UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA

FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

ESCUELA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

APLICACIÓN DE MÉTODOS NUMÉRICOS A LA MECÁNICA

GENERAL

Curso : Métodos Numéricos.

Profesor : Néstor Castillo B.

Alumnos : Ramos Oquelis Jazmín.

Galán More Juan.

Seminario Beltrán Edwin.

Seminario Beltrán Edwin.

Seminario Beltrán Edwin.

-2014-

DEDICATORIA

A Dios nuestro Señor por regalarnos la dicha de vivir y la fuerza para enfrentar diversos problemas de la vida.

A nuestros padres quienes a lo largo de toda nuestras vidas nos han apoyado y motivado en nuestra formación académica, creyeron en nosotros en todo momento y no dudaron de nuestras habilidades.

A nuestros profesores a quienes les debemos gran parte de nuestros conocimientos, gracias a su paciencia y enseñanza, finalmente un eterno agradecimiento.

A esta prestigiosa universidad la cual abre sus puertas a jóvenes como nosotros, preparándonos para un futuro competitivo y formándonos como profesionales con sentido de seriedad, responsabilidad y rigor académico.

AGRADECIMIENTO

Agradecemos en este trabajo principalmente a Dios, por iluminarnos y estar a nuestro lado en todo momento.

A nuestros padres, amigos incondicionales por la ayuda desinteresada brindada en cada obstáculo que en nuestra vida se presenta, gracias a sus ejemplos hoy hemos llegado a cumplir una de nuestras metas.

A nuestros hermanos, que con sus consejos nos han sabido orientar por el sendero de la superación.

A nuestros amigos de aula, por su apoyo en todo momento.

Y a todas las personas que de una u otra manera siempre nos han apoyado.

ÍNDICE

INTRODUCCIÓNLos métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas.

El objetivo principal del método numérico es encontrar soluciones “aproximadas” a problemas complejos utilizando sólo las operaciones más simples de la aritmética. Se requiere de una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que producen la aproximación al problema matemático.

El trabajo consiste en presentar los principios generales sobre los que se apoyan los modelos mecánicos que interpretan muchas de las situaciones experimentales en mecánica. Mediante una visión del material propio de la mecánica se obtiene posteriormente un modelo matemático que en general consiste de un conjunto de ecuaciones a derivadas parciales con o sin restricciones y con sus respectivos valores de contorno completan su definición.

Dada la complejidad matemática de estos modelos, salvo en situaciones muy particulares en las cuales se pueden obtener soluciones analíticas, requieren de su resolución numérica con lo cual se hace necesario presentar las diferentes técnicas de aproximación habitualmente empleadas en problemas de aritmética.

Este trabajo finaliza con una serie de aplicaciones de los conceptos adquiridos en el curso que hemos llevado con el nombre de “Mecánica General” pero desarrollándolos con métodos numéricos y así dar a conocer que no es necesario utilizar métodos propios del curso sino también valiéndonos de la aproximación.

También desarrollaremos algunos ejercicios propios de la mecánica mediante el programa MATLAB y así dar a conocer las funciones propias de dicho programa para aplicar herramientas y dar solución a un determinado ejercicio.

APLICACIONES1. Las deformaciones unitarias sobre la superficie de un dispositivo experimental

de aluminio puro y probado en una nave espacial se midieron por medio de extensómetro. Estos se orientan como se indica en la figura y las deformaciones unitaria medidas fueron

Comprobar el resultado utilizando el programa MATLAB y halla el error relativo

porcentual.

Calcular:

SOLUCIÓN

Extrayendo los ángulos de la figura: Siendo la fórmula:

Reemplazando los datos en la fórmula:

Reduciendo el sistema de ecuaciones:

Aplicando eliminación gaussiana:

Cambiando fila 2 a fila 3

Por lo tanto:

Ahora en MATLAB:

Hallando el error relativo porcentual de:

>> format long

>> a=[(cos(0))^2 (sin(0))^2 sin(0)*cos(0) ;(cos(40*pi/180))^2 (sin(40*pi/180))^2 -sin(40*pi/180)*cos(40*pi/180); (cos(140*pi/180))^2 (sin(140*pi/180))^2 -sin(140*pi/180)*cos(140*pi/180)]

a =

1.000000000000000 0 0

0.586824088833465 0.413175911166535 -0.492403876506104

0.586824088833465 0.413175911166535 0.492403876506104

>> b=[1100*10^(-6); 1496*10^(-6);-39.44*10^(-6)]

b =

0.001100000000000

0.001496000000000

-0.000039440000000

>> c=inv(a)

c =

1.000000000000000 0 0

-1.420276625461206 1.210138312730603 1.210138312730603

0.000000000000001 -1.015426611885745 1.015426611885745

>> x=c*b

x =

0.001100000000000

0.000200334772784

-0.001559126636954

CONCLUSIÓNEn conclusión, como podemos ver, los métodos numéricos pueden aplicarse a la mecánica, para encontrar resultados aproximados a sistemas complejos utilizando sólo las operaciones matemáticas más simples.

Cada método que se presento en este trabajo como ejercicios resuelto que fueron puestos en este trabajo, fue colocado con el único objetivo de que fuera más fácil su compresión de cada método que fue investigado en este trabajo, también podemos decir que estos métodos para poder resolver un problema es necesario tener una calculadora programable por la razón de que si hace sin una de ellas resulta demasiado largo la resolución de cada problema.

Tener en cuenta que para resolver cada problema de los métodos numéricos es necesario tener orden porque la cantidad de datos son demasiados, también se necesita tener los programas para resolver cada método.

RECOMENDACIONES

El alumno debería tener una buena formación en álgebra lineal y matemáticas. Como se mencionó en el punto anterior, pretende ser un apoyo a aquellas asignaturas que introduzcan modelos de tiempo continuo en sus programas Por otra parte, sería deseable que el alumno tuviese una formación mínima en el uso de computación para ingenieros.

BIBLIOGRAFÍA

Aprenda MATLAB 5.3 Como si estuviera en primero Javier García de Jalón. Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. Universidad Politécnica de Madrid. 2001.

Introducción a MATLAB Segunda Edición, Kermit Sigmon, Departamento de Matemáticas. Universidad de Florida.

Métodos Numéricos Aplicados en Ingeniería. J.M. Ledanois, A. López de Ramos, J. A. Pimentel, F. F. Pironti. Editorial, Mc Graw-Hill, 2000.

Métodos Numéricos para ingenieros, McGraw-Hill. Chapra S. y Canale R.