mn diferenciacionintegracion ok

Mtodos Numricos

Tema: Diferenciacin e integracin numrica

Mtodos numricos Tema: Diferenciacin e Integracin

Contenido

1. Diferenciacin numrica basado en la serie de Taylor

2. Diferenciacin numrica basado en el polinomio de Lagrange

3. Integracin numrica por cuadratura de Newton-Cotes

4. Integracin numrica por cuadratura de Gauss

2


Contenido





3

Mtodos numricos Tema: Diferenciacin e Integracin 1. Diferenciacin basado en la serie de Taylor

Objetivo

1. Aproximar la derivada de una funcin slo a partir de los valores de la funcin

2. Aproximar la derivada de una funcin si se conoce la funcin slo en algunospuntos

Importancia:

1. Se usa la derivacin numrica, si la derivada analtica no es disponible o difcilde determinar (por ejemplo en la implementacin de un algoritmo que usa laderivada de una funcin)

2. Se conoce la funcin slo en algunos puntos ( est dada en forma tabulada),sin embargo se necesita saber cmo cambia.

4


Aproximacin de la derivada: idea

Se usa la serie de Taylor

f(x+ h) = f(x) + h f (x) +h2

2f ((x,x+h))

Resolviendo la ecuacin para f (x) se obtiene una aproximacin de la derivada:

f (x) f(x+ h) f(x)

h

y su error:

error=h

2

f ((x,x+h)) h2max{|f (y)| |y (x, x+ h)}.

5


Aproximacin de la primera derivada

Para mejorar el error de la frmula, se usa el desarrollo de Taylor de oreden 2 enlos puntos x+ h y x h:

f(x+ h) = f(x) + h f (x) +h2

2f (x) +

h3

3!f (3)((x,x+h))

f(x h) = f(x) h f (x) +h2

2f (x)

h3

2f (3)((xh,x))

Restando las dos ecuaciones:

f(x+ h) f(x h) = 2h f (x) +h3

3!f (3)((x,x+h)) +

h3

3!f (3)((xh,x))

y resolviendo para f (x) se obtiene:

6


Aproximacin de la primera derivada (continuacin)

Aproximacin de la primera derivada:

f (x) f(x+ h) f(x h)

2h

Estimacin del error:

error=

h212 f (3)((xh,x)) + h2

12f (3)((x,x+h))

h26 max{f (3)(y) |y (xh, x+h)}.

7


Ilustracin

8


Ejemplo 1. La derivada de senx y su aproximacin

La funcin senx tiene como derivada cosx .

En el siguiente grco se muestra la derivada nmerica con diferentes valores deh.

0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5

0.2

0.4

0.6

0.8

1

h = 0,25pi h = 0,1pi h = 0,01pi

9


Aproximacin de la segunda derivada

De manera anloga, para la segunda derivada se usa el desarrollo de Taylor hastael orden 4 en los puntos x0 + h y x0 h

f(x+ h) = f(x) + h f (x) +h2

2f (x) +

h3

3!f (3)(x) +

h4

4!f (4)((x,x+h))

f(x h) = f(x) h f (x) +h2

2f (x)

h3

2f (3)(x) +

h4

4!f (4)((xh,x))

y se suman las dos ecuaciones:

f(x+h)+f(xh) = 2 f(x)+h2 f (x)+h4

4!f (4)((xh,x))+

h4

4!f (4)((x,x+h))

y resolviendo para f (x) se obtiene:

10


Aproximacin de la segunda derivada (continuacin)

Aproximacin de la segunda derivada:

f (x) f(x+ h) 2 f(x) + f(x h)

h2

Estimacin del error:

error =

h24! f (4)((xh,x)) + h2

4!f (4)((x,x+h))

h212 max{f (4)(y) |y (xh, x+h)}.

11


Ejercicio

1. La funcin senx tiene como segunda derivada la funcin -senx.

Determinar la segunda derivada numrica y comparar.

2. Desarrollar una frmula para aproximar la tercera derivada. Comparar la terceraderivada numerica de la funcin senx con su tercera derivada verdadera.

