neurriak honakoak dira:

4 cm x cm 7 cm

20 cm 10 cm y cm

aurkitu x eta y

3. Mendiaren oinarria ikusten da, txartelak adierazten duen bezala 5,6 km-ko. 29 cm-ko erregelatxoa mugitzen da, mendiaren oinarria estaltzen duen arte. Momentu horretan erregelatxoaren distantzia behatzailearen begiraino 1 m-koa da Kalkula ezazu mendiaren oinarriaren zabalera.

4. Kalkulatu metrotan x errekaren zabalera, marrazkiko datuetan oinarrituta.

5. Kalkulatu putzuaren sakontasuna.

6. Nondik moztu behar da orria ezkerreko partea orri osoaren antzekoa izan dadin?.

7. Marraztu zure koadernoan bat, 69º-ko angelu batekin eta osatzen duen albo bat 9 cm. Antzekoak al dira baldintza hauek betetzen dituzten triangeluak?

8. Marraztu zure koadernoan bat, 56º-ko angelu batekin eta osatzen duten alboen zatidura 3. Antzekoak al dira baldintza hauek betetzen dituzten triangeluak?

9. Kalkula ezazu x-ren balioa triangelu bakoitzean:

a) b)

c) d)

e) f)

22

24 26

x

13 15 6

19

x

x 22

23

27

x

20 25

17

x

12 5

x

10

x 8

10

3

x

3

x

12

x

7 16

29 cm 1 m

5.6 km

x m

5.6 km

Antzekotasuna

10 22

a oinarria

104 MATEMATIKA B

10. Kalkula ezazu piramidearen oinarriaren aldea.

11. Kalkula ezazu, kasuan kasu, piramidearen altuera.

12. En Zezen-plaza batean diametroa metro gutxi batzuk neurtuz kalkula daiteke. Diametroaren norabidean (aurreko ikusleekiko begi-lerroak definitzen du) 9m neurtzen dira eta 90º biratuz norabide horretan aurreratzen da kaleraino, ibilbide honetake neurria 28,3 m izanik. Kalkulatu zezen-plazako inguruaren diametroa.

13. Kalkulatu irudiko zirkunferentziaren diametroa.

14. Aurki ezazu (-1,-1) eta (-4,3) koordenatuetako puntuen arteko distantzia.

15. Aplika ezazu Pitagorasen teorema orokortua irudiko triangeluaren c aldea ren neurria kalkulatzeko.

16. Irudian jatorrizko marrazkiaren kopia bat ikusten da Zein da kopiaren eskala?

17. Maparen gainean bi herriren artean errepidez dagoen distantzia kurbimetroarekin neurtzerakoan, 9,5 cm lortzen dugu. Maparen eskala 1:470000 da. Zenbat km izango ditu bi herriak lotzen dituen errepideak?

18. 1:210000 eskalako mapa bat begiratzerakoan, errepide batean B herria falta dela ikus dezakegu. B mapan ikus dezakegun A herritik 73,3 km-ra dagoela baldin badakigu, mapako errepidean A-tik zenbat cm-ra jarriko dugu B irudikatzen duen puntua?

19. Irudiko dorrearen bolumena 2925 m3-koa da 1:500 eskalako maketa batean. Kalkula ezazu dorrearen bolumen erreala.

20. Dorre baten oinarriaren azalera 275 m2-koa da. Kalkula ezazu horren azalera 1:350 eskalako maketa batean.

21. Dorre baten azalera 125 m2-koa da eta maketa batean 55 cm2-ko azalera du . Aurki ezazu maketaren eskala.

22. Dorre baten oinarriaren azalera 25 cm2-koa da 1:350 eskalako maketa batean. Kalkula ezazu oinarriaren azalera erreala.

23. Dorre baten bolumena 3.300 m3-koa da eta maketa batean 412 cm3-ko bolumena hartzen du. Aurki ezazu maketaren eskala.

24. Dorre baten bolumena 27 cm3-koa da

1:450 eskalako maketa batean. Kalkula ezazu dorrearen bolumen erreala.

Antzekotasuna

Jatorrizko marrazkia

Eskala 1:

diametroa

MATEMATIKA B 105

Hiru aldeko billarra Billarraren moduko angeluzuzenak eraikitzen ditugu, gero bola gorriarekiko puntu simetrikoak, bi punturen arteko biderik motzena lerro zuzena da, billarrean jarrita nahi dugun ibilbidea ematen digula.

Geometria greziarra

Talesen Teoremarekin "geometrikoki" egin daitezke oinarrizko eragiketak. Irudian kalkulagailu geometrikoa ikus dezakegu batuketak egiteko.

Horren oinarria da segmentu baten erdiko puntuaren abzisa ertzeetako abzisen batuketa-erdia dela.

Gehiago jakiteko

Nola ziurtatu alde bateko karanbola? Bolak errebote egiterakoan duen angelu berarekin jotzen duenez aldea, triangeluak antzekoak izatea lortu beharko da eta hori iritzira lor daiteke edo, bestela, zehaztasunez, antzekotasunari lotutako proportzionaltasunaren ekuazioa ebatzita.

