m.matematica ii

7/25/2019 m.matematica II

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INTRODUCCION

La presente Gua de Ejercicios y Problemas de Matemtica II para el estudiante

representa uno de los objetivos de mejora continua que la Coordinacin Acadmica y el rea

de Matemtica vienen realizando en cada semestre acadmico. Su elaboracin est

decididamente orientada a incrementar la calidad del proceso de enseanza-aprendizaje de la

Asignatura de Matemtica II, en la Unidad Acadmica de Estudios Generales.

Esta Gua que se presenta, contiene ejercicios y problemas de aplicacin de cada una

de las sesiones de aprendizaje que se realizarn en el presente semestre acadmico 2013 - I,

por lo que est dividida en tres unidades, de acuerdo al silabo correspondiente. Estas unidadesson: Matrices, Determinantes y Sistemas de Ecuaciones Lineales, Lmite y Continuidad de una

Funcin Real de Variable Real y, Derivadas e integrales.

Es nuestra intencin y propsito, que la presente gua sea en un instrumento bsico de

trabajo para el estudiante, por tanto es indispensable la consulta permanente con la bibliografa

recomendada. Asimismo, esperamos que contribuya a la formacin profesional y acadmica de

cada uno de los estudiantes de Estudios Generales que cursan la Asignatura de Matemtica II,

as como tambin el de mejorar los procesos de enseanza aprendizaje.

La Coordinacin del rea de Matemtica


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MAT EMT ICA II SEMESTRE ACADMICO 2014 -I

01

SEMANA 1

MATRICES

DEFINICIN

Una matriz es un arreglo rectangular de elementosija dispuestos en filas y columnas. Estos

elementos o entradas son encerrados entre corchetes. A las matrices se les simboliza con las

letras maysculas , ,A B C, etc.

Representacin General:

11 12 1

21 22 2

1 2

.......

.......

.

.

.......

n

n

mnm m mxn

A

a a a

a a a

a a a

Orden de una matriz

El orden de una matriz queda determinado por el nmero de filas y columnas que tenga la

matriz.

Si, [ ]ij m n

A a es una matriz , entonces i= 1 ; 2 ; 3 ; ; m, y j= 1 ; 2 ; 3 ; ; n.

determinan el orden, que en este caso es m x n . Los subndices indican la posicin del

elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la columna (j). Por

ejemplo el elemento12

a est en la fila 1 y en la columna 2.

CONSTRUCCIN DE MATRICES

EJERCICIOS:

Construir las siguientes matrices:

1)22xij

cC = 2)

3) jii

jiji

aA xij ;23

,

22 4) B = [bij]3x3 /bij =


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02

5)3 3

3 ,[ ] /

2 ,ij ijx

j i i jC c c

i j i j 6)

jii

jicC

xij ;2

,7

22

7) A=(aij)

32x/

( , ) ,

,

j i

ij

Min i j i ja

j i i j 8)

2

3 3

( , ),( ) ,

( , )1 2 ,

j ii j x

Max i j i jB b i j i j

Max i ji j

9)

jisiji

jisii

jisiji

xijaA

;

;12

;

33 10)

2 3ij xE e /

i

i jij

j

j ; i j

e ; i j

i ; i j

IGUALDAD DE MATRICES

Las matrices [ ]ij m n

A a y [ ]m nij

B b son iguales, si y solo si tienen el mismo orden y

sus entradas correspondientes son iguales.

ij ijA B a b , para todo ,i j

EJERCICIOS:

Si las matrices A y B son iguales, entonces:

1. Calcule: E s m p si: A =413

52

pm

psms

y B =4127

1258

2. Calcule:1

5

z

yxE si:A =

72

53

yx

zxzy

y B =78

12527

3. Calcule:z

yxE si: A=B;

jii

jijiaA

xij ;2

,

22

y 322xzyx

yxB

4. Calcule:1

2E xzz

si:2 2

[ ]ij x

A a / a ij =,

2 ,

i j i j

i i j y

3

2 2

x

x yB

x y z


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03

TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ

La transpuesta de una matriz A se obtiene al intercambiar las filas por las columnas y se

denota TA . El orden original es mxny el orden de TA es nxm.

Propiedades

( )T TA A

( )T T TA B A B

( )T Tk A k A

MATRICES ESPECIALES

Matriz Fila: Es aquella matriz que tiene solo una fila.

Matriz Columna: Es aquella matriz que tiene solo una columna.

Matriz Cero o Nula: Es aquella matriz cuyos elementos son todos iguales a cero.

Matriz Cuadrada: Es aquella matriz que tiene el mismo nmero de filas que de columnas y sedenota

nA . En una matriz cuadrada de orden n, las entradas nnaaaa ,......,,, 332211 forman la

diagonal principal.

Matriz Diagonal: Es aquella matriz cuadrada donde todas las entradas que se encuentran fuera

de la diagonal principal son ceros.

Matriz Escalar: Es una matriz diagonal, donde todas las entradas que pertenecen a la diagonal

principal son iguales.

Matriz Identidad: Es una matriz diagonal donde todas las entradas que pertenecen a la

diagonal principal son iguales a uno.

Matriz Triangular Superior: Es una matriz cuadrada, donde todas las entradas debajo de ladiagonal principal son ceros.

Matriz Triangular Inferior: Es una matriz cuadrada, donde todas las entradas por encima de la

diagonal principal son ceros.

Matriz Simtrica: Es una matriz cuadrada que cumple: TA A .

Matriz Antisimtrica: Es una matriz cuadrada que cumple: TA A . En una matriz

antisimtrica, los elementos de la diagonal principal son todos igual a cero.


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04

EJERCICIOS:

1. Si:

05

32

y

zxA es una matriz nula, calcule E x y z.

2. Si:

021z30

0410-2y

416-2

x8

z

A es una matriz diagonal, halle los valores de , ,x y z

3. Si:

72534

6100

044

yxdc

ba

bayx

M es una matriz escalar, halle:

yx

cbdE

2

4. Si:

522

32101

2

2

yy

xyx

A es una matriz simtrica, halleyx

yxE

32

5. Si:

( )2 0.25 3

2 4

1/ 243 14 0

x y

xA z yz es una matriz simtrica, calcule:2 2

2

x yE

z

6. Si:

4 2 5

5 12 243

2 3 4y z

x y

x y

A es una matriz simtrica, calcule 2 3E x y z

7. Halle los valores de a, b y c, si

0 1 3

10 1

2 3 0

Aa

b c

es antisimtrica.

8. Si:

035

1/27-12

251-16-1

zxzy

yxba

ba

A es antisimtrica, calculeba

zyxE

2

9. Si:

5

5 9

6 3 0

a b d c

A c

a

, es antisimtrica, calcule:a b c

dE


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05

10. Sea M la matriz antisimtrica dada por:

( )

3 1

aa m n m n

M p b m n

c

, Calcule:

E ma nb p c

OPERACIONES CON MATRICES

ADICIN DE MATRICES

Si ijA a y ijB b son matrices de orden m xn,entonces la suma A B es la matriz

de orden m x n, que se obtiene sumando las entradas correspondientes de A y B .

MULTIPLICACIN DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR

Si A es una matriz de orden mxny kes un nmero real (escalar), entonces la matriz k A ,

tiene el mismo orden mxn y se obtiene al multiplicar cada entrada por k.

Propiedades

Sean A , B , C y O matrices del mismo orden, O es la matriz nula y k, 1k , 2k son

nmeros reales:

1. A B B A 5.1 2 1 2

( )A Ak k k k A

2. ( ) ( )A B C A B C 6.1 2 1 2

( ) ( )Ak k k k A

3. O OA A A 7. O OA

4. ( )A Bk kA kB 8. O Ok

SUSTRACCIN DE MATRICES:

Dado que ( 1)B B , se define: ( )A B A B

MULTIPLICACIN DE MATRICES

Sea A una matriz de orden mxn y B una matriz de orden nxp, entonces el producto AB

es la matriz Cde orden m xp cuyas entradas ijc , se obtienen al sumar los productos de las

entradas de la fila i de la matriz A , con sus respectivas entradas de la columna j de la

matriz B .


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06

Propiedades

1. ( ) ( )A BC AB C 3. ( )A B C AC BC

2. ( )A B C AB AC 4. ( )T T T

AB B A

EJERCICIOS:

1. Un fabricante de zapatos para nios, damas y caballeros los produce en color negro, blanco

y gris. La capacidad de produccin (en miles de pares) en la Planta de Santa Anita est

dada por la siguiente matriz:

183020124440

6010080

A

La produccin en la Planta de la Victoria est dada por la matriz:

81620

440460

563236

B

a) Halle la representacin matricial de la produccin total de cada tipo de zapatos en

ambas plantas.

b) Si la produccin en Santa Anita se incrementa en un 50% y de la Victoria en un 25%,hallar la matriz que represente la nueva produccin total de cada tipo de calzado.

2. Un fabricante de polos para nios, damas y caballeros los produce en color negro, rojo yverde. La produccin (en miles de polos) en la fbrica de Ate est dada por la siguientematriz:

81628

18424

803070

A

La produccin en la fbrica de la Villa el Salvador est dada por la matriz siguiente:

806020

104010

203040

B

Negro

GrisBlanco

Negro

Gris

Blanco

Negro

Rojo

Verde

Nios Damas Caballeros

Negro

Rojo

Verde





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07

a) Determine la representacin matricial de la produccin total del fabricante.

b) Halle la produccin total de polos color rojo para nios.

c) Halle la produccin total de polos color Negro para damas.d) Si la produccin en la fbrica de Ate disminuye en un 50% y en la fbrica de Villa el

Salvador se incrementa en un 30%, hallar la matriz que represente la nueva produccin

total.

3. La empresa distribuidora de autos Toyota Mitsui de San Borja presenta las ventas, del

mes de Diciembre, de los autos Toyota modelo Yaris y Corolla mediante la matriz A

siguiente:

246535

807020B

Mientras que las ventas en la Av. La Marina est representada por la matriz B

siguiente:

25 50 40

30 20 35B

a) Indique el modelo y color de auto ms vendido en cada local.

b) Escriba una matriz que represente la venta total de ambos locales e indique el

modelo y color de auto que menos se vendi en el mes de Diciembre.