12


Contenido





13

Mtodos numricos Tema: Diferenciacin e Integracin 2. Diferenciacin numrica basado en el polinomio de Lagrange

Aproximar la derivada de una funcin, usando un

nmero finito de puntos

Idea:

Se interpola la funcin por el polinomio de Lagrange.

Luego se aproxima la derivada por la derivada del polinmio de Lagrange.

Resultado:

Construccin de la frmula para la derivada aproximada, que se basa en lospuntos los valores, donde la funcin st conocido y los valores de la funcin enestos puntos.

14


Desarrollo: Aproximacin por polinomio de Lagrange

Sea f(x) la funcin cuya derivada queremos aproximar. Asumimos que f estconocido en los puntos x0, x1, x2, . . . xn. Usando el polinomio de Langrange, sepude f expresar como:

f(x) =ni=0

f(xi) Li(x) +R(x)

donde las funciones Li estan denidos por

Li(x) =n

j=0,j 6=i

(x xj)(xi xj)

y el residuo R(x) se obtiene por

R(x) =1

(n+ 1)!

nj=1

(x xj) f(n+1)(x)

15


Desarrollo: Derivacin usando el polinomio de

Lagrange

Si se deriva la funcin, expresado com polinomio de Lagrange se obtiene:

f (x) =ni=0

f(xi) Li(x) +R

(x)

que se puede expresar como

f (x) =ni=0

f(xi) Li(x) +

1

(n+ 1)!

n

j=1

(x xj)

f (n+1)(x)

+1

(n+ 1)!

nj=1

(x xj) (f (n+1)(x)

)

16


Desarrollo: Derivada en los puntos conocidos

En el caso de que x es uno de los puntos tabulados x0, x1, x2, . . . xn, digamos x = xk,

desaparece el ltimo trmino de la suma anterior.

Si x = xk, la derivada

0@ nY

j=1

(x xj)1A

=

nXm=0

nYj=1,,j 6=m

(x xj)

se simplifica tambin, y se obtiene:

0@ nY

j=1

(xk xj)1A

=nY

j=1,j 6=k(xk xj)

.

se obtiene la frmula

17


f(xk) =

nXi=0

f(xi) Li(xk) +1

(n + 1)!

nYj 6=i,j=1

(xk xj) f (n+1)(x)

=nXi=0

f(xi) Qn

,j=1,j 6=k,j 6=i(xk xj)Qnj=1,j 6=i(xi xj)

+1

(n + 1)!

nYj 6=i,j=1

(xk xj) f (n+1)(x)

18


Ejemplo 2: Derivada via polinomio de Lagrange para

senx

La gura muestra la primera derivada de la funcin senx y la aproximacin por laderivada del polinomio de Lagrange.

0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5

0.2

0.4

0.6

0.8

1Derivada verdadera de fHxL

0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5

0.2

0.4

0.6

0.8

1Derivada de Lagrange para fHxL

19


Ejemplo 3: Derivada via polinomio de Lagrange para

una funcin compuesta

-1 -0.5 0.5 1

2

4

6

8

10La funcion original: fHxL

-1 -0.5 0.5 1

-10

-8

-6

-4

-2

2Derivada verdadera de fHxL

-1 -0.5 0.5 1

-2

2

4

6

8

10Polinomio de Lagrange para fHxL

-1 -0.5 0.5 1

-100

-50

50

100

Derivada de Lagrange para fHxL

20


Frmula de (n+ 1) puntos

Aproximacin:

f (xk) =ni=0

f(xi) Li(x)

Error:n

j = 1j i

f (xk) =1

(n+ 1)!

nj=1,j 6=i,

(xk xj) f(n+1)(x)

con Li dado por

Li(x) =

n,j=1,j 6=k,j 6=i(xk xj)n

j=1,,j 6=i(xi xj)

21


Contenido





22

Mtodos numricos Tema: Diferenciacin e Integracin 3. Integracin numrica por cuadratura de Newton-Cotes

Motivacin

1. Muchos integrales no tiene solucin analtica, por ejemplo: 10ex

2dx,

10ex

senx

xdx,

10

senx

1 + xdx,

10e

1+x2x2 dx.

