miguel colmenarez
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1
LA INTEGRAL DEFINIDA
Uno de los grandes problemas que ocupó a los matemáticos griegos de la antigüedad fue
el de la comparación de figuras curvilíneas y rectilíneas.
Durante mas de 2,000 años los griegos abordaron el problema de calcular áreas de
regiones limitadas por curvas, destacándose entre ellos el método empleado por
Arquímedes llamado método de exhaución. Dicho método consiste en inscribir polígonos
regulares y calcular su área, repetir el proceso varias veces duplicando el número de lados
de los polígonos, hasta llegar a un valor que se consideraba que representaba el área de la
región.
3
2
2 4556 dxx b
a
med dxxfab
f )(1
9
43
203dt
t
t
INTEGRAL DEFINIDA En esta unidad trataremos con sumas de muchos términos, por lo cual introducimos una
notación llamada notación sigma para facilitar la escritura de estas sumas.
Esta notación incluye el uso del símbolo , la sigma mayúscula del alfabeto griego que
corresponde a nuestra letra S.
Ej: 5
1
222222 54321i
i
2
223213203213223)23(2
2i
i
-4 - 1 + 2 +5 +8 = 10
8
3 8
1
7
1
6
1
5
1
4
1
3
11
k k
En General: n
mi
nfmfmfmfif )(.......)2()1()()(
Donde m y n son entero y m ≤ n
El número m se llama límite inferior de la suma y n se llama el límite superior. El
símbolo i se llama el índice de la suma, es un símbolo arbitrario porque se puede usar
cualquier letra.
Por Ejemplo:
5
3
2222 543t
t
En ocasiones los términos de la suma incluyen subíndices como:
n
i
ni AAAAa1
21 ....)
9
4
987654 987654)K
k bbbbbbkbb
5
1
554433221 )()()()()()()i
Xi xfxfxfxxfxxfxfc
Propiedades de la Sumatoria
Propiedad 1. n
i
cnc1
donde c es cualquier constante.
Propiedad 2. n
i
c1
.an
i
i c1
)( a i donde c es cualquier constante.
Propiedad 3. n
i 1
a i +b i ]= n
i 1
a i +n
i
ib1
3
Si ai = a (una constante) entonces n
i
n
i
ii bnaba1 1
Propiedad 4. n
i 1
a( i )-a(i-1) = a( n ) – a( 0 )
La suma de las k-ésima potencias de los primeros n enteros positivos n
i
kkkkk ni1
....321
Las siguientes fórmulas relativas a las sumatorias también son útiles.
1) n
i
nnnn
i1
2
2
1
2
1
2
)1(
2) nnnnnn
in
i 6
1
2
1
3
1
6
)12)(1( 23
1
2
3) 234
1
223
4
1
2
1
4
1
4
)1(nnn
nni
n
i
Ejemplo
1) Calcular n
i
ii
1
1)44( sustituimos los superíndices de la propiedad 4.
11
1
1 4444 nn
i
ii
= 044n
= 14n
2) Calcular 20
1
2 )2(3k
kk
4
Soluc. 20
1
2 )2(3k
kk propiedad 2
20
1
3 23k
Kk
20
1
20
1
3 23k k
kk propiedad 3
32
120202
4
1202022
Usando fórmulas 3 y 1 y calculadora.
4204
214003
2
420441003
R = 133560
3) Evalúe el límite 2
....321lim
n
n
n
Solución: Usamos la fórmula
n
i
nni
1 2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2limlim
nnn
n
nn
Ya que n2
1
tiende a cero cuando n
Ejercicios Propuestos
n
n
n
nn
n
n
nnn 2
11
2
1....321
limlimlim 22
5
Calcular la suma indicada, usando propiedades y/o fórmulas:
a)
25
1
12i
ii
R/ 10,400
b)
20
1
2 23i
ii
R/ 133,560
c)
100
11 1
11
ik kk
R/ 100/101
d)
40
11
1212i
ii
R/ 811
e)
8
1
25j
j
R/ -32
f)
100
1
3
i
i
R/ 25,502,500
g)
8
1
21r
rr
R/ 224
Área por Sumatorias o Suma de Áreas
Es fácil calcular el área de una región plana cuando está limitada por líneas. Por ejemplo,
si la región es un rectángulo, un triángulo o cualquier polígono que se pueda dividir en
triángulos, existen fórmulas que permiten determinar su área:
6
Para encontrar área de regiones cuyos límites no son rectas sino gráficas de funciones, es
necesario utilizar un proceso que se fundamenta en le concepto de límite.