4. Juan y Manuel son dos hermanos empresarios de la zona industrial de Villa el Salvador,

fabricantes de camas de una plaza, plaza y media y dos plazas en colores blanco, cedro y

nogal. La produccin mensual de la fabrica administrada por Manuel se representa mediante

la matriz M siguiente:

Una plaza Plaza y media Dos plazas

123216

211510

202418

M

Mientras que la produccin mensual de la fbrica administrada por Juan est dado por la

matriz N siguiente:

Yaris

Corolla

Color Negro Color rojo Color Plata

Color Negro Color rojo Color Plata

Yaris

Corolla

Blanco

Cedro

Nogal


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08

Una plaza Plaza y media Dos plazas

193019

281013

252014

N

a) Indicar el modelo y color de cama, que es ms fabricada, por cada uno de los hermanos.

b) Halle la matriz que representa la produccin total mensual.

c) Halle la produccin total de camas de dos plazas en color cedro.

d) Halle la produccin total de camas de una plaza en color blanco.

5. Una fabrica ensambladora de automviles de los modelos M1, M2 y M3, en sus dos

plantas A y B ubicados en la ciudad de Tacna. Los ingresos mensuales en dlares en

el mes de diciembre es representado por la siguiente matriz:

M1 M2 M3

150001000019000

250002000000014

Mientras que los costos de produccin mensuales en dlares del mes de diciembre es

como se muestra en la siguiente matriz:

M1 M2 M3

8000700013000

15000100000008

a) Matricialmente, halle la utilidad en la planta A.

b) Matricialmente, halle la utilidad en la planta B.

c) Halle la matriz utilidad.

6. Dadas las matrices5 7

2 4A , AIB x223 y BAC 2 .

Calcule:

a) ( )C B A b) ( ) ( 2 )T TC B C

7. Si 222 xIA ,31-

25B , TBC 3 y

22

13D ,

Halle: TABDCBA )(

Blanco

CedroNogal

Planta A

Planta B

Planta A

Planta B


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09

8.Si,30

21A

21

32B y 2 23 x BC I . Calcular:

TTTACABAP )(2

9.Si14

32A y

03

1-2TB , determine la matriz Xsi se cumple:

2 3 ( ) 5 4 ( 2 )T T T T A A B X A B

10.Si12

2-3TA , 222 xIB y

10

14C , determine la matriz X si se cumple:

2 3 ( ) 3 3T T TBC A C X B A

11.Dadas las matrices: 2 1 1 3,3 3 1 2

A B , halle la matriz X si se cumple:

2 22 22 3 , ,X A B Y A B Z A B A B

12.Halle la matriz Xen: ( 3 ) 3 ( )T T T T A B X A AB C. Si

3 7 33

3

49 7

A

,1 4

2 3

B

y 3T TC B A I 22x

13.Un agente de bolsa vendi a un cliente 220 acciones del tipo A, 160 del tipo B, 150 del tipo

C y 260 del tipo D. Si las acciones se venden a $ 10; $22, $ 40 y $ 50 por accin

respectivamente, determine el valor total de la transaccin comercial en forma matricial.

14.Un comerciante de TV LED tiene 12 TV de 20, 15 de 32, 7 de 42 y 14 de 47. Los TV de

20 tienen un precio de S/. 920, los de 32a un precio de S/. 1840, los de 47 a S/. 3580 y los

de 42a S/. 2350. Exprese el inventario en forma matricial y diga el precio total.

15.En una tienda de ropa deportiva para hombres, se venden tres modelos de buzos: modelo A,

modelo B y modelo C. Si los precios por cada modelo son S/. 300, S/. 420 y S/. 360

respectivamente, calcule en forma matricial, la recaudacin total por la venta de 30, 45 y 60

buzos de cada modelo respectivamente.

16.En una eleccin regional un grupo contrato los servicios de una empresa de relaciones

pblicas para promover a su candidato mediante tres formas: por telfono, llevando volantes a

la casa y mediante cartas. El costo por cada contacto establecido se obtiene mediante la matriz:


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010

Costo por contacto

$ 0,20

$ 0,65

$ 0,25

El nmero de contactos establecidos en dos ciudades adyacentes, se calcula mediante lamatriz:

Telfono volante carta

230 160 120

150 300 140

a) Halle la cantidad total que se gast en la ciudad A

b) Halle la cantidad total que se gast en la ciudad B

17.Una empresa fabrica billeteras, carteras y maletines en dos plantas A y B. Las unidades

vendidas en el mes de Febrero se muestran en la siguiente matriz:

Billeteras Carteras Maletines

250 120 110

130 350 150

Las utilidades obtenidas por cada unidad vendida se muestra en la matriz :

Planta A Planta B

$3 $4

$8 $9

$10 $12

Mediante el producto de matrices, calcule:

a) La utilidad obtenida en la planta Ab) La utilidad obtenida en la planta B.

18. Un fabricante de carteras billeteras y maletines los produce en cuero color negro, marrn ygris. La capacidad de produccin (en miles) en sus plantas de Ate (A) y San Luis (L) est dadapor las siguientes matrices:

Planta A

Planta B

Billeteras

Carteras

Maletines

Ciudad A

Ciudad B

Telfono

Volante

Carta


15/104


011

20 25 20

30 15 10

10 5 20

A 30 30 20

40 20 10

20 40 20

L

Elabore una matriz que represente la produccin total del fabricante en ambas plantas,si la produccin en Ate disminuye 40% y se incrementa en lade San Luis en 30%.

SEMANA 2DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

El determinante de una matriz es un nmero real asociado a una matriz cuadrada A, que se

denota por: A .

DETERMINANTE PARA UNA MATRIZ DE ORDEN 2

a bA

c d

a bA ad bc

c d, ejemplo:

2 3( 2 )(5) ( 3)( 4 )

4 52A

DETERMINANTE PARA UNA MATRIZ DE ORDEN 3 (REGLA DE SARRUS)

a b c

A d e f

g h i

a b c a b

A d e f d e aei bfg cdh ceg afh bdi

g h i g h

Ejemplo:2 1 3

0 4 5

3 2 0

A

Propiedades

1. Si una matriz A tiene una fila o columna cuyos elementos son todos ceros, entonces:

0A

2. Si una matriz A tiene dos filas o columnas iguales, entonces: 0A

36 20 0

2 1 3 2 1 0 4 5 0 4 (0 15 0) ( 36 20 0) 41

3 2 0 3 2

0 15 0

A

Negro

Marrn

Gris

Carteras Billeteras Maletines

Negro

Marrn

Gris

Carteras Billeteras Maletines


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012

3. Si una matriz A es triangular superior o inferior, entonces A es igual al producto de las

entradas de la diagonal principal.

4. Si k es una constante y A una matriz de orden n, entonces: nA Ak k

5. El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes

A B A B .

6. El determinante de una matriz es igual al determinante de su transpuesta TA A

7. Si A es una matriz invertible: 11

AA

MTODO DE CRAMER PARA RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES

Dado el sistema11 12 1

21 22 2

a x a y b

a x a y b,

Denotamos: 11 12

21 22

a aA

a a 1 12

2 22

x

b aA

b a 11 1

21 2

y

a bA

a b

luego: xAxA

yAyA

siempre que 0A

Este mtodo es vlido para cualquier sistema de n ecuaciones lineales con n incgnitas,

siempre que 0A

CLASIFICACIN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES:

De acuerdo a sus soluciones, pueden ser:

1. Sistema Compatible. Es aquel sistema que tiene solucin y puede ser:a) Determinado. Cuando tiene solucin nica.

b) Indeterminado. Cuando tiene Infinitas soluciones (solucin paramtrica).

2. Sistema Incompatible. Es aquel que no tiene solucin.

Atendiendo a sus trminos independientes:

a) Homogneos. Cuando todos los trminos independientes son nulos.

b) No Homogneos. No todos sus trminos independientes son nulos.


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013

Ejemplo 1

Resolver por el mtodo de Cramer:2 5 11

3 4 6

x y

x y

Solucin:

2 58 15 7

3 4A ,

11 544 30 14

6 4xA , luego

14

7x 2x

2 1112 33 21

3 6yA , luego

21

7y 3y

Ejemplo 2

Resolver el sistema:

2 3

3 2 2 20

3 5 29

x y z

x y z

x y z

utilizando el mtodo de Cramer.

Solucin:

2 1 1 2 1

3 2 2 3 2 20 2 9 2 12 15 9 5 14

1 3 5 1 3

A

3 1 1 3 1

20 2 2 20 2 30 58 60 58 18 100 148 176 28

29 3 5 29 3

xA

2 3 1 2 3

3 20 2 3 20 200 6 87 20 116 45 107 51 56

1 29 5 1 29

yA

2 1 3 2 1

3 2 20 3 2 116 20 27 6 120 87 69 27 42

1 3 29 1 3

zA


18/104


014

luego:28

214

xx

A

A ;

564

14

yy

A

A ;

423

14

zz

A

A

EJERCICIOS:

1. Calcule los siguientes determinantes:

a)

2 1 5

3 4 1

0 6 1

b)

4 2 3

1 4 5

3 1 7

c)

5 0 2

3 2 4

0 1 6

d)

3 2 1

0 5 2

2 3 7

e)

4 2 5

1 3 6

3 1 2

f)

7 1 3

5 3 4

2 6 5

g)

2 1 3

4 4 1

2 6 5

h)

6 1 2

2 3 5

2 8 3

2. En cada caso halle el valor de x si se cumple que:

a)2 3 4 1

103 2 5

x x

x x b)

42

7

x x

x c)

4 0 0

8 9 0 220

9 7 5

x

d) 0a x b

b c x e).

1 0 0

3 0 3

5 6 4

x

x

f. )

1 6 2

0 2 7 108

0 0 1

x

x

g)

1 2 3

1 3 0

1

x

x x

h)

2 6 5

1 2 3 12

1x x

i)

2 1

3 2 5 53

2 4

x

x

3. Utilizando el mtodo de Cramer resuelva los siguientes sistemas:

a)12

1953

yx

yx b)

12

1953

yx

yx c

2 3 4

4 6

x y

x y

d)2 5 25

4 7 1

x y

x y e)

7 8 26

6 11 43

x y

x y f)

9 5 7

7 4 37

x y

x y


19/104


015

Calcular el valor de x en: Calcular el valor de zen:

g).

30523

34752

38645

zyx

zyx

zyx

h)

633

1025

1132

zy

zyx

zyx

Calcular el valor de y en: Calcular el valor de x en:

i) .

zyx

zyx

xzy

534

542

22

j).

34

532

02

zyx

zyx

zyx

Calcular el valor de z en: Calcular el valor de y en:

k) .

3 2 1

3 2 43

4 28

x y

x z y

x z

l)

3 2 1

4 28

3 2 43

x y

z x

x z y

Calcular el valor de x en: Calcular el valor de zen:

m) .