En estos casos se necesita un mtodo numrico conable para resolver elintegral

2. Muchos integrales tiene solucin analtica, pero esta involucra funciones trans-cedentales difciles de evaluar, por ejemplo: 10

1

1 + x4dx =

1

4

2log

x2 +

2x + 1

x2 2x + 1+

1

2

2

arctan

x2 x

+ arctanx

2 + x

En estos casos es preferible tener un mtodo nmerico eciente para la solucin

3. Hay situaciones, donde se se conoce la funcin slo en algunos puntos. Sinembargo se requiere una aproximacin del integral. En esta situacin se dependede un mtodo numrico de integracin.

23


Interpretacin del integral y aproximaxin

Interpretando el integral como rea por debajo de la curva, se obtienen aproxi-maciones de integral, si se aproxima la funcin por una que sea fcil de integrar.

Integral exacto Integral aproximado

Typeset by FoilTEX 24


Regla trapezoidal

Aproximando la funcin por una lnea recta, se obtiene la aproximacin que seconoce como regla trapezoidal:

ba

f(x) dx b a

2(f(a) + f(b))

Esta aproximacin tiene un error de

(b a)3

12f (2) () , donde (a, b)

El error se obtiene, integrando la frmula de Taylor para f sobre los puntosx (a, b).

25


Ejercicio

Sea la funcin f denida en el intervalo [0, 1] por f(x) := 4 2x2.

Se pide:

Determinar el integral de la funcin en el intervalo [0, 1], usando la regaltrapezoidalEstimar el error

Solucin:

El intgral con la regla trapezoidal es:

ba

f(x) dx =

10

4 2x2 dx b a

2(f(a) + f(b)) =

1

2(4 + 2)) = 3

El error de acuerdo con la regla es:

error = (b a)3

12f (2) () =

1

124 =

1

3

26


Integracin numrica compuesta

Se puede mejorar la aproximacin del integral, si se aplica la regal trapezoidal envarios puntos intermedios, como muestra la gura.

27


Regla trapezoidal compuesta

Aplicano la regla trapzoidal sucesivamente para los puntos a =x0, x1, x2, . . . , xn = b se obtiene

ba

f(x) dx =

ni=1

xixi1

f(x) dx

ni=1

xi+1 xi2

(f(xi1) + f(xi))

y si los puntos son equidistantes ( xi+1 xi = h) se puede simplicar por :

ba

f(x) dx ni=1

h

2(f(xi1) + f(xi)) =

h

2

(f(a) + 2

n1i=1

f(xi) + f(b)

)

28


Error de la regla trapezoidal compuesta

Se suman los errores de los intervalos, obteniendo:

error=ni=1

(xi xi1) 3

12f (2) (i) , donde i (xi1, xi)

y simplicando, si los puntos son equidistantes:

error=-h3

12

ni=1

f (2) (i) , donde i (xi1, xi)

lo que se puede simplicar para obtener

error=-b a

12h2 f (2) () , donde (a, b)



Regla trapezoidal compuesta

en trminos del nmero de intervalos

Considerando que para un nmero de n intervalos, se tiene h =b a

n, se puede

expresar la regla trapezoidal y su error en trminos del nmero de intervalos n.

Aproximacin del integral:

ba

f(x) dx =b a

2n

(f(a) + 2

n1i=1

f(xi) + f(b)

)

Error:

-(b a)

3

12n2f (2) () , donde (a, b)

30


Generalizacin

En el caso de la regla trapecoidal, se usa para aproximar la funcin, la recta quecoincide con la funcin en los puntos a y b; es decir, el polinomio de Lagrange deorden 1.

Se puede generar frmulas ms precisas que aproximan el integral, si se usapolinomios de Lagrange de mayor orden, para interpolar la funcin y se aproximael integral de la funcin por el integral del polinomio

El error de la aproximacin del integral se determina, integrando el error que setiene si se aproxima la funcin por el polinomio de Lagrange.

Usando el polnomio de Lagrange de grado 2 se obtiene la regla de Simpson.

31


Regla de Simpson

Se usa el polinomio de Lagrange queinterpola la funcin dada en los puntosx0 = a, x1 = a + h, x2 = b, conh = (b a)/2.Aproximando la funcin y integrando elpolinomio de Lagrange se obtiene la si-guiente regla de Simpson. Integrando elerror de interpolacin se obtiene el errorde integracin.