La siguiente figura muestra la región R que está bajo la gráfica de una función creciente f,
con valores positivos, y por arriba del intervalo a, b . Para aproximar el área A de R,
elegimos un entero fijo n y dividimos el intervalo a, b en n intervalos.
x0, x1 , x1, x2 , x2 , x3 , …, xn-1 , xn todos con la misma longitud n
abx . En cada
uno de estos intervalos, levantamos un rectángulo inscrito y un rectángulo circunscrito
(figura1)
y
y = f(x)
Figura 1
f (b) – f (a)
7
x x
a = x0 x1 x2 x3 xn-1 xn= b
Una función f continua y no negativa tiene área bajo su grafica si cuando la amplitud de
su partición x tiende a cero, entonces el límite de las aproximaciones por exceso es
igual al límite de las aproximaciones por defecto.
El rectángulo inscrito sobre el i-esimo termino sub intervalo xi-1, xi tiene altura f (xi-1),
mientras que el i-esimo rectángulo circunscrito tiene una altura f(xi). Como la base de
cada rectángulo tiene una longitud x las áreas de estos rectángulos son f (xi-1) x y
f (xi) x.
y
f(xi)
x
a=x0 xi-1 xi xn=b
f (xi-1)
8
Al sumar las áreas de los rectángulos inscritos para i = 1, 2, 3 ….. n obtenemos la
subestimación xxfAn
n
i
i
1
1 del área real A
De manera análoga la suma de las áreas de los rectángulos circunscritos es la
sobreestimación xxfAn
n
i
i
1
La desigualdad implica que An A An , entonces
n
i
i
n
i
i xxfAxxf11
1
Las desigualdades se invierten si f` x fuera decreciente. Si el número n de
subintervalos es muy grande, de modo que x sea muy pequeño, entonces la
diferencia entre las áreas An y An de los polígonos inscritos y circunscritos será
muy pequeña. Por tanto ambos valores serán muy cercanos al área real A de la
región R.
afbfAnAn
Pero 0
n
ab , cuando n
El área de la región R está dada por:
n
i
in
n
ii
n
xfA xxf1
1
1limlim
Al aplicar la fórmula o Ecuación recordemos que n
abx y xiax1 para i=0, 1, 2,
…..n pues xi está a i pasos de longitud x a la derecha de a0
Ejemplos.
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0
1) Determinar el área bajo la gráfica de f(x)=x2 en el intervalo 3,0 .
Solución:
Si dividimos 0, 3 en n subintervalos, de la misma longitud.
nnn
abx
303
nx
3
xiaxi n
ixi
30
Por tanto: n
i
n
i
ii xxxxf1 1
2)()( sustituimos
n
i
n
i n
i
nn
i
12
2
1
22733
aplicando propiedad de sumatorias,
= n
i
in 1
2
2
27 aplicamos la fórmula de sumatoria
nnnn 6
1
2
1
3
127 23
2 aplicamos límite cuando n
93
127
6
1
2
1
3
127
2limnn
An
pues n2
1 y
26
1
n tienden a cero cuando
n ... A = 9u
2
y = x
2
A = 9u
2
xi-1 xi x
10
Ejemplo:
2) Determine el área bajo la gráfica de f(x):100-3x2 de x=1 a x=5
Solución: El intervalo es 1 , 5
nnn
abx
415
xiaxi
n
ixi
41
n
ixi
41 Ahora apliquemos la fórmula
xxxxfn
i
n
i1 1
23100
nn
in
i
4413100
1
2
nn
i
n
in
i
416813100
12
2
nn
i
n
in
i
448243100
12
2
nn
i
n
in
i
4482497
12
2
n
i n
i
n
i
n13
2
2
19296388
11
n
i
n
i
n
i
in
inn 1 1 1
2
32
192961
388
aplicamos fórmulas correspondientes a cada caso.