0 ,2 0,3 0,4 2,7

0,3 0,1 0,5 3,1

0,7 0,2 0,4 4

x y z

x y z

x y z

n)

7 7 7 0

13 13 2 13 3 13

5 3 5 2 5 3 5

x y z

x y z

x y z

APLICACIONES

Resuelve, utilizando el mtodo de Cramer:

1. La empresa Textiles del Per produce pantalones y faldas, con un costo de produccin

unitario de S/. 28 y S/. 24 respectivamente y Sabiendo que el costo total mensual es de S/.

9000 .Si la empresa proyecta fabricar 500 prendas en total. Halle la cantidad de chompas y

camisas que se deba fabricar para obtener una utilidad de S/. 4200.

2. Al estadio asistieron 6350 personas y se recaud $ 105500,00. Si el precio de la entrada a

preferencial es de $20 y la popular $ 10, Cuntas personas asistieron a preferencial?


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016

3. La empresa Lanificios del Per tiene costos fijos de S/. 5000, produce pantalones y

camisas siendo los costos unitarios de produccin de S/. 40 y S/. 30 respectivamente. Si

los costos totales son de S/. 30 000 y se desean producir 700 prendas entre pantalones y

camisas. Calcule el nmero de pantalones y camisas a producir.

4. Un negociante compro acciones de tipo A y B .Cada accin de tipo A la adquiri S/. 150 y

cada accin de tipo B a S/. 200. Si se sabe que compr 200 acciones entre ambos tipos y

que invirti S/. 34000. Cuntas acciones de cada tipo adquiri el negociante?

5. Una empresa que fabrica artculos de cuero, tiene un costo fijo mensual de S/.10000. Si

produce carteras y correas, con un costo de produccin unitario (mano de obra y material)

de S/. 40 y S/. 30 respectivamente y con un costo total mensual fue de S/. 20000 y, adems

se fabrican 300 artculos (entre carteras y correas). Calcule la cantidad de carteras y

correas producidas en el mes.

6. Una empresa exportadora de artculos de lana de vicua tiene un costo fijo mensual de

S/. 5000. Sabiendo que produce chompas y faldas donde el costo de produccin es de

S/. 80 y S/. 70 respectivamente. Adems el costo total mensual es de S/. 15600. Cada

chompa se vende S/. 200 y cada falda a S/. 180 y la venta total del mes es de S/. 26800.

Calcule la cantidad de chompas y faldas producidas en el mes.

7. Un taller de libros realiza empastado y anillados para empastar cada libro necesita un

minuto de corte y 3 minutos para armarlo y para anillar cada libro necesita un minuto de

corte y 2 minutos para armarlo. Si solamente dispone de 8 minutos para corte y 20 minutospara armarlo, determine la cantidad de libros de cada tipo que se debe producir en ese

momento.

8. Una fundidora produce dos esculturas diferentes de bronce. El departamento de fundicin

dispone de un mximo de 136 horas de trabajo por semana y el departamento de acabado

tiene un mximo de 124 horas de trabajo por semana. La escultura A necesita 12 horas para

fundicin y 8 horas para acabado; y la escultura B necesita 8 horas para fundicin y 12

horas para acabado. Si la planta debe funcionar a su mxima capacidad, cuntas

esculturas de cada tipo debe producir cada semana?

9. Escritorios Nacionales tiene plantas para la produccin de escritorios en Surco y en La

Molina. En la planta de Surco, los costos fijos son de $ 16000 por ao y el costo de

produccin de cada escritorio es de $ 90. En la planta de La Molina, los costos fijos son de

$ 20000 por ao y el costo de produccin de cada escritorio es de $ 80. El ao siguiente la

compaa quiere producir en total de 800 escritorios. Determine la produccin de la planta

de La Molina para el ao prximo si el costo total de cada una debe ser el mismo.


21/104


017

10. Una fbrica tiene plantas para la produccin de puertas en dos distritos diferentes de Lima:

Los Olivos y San Juan de Miraflores. En la planta de los Olivos los costos fijos son de

S/.20000 y el costo de produccin es de S/ 150 soles por cada puerta. En la planta de SanJuan de Miraflores los costos fijos son de S/ 25400 y el costo de produccin es de S/.180

por cada puerta. El ao siguiente la compaa quiere producir 520 puertas. Determine la

produccin de cada planta para el prximo ao, si el costo total de cada una debe ser el

mismo.

11. Una empresa tiene dos plantas para la fabricacin de mochilas. Una esta ubicada en La

Victoria y la otra en Los Olivos. En la planta de la Victoria, los costos fijos mensuales

ascienden a $ 5900 y el costo unitario de produccin a $ 25. En la planta de los Olivos, los

costos fijos son de $ 9000 y el costo unitario de produccin es de $ 30. Si se desea fabricar1400 mochilas mensuales, halle la produccin de cada planta, sabiendo que los costos

totales mensuales en cada planta deben ser iguales.

SEMANA 3

MATRIZ INVERSA. SISTEMA DE ECUACIONES

MATRIZ INVERSA

Definicin. Una matriz cuadrada A se dice que es invertible (o no singular), si existe una

matriz denotada por1

A tal que:1 1

A A A A I. A la matriz1

A se le llama matriz

inversa de A .

REDUCCIN DE MATRICES

Consiste en reducir una matriz, para eso primero veamos qu caractersticas tiene una matriz

reducida.

Una matriz se dice que esmatriz reducida,si satisface lo siguiente:

Si una fila no consiste solamente de ceros, entonces la primera entrada diferente de cero enla fila, llamada entrada principal, es 1; mientras que todas las dems entradas de sucolumna, son ceros.

En cada fila, la primera entrada diferente de cero est a la derecha de la primera entradadiferente de cero de cada fila arriba de l.

Todas las filas que consistan nicamente de ceros estn en la parte inferior de la matriz.


22/104


018

Para transformar a una matriz a su forma reducida, se ejecutan Operaciones elementales

sobre filas de la matriz, estas son:

1 x yF F : Intercambio de filas. Se cambian la fila xF por la fila yF .

2 xk F : Multiplicacin de un escalar por una fila. El nmero real k diferente de cero,

multiplica a la fila xF .

3 x yF Fk : Suma de k veces una fila a otra fila. K vecesla fila xF se suma a la fila yF .

( La fila xF no se altera).

OBSERVACIN: Cuando una matriz pueda obtenerse a partir de otra por una o ms

operaciones elementales sobre filas, decimos que las matrices son

equivalentes.

Ejemplo:

Reducir la matriz

Solucin:

1098

795

442

1)2

1( F

1098

795

221

21)5( FF 1098

310

221

31)8( FF

670

310

221

2)1( F

670

310

221

12)2( FF

670

310401

32)7( FF

1500

310401

3)15

1( F

100

310

401

13)4( FF

100

310

001

23)3( FF

100

010

001

2 4 4

5 9 7

8 9 10

A


23/104


019

Por lo tanto la matriz reducida de

1098

795

442

es

100

010

001

.

EJERCICIOS:

1. Determinar si cada matriz que se muestra a continuacin es reducida o no (justifique su

respuesta):

a.30

02 b.

10

21 c.

00

01 d.

120

001

e. 01102001

f. 410001

g. 01102001

h. 100

001

i.000

010

201

j.0000

1000

0010

2. Haciendo uso de las operaciones elementales, reducir las siguientes matrices:

a. 01

10

b) 0110

c)121

23

0

d)420

100 e)

321

642

693

f)101

011

300

Matriz Inversa

Definicin. Si A y B son dos matrices cuadradas tal que AB = BA = I, entonces A y B se

denominan matrices inversas, es decir, A es la inversa de B, y B es la inversa de A.

La inversa de la matriz A se simboliza como: A-1

Clculo de la matriz inversa por el mtodo de Gauss

Sea A, una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denota por

A-1, se sigue los siguientes pasos:


24/104


020

1 Se construye una matriz de la forma M = [ A | I ]; es decir, por la matriz de la cual se

desea hallar su inversa y por la matriz identidad. A esta matriz se le denomina matriz

aumentada.

2 Utilizando las operaciones elementales sobre renglones (mtodo Gauss), se transforma lamatriz A, en la matriz identidad: M = [ I| A-1]. La matriz que resulta en el lado derecho, ser lamatriz inversa de A.

Ejemplo 1.

Calcular la matriz inversa de3 7

1 2A

Solucin:

Formando la matriz aumentada de A : 3 7 1 01 2 0 1

A I

Aplicando operaciones elementales sobre fila:1 2 0 1

3 7 1 0

1 2 0 1

0 1 1 3 1 0 2 7

0 1 1 3

1

I A

Por tanto: 12 7

1 3A es la matriz inversa de A .

Ejemplo 2.

Calcular la matriz inversa de

1 1 3

2 1 4

3 2 2

A

Solucin:

Formando la matriz aumentada de A :

1 1 3 1 0 0

2 1 4 0 1 0

3 2 2 0 0 1

A I

3F1+F2

F1 F2

2F2+F1


25/104


021

Aplicando operaciones elementales sobre fila:

1 1 3 1 0 0

0 1 2 2 1 0

0 5 11 3 0 1

1 0 1 1 1 0

0 1 2 2 1 0

0 0 1 7 5 1

1 0 1 1 1 0

0 1 2 2 1 0

0 0 1 7 5 1

1 0 0 6 4 1

0 1 0 16 11 2

0 0 1 7 5 1

1I A

Por tanto: 1

6 4 1

16 11 2

7 5 1

A es la matriz inversa de A .

Ejemplo 3.: Consideremos la matriz010

11

011

A 0 de orden 3x3

Construyendo la matriz aumentada, con la matriz identidad de orden 3:

100

010

001

010

101

011

Efectuando operaciones sobre renglones hasta transformar la matriz A en una matrizidentidad:

100

010001

010

101011

21)1( FF

100

011001

010

110011

2)1( F

100

011001

010

110011

12)1( FF

100

011

010

010

110

101

32)1( FF

111

011

010

100

110

101

13)1( FF

111

011

101

100

110

001

2F1+F2

3F1+ F3

F2+F1

5F2+F3

F3

F3+F1

2F3+F2


26/104


022

23)1( FF

111

100

101

100

010

001

luego, lamatrizinversaes:

111-

1001-011-A

Propiedades

a) ( I )-1 = I

b) (AB) -1 = B -1 A -1

c) (A-1) -1 = A

d) (k A)-1

= k-1

A-1

e) (A T) -1 = (A -1) T

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Resolucin por el Mtodo de la Matriz Inversa

El sistema21

a11

a

222

112byax

byax, se puede expresar como

2

1

2221

1211

b

b

y

x

aa

aa

Escribmoslo como: AX = BMultiplicando a ambos miembros por A -1(por la izquierda) A-1AX = A-1B

IX = A-1B

de donde: X = A-1B

Este procedimiento es vlido para cualquier sistema de n ecuaciones lineales con n

incgnitas, siempre y cuando exista A-1.