32


Regla de Simpson


ba

f(x) dx h

3(f(x0) + 4f(x1) + f(x2))

Error de la aproximacin:

h5

90f (4) () , donde (a, b)

33


Regla de Simpson3

8Si se interpola la funcin con el polinomio de Lagrange de orden 3 ( es decir,usando 4 puntos), se obtiene


ba

f(x) dx 3h

8(f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) + f(x3))

Error de la aproximacin:

error=3h5

90f (4) () , donde (a, b)

34


Ejercicio

Desarrollar la regla de integracin que usa 5 puntos y el error correspondiente.

35


Regla de Simpson compuestaDado que la regal de Simpson usa 3 puntos del intervalo, podemos extenderla,usando varios intervalos.

Ojo: 2 intervalos vecinos coinciden en 1 punto!, es decir, usamos los puntosx0, x1, . . . xn con n par.

Aplicando sucesivamente la regla de Simpson para los puntos equidistantes a =x0, x1, x2, . . . , xn = b se obtiene:

ba

f(x) dx h

3

f(a) + 2 n2

i =2, par

f(xi) + 4n

i =1,impar

f(xi) + f(b)

donde el error est dado por:

error=b a

180h4 f (4) () , donde (a, b)

36


Regla de Simpson compuesta

en trminos del nmero de intervalos

Para n intervalos y h =b a

n, se puede expresar la regla de Simpson compuesta

y su error en trminos de n.


ba

f(x) dx b a

3n

f(a) + 2 n2

i =2, par

f(xi) + 4n

i =1,impar

f(xi) + f(b)

Error:

error=(b a)

5

180n4f (4) () , donde (a, b)

37


Contenido





38

Mtodos numricos Tema: Diferenciacin e Integracin 4. Integracin numrica por cuadratura de Gauss

Idea

La regla trapezoidal es una suma ponderada de losa valores de la funcin en los 2puntos extremos del intevalo.

Qu tal usar dos puntos diferentes con otra ponderacin?

Ser que se puede mejorar la aproximacin?

La idea central es determinar la ubicacin de los puntos y la ponderacin de talforma, que el error de la aproximacin es 0 para polinomios de grado ms altoposible.

39


Sistema de ecuaciones

Se quiere determinar los parmetros c0, c1, x0, x1 en la frmula general paraaproximar el integral:

11

f(x) dx c0f(x0) + c1f(x1)

Por eso, genera un sistema de ecuaciones, que se basa en la exigencia que lafrmula debe ser exacta para monmios de diferentes grados:

grado 0 f(x) = 1

11

1 dx = c0 + c1 c0 + c1 = 2

grado 1 f(x) = x

11

x dx = 0 = c0x0 + c1x1 c0x0 + c1x1 = 0

grado 2 f(x) = x3 11

x2 dx = 23 = c0x20 + c1x

21 c0x

20 + c1x

21 =

23

grado 3 f(x) = x3 11

x3 dx = 0 = c0x30 + c1x

31 c0x

30 + c1x

31 = 0

40


Sistema de ecuaciones (continuacin)

La solucin de este sistema es:

c0 = 1 ; c1 = 1x0 = 1/

3 ; x1 = 1/

3

Por eso se obtiene la frmula que aproxima el integral, que es exacta parapolinomios de grado 3, conocida como frmula de Gauss-Legendre de 2 puntos :

11

f(x) dx f (1/

3) + f (1/

3)

(para simplicar el desarrollo se usa la integracin de -1 a 1, para cualquier otrointegral se puede ajustar la frmula por cambio de las variables)

41


Ejemplo

Determinar

11

p(x) dx para el polinomio p(x) = 5x3 6x2 + 2x 1 por la frmula decuadratura de Gauss-Legendre y comparar con el integral exacto.

Cuadratura de Gauss-Legendre:

11

p(x) dx = p(1/3) + p(1/3) =

= 5 (1/3)3 6 (1/3)2 + 2 (1/3) 1 + 5 (1/3)3 6 (1/3)2 + 2 (1/3) 1 =

= 6 (1/3)2 1 6 (1/3)2 1 = 123 2 = 6.