nnnn
nnn
nn
xxxxfn
i
n
i 6
1
2
1
3
1192
2
1
2
1963883100 23
3
2
21
2
1
Simplificamos (n) 2
329664
4848388
nnn
2
32144276
nn-
Aplicamos límite
27632144
2763lim
nnA
n
A=276 u2
GRAFICA
Ejercicios Propuestos
Determine exactamente el área A, de la región bajo y=f(x)
12
a) 3xxf en 3,0 R/ 4
81 u2
b) 2xxf en 2,0 R/ 6u2
c) xxf 35 en 1,0 R/ 2
7 u2
d) 29 xxf en 3,0 R/ 18 u2
SUMAS DE RIEMANN
Las sumas de aproximación en la ecuación n
i
i xxf1
1 y n
i
i xxf1
son ambas de la
forma xxfn
ni
i * donde xi* es un punto seleccionado en el iésimo subintervalo ii xx ,1
a = x0
*
1x x1 *
2x x2 …… xi-1 *
ix xi *
nx xn = b
Una función f definida en a , b que no necesariamente es continua o positiva. Una
partición P de a , b es una colección de subintervalos
x0, x1 , x1, x2 , x2, x3 ,…. xn-1, xn de a , b de modo que a = x0 x1 x2 x3 ….. xn-
1 xn = b
13
,00
,10
,20
,30
,40
,50
,60
,70
,80
,90
1,0
0
1,1
0
1,2
01,3
0
1,4
01,5
0
1,6
0
1,7
01,8
0
1,9
02,0
0
2,1
0
2,2
02,3
0
2,4
02,5
0
2,6
0
2,7
02,8
0
2,9
03,0
0
X
-4,0
-2,0
0,0
2,0
4,0
6,0
F(x
)
La NORMA de la partición P es el máximo de las longitudes 1iii xxx de los
subintervalos en P y se denota P .
Para obtener una suma como n
i
i xxf1
*, necesitamos un punto *
ix en el iésimo
subintervalo para cada i, 1 i n. Una colección de puntos **
3
*
2 ,.....,*, ni xxxxS donde
*,ix en ii xx ,1 (para cada i) es una selección para la partición P.
Esto define la suma de Riemann para una función f en un intervalo a , b , S una
selección para P, entonces la suma de Riemamn n
i
ii xxfR1
*
En la siguiente gráfica de la función 562 23 xxxf en el intervalo 0, 3
Suma según los extremos
izquierdos
n
i
i xxfR1
1
Según los extremos derechos Según los puntos medios
R= n
i
i xxf1
)( Rmed =
n
i
i xmf1
)( , 2
1* iiii
xxmx
14
,00
,10
,20
,30
,40
,50
,60
,70
,80
,90
1,0
0
1,1
0
1,2
01,3
0
1,4
01,5
0
1,6
0
1,7
01,8
0
1,9
02,0
0
2,1
0
2,2
02,3
0
2,4
02,5
0
2,6
0
2,7
02,8
0
2,9
03,0
0
X
-4,0
-2,0
0,0
2,0
4,0
6,0
F(x
)
,00
,10
,20
,30
,40
,50
,60
,70
,80
,90
1,0
0
1,1
0
1,2
01,3
0
1,4
01,5
0
1,6
0
1,7
01,8
0
1,9
02,0
0
2,1
0
2,2
02,3
0
2,4
02,5
0
2,6
0
2,7
02,8
0
2,9
03,0
0
X
-4,0
-2,0
0,0
2,0
4,0
6,0
F(x
)
LA INTEGRAL DEFINIDA SEGÚN RIEMANN
El matemático alemán G . F. B Riemann (1826 -1866) Proporcionó una definición
rigurosa de la integral.