Este procedimiento es vlido para cualquier sistema de n ecuaciones lineales con n

incgnitas, siempre y cuando exista 1A .

Ejemplo:

Resolver el sistema5 23

2 11 49

x y

x y, entonces


27/104


023

Hallando A-1

10

01

112

5121)2( FF

12-

01

10

5112)5( FF

12-

5-11

10

01

Luego:

3

8

49

23

12

511

y

x, esto quiere decir que: x = 8 , y = 3

EJERCICIOS:

1 Dadas las matrices siguientes:

Calcular:

a) AB y BA. Se puede decir que A y B son inversas?

b) CD y DC. Se puede decir que C y D son inversas?

02. Calcular la inversa de las siguientes matrices:

03. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, por el mtodo de la inversa.

a)

5 2 46

2 19

x y

x y b)

8 5 66

3 2 25

x y

x y c)

6 5 50

3 2 23

x y

x y

d)7 4 43

3 5 52

x y

x y e)

4 10

2 7 18

x y

x y f)

9 5 22

3 2 7

x y

x y

g)

35

23

42

zyx

zx

zyx

h)

0

332

1046

zyx

zyx

zyx

i)

34

532

02

zyx

zyx

zyx

120

142101

,23

56,

12

26,

21

74,

23

35EDCBA

18126

100

317

110

102

111

,

106

730

015

,

963

241

642

HyHGF

0111

1163,

2153,

3152 DyCBA


28/104


024

04. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, por el mtodo de la inversa.

a)

3 10

2 4 20

3 2 2 28

x y z

x y z

x y z

, sabiendo que

157

21116

146

223

412

3111

b)

3 2 2 15

2 10

2 16

x y z

x y z

x y z

, sabiendo que

111

745

423

211

112

2231

APLICACIONES

Resuelva los siguientes problemas, utilizando el mtodo de la inversa de matrices.

1. Un librero vendi libros de dos clases distintas, unos a S/.35 la unidad y los otros a S/.50la unidad. Si el total de la venta ascendi a S/.4920, cuntos libros vendi de cada clasesi en total vendi 120 libros?

2. El costo de admisin de un concierto de msica popular fue de $162 para 12 nios y 3adultos. La admisin fue de $122 para 8 nios y 3 adultos en otro concierto de msica.Cunto fue la admisin por cada nio y por cada adulto?

3. A una funcin de teatro ingresaron 800 personas con boleto pagado. Los precios de laentrada fueron: $40 general y $20 nios. Si la taquilla fue de $20000, cuntos nios

ingresaron a dicha funcin?

4. Una refinera produce gasolina con y sin azufre. Cada tonelada de gasolina sin azufrerequiere 5 minutos en la planta de mezclado y 4 en la planta de refinacin. Por suparte, cada tonelada de gasolina con azufre requiere 4 minutos en la planta de mezcladoy 2 en la planta de refinacin. Si la planta de mezclado tiene 3 horas disponibles y la derefinacin 2, cuntas toneladas de cada gasolina se deben producir para que lasplantas se utilicen al mximo?

5. Una fbrica de muebles tiene un costo fijo mensual de $500, produce mesas y roperos; elcosto de produccin unitario (mano de obra y material) es de $300 y $400respectivamente. Si el costo total es de $10500 y se fabricaron 30 muebles entre mesas yroperos, calcule la cantidad de mesas y roperos producidos en un mes.

6. En una empresa obtienen $6 de beneficio por cada envo que hacen; pero si el envo esdefectuoso, pierden por $8. En un da hicieron 2100 envos, obteniendo $9688 debeneficio. Cuntos envos vlidos y cuntos defectuosos hicieron ese da?

7. Una empresa fabrica Pisco y Vino. Por cada unidad de Pisco que vende la ganancia esde $ 4 y por cada unidad de Vino que vende la ganancia es de $ 6. Se vendieron 330unidades entre Vino y Pisco, siendo la ganancia total $ 1720. Cuntos Piscos y Vinos

se vendieron?.


29/104


025

8. La Texas Electronics Inc. (TEI) produce tres nuevos modelos de computadoras: 1, 2 y 3.Como parte del proceso de elaboracin, estos productos pasan por la planta tcnica y porla planta de ensamblaje. Los tiempo empleados por unidad en cada una de estas plantasse muestran en la siguiente tabla:

Modelo Planta Tcnica Planta de ensamblaje

1 30 minutos 0,5 hora

2 12 minutos 2 horas

3 36 minutos 2 horas

Tiempo total empleado en

un mes en cada planta

116 horas 370 ras

Cuntas unidades de cada modelo produjo la empresa si obtuvo una utilidad mensual de37 500 dlares, sabiendo que las ganancias obtenidas por la venta de los modelos 1, 2 y 3fueron de 200, 50 y 100 dlares por unidad, respectivamente? Asumir que se vendi toda laproduccin.

9. Un fabricante produce 3 artculos A, B y C. La utilidad por cada unidad vendida es de $1,$2 y $3 respectivamente. Los costos fijos son de $17000 por ao y los costos deproduccin por cada unidad son $4, $5 y $7 respectivamente. El ao siguiente seproducirn y vendern un total de 11000 unidades entre los 3 productos y se obtendr unautilidad total de $ 25000. Si el costo total ser de $80000, cuntas unidades de cada

producto debern producirse el ao siguiente?

10. Micaela desea cubrir sus requerimientos vitamnicos semanales de exactamente 13unidades de vitamina A, 22 de vitamina B y 31 de vitamina C. Existen disponibles tresmarcas de cpsulas vitamnicas en el mercado. La marca I contiene 1 unidad de cada unade las vitaminas A, B y C por cpsula; la marca II contiene 1 unidad de vitaminas A, 2 de By 3 de C, y la marca III contiene 4 unidades de A, 7 de B y 10 de C. Si las cpsulas de lamarca I cuestan 50 cntimos cada una, las de la marca II cuestan 70 cntimos cada una ylas de la marca III, 2 soles cada una. Qu combinacin de cpsulas de las marcas I, II y IIIproducir exactamente las unidades de vitaminas deseadas?

11. Una tienda comercial ofrece dos modelos diferentes de memorias USB B1y B2. El preciode venta del modelo B1es de $30 y del modelo B2es de $40. Si en el mes de Enero la

tienda vendi 400 memorias USB entre los dos modelos y su ingreso total en ese mes fue

de $15000, determine el nmero de memorias USB de cada tipo que se vendieron durante

el mes de Enero.

12. Una fbrica de muebles, que produce camas y modulares, tiene un costo fijo mensual de

$13000. El costo de produccin unitario (mano de obra y material) es de $800 y $700

respectivamente. Si el costo total mensual es de $50000 y se fabricaron 50 muebles entre

camas y modulares, determine la cantidad de camas y modulares producidos en un mes.


30/104


026

13. Una fbrica elabora dos productos A y B. Por cada unidad que vende de A la ganancia es

de $8 y por cada unidad que vende de B la ganancia es de $11. De la experiencia se ha

encontrado que puede venderse 25% ms de A que de B. Para el ao siguiente el fabricante

desea una ganancia total de $42000. Cuntas unidades de cada producto debe vender?

14. Una compaa tiene ingresos gravables por $ 312000. El impuesto a la Sunat es el 25% de

la parte que queda despus que el impuesto al Municipio ha sido pagado. El impuesto al

Municipio es el 10% de la parte que queda despus que el impuesto a la Sunat ha sido

pagado. Encuentre el monto pagado a la Sunat y al Municipio.

15. Un fabricante produce 3 artculos A, B y C. La utilidad por cada unidad vendida es de

$1, $2 y $3 respectivamente. Los costos fijos son de $17000 por ao y los costos de

produccin por cada unidad son $4, $5 y $7 respectivamente. El ao siguiente se

producirn y vendern un total de 11000 unidades entre los 3 productos y se obtendr una

utilidad total de $ 25000. Si el costo total ser de $80000, cuntas unidades de cadaproducto debern producirse el ao siguiente?.


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027

SEMANA 4

LMITES

NOCIN INTUITIVA DE LMITE

Es importante conocer el comportamiento de una funcin ( )f x , cuando los valores de la

variable independiente x , estn muy cerca de un nmero especificado que llamaremos 0x .

Haremos esto tabulando los valores de la funcin para valores de x cada vez ms cercanos al

nmero 0x .

Ejemplo Si

3 1

1

x

f x x

Observamos que el punto 0 1x no est en el dominio de la funcin. En la tabla adjunta

escribimos algunos valores para la variable independiente x , en el entorno de 1, y calculamos

los valores correspondientes de la funcin ( )f x :

1x 1x

x 0,95 0,99 0,995 0,999 1,001 1,005 1,01 1,05

xf 2,8525 2,970 2,9850 2,9970 3,0030 3,0150 3,0301 3,1525

De la tabla podemos observar que, mientras el valor de x se aproxima al nmero 1, el valor de

( )f x se aproxima al nmero 3.

Deducimos, intuitivamente, que el lmite de la funcin ( )f x cuando x tiende a 1; es 3.

Esto se simboliza:3

1

13

1lim

x

x

x

DEFINICIN INTUITIVA DE LMITE

El lmite de una funcin ( )f x ,cuando la variable x se aproxima a un valor dado 0x ,es el

nmero real L , (siempre que exista), al cual se aproxima la funcin, esto se simboliza:

( )lim0x xf x L , se lee: El lmitede ( )f x cuando x tiende a 0x es L


32/104


028

ALGUNOS LMITES BSICOS

Sean k, 0x nmeros reales y n un entero positivo. Entonces:

1.0

limx x

k k 2. 00

limx x

xx 3. 00

lim n n

x x

xx

PROPIEDADES DE LOS LMITES

Sean k, 0x nmeros reales y n un numero entero positivo y f , g funciones con lmites:

0

( )limx x

f x L y0

( )limx x

Mg x

Entonces:

1.0 0

( ) ( )lim limx x x x

Lf x f xk k k

2.0 0 0

( ) ( ) ( ) ( )lim lim limx x x x x x

f x g x f x g x L M

3.0 0 0


f x g x f x g x L M

4.0 0 0


f x g x f x g x L M

5.0

0

0

( )( )

( ) ( )

lim

limlim

x x

x xx x

f xf x L

g x Mg x , siempre que 0M .

