metodosdeintegracion
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1. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN1.1. Tablas de Integrales
TABLAS DE INTEGRALES
1.- .Caxdxaadx
2.- .1nsi,C
1nx
dxx1n
n
3.-
.1nsi,C1n
xfdxxfxf
1nn
4.-
.CxfLdxxfxf
5.- .Cedxe xx
6.-
.Cedxxfe xfxf
7.-
.1a,0asi,CLa
adxxfa
xfxf
8.- .Cxcossenxdx
9.- .Cxfcosdxxfxfsen
10.- .sencos Cxxdx
11.- .Cxfsendxxfxfcos
12.-
.Cxftgdx
xfcos
xf2
13.-
.Cxfgcotdx
xfsen
xf2
14.-
.Cxfarcsendx
xf1
xf2
15.-
.Cxfarccosdx
xf1
xf2
16.-
.Cxfarctgdxxf1
xf2
17.- .CxcosLtgxdx
18.- .CsenxLgxdxcot
19.-
.C
42x
tgL
.CtgxxsecLxdxsec
20.-
.C
2x
tgL
.CgxcotecxcosLecxdxcos
21.- .Ctgxxdxsec2
22.- .Cgxcotxdxeccos 2
23.- .Cxsecxtgxdxsec
24.- .Cecxcosgxdxcotecxcos
25.- .Cxsecdx
xcos
senx2
26.- .Cecxcosdx
xsen
xcos2
27.-
.CaxfxfL
axf
dxxf 22
22
28.-
.CaxfxfL
axf
dxxf 22
22
29.-
.Cxsecarc
1xx
dx2
30.-
.C
axf
secarca1
axfxf
dxxf22
31.-
.Cecxarccos
1xx
dx2
.C2
axf
arcsena
2xfaxf
dxxfa
22222
.C
2
axfxfLa
2axfxf
dxaxf
22222
22
.C2
axfxfLa
2axfxf
dxaxf
22222
22
INTEGRACIÓN POR PARTES:
Si u y v son funciones de x tales que [ u = f(x), v = g(x) ], por la fórmula de la diferencial de un producto de funciones, tendremos:
d(u·v) = u·dv + v·du Þ u·dv = d(u·v) – v·du, de donde, integrando en
ambos miembros:
u·dv = d(u·v) - v·du, con lo que nos quedará la fórmula de la integración por partes:
.
Para la elección de las partes, podemos seguir el orden de las reglas siguientes:
ALPESricatrigonomét
funciónxcos
senx
..onencialexp
funcióna
..polinómica
funciónxf
.......xlogxlog
Lx
x...arcarctgx
xarccosarcsenx
SE
xf
PL
b
A
INTEGRALES RACIONALES
Son de la forma ,dx
)x(Q)x(P
siendo ,xQyxP polinomios de coeficientes reales y exponentes naturales.
Ante integrales de este tipo interesa una previa y rápida comprobación de que no se trata de una integral inmediata de tipo logarítmico, ya que en este caso su integración, como ya vimos, es rápida. De no ser de este tipo, el proceso general para su resolución es el siguiente:
A) El grado de P(x) es mayor ó igual que el grado de Q(x), entonces:
Proceso: Se realiza la división de P(x) entre Q(x), dando lugar al resultado siguiente:
:xQpormiembrosambosdividiendo
.divisiónladestoRexR.divisiónladeCocientexCxRxCxQxP Þ
dx
)x(Q)x(R
dx)x(Cdx)x(Q)x(P
)x(Q)x(R
)x(C)x(Q)x(P miembros ambos en Integrando
B) El grado de P(x) es menor que el grado de Q(x), entonces:
Proceso: Se iguala el polinomio del denominador, Q(x), a cero y se obtienen sus raices. Esto puede dar lugar a cuatro resultados diferentes:
1) RAICES REALES SIMPLES ( RRS ).2) RAICES REALES MÚLTIPLES ( RRM ).3) RAICES IMAGINARIAS SIMPLES ( RIS ).4) RAICES IMAGINARIAS MÚLTIPLES ( RIM ).
Vamos a estudiar cada uno de estos cuatro casos por separado, indicando los pasos a seguir así como las operaciones a realizar.
1) RAICES REALES SIMPLES: ( RRS ).- Supongamos que resolvemos Q(x)=0:
dx...cx
Cbx
Bax
Adx
...cxbxaxxP
dxxQxP
....cxbxax
0xQ
x=−b±√b2−4ac2a
Para calcular los coeficientes A, B, C, ... se siguen los siguientes pasos:
1) Descomposición de xQxP
en suma de fracciones simples ...cx
Cbx
Bax
AxQxP
2) Se expresan ambos términos con un común denominador que es Q(x).3) Se multiplican ambos miembros por Q(x).