Tradizioaren arabera, Thalesek (gure garaia baino 600 urte lehenago) geometria egipziarra sartu zuen Grezian. Tales nagusiki arazo praktikoez arduratuta zegoen aitzindaria izan zen (monumentuen altuera kalkulatu zuen bastoi bat eta itzalen proportzionaltasuna erabilita).

Geometria greziarra arrakasta izugarria izan zen giza zientzian eta, hala aparteko buru-argitasunaren adierazgarri izan zen. Nagusiki, bi eskala izan zituen: Pitagorasena eta Euclidesena.

Ikus gehiago hemen: http://perso.orange.fr/therese.eveilleau/pages/hist_mat/textes/h_geom.htm

Antzekotasuna

Bola horiak 3 aldiz

jotzen du aldeetan

bola gorriarekin

talka egin aurretik

106 MATEMATIKA B

Gogora ezazu garrantzitsuena

Antzeko figurak Batetik bestera homotezia edo mugimenduen bidez igaro daitekeenean. Antzeko poligonoak Angelu berdinak eta albo proportzionalak dituztenean. Antzeko triangeluak Triangeluen kasuan nahikoa da hiru irizpideetako bat betetzea:

Talesen teorema Bi sekanteetan zuzen paraleloak mugatzen dituzten segmentuak proportzionalak dira.

Pitagorasen teorema orokortua

C>90º c2 = a2 + b2 + 2a·pa(b)

C<90º c2 = a2 + b2 – 2a·pa(b)

Antzekotasuna

ba

ba

ba

′′′′

=′′

=

r s t

b” a

a” b

a’

b”

Mide ángulos con el transportador

a b

B Â

Ĉ

c

a’ b’

B' Â’

Ĉ’

c’

1. Angelu berdinak (birekin nahikoa da)

 = Â’ y ˆ ˆB B'=

2. Angelu berdin bat eta osatzen duten aldeak proportzionalak

 = ’ y bb'

cc'

=

3. Alde proportzionalak

bb' c

aa'

c'

= =

B-ko luzera A-ko luzera

arrazoia

arrazoia2

arrazoia3

B-ko azalera A-ko azalera B-ko bolumena A-ko bolumena

KATETOAREN Teorema

ALTUERAREN Teorema

PITAGORASEN Teorema

Teoremak triangelu angeluzuzenetan

MATEMATIKA B 107

Autoabaluazioa

1. Aplika ezazu antzekotasuna x-ren balioa kalkulatzeko.

2. Lauki baten barneko angeluen bildura 360º, dela jakinik, kalkula ezazu a-ren balioa.

3. Irudiko poligonoak antzekoak al dira?

4. Aurreko etxeko leihoa nirea bezalakoa denez, jakin dezaket haren altuera, eta makiltxo baten begi-lerroarekin kaleko zabalera kalkula daiteke. Kalkula ezazu.

5. Triangelu baten alboek 6 cm, 8 cm eta 11 cm neurtzen badute, zer motako triangelua da?

6. Kalkula ezazu triangelu angeluzuzen baten perimetroa, katetoek hipotenusan duten proiekzioek 16 eta 9 cm neurtzen badute.

7. Aurkitu triangelu angeluzuzen baten hipotenusa, katetoa 240 cm-koa eta hipotenusaren gaineko altuera 192 cm-koa izanik.

8. Kalkula ezazu, cm-tan, triangelu angeluzuzen baten azalera, katetoek hipotenusan duten proiekzioek 64 cm2-tan eta 36 cm neurtzen dutela jakinik.

9. Kono zuzen baten sortzaileak 6,8 cm neurtzen ditu eta oinarriaren erradioak 3,2 cm. Aurkitu honen antzeko konoaren altuera, balina 1:2 eskalan.

10. Kalkula ezazu, m2-tan, etxebizitza baten azalera, kontuan izanik planoa 1:300 eskalan dagoela eta pisuak planoan 17 cm2 betetzen dituela.

Antzekotasuna

10

12,5 6

x

146º

82º

A

75º

9 cm 16 cm

240 192

64 36

108 MATEMATIKA B

Praktikatzeko ariketen ebazpenak

1. a) 23,83 b) 30,76

c) 25,82 d) 21,25

2. x=2 y=35

3. 1624 m

4. 64,75

5. 5,94 m

6. 4,26 cm

7. Ez dute zertan antzekoak izan

8. Antzekoak dira

9. a) 13 b) 6 c) 6

d) 63 7,9≈ e) 1 f) 4,54

10. 1,12

11. 2,59 1,70

12. 97,98 m

13. 36

14. 5

15. c2=a2+b2+2b·pb(a)=40;

c= 40 6,32≈

16. 1:2,5

17. 44,65 km

18. 34,90 cm

19. 23,4 cm3

20. 22,44 cm2

21. 150,75 cm2

22. 306,25 cm2

23. 1:200

24. 2460,37 m3

Ez ahaztu jarduerak tutoreari bidaltzea

Antzekotasuna

Prob. 7 Prob.8

AUTOEBALUAZIOAREN ebazpenak 1. 7,5

2. 57º

3. Ez dira antzekoak

4. 91/19 m = 4,78 m

5. Kamutsa 112>62+82

6. 60 cm

7. 400 cm

8. 4800 cm2

9. 3 cm

10. 153 m2