Definición: La integral definida de la función f de a a b es el número
i
n
i
ip
xxfI1
*
0lim
Siempre que el límite exista, en cuyo caso decimos que f es integrable en [a, b]. La
ecuación significa que, para cada número > 0, existe un número > 0 tal que
i
n
i
i xxfI1
* <
Para cada suma de Riemann asociada con una partición arbitraria P de [a, b] para la que
P <
Nota: La palabra límite se usa para denotar el número mínimo y el número máximo del
intervalo [a, b] y no tiene nada que ver con las definiciones de límite dadas anteriormente.
La notación usual para la integral de f de a a b, debida al filósofo y matemático alemán G.
W Leibniz, es:
15
Esta notación integral no solo es altamente sugerente, sino que también es útil, en
extremo para el manejo de las integrales. Los números a y b son el limite inferior y el
limite superior de la integral, respectivamente, son los extremos del intervalo de
integración.
La variable x se puede reemplazar por cualquier otra variable sin afectar el significado de
la Ecuación.
Así si f es integrable en [a, b] , entonces
b
a
b
a
b
aduufdttfdxxf ; xf es el integrando.
La integral dada, de la integral definida, se aplica solamente cuando a < b, pero es
conveniente incluir, cuando a > b y a = b.
* Si a = b b
a
dxxf 0
* Si a > b b
a
a
b
dxxfdxxf
Definición: Se llama integral definida entre a y b de f(x), y se denota b
a
dxxf al área de
la porción del plano limitado por la grafica de la función f(x), el eje x y las rectas x = a y
x = b.
TEOREMA DE EVALUACIÓN DE INTEGRALES
“ Si G es una primitiva de la función continua f en G(b) – G(a) se abrevia generalmente [
G(x) ]ab entonces aGbGdxxf
b
a
Ejemplo: Evaluar
16
1) 0
0 0coscoscosxsenxdx
= - (-1) – (-1)
= +1 + 1 = 2
2) 3
320
6
640
6
12
6
1
6
1 66
2
0
2
0
65 XdxX
3) 9
1
9
1
2/122/1 3
2/12232 x
xxdxXX
52
24480
19319219
32
2/12/122
9
1
2/12 xxx
Propiedades de las Integrales Definidas
Sea f una función integrable en ba, :
Propiedad 1:
b
a
dxxf 0 Es decir, si la base del área de la región bajo la curva es cero,
el área es cero.
Propiedad 2: b
a
dxxf > 0 , x ba, y f(x) > 0, Es decir, el área de la región bajo la curva siempre
será positiva si f(x) es positiva.
Propiedad 3:
b
a
dxxf < 0, x ba, y f(x) < 0, Es decir, el área de la región bajo la curva siempre será
negativa si f(x) es negativa.
17
Propiedad 4: c
a
dxxf = b
a
dxxf + c
b
dxxf , Si f es una función integrable en un intervalo que contiene
los puntos a, b, c talque a < b < c.
Propiedad 5:
b
a
dxxgxf
b
a
dxxf
b
a
dxxg Si f y g son funciones integrables en [a,b].
Propiedad 6:
kdxxKf
b
a
b
a
dxxf )( para toda constante k
Propiedad 7:
b
a
dxxf )( = -a
b
dxxf )( Al intercambiar los limites de integración cambia el signo de la
integral.
Propiedad 8:
b
a
dxxf )(
b
a
dxxg Si f y g son funciones integrables [a,b] y si f(x) g(x).
Propiedad 9:
b
a
abKKdx Es decir, si la función es constante su integral es el producto de la
constante por la diferencia de los límites de integración.
Ejemplos
Calcular la integral definida de las siguientes funciones:
18
1) 5
2
7dx
Solución : como es una constante, entonces: 5
2
7dx = 7(5-2) = 7(3) = 21 (Por prop. 9)
2) 2
0
3 4dxx y 2
0
2dxx entonces calcular 2
0
3 435 dxxx
Solución:
2
0
3 435 dxxx = 2
0
2
0
2
0
3 435 dxxdxdxx
2
0
2
0
3 02435 xdxdxx
= 5(4) – 3(2) + 8 Sustituyendo
= 20 – 6 + 8
= 22
3) Calcular el área bajo la gráfica aplicando la integral definida.