6.

0 0

( ) ( )lim lim

n

n n

x x x x

f x f x L

7.00

lim limnn

nx x x x

f x f x L


33/104


029

FORMA INDETERMINADA: 00

Cuando en una funcin ( )f x reemplazamos la variable por un valor dado x0 y nos da la

forma indeterminada 0/0 , es posible calcular el0

( )limx x

f x ; previamente se debe factorizar o

racionalizar ( )f x con la finalidad de eliminar la indeterminacin.

Ejemplo 1 Calcular2

21

2

2 3limx

x x

x x

Solucin:2

21 1

( 1)( 2)2( 1)( 3)2 3

lim limx x

x xx xx xx x

1( 2) ( 3)limxxx

4

3

Por tanto:2

21

2 342 3

limx

x x

x x

Ejemplo 2 Calcular7

2 37

limx

xx

Solucin:7 7

2 3 2 3 2 37 7 2 3

lim limx x

x x x

x x x

22

7

2 3lim

( 7)( 2 3)x

x

x x

7

( 7)lim( 7)( 2 3)x

x

x x

7

1lim( 2 3)x x

6

1 Por tanto:

7

2 3 1lim7 6x

x

x


34/104


030

EJERCICIOS:

Calcular los siguientes lmites

1. 5lim2x 2.

5

3limxx 3. )25(lim2

2 xxx

4.2

2

3 1

2 1lim

y

y

y 5.

2

6

3lim

x

x

x 6.

2

22

3 2

4 3lim

x

x x

x x

7.2

2

3 10

11limx

x x

x 8.

2

23

5 24

12lim

x

x x

x 9.

1

8

3lim

x

x

x

Forma indeterminada00

10.12x--x

4x-lim

24x 11.

2 4

4

12lim

x

x

x x 12.

xx

xx

x 2

4lim

2

3

2

13.2

223

3 2

3 4 4lim

x

x x

x x 14.

2

2

4 4

2lim

x

x x

x 15.

2

2 4

9 20

3 4lim

x

x x

x x

16.2

2 2

2lim

x

x

x 17.

23

3

7 4

limx

x

x

18.1x+-1

x

0xLim

19.0

9 3

16 4lim

x

x

x 20.

37

22lim

2 x

x

x 21.

2

0

3

3 1 1limx

x x

x

22.2

22

5 6

3 10lim

x

x x

x x 23.

2

1

2

1limx

x x

x 24.

23

3

2 3lim

x

x

x x

25.0

2

4 2

9 3limx

x

x x 26.

4

2 2

1 3limx

x

x 27.

4

2 1 3

2 2limx

x

x

En los siguientes ejercicios, calcule la constante cde modo que el lmite exista. Para ese valorde cdeterminar el lmite.

a)2

21

21

limx

x x c

x b)

2

22

3 74

limx

x x c

x

c)2

22

56

limx

x x c

x x d)

2

24

2 8

limx

x x c

x x


35/104


031

4

6

2

y

x

e)2

23

42 15

limx

x x c

x x f)

2

22

54 12

limx

x x c

x x

LMITES LATERALES

Consideremos una funcin por tramos:

2 ; 2

( ) 34 ; 2

x si xf x

x si x

Podemos observar que cuando x se aproxima al nmero 2 por la izquierda ( 2)x , la funcin

se aproxima al nmero 4; esto se simboliza:

2( ) 4lim

xf x

Asimismo, cuando x se aproxima al nmero 2 por la derecha ( 2)x , la funcin se aproximaal nmero 6, esto se simboliza:

2( ) 6lim

xf x

DEFINICIN. Una funcin ( )f x tiene lmite en a si los lmites laterales en a son iguales;esto es:

Lxfax

)(lim Lxfxfaxax

)(lim)(lim

Verifique si existen los existen los siguientes lmites:

1.2 2 1; 1

( ) 4 1 ; 1

x si xf x

x si x a)

1

limx

f (x) b)1

limx

f (x) c)1

( )limx

f x

2.

2 4 ; 2

( ) 2

5 2 ; 2

xsi x

f x x

x si x

a)2

limx

f (x) b)2

limx

f (x) c)2

limx

f (x)

3.

2

2 ; 1

1( )

3 ; 1

8

x xsi x

xf x

xsi x

a)1

( )limx

f x b)1

( )limx

f x c)1

( )limx

f x


36/104


032

4.

3

2

8 ; 24

( )3 3 3; 2

2

xsi x

xf x

xsi x

x

a)2

( )limx

f x b)2

( )limx

f x c)2

( )limx

f x

5. Dado:

3

2

1; 2( )

3 ; 2

Ax si xf x

x x si x calcule el valor de A ,si existe

2( )lim

xf x .

6. Dado:

3 2

2

3 1 ; 1

( ) 1 ; 1

3 1 2

Bx x si x

f x xsi x

x

calcule el valor de ,B si existe1

( )limx

f x .

7. Halle el valor de a y b si existen )(lim1

xfx

y )(lim2

xfx

;

2,84

21,23

1,1

)(

23

xaxbx

xaxbx

xx

xx

xf

8. Halle el valor de c y ksi existen2

( )limx

f x y1

( )limx

f x ;

2 3 ; 2

( ) 5 ; 2 1

32 ; 1

x c si x

f x cx k si x

x si x

9. Dada la grfica de la funcin ( )f x , calcule si existen los siguientes lmites;

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

23

1

1

3

4

2 x

y


37/104


033

10. Dada la grfica de la funcin ( )f x , calcule si existen los siguientes lmites;

SEMANA 5CONTINUIDAD

Continuidad de funciones

Una funcin ( )f x es continua en a si y slo si, se cumplen las siguientes trescondiciones:

1. Existe ( )f a , es decir a pertenece al dominio de ( )f x .

2. Existe el ( )limx a

f x , es decir los limites laterales existen y son iguales

( ) ( ) ( )lim lim limx a x a x a

f x f x f x

3. ( )= ( )limx a

f a f x

OBSERVACIONES

Una funcin polinomial es continua en todo su dominio.

Ejemplo 1 3( ) 2 3 1,f x x x x R

3

3 3

3

Sea :

) ( ) 2 3 1, existe.

) ( ) 2 3 1 2 3 1, existe.

) ( ) ( ) 2 3 1

lim lim

lim

x ax a

x a

a R

i f a a a

ii f x x x a a

iii f a f x a a

f es continua en a R

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)2

3

1 2

8

4

9

x

y


38/104


034

Una funcin racional es discontinua en los puntos donde el denominador es cero, y escontinua en cualquier otro punto de su dominio.

Ejemplo 2

Analizar la continuidad de la funcin:2

2 1( )

9

xf x

x

Solucin:

2

2

Si 3:

2(3) 1 7) (3) , 3

03 9

Si 3:

2( 3) 1 5) ( 3) , 3

0( 3) 9

x

i f f x

x

i f f x

es discontinua en

es discontinua en

EJEMPLOS

1. Analizar la continuidad de la funcin: 23 1, 0

( ) , 0 1

2 1, 1

x x

f x x x

x x

Solucin:


39/104


035

2

2 2

0 0

0 0 0

2

2 2

1 1

1

Si 0:

) ( ) 0 0

) 0 0; 3 1 3( 0) 1 1

( ) ( ) ( )

0

Si 1:

) (1) 1 1

) 2 1 2 (1) 1 1; 1 1

lim lim

lim lim lim

lim lim

lim

x x

x x x

x x

x

x

i f x

ii x x

f x f x f x

f x

x

i f

ii x x

es discontinua en

1

( ) 1

) (1) ( ) 1

1

limx

f x

iii f f x

f xes discontinua en

2. Hallar los valores de a y b , si:

3 , 1

( ) 3 1, 1 2

2 1, 2

x a x

f x a x

bx x

es continua en todo su dominio.

Solucin:

Nos basta analizar la continuidad en 1x y 2x , pues esto va generar que seformen ecuaciones que nos permitir hallar el valor de a y b .

Como ( )f x es continua en 1x , basta observar que:

1 1

(1) ( ) ( )lim limx x

f f x f x

Luego: (1) 3 1f a ;1

(3 1) 3 1limx

a a ;1

(3 ) 3limx

x a a

3 1a = 3 a 1a

Como ( )f x es continua en 2x , basta observar que:

2 2(2) ( ) ( )lim lim

x x

f f x f x


40/104


036

Luego:

(2) 2 (2) 1f b ;2

(2 1) 2 (2)limx

bx b ;2

(3 1) 3 1limx

a a ;

4 1b = 3 1a 4 1b = 3(1) 1= 2 1 4b

TIPOS DE DISCONTINUIDAD

1. Discontinuidad removible o evitable. Una funcin tiene discontinuidad removible o

evitable en un punto a cuando existe ( )limx a

f x pero es diferente de ( )f a

( )a Df x .

Ejemplo:

OBSERVACIN

a) En el primer grfico, (3) 5f pero3

( ) 4limx

f x ,

luego fdiscontinua removible en 3x

b) En el segundo grfico, (3)f no existe, sin embargo,3

( ) 4limx

f x

( )f x discontinua removible en 3x

5

4

3

( )f x

3

4( )f x


41/104


037

2. Discontinuidad no removible o inevitable. Una funcin tiene discontinuidad en un

punto a cuando no existe ( )limx a

f x , o a l menos uno de los lmites laterales en a es

.

Ejemplo

OBSERVACIN

a) En el primer grfico,2

( ) 5limx

f x y2

( ) 9limx

f x

2( )lim

x

f x f es discontinua no removible en 2x

b) En el segundo grfico,4

( ) 3limx

f x y3

( )limx

f x

4( )lim

xf x f es discontinua no removible en 4x

EJERCICIOS:

I. En los siguientes problemas, utilice la definicin de continuidad para mostrar que la funcindada es continua en el punto indicado.

a. 3 8 , 2f x x x x b.23

, 02

xf x x

x c.

3, 3

9

xf x x

x

d. 3 , 1f x x x e. 2 3 , 0f x x x f.3 8

, 22

xf x x

x

2

5

9

4

3


42/104


038

II. Encuentre los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones e indique de qu tipo setrata:

a.4

( )2

xf x

x b.

2

3( )

9

xf x

x c.

2

2

4( )

1

xf x

x

d.2

2

1( )

4

x xf x

x e.

2

2

4( )

16

x xf x

x f.

3

7( )

xf x

x x

III. Analice la continuidad de las siguientes funciones:

a.

