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Mini-video 3 de 5

Materia: Derivabilidad de funcionesAplicaciones económicas

Prácticas con

Introducción a Funciones de una variable


Derivabilidad de funciones

Entramos en este epígrafe en el estudio de los conceptos relacionados con derivadas, aplicaciones a la Economía, regla de la cadena, aproximación de una función con ayuda de sus derivadas, cálculo del crecimiento y decrecimiento de la función, de su concavidad o convexidad y la obtención de puntos óptimos.


Derivabilidad de funciones

Entramos en este epígrafe en el estudio de los conceptos relacionados con derivadas, aplicaciones a la Economía, regla de la cadena, aproximación de una función con ayuda de sus derivadas, cálculo del crecimiento y decrecimiento de la función, de su concavidad o convexidad y la obtención de puntos óptimos. Concepto de derivada de una función en un punto. Función derivada.Sea una función F(x) definida en un conjunto abierto D y sea “a” un punto de D. La derivada de la función F(x) en el punto "a" se define como el siguiente límite:

h 0

dF F(a h) F(a)F'(a) (a) lim R

dx h


Como se desprende de la definición, la derivada de una función en un punto es un número real dado por la determinación de un límite. Si ese límite existe diremos que existe la derivada en el punto en cuestión o que la función es derivable en ese punto.


Como se desprende de la definición, la derivada de una función en un punto es un número real dado por la determinación de un límite. Si ese límite existe diremos que existe la derivada en el punto en cuestión o que la función es derivable en ese punto. Si consideramos una aplicación en la que a una función dada F(x) le asociemos su derivada en un punto de D, a esa función le llamaremos función derivada de F(x) y la denotaremos como F'(x) o bien:


Como se desprende de la definición, la derivada de una función en un punto es un número real dado por la determinación de un límite. Si ese límite existe diremos que existe la derivada en el punto en cuestión o que la función es derivable en ese punto. Si consideramos una aplicación en la que a una función dada F(x) le asociemos su derivada en un punto de D, a esa función le llamaremos función derivada de F(x) y la denotaremos como F'(x) o bien:

Desde el punto de vista práctico, este concepto es muy importante, ya que nunca calcularemos derivadas a partir de la definición a partir del cálculo de un límite, sino a partir de la función derivada.


EjemploSea la función F(x)=x2. Calcular su función derivada a partir de la definición anterior e interpretar su resultado.



Solución:Apliquemos la definición directamente:



Solución:Apliquemos la definición directamente:

Calculamos:

Luego:


Si dibujamos la gráfica de la función, y tomamos dos puntos en los que la función esté definida, por ejemplo, x=1,x=2, resultará que:


Si dibujamos la gráfica de la función, y tomamos dos puntos en los que la función esté definida, por ejemplo, x=1,x=2, resultará que:

Si observamos la gráfica vemos que en el punto x=1 hay una menor “pendiente” que en el x=2.


La derivada tiene entonces una interesante interpretación geométrica: la derivada de una función F(x) en un punto x=a, se interpreta como la pendiente de la tangente a la gráfica de y=F(x) en el punto (a , F(a))



Evidentemente, el cálculo de la derivada de una función no se realiza mediante el cálculo del límite, sino que existen determinadas funciones de las cuales hemos de conocer su derivada. Las principales son las siguientes:



Evidentemente, el cálculo de la derivada de una función no se realiza mediante el cálculo del límite, sino que existen determinadas funciones de las cuales hemos de conocer su derivada. Las principales son las siguientes:

m m 1G(x) f(x) G'(x) mf(x) f '(x)


Propiedades:Algunas de las principales propiedades que cumplen las derivadas son las siguientes:


Ejemplo:Calcular la derivada en el punto x=5 de la función:



Solución:Es la derivada de un cociente, por lo tanto aplicamos:



Solución:Es la derivada de un cociente, por lo tanto aplicamos:

Siendo:


Calculamos las derivadas G’(x) y H’(x):


Calculamos las derivadas G’(x) y H’(x):

Luego:


Aplicaciones económicasEn el tema que nos ocupa, podemos destacar muchas aplicaciones de las derivadas a la Economía. Como una primera aplicación, destacamos que la derivada de una función F(x) en un punto a es la tasa instantánea de F(x) en a; para entender dicho concepto, vamos a deducirlo a partir de la tasa de variación media como vemos en los siguientes ejemplos.



Ejemplo 1Supongamos que entre los meses de enero y noviembre del año 2000 el Ibex ha pasado del valor 11.500 al 9.000. Determinar la tasa de variación media mensual.



Ejemplo 1Supongamos que entre los meses de enero y noviembre del año 2000 el Ibex ha pasado del valor 11.500 al 9.000. Determinar la tasa de variación media mensual. Solución:Dado el periodo transcurrido, 11 meses, podemos llamar:

Ibex_0 = 11500 Ibex_11 = 9000 Entonces la tasa media mensual será:


Por lo tanto, si la tasa de variación media la definimos como:

nos devuelve cuantas veces crece (decrece en nuestro ejemplo) la variable “y” (en nuestro ejemplo el Ibex) por cada una de x (en nuestro ejemplo el mes).


Ejemplo 2Sea la función:

Determinar la tasa de variación media en el punto x=1 para un incremento “h”.



Determinar la tasa de variación media en el punto x=1 para un incremento “h”. Solución: La tasa de variación en el punto x=1 es:



Determinar la tasa de variación instantánea en el punto x=1 y compararla con las obtenidas en los puntos x=2 y x=3.



Determinar la tasa de variación instantánea en el punto x=1 y compararla con las obtenidas en los puntos x=2 y x=3. Solución:La tasa de variación instantánea es el límite de la tasa de variación media cuando el intervalo de variación de la variable independiente tiende a cero:



Determinar la tasa de variación instantánea en el punto x=1 y compararla con las obtenidas en los puntos x=2 y x=3. Solución:La tasa de variación instantánea es el límite de la tasa de variación media cuando el intervalo de variación de la variable independiente tiende a cero: En el punto x=1:


Es decir, la derivada de la función F(x) en el punto x=1:



En el punto x=2:



En el punto x=2:

En el punto x=3:



En el punto x=2:

En el punto x=3:

Observamos que las tasas de variación instantánea o las derivadas de la función dada en cada uno de los puntos han dado valores muy distintos: negativo, cero y positivo. Si dibujamos la gráfica de la función podremos comprobar este hecho:


Vemos que en x=1 la pendiente es negativa, en x=2 la pendiente es cero y en x=3 la pendiente es positiva. Observamos, además que la pendiente, en valor absoluto, es mayor en x=3 que en x=1


Otras aplicaciones son los conceptos marginales. Así, si suponemos una empresa que produce un único bien en un número de unidades igual a “x”, entonces si llamamos C(x) al coste de producción de dicho bien y I(x) al ingreso por la venta del mismo, el beneficio:

B(x) = I(x) – C(x) Pues bien, a las derivadas de estas funciones se llaman: B’(x) beneficio marginal, I’(x) ingreso marginal y C’(x) coste marginal. Sea F(x) y x un punto donde F(x) es derivable con . La elasticidad de F con respecto a x es:


Ejemplo:

Demostrar que


Ejemplo:

Demostrar que

Solución:

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Taylor

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