Integracin exacta

11

p(x) dx =

11

5x3 6x2 + 2x 1 dx =

=

5x4

4 6 x

3

3+ 2

x2

2 x!11

= 4 2 = 6.

42


Integrales con lmites arbitarios: Procedimiento

Se transforma el intervalo[1, 1] al intervalo [a, b] introduciendo la nueva variable xd.La transformacin es lineal, es decir x = 0 + 1xd.

La transformacion debe cumplir a = 0 + 1(1) y b = 0 + 11.Resolviendo se obtiene 0 =

b+a2 1 =

ba2 ; con esto se obtiene x =

b+a2 +

ba2 xd.

Diferenciando se obtiene dx = ba2 dxd y con esto se obtiene ba

f(x) dx =

11

f(b+a2 +ba2 xd)

ba2 dxd

La formula de cuadratura de Gauss se aplica por eso a la funcin f(xd)b a

2y se obtiene

11

f(xd)b a

2dxd

b a2

fb+a2 +

ba2 (1/

3)

+b a

2fb+a2 +

ba2 (1/

3)

=b a

2fb+a2 ba23

+b a

2fb+a2 +

ba2

3

=

b a2

fb+a2 ba23

+ f

b+a2 +

ba2

3

43


Integrales con lmites arbitarios: Resultado

Hemos derivado la frmula de Gauss-Legendre para lmites arbitarios del intervalo:

ba

f(x) dx =b + a

2

f

b + a

2 b a

2

3

+ f

b + a

2+

b a2

3

44


Ejemplo

Determinar

84

p(x) dx para el mismo polinomio p(x) = 5x3 6x2 + 2x 1 por lafrmula de cuadratura de Gauss-Legendre y compare con el integral exacto.

Cuadratura de Gauss-Legendre:

84

p(x) dx =b a

2

pb+a2 ba23

+ p

b+a2 +

ba2

3

=

=8 (4)

2

p

8+(4)2

8(4)2

3

+ p

8+(4)

2 +8(4)

2

3

=

= 6p2 6

3

+ p

2 + 6

3

= 6

307 1963

+307 + 196

3

= 3684

Integracin exacta

84

p(x) dx =

84

5x3 6x2 + 2x 1 dx = 3684

45


Generalizacin: Cuadratura de Gauss-Legendre

con n puntos

Las cuadratura de Gauss-Legendre de n puntos con su respectivos pesos seobtienen, determinando estos parmetros de tal manera que la frmula seacorrecta para los polinomios de grado ms altos posible.

n puntos pesos error grado

2 1/3 1 f (4) () 31/

3 1

3 -0.774597 0.555556 f (6) () 50 0.888889

0.774597 0.555556

4 -0.861136312 0.3478548 f (8) () 7-0.339981044 0.6421452

0.339981044 0.6421452

0.861136312 0.3478548

La tabla muesta los puntos, sus pesos y el orden de la derivada que dene el errory el grado ms alto de los polinomios para que la frmula es exacta.

46


Anlisis del error

Grado ms alto de los polinomios para los cuales la frmula es exacta:

Cada punto adicional que se usa en la cuadratura genera 2 prmetros: el valordel punto y el valor del pesode este punto. Por eso se aumenta en 2 el gradomximo de los polinomios para que la frmula es exacta:

La frmula de n puntos es exacta para todos los polinomios de grado 2n1.

Frmula espeica del error:

error=22n+1

(2n+ 1) (2n)!f (2n) ()

donde [1, 1] si se entiende f (2n) con la (2n)sima derivada de la funcin despusde la transformada o

[a, b] si se entiende f (2n) con la (2n)sima derivada de la funcin antes detransformar.

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Ejemplo

Integrar la funcin f(x) = sen(x) en el intervalo [0, pi],usando los mtodos sigientes mtodos:

1. Regla trapezoidal simple

2. Regla trapezoidal compuesta (4 intervalos)

3. Regla de Simpson 1/3

4. Regla de Simpson 1/3 compuesta (4 intervalos)

5. Cuadratura de Gauss-Legendre con 2 puntos





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