21

; si 1( ) 1

2 ; si 1

xx

f x x

x

b.

2

2

3 2 ; si 2

2 4( )

2 4 ; si 24

x xx

xf x

x xx

c.

4 1 ; 1

( ) 5 ; 1

2 3 ; 1

x si x

f x si x

x si x

d.

3 8 ; 2

2

( ) 3 ; 2

2 1 ; 2

xsi x

x

f x si x

x si x

e.

2 1 3 ; 1

1( )2 1

; 13

x xsi x

xf xx

si x f.

2

4 2 ; 1

( ) 3 ; 1 4

6 ; 4

x si x

f x x x si x

x si x

g.

2 1 ; 2

( ) 6 ; 2 8

4 3 ; 8

x si x

f x si x

x si x

h.

22 1 ; si 7

( ) 1 ; si 7 9

2 ; si 9

x x x

f x x x

x x

i) 2

2 ; 2

4( ) ; 2 32

5 ; 3

x x

xf x xx

x

j)

3

1 ; si 0

3

2 1( ) ; si 0 23

8 ; si 2

xx

x

xf x x

x x


43/104


039

IV. Calcule el valor de las constantes, sabiendo que las funciones son continuas en todo sudominio.

1.3 ; 1

( )

3 ; 1

ax xf x

ax x

2.2

; 1( )

3 ; 1

x a xf x

x

3.

22 4 ; 2

( ) 6 ; 2 4

3 2 ; 4

ax b si x

f x si x

ax b si x

4.

2 2 5 ; 1

( ) 8 2 ; 1 3

2 ; 3

ax b si x

f x x si x

ax b si x

5.

2 ; 2

( ) 3 ; 2 1

6 2 ; 1

x a si x

f x ax b si x

x b si x

6.

3 1 ; 1

( ) ; 1 3

4 ; 3

x si x

f x ax b si x

x si x

7.

1 ; 1

( ) 4 ; 1 2

2 8; 2

x si x

f x si x

bx si x

8.

2

2

3 1 ; 1

( ) 1; 1

3 1 2

ax x si x

f x xsi x

x

9.

2 2 1; 2

( ) 2 1 ; 2

3 3 ; 2

mx n si x

f x x si x

n mx si x

10. 3

2

2 ; 3

( ) 27 ; 3

3

m x si x

f x xsi x

x x


44/104


040

SEMANA 6

LA DERIVADA DE UNA FUNCIN. REGLAS DE DERIVACIN

DERIVADA DE UNA FUNCIN:

Sea )(xf una funcin definida en cada punto del intervaloI , entonces se dice que )(xf

es derivable en el punto x I, si existe el lmite siguiente:

0

( ) ( )lim

h

f x h f x

h

Si a la derivada de una funcin se le denota por: ( )'xf o por( )xdf

dx

y se lee la derivada de

)(xf en el punto x , entonces por definicin se tiene:

0

( )

( )( ) ( )

limh

xx

f x h f x

h

dff

dx

Ejemplos:

Halle la derivada de las funciones siguientes usando la definicin.

a) 23)( xxf b) 23 2 5f x x x c) ( ) 2 1f x x

Solucin:

a)0

( )( ) ( )

' l imh

xf x h f x

fh

0

( )3( ) 2 (3 2)

' l imh

xx h x

fh

0

( )3 3 2 3 2

'

limhx

x h xf

h

0

( )3

'

l imhx

hf

h

0

( ) 3' l imh

xf 3)(' xf .

b)0

( )( ) ( )

limh

xf x h f x

fh

2 2

0

( )3( ) 2( ) 5 (3 2 5)

' limh

xx h x h x x

fh


45/104


041

2 2 2

0

( )3( 2 ) 2 2 5 3 2 5

' limh

xx xh h x h x x

fh

2 2 2

0( )

3 6 3 2 2 5 3 2 5

' limhx

x xh h x h x x

f h

2 2 2

0

( )3 6 3 2 2 5 3 2 5

' limh

xx xh h x h x x

fh

2

0

( )6 3 2

' limh

xxh h h

fh

0

( )(6 3 2)

' limh

xh x h

fh

0

( )(6 3 2)

6 2'limh

xh x h

f xh

( ) 6 2xf x .

c)0

( )( ) ( )

' limh

xf x h f x

fh

0

( )2( ) 1 2 1

' limh

xx h x

fh

0

( )( 2 2 1 2 1) ( 2 2 1 2 1)

( 2 2 1 2 1)

' limh

xx h x x h x

fh x h x

0( )

(2 2 1 2 1) 2

( 2 2 1 2 1) ( 2 2 1 2 1)' lim

hx

x h x hf

h x h x h x h x

0

( )2 2

( 2 2 1 2 1) ( 2 1 2 1)

' limh

xfx h x x x

( )2 1

2 2 1 2 1

'xfx x

.

REGLAS DE DERIVACIN

Si )(xf y )(xg son funciones diferenciables en el intervalo I, entonces se define:

1) Si, ( )xf k, es una funcin constante, entonces: ( ) 0'xf

2) Si, ( ) nf x x , n , entonces: 1( )' nf x nx

3) ( )( ) xx fk f k , donde kes constante.

4) ( ) ( )( ) ( ) x xx x f gf g


46/104


042

5) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x f x g x

6) 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

f x f x g x f x g xg x

g x , si ( ) 0xg

7)1

( )( ) ( )n n

n f xf x f x

EJERCICIOS:

I. Utilizando la definicin, encuentre la derivada de las siguientes funciones:

1. 26)( xxf 5. 42)( xxf

2. 432)(3 xxxf 6. 15)( xxf

3.13

32)(

x

xxf 7. 8)( xxf

4.3

14)(

x

xxf 8.

12

1546)(

2

x

xxxf

II. Utilizando las diferentes reglas de diferenciacin halle la derivada de las siguientes funcionesy evale en el punto dado:

1.78

145

2

33

5

2)( 245 xxxxf ; 2x 2.

5

3

3

2

2

3

5

134)( xxxxf ; 1x

3. )643()( 2423

xxxxf ; 1x 4. )(xf = 24x (3 38 2x x ); 1x

5.1

( )x

f x

x

; 4x 6. 525)( 2 bxxxxf ; 1x

7.2 / 3 3

1/ 3

2 3 2( )

4

x zx xf x

x; 8x 8. 3 2

1( ) 2 2 3f x x x x

x; 8x

9.

1 2 4/3

4

5 2 3( )

x x xf x

x; 1x 10. )(xf =

2

3

(3 4 3)x x

x; 64x

11. )(tf =3 6

2

5 2 7x x x

x

; 64x 12. )(xf = 32 7)(3( xxxx ) ; 1x


47/104


043

SEMANA 7

INTERPRETACIN GEOMTRICA DE LA DERIVADA

Sea ( )y f x una funcin definida en I, I , cuya grfica sea la siguiente:

Si: )()()( 0000 xfxxfxf

Entonces, en el tringulo rectngulo MPN,)( 0xf representa la longitud del cateto

PN, de igual manera que 0x representa

la del MP.

De aqu se tiene que : )()(0

0 tgxxf

Pero si hacemos ,00x

Entonces:

0

0

0

0 0

( )( )lim

x

f xf x

x.

Esto quiere decir que, geomtricamente, la derivada de una funcin en un punto debeinterpretarse como: la pendiente de la tangente geomtrica a la curva de la funcin f , en

el punto considerado 0 0, ( )x f x .

RECTA TANGENTE Y NORMAL

La recta tangente es una recta que corta en un punto a una curva. La recta normal es una recta

que pasa por el punto de tangencia y es perpendicular a la recta tangente.

La ecuacin de la recta tangente TL a la grfica

de ( )y f x en el punto 0 0,x y y pendiente

LTm est dada por : 0 0( )LTy y x xm .

Pero sabemos que la pendiente de la recta tangenteen

0x es la derivada de 0( )f x : 0( )LT f xm .

Entonces, la ecuacin de la recta tangente es:

0 0 0( )( )y y f x x x

La ecuacin de la recta normal NL a la grfica de

( )y f x en el punto 0 0,x y de pendiente LNm , est dada por: 0 0( )LNy y x xm .

0x

0 0x x

P

N

M

0( )f x

0 0( )f x x

( )f x

x

y

0

0 0( ; )P x y

NL

TL

( )f x


48/104


044

Pero sabemos que:1

LNLT

mm

. Entonces, la ecuacin de la recta normal es:

0 0

0

1( )

( )y y x x

f x

Ejemplo:

Halle la ecuacin general de la recta tangente y de la normal a la parbola: 22 8 5y x x

en el punto (1, 1)P .

Solucin:

Derivando 2( ) 2 8 5f x x x , se tiene: ( ) 4 8f x x .

Evaluando la derivada en 1x : 4)1('f , luego:

La ecuacin general de la recta tangente es:

1 4 ( 1)y x : 4 3 0TL x y .

La ecuacin general de la recta normal es:

11 ( 1)

4y x : 4 5 0TL x y .

EJERCICIOS:

Determine la ecuacin general de la recta tangente y normal a la grfica de las funcionessiguientes:

1.- 132)(2 xxxf . en )3,2(P 2. 473)( 2 xxxf , en )3,5(P

3. 153)( 2 xxxf , en 1x 4.3

1 23 xxy en 0x

5. 2( )1

f x xx

, en 2x . 6. 2( ) 3 2f x x x ; en 0x


49/104


045

SEMANA 8

DERIVADA DE LA FUNCIN EXPONENCIAL Y LOGARTMICA

Derivada de funciones exponenciales.

( ) ( )( ) ln

f x f xf x aa a , donde a .

( ) ( )( )

f x f xf xe e , donde e es la constante de Euler.

Caso particular ( ) 'x xe e

Derivada de funciones logartmicas.