4
3 2
1
1 2 3 4 5
Solución:
5
1
212)4(3)15(33 udx
19
4) Evalúe
5
4
32
51dx
xx reescribimos
5
4
32 5 dxxx
Solución:
5
4
5
4
32 5 dxxdxx integrando obtenemos
5
4
2
5
4
21
2
51
25
1 xx
xx
Sustituimos aplicando la definición
2242
5
4
1
52
5
5
1
= 10625.0160
17
32
5
4
1
50
5
5
1
Ejercicios Propuestos
a) 7
2
3 4 dxxx
R/ = 2025/4
b) 6
5
23 1 dyyy R/ = -1661/12
c) 0
3senZdz R/ = 6
20
d) 4
1
31dxx
xx
R/ = 8.2
e) e
1
ln y dy R/ = 1
f) 4
0
2/32/5 57 dxxx R/ = 192
g) 0
1
31 dxx
R/ = 1/4
h) 8
0
2sec tdt R/ = 1/2
i) 4/
0
cosxdxsenx R/ = 1/4
j) 2
04
cos dxx
R/ = 4/
k) 3
1
2/ dxxe x R/ = 23.37
l) 2
0
12
3 dxxe x R/ = 3/2 e (e
2-1)
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
Si f(x) es continua en el intervalo cerrado [a, b] y F es una primitiva de f en [a, b],
entonces dxxfb
a = F(b) – F(a); la diferencia F(b) – F(a) se denota por el símbolo b
axf )](
o por b
axF )( .
Estrategia para usar el teorema fundamental del cálculo
1. Supuesta conocida una primitiva de f, disponemos de un nuevo recurso para calcular
integrales definidas que no requiere hallar el límite de una suma.
2. Use la siguiente notación para aplicar el teorema fundamental del cálculo b
adxxf )( = b
axF )( = F(b) – F(a).
Nota: No es necesario incluir una constante de integración C en la primitiva.
21
Ocurren los siguientes casos:
1) Si a > b se tiene a
b
b
adxxfdxxf
=- [F(a) – F(b)]
= F(b) – F(a)
2) a = b se tiene
a
aaFaFdxxf 0
Ejemplos
Evaluar
a) 3
2
3
2
32 5
3656 x
xdxx
3
2
3 52 xx
45
639
10161554
108215272
2522353233
b) 0
2
0
2
232 2
2
3
3
2232 x
xxdxxx
022
03
3
0222
2
23
3
22
2323
22
3
10
3
10
1
2
3
16
0463
82
c) 4
4
4
4
2/32/34
4
2/32/1
02/3
43
2/3
43
2/3333
xdxxdxx
* Aplicación del teorema fundamental del cálculo para hallar un área.
d) Calcular el área de la región acotada por la gráfica f(x) = x2 en el intervalo 3,0 nótese
que y 2.
Área = 3
0
3
0
32
3
xdxx .
2
33
9
3
0
3
3
u
Nota: Este ejercicio esta resuelto al inicio de la unidad usando sumatoria.
TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES DEFINIDAS
Si f es continua en el intervalo cerrado ba, , entonces existe un número “c” en ba, tal
que b
a
abcfdxxf ))(()( , c puede ser cualquier punto de ba, .
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0
23
Si despejamos f(c) tendríamos:
b
a
dxxfab
cf )(1
)( obteniéndose así la definición del valor medio de una función en un
intervalo cuyo teorema es:
“Si f es integrable en el intervalo cerrado ba, , el valor medio de f en a,b) es
f med b
a
dxxfab
)(1
”
Ejemplo
a) Halle el valor medio de xxxf 23)( 2 en el intervalo 1,4 en este caso a =1, b = 4
f med b
a
xxxx
dxxxdxxfab
4
1
4
1
23
4
1
232
3
1
2
2
3
3
3
123
14
1)(
1
16
483
101664
3
1
11443
1 2323
GRAFICO
f(x) = 3x2-2x
x Y
1 1
2 8
3 23
4 40
La figura muestra que el área de la región bajo la grafica de f es igual al área del
rectángulo cuya altura es el valor medio.