( )ln ( )

( )

f xf x

f x , caso particular:

1lnx

x

ln

( )( )

( )bf x

Log f xf x b

, caso particular:ln

1( )

b bLog x

x

NOTA

Es conveniente, antes de derivar algunas funciones logartmicas, aplicar algunas propiedades

de los logaritmos, para reducir su dificultad. Estas propiedades son las siguientes:

1) ln lnna an 2) ln( . ) ln lna b a b

3) ln( ) ln lna

a bb

4)ln

loglnb

aa

b (cambio de base)

EJEMPLOS:

Derive las siguientes funciones:

a)12242)( xxexf

Aplicando la regla )('.' )()( xfee xfxf diremos:

1224122421224 222 ).12.(2242.)'1224.()(' xxxxxx exxexxexf


50/104


046

b) 126log)( 24 xxxf

Aplicando la regla

bxf

xfxfb

ln).(

)('')(log diremos:

Encuentre la ecuacin general de la recta tangente y la recta normal en x = 1 de la

funcin: 322

10)( xxxf

Calculemos la derivada, usando la regla vista anteriormente diremos:

3232232 222 10)1(6,43,2).22.(1010ln)'.32.(10)(' xxxxxx xxxxxf

Apliquemos la derivada en x = 1

2,910)11(6,4)1(' 31.212

f

Calculemos la funcin para la abscisa x = 1

110)1( 31.212

f

Usemos la ecuacin punto pendiente de la recta tangente, para deducir la ecuacin

general:

)1(2,91 xy 02,82,9 yx Usemos la ecuacin punto pendiente de la recta normal, para deducir la ecuacin

general:

)1(2,9

11 xy 01,11,0 xy

EJERCICIOS:

I. Derive las siguientes funciones:

1.)1(

)3)(2()(

x

xxxf 2.

6

2

3)(

x

xxf

3. 2( ) 2 3f x x x 4. 2 23( ) (4 3 2)f x x x

5.3 24 2 5( ) x xf x e 6.

33 6 2( ) x xf x e

7.3

5( ) ( 3) 2

xf x x 8.

24 3 6( ) (7 8) xf x x e

9. 11( ) ln xxf x 10. 2 3 3 2lny x x


51/104


047

11. 2 21 2lny x x x 12. 2 1lny x

13.ln

2

xy

x 14. 34 2 1lny x x

15. 321 2lny x x 16. 1 ln1 ln

xyx

17. 2 ln(2 1)y x x 18. 3 2ln( 2 5 ) 4 2y x x x x

19. 25

log 1y x x 20.

x x

x xy

e e

e e

21.

2

22

1

x xy log

x 22.

22

32

1 1

4

lnx x

y

x

23.3

2 4

6 5 ( 4 5)

(7 8) 8 1ln

x xy

x x 24.

45

7

4 3 (2 7)

( 2 7) 3 2ln

x xy

x x

25.1

ln 1 x

y x 26. ln( ) (1 )x xf x e

27. lnxe

y x 28 2 1( ) xf x x

II. APLICACIONES:

1. Encuentre la ecuacin general de la recta tangente a la curva

2 1( )

2

xy f x

xque pasa por el punto (1,0) .

2. Halle la ecuacin general de la recta tangente a la curva: ( ) 2 3 1f x x x , en

2x .

3. Encuentre la ecuacin de la recta tangente y normal a la curva2( 2 )( )

x - xy f x

x, en el punto (4 ) ( ), k f x .

4. Sea1

( )3

xy f x

x . Hallar la ecuacin de la recta tangente y la ecuacin de la

recta normal, en el punto de abscisa 1.

5. Encontrar la ecuacin general de la recta tangente y normal a la grfica de la

funcin:1

( )

1

xy f x

x

que pasa por el punto (2 ) ( ), k f x .


52/104


048

6. Halle la ecuacin general de la recta tangente y normal a la curva2

( )1

f x xx

, en

el punto donde 2x .

7. Sea :2

23

3 6( ) xy g x

x, halle la ecuacin general de la recta tangente y normal a

la grfica de ( )y g x que pasa por el punto (1, ) ( )g xk .

8. Halle la ecuacin de la recta tangente a la curva:

2

3

5 2

1( )

x

xf x

e

e en 0x .

9. Encuentre la ecuacin de la recta normal a la curva ( ) 4 3lnxy f x que pasa

por el punto (1,2) .

10. Halle la ecuacin general de la recta tangente y normal a la curva2 2( ) ( 1) xy f x x e en el punto ( 2 , 5 ) .

11. Halle la ecuacin general de la recta normal a la curva: 3 ln ( 2 3)( ) ( 2) xf x x e ,

en el punto donde 2x .

12. Determinar la ecuacin general de la recta tangente a la curva( ) ( 3) (3 1) 3lnf x x x en el punto (0 ,3) .


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049

SEMANA 10

INCREMENTO Y RAZN DE CAMBIO.

APLICACIONES A LA ECONOMA.

Sea ( )y f x una funcin definida en el intervalo1 2,x x entonces calculamos:

2 1

2 2 1( ) ( )

1

x x x

y y y f x f x

donde x es un smbolo que representa el cambio de la variable x , es decir el incrementode la variable

1x a la posicin

2x . Lo mismo denotamos para la variable y .

Ejemplo 1.

Para la funcin 24 2y x x , calcular el incremento de x y el incremento de y para

11x ,

22x

Solucin:

2 1 2 ( 1) 3x x x

1

2 1

2

2

2

4 2( 1) ( 1) 4 2 1 74 7 3

4 2(2) (2) 4 4 4 4

yy y y

y

Concluimos que el incremento de y negativo significa una disminucin de la funcin, lo cual

quiere decir que al aumentar x en tres unidades, la funcin y disminuye en tres unidades.

Ejemplo 2.

El volumen de ventas de gasolina (nmero de litros vendidos por da) es 1000 200q p , en

donde p es el precio por litro en nuevos soles. Calcular el incremento en el volumen de ventas

de gasolina que corresponde a un incremento en el precio por litro, de 3,50 nuevos soles a 3,70

nuevos soles. Cul es el incremento en el precio?

Solucin:

2 1 3,70 3,50 0, 20p p p nuevos soles /litro.

1

2 1

2

1000(200 3,50) 196500 litros/dia

196300 196500 2001000(200 3,70) 196300 litros/dia

q

q q qq

l/da.

Lo cual quiere decir que al aumentar el precio por litro en 20 cntimos, el volumen de ventas

disminuye en 200 litros diarios.


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050

INCREMENTO DE UNA FUNCIN EN FORMA GENERAL

2 1 2 1x x x x x x , como se puede ver en la grfica.

2 1 2 1( ) ( )y y y f x f x . por lo tanto, sustituyendo 2x se tiene que:

( ) ( )1 1f x x f x

y

Para cualquier incremento de x , a partir de un valor conocido de x .

En general, para cualquier valor de x y cualquier incremento de x se tiene que:

( ) ( )y f x x f x

Ejemplo 3.

Sea 2( ) 4f x x . Se pide:

a) Calcular el incremento de y si 3, 0,8x x

b) Calcular el incremento de y si 3x , para cualquier incremento de x .

c) Calcular el incremento de y para cualquier valor de x y cualquier incremento de x .

Solucin:

a) ( ) ( ) (3 0,8) (3) (3,8) (3)y f x x f x f f f f

22(3,8) 4 (3) 4 10,44 5 5,44y

b) 2 2( ) ( ) (3 ) (3) (3 ) 4 (3) 4y f x x f x f x f x

29 6 ( ) 4 9 4y x x

2 25 6 ( ) 5 6 ( )y x x x x .

2( )f x

y

( )y f x

Q

P

x

1x 2x

1( )f x


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051

c) 2 2( ) ( ) ( ) 4 4y f x x f x x x x

2 2 2 22 ( ) 4 4 2 ( )y x x x x x x x x

RAZN (TASA) DE CAMBIO PROMEDIO

Para la funcin ( )y f x , la razn de cambio promedio de la funcin de x a x x (es decir

de1x a 2x ) se define como:

2 1

2 1

( ) ( ) y yy f x x f x

x x x x=

var

var

cambio en la iable y

cambio en la iable x

Ejemplo 1.

Sea ( ) 2 5f x x . Encontrar la tasa de cambio promedio cuando 3 y 4x x

Solucin:

(7) (3) 2(7) 5 2(3) 5 9 1 3 1 2 10.5

4 4 4 4 4 2

y f f

x

Ejemplo 2.

Para cierto fabricante, el costo de produccin de q toneladas por semana de un productoqumico, expresado en dlares est dado por: ( ) 50000 60C q q y el ingreso correspondiente

por la venta de q toneladas semanales de producto qumico, expresado tambin en dlares,est dado por 2( ) 300 0,03r q q q . La compaa actualmente produce 4 000 toneladas por

semana, pero desea incrementar la produccin a 4 200 toneladas de producto qumico

semanales, calcular:

a) El incremento semanal en los costos de produccin.

b) El incremento semanal en los ingresos.

c) El incremento semanal en las utilidades.

d) La tasa de cambio promedio de la utilidad por las toneladas extra producidas.

Solucin:

a) (4200) (4000) 50000 60(4200) 50000 60(4000) 302000 290000C C C

$12000C

b) 2 2(4200) (4000) 300(4200) 0, 03(4200) 300(4000) 0, 03(4000)r r r

730800 720000 $10800r


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052

c) 2 2300 0,03 50000 60 300 0,03 50000 60U r C q q q q q q

20,03 240 50000 4200 (4000)U q q U U U 2 20, 03(4200) 240(4200) 50000 0, 03(4000) 240(4000) 50000U

428800 430000 $ 1200.00U

Otra forma:

10800 12000 $ 1 200U r C

1,2006

200

U

q. Lo que significa que, en promedio, por la tonelada adicional producida y

vendida por semana, la utilidad disminuye en $6.

APLICACIONES A LA ECONOMIA

Funcin de costo total.

La funcin de costo total de un fabricante, ( )C f q , nos da el costo total Cde producir y

comerciar q unidades de un producto. La razn de cambio de C con respecto a q se llamacosto marginal. As,

Costo marginal 'dC

Cdq

Interpretamos el costo marginal como el costo aproximado de una unidad adicional producida.

Funcin de costo promedio.

Si Ces el costo total de producir q unidades de un producto, entonces el costo promedio

por unidad Ces:

CC

q

Adems, la funcin costo total se puede hallar ut ilizando : C q C .

Funcin de ingreso total.

La funcin de ingreso total para un fabricante, esta dada por la ecuacin ( )r f q pq

que establece el valor total recibido al vender q unidades de un producto cuando el precio

por unidad es p .


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053

Funcin de ingreso marginal.

El ingreso marginal se define como la razn de cambio del valor total recibido, con respecto al

nmero total de unidades vendidas. Por consiguiente, el ingreso marginal es solamente laderivada de rr con respecto a q :

Ingreso marginal 'dr

rdq

El ingreso marginal indica la rapidez con la que el ingreso cambia, respecto a las unidades

vendidas. Lo interpretamos como el ingreso aproximado recibido al vender una unidad adicional

de produccin.

Ejemplo 1.

El costo total en dlares de produccin de q libras de cierta sustancia qumica est dado por245 5C q . Determine el costo marginal cuando se producen 3 libras de dicha sustancia.