24
b) Encuentre un número c que satisfaga la conclusión del teorema del valor medio para la
siguiente integral definida 3
0
2 ))(( abcfdxx
Recordemos que esta ya es un área conocida igual a 9 unidades cuadradas, por tanto
3
0
2 ))(( abcfdxx
3)(
)(3
9
)3)((9
)3)((3
3
03)(33
3
0
3
cf
cf
cf
cf
cfx
Como f(x) = x2 entonces c
2 = 3
c = 3 que es valor que satisface la conclusión del teorema.
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
En varias ciencias, como las ciencias sociales, frecuentemente aparecen funciones en las
que se conocen de ellas solo su gráfica o algunos puntos de la misma. En estos casos no
es posible calcular la antiderivada de la función para determinar el área de la región
limitada por dicha función. Existe un método que proporciona una aproximación al valor
del área y que se conoce con el nombre de “INTEGRACIÓN NUMÉRICA”. Este método
se utiliza en los casos en que es muy complicado o imposible obtener la antiderivada de
la función.
Para aproximar el área de una región usaremos los siguientes métodos:
1) Método del Trapecio
25
Una forma de aproximar el valor de una integral definida es usar “n” trapecios como lo
muestra la figura:
x = 0 x1 x2 x3 x4 = b
En este método se supone que f es continua y positiva en ba, de manera que la integral b
a
dxxf )(
representa el área de la región limitada por la grafica de f y el eje x, entre x=a y x=b.
En primer lugar partimos ba, en n subintervalos, cada uno de anchura n
abx tales
que a= nxxxx ...210 = b
A continuación formamos un trapecio sobre cada subintervalo como lo muestra la figura
f(x0)
f (x1) x0 x1
26 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0
n
ab
donde el área del i-ésimo trapecio =n
abxfxf ii
2
)(1 por tanto la suma de las áreas
de los n trapecios es:
Área = )()(...)()(22
)()(...
2
)()(110
110
nnnn xfxfxfxf
n
abxfxfxfxf
n
ab
b
ann xfxfxfxf
n
abdxxf )()(2...)(2)(
2)( 110 que es la regla del trapecio para
aproximar b
adxxf )(
Ejemplo:
1) Use la regla de los trapecio para estimar 3
0
2dxx con n=5
Primero calcular 5
3
5
03
n
abx
3,4.2,8.1,2.1,6.0,0 543210 xxxxxx
Segundo aplicar la ecuación
= )()(2...)(2)(2)(2
1210 nn xfxfxfxfxfn
ab
= )9(2)76.5(2)24.3(2)44.1(2)36.0(20)5(2
03
= 18.91852.1148.688.272.010
3 2U
y = x2
A = 9.18 u2
27
2) Use la regla del trapecio para estimar 0
senxdx con n=4 y n=8
Cuando n=4 44
0
n
abx
43210 ,4
3,
2,
4,0 xxxxx
02
4
32
22
420
)4(2
0sensensensensensenxdx
= 896.14
12222
8222
80)
2
2(2)1(2)
2
2(20
8
Cuando n=8 88
0x
876543210 ,8
7,
4
3,
8
5,
2,
8
3,
4,
8,0 xxxxxxxxx
08
724
328
522
28
324
28
2082
0sensensensensensensensensensenxdx
GRAFICA
como vemos
87
8sensen y
85
83 sensen
Por tanto tenemos
28
872
2
22
852)1(2
832
2
22
82
16sensensensen
834
84222
16
852
832
872
82222
16
sensen
sensensensen
Utilizando la calculadora obtenemos 1.974 u2
que se aproxima al área exacta que es 2u2
Ejercicios Propuestos
Aproxime el valor de la integral para el “n” que se especifique usando la regla del
trapecio.
a) 2
0
2 ,dxx 4n R/ = 8/3 u
2
b) 8
0
2 ,4 dxx 4n R/ = 416/3 u
2
c) 9
4
,dxx 8n R/ = 38/3 u
2
d) 3
1
2,
1dx
x 4n
R/ = 2/3 u2
e) 1.1
1
2dxsenx 4n R/ = 0.089 8.9 * 10
-2