Solucin: Derivamos la funcin costo: ' 10C q entonces '(3) 10(3) 30C , es decir, si

la produccin se incrementa de 3 a 4 libras, el costo se incrementa aproximadamente

en 30 dlares.

Ejemplo 2.

El costo medio unitario en la produccin de q unidades es 2100000

0.002 0.4 50C q qq

.

Determine la funcin del costo marginal y, en base a esta funcin, calcule el costo marginal

luego de producir 40 unidades.

Solucin:

Para hallar el costo marginal, primero debemos hallar el costo total, y esto se logra

multiplicando el costo promedio por la cantidad, es decir:

3 20.002 0.4 50 100000C Cq q q q

La funcin del costo marginal se halla al derivar el costo total, es decir:

2' 0.006 0.8 50C q q (funcin de costo marginal)

Entonces, el costo marginal luego de producir 40 unidades es:

'(40) 9.6 32 50 $27,60C aproximadamente por la unidad adicional

producida; es decir por la unidad 41.


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054

Ejemplo 3.

Un fabricante vende un producto a 3 50q dlares/unidad. Determine la ecuacin del ingreso

marginal y el ingreso marginal para 100q .

Solucin:

El ingreso es r pq , entonces 23 50 3 50r p q q q q q

Por lo tanto, el ingreso marginal es ' 6 50r q . Para 100q , el ingreso marginal ser:

'(100) $650 por una unidad adicional vendidar .

Interpretacin: Por la unidad adicional vendida (la unidad 101), se tiene un incremento en

el ingreso de aproximadamente $ 650.

Funcin Utilidad

La funcin utilidad total por la produccin y venta de q unidades, es la ecuacin:

U r CIngresos - Costos

donde r es el ingreso recibido por vender q unidades y C el costo de producir q

unidades.

Funcin de utilidad marginal

Es la razn de cambio del valor total de la utilidad obtenida con respecto al nmero de unidades

producidas y vendidas, es decir, la utilidad aproximada obtenida por la fabricacin y venta de

una unidad adicional. Por consiguiente, la utilidad marginal es solamente la derivada de U conrespecto a q :

' ' 'U r C

Ejemplo 4.

La ecuacin de la demanda para el producto de un fabricante es 210 0,01 700p q q y la

funcin de costo es 21000 0,01C q . Calcular la funcin utilidad marginal y tambin evaluar la

utilidad marginal para 100q unidades.

Solucin:

Sabemos que la utilidad est dada por ( ) ( ) ( )U q r q C q y que el ingreso es r pq . Por lo

tanto despejamos p de la ecuacin de la demanda y lo multiplicamos por q para obtener la

funcin ingreso:


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055

2 210 700 0,01 70 0,1 0,001p q q p q q 2 3 ( ) 70 0,1 0,001r q pq q q q

2 3 2 3 2( ) 70 0,1 0,001 1000 0,01 0,001 0.11 70 1000U q q q q q q q q

2'( ) 0,003 0.22 70U q q q .

Esta es la funcin utilidad marginal, para evaluarla en 100q simplemente sustituimos este valor de

q en dicha funcin. Es decir:

2(100) 0.003(100) 0.22(100) 70 30 22 70 $94U , que es la ganancia aproximada,

por la unidad adicional producida y vendida.

EJERCICIOS

1 La aceptacin de cierto pisco depender del tiempo que tenga en el mercado de acuerdo

a la siguiente funcin1

4040)(

t

ttA , donde A es la aceptacin expresada en puntos y t

es el tiempo en meses. Hallar la razn de cambio de la aceptacin con respecto al tiempo

dentro de 4 meses.

2 Debido a la depreciacin, el valor de cierta maquinaria despus de taos, est dada por80,30000400000 tdondeV . Determinar que tanrpido cambia elvalor de la

maquinaria con respecto al tiempo a los 2 aos. Interprete el resultado.

3 Sea 10( ) 296qf q qe la funcin de demanda del producto de un fabricante.Halle la razn de cambio de dicha funcin con respecto a la cantidad ""q cuando se

demandan 10 unidades.

4 Sea 2500 2p q la ecuacin de demanda del producto de un fabricante, donde x es el

nmero de artculos demandados y p es su precio unitario en dlares. Halle la razn de

cambio del precio con respecto a los artculos demandados, cuando stos son 5.

Interprete el resultado.

5 Sea: (100 )(50 )p q q la funcin de demanda del producto A de un fabricante.

Encuentre la razn de cambio del precio p (en dlares), con respecto a la cantidad q

(unidades). Qu tan rpido cambia el precio con respecto a q cuando 30q ?

6 El numero estimado de nios recin nacidos infectados de VIH a travs del contacto con la

madre, a nivel mundial, est dado por la siguiente funcin:125,4570124,00025,00023.0024,0)( 235 tttttf ; 0 12t donde ( )f t

se mide en miles y ten aos, con 0t al inicio del ao 1990. con qu rapidez aument

el nmero estimado de nios infectados de VIH de esta manera al inicio del ao 2000?


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056

7 Sea 2100p q la funcin de demanda del producto de un fabricante. Encuentre la

razn de cambio del precio p por unidad con respecto a la cantidad q . Qu tan

rpido est cambiando el precio con respecto a q cuando 5q ? (Suponga que p est

dado en dlares)

8 Para la funcin de costo 20, 4 4 5C q q encuentre la razn de cambio de C con

respecto a q cuando 2q

9 El costo total por producir q unidades es 24 40 50C q q . Determinar la razn de

cambio de C con respecto a q cuando se producen 20 unidades. Interprete el

resultado.

10 Un socilogo estudia varios programas que pueden ayudar en la educacin de nios deedad preescolar en cierta ciudad. El socilogo cree que x aos despus de iniciado un

programa particular, ( )f x miles de nios estarn matriculados, donde

210( ) (12 )9

f x x x , 0 12x

a) A qu razn cambiar la matrcula despus de 3 aos de iniciado el programa?

b) A qu razn cambiar la matrcula despus de 9 aos de iniciado el programa?

11 Los socilogos han estudiado la relacin entre el ingreso y el nmero de aos de

educacin en miembros de un grupo urbano particular. Ellos encontraron que una

persona con x aos de educacin, antes de buscar empleo regular puede esperarrecibir un ingreso anual medio de y dlares anuales, donde 5/ 25 5900y x ,

4 16x

Encuentre la razn de cambio del ingreso con respecto al nmero de aos de educaciny evalela cuando 9x .

12 La funcin de demanda para cierto producto es100

20p

q , donde p es el precio en

dlares para q unidades. Encuentra el ingreso marginal para 30q . Interprete el

resultado.

13 Supongamos que cuesta qqqC 156 23 dlares producir q radiadores cuando la

produccin es de 8 a 30 unidades. En un determinado taller usualmente se producen 10

radiadores al da. Aproximadamente cunto ms costar producir un radiador adicional

cada da?

14 La funcin de costo C, de fabricacin de una jabonera en soles est en funcin delnmero de jaboneras q a ser producidas mediante la frmula )5ln(400 qC .

Encuentre el costo marginal cuando el nmero de jaboneras producidas es de 35

unidades.


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057

15 La funcin de costos de una unidad productora de helados ha sido estimada como:

260114,0 2 qqC donde Ces el costo total de electricidad por hora en soles y q

la cantidad de helados producido. Determine el costo marginal para 20q . Interprete el

resultado.

16 La funcin de costo total de una fbrica de medias est dada por2000328,0750,669,48410 qqC donde q es la produccin en docenas de

pares y C el costo total. Encuentre la funcin de costo marginal y evalela cuando5000q .

17 La funcin de costo promedio de una fbrica que produce ventiladores de mano, est

dada por: 210000

0,002 0,4 50C q qq

, donde Cest en dlares. Determine el

costo marginal de producir 40 unidades. Interprete el resultado.

18 Si la ecuacin del costo promedio de un fabricante es: 27700

0,03 0,6 4,5C q qq

,

encuentre la funcin de costo marginal. Cul es el costo marginal cuando se producen

100 unidades? Cul es el costo total?

19 Si la ecuacin del costo promedio de un fabricante es 25000

0,0001 0,02 5C q qq

,

encuentre la funcin de costo marginal. Cul es el costo marginal cuando se producen

50 unidades?

20 Suponga que el costo, en dlares, de producir q lavadoras es 21,01002000 qqC

a) Encuentre el costo promedio por lavadora en la produccin de las primeras 100

unidades.

b) Encuentre el costo marginal cuando se producen 100 unidades.

21 La funcin de ingreso total de la Empresa San Martn S.A. dedicada a la produccin de

piensos (alimento especial) para aves viene dada por 2330 qqI , donde q es la

cantidad de toneladas de piensos vendidas por dicha empresa en un ao. Determine elingreso marginal para 3q toneladas. Interprete el resultado.

22 La ecuacin de la demanda del producto de un fabricante est dada por5000

25p

q, en

donde q son los artculos demandados y p es el precio de cada artculo. Determinar la

funcin del ingreso marginal y evaluarla cuando 100q .

23 Suponga que el ingreso obtenido al vender q lavadoras es1

20000 1rq

dlares.

Determine el ingreso marginal cuando se producen 100 lavadoras.


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058

24 Si la ecuacin de la demanda del producto de un fabricante es :500

150

pq

(donde p est en dlares) encuentre la funcin de ingreso marg inal. Adems calcule el

ingreso marginal cuando 50q .

25 La funcin de demanda para el producto de un fabricante es 250 0,2 0,003p q q y

la funcin de costo es 2( ) 500 0,3C q q . Halle la utilidad marginal de producir y

vender 80 unidades, sabiendo que p y Cestn en dlares. Interprete el resultado.

26 La funcin de utilidad de una empresa, en miles de dlares, est dada por( ) 50ln( 1) 90Ux x , donde x representa las unidades fabricadas y vendidas. Halle la

utilidad marginal cuando se fabrican y venden 10unidades.

27 La asociacin de consumidores de Lima ha realizado una medicin para valorar el nivel desatisfaccin por el servicio de restaurantes de comida criolla en la ciudad en un periododeterminado, lo que arroj la siguiente funcin de utilidad: 2200 2 150U q q . Se pide:

a) Calcule la expresin de la utilidad marginal para la comida criolla.

b) Si el consumo de dicho servicio aumenta de 25 unidades a 100 unidades en el periodo

analizado, cmo se comportar la satisfaccin obtenida de l por parte de los

consumidores? Interprete su resultado.

28 Suponga que la ecuacin de demanda para el producto de un monopolista es:

400 2p q y que la funcin de costo promedio es 4000,

m.matematica ii

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