2) RAICES REALES MÚLTIPLES: ( RRM ).- Supongamos que resolvemos la ecuación Q(x)=0:
...dx
cxC
dxbx
Bdx
axA
dxxQxP
dx...bxax
xPa1
dx...bxaxa
xPdx
xQxP
....bxbxax
0xQ2
02
0
dx...bx
Cbx
Bax
Aa1
2o
x=−b±√b2−4ac2a
Finalmente, quedará:
3) RAICES IMAGINARIAS SIMPLES: ( RIS ).- Supongamos que resolvemos la ecuación Q(x)=0, sindo Q(x) un plinomio de 5º grado, y obteniéndose una RRS, dos RRM, y un polinomio de 2º grado que no tiene ya raices reales y sus raices imaginarias son z1 y z2 :
4
21
3
21
2
1
1
1
2
1
1
1
1
zxzxdxNMx
bx
Cdxbx
Bdxax
Adxdx
xQxP
biazbiaz
bxbxax
0xQ
( x+a )n=∑k=0
n
(nk )xk an−k
Las integrales 1, 2 y 3 son inmediatas, de tipo logarítmico las dos primeras y potencial la última. En cuanto a la 4, podemos llevar a cabo en su denominador una agrupación del tipo siguiente: (x-z1)(x-z2) = [x-(a+bi)][x-(a-bi)] = [(x-a)-bi][(x-a)+bi] = (x-a)2 – (bi)2 =
(x-a)2 +b2 .
Con lo cual, la 4, nos queda así:
...dx
bx
Cdx
bxB
dxax
Aa1
dxxQxP
20
( x+a )n=∑k=0
n
(nk )xk an−k
4) RAICES IMAGINARIAS MÚLTIPLES: ( RIM ).- Método de HERMITE:
La descomposición de )(
)(
xQ
xP
según HERMITE, es tal como sigue:
1) Las raices reales simples se descomponen como en los casos anteriores, ó sea, coeficiente indeterminado entre x menos la raiz.
2) Las raices reales múltiples en este caso se descomponen como si fuesen simples (sin tener en cuenta el grado de multiplicidad).
3) Las raices imaginarias simples se descomponen igual que en el caso ( RIS ) visto anteriormente.
4) Las raices imaginarias múltiples, en este caso se descomponen como si fuesen simples, es decir cómo hemos indicado anteriormente (por lo tanto sin tener en cuenta su grado de multiplicidad).
5) El último término característico de esta descomposición de HERMITE es:
La derivada indicada con respecto a x de un cociente donde primero se colocará el denominador, el cual será el producto de las expresiones en la descomposición factorial de las raices reales múltiples y las raices imaginarias múltiples, elevadas a exponentes que son sus grados de multiplicidad respectivos menos uno.
A continuación se expresará el numerador, que será un polinomio en x, completo de coeficientes indeterminados y de grado inferior en una unidad al polinomio que hubiese resultado en el denominador.
Método de HERMITE
2) Se deriva a continuación este último término con respecto a x.
3) Se expresan ambos términos con un común denominador que será siempre Q(x).
4) Se multiplican ambos miembros por Q(x),
.baxL2M
I 22OLOGARÍTMICTIPOINMEDIATA1
.b
axarctg
bNMa
bax
dxNMaII
22TANGENTEARCOTIPO
32
5) Se calculan los coeficientes indeterminados.
6) Se integra en la expresión de la descomposición inicial.
INTEGRALES IRRACIONALES:
dxcbxax,xR 2
1. Si 0a Þ se efectua el cambio: tx.acbxax2 .
2. Si 0a Þ ( x+a )n=∑
k=0
n
(nk )xk an−k
Algunas de estas integrales, operando convenientemente, se pueden llevar a la forma del número 14.
INTEGRALES BINOMIAS:
Son de la forma donde m, n, p Q. Pueden ocurrir los casos siguientes:
1. Si p Z Þ
Þ
.nymdeadoresmindenolosde.m.c.melsiendo,txCambio:0p
.NewtondebinimioelporrDesarrolla:0p
De este modo se reduce el problema a una integral racional.
2. Si
.pdeadormindenoelsiendo,tbxa:CambioZn
1m n Þ
3. Si
Þ
.pdeadormindenoelsiendo,x.tbxa:CambioZp
n1m nn
INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS:
dxbxaxpnm
dxxcos,senxR
Son de la forma Pueden ocurrir los casos siguientes:
1. La función R(senx, cosx) es IMPAR en senx, es decir, si la función cambia de
signo al sustituir
Þ .
t1
dtdx
.t1senxtxcos
2
2
(senx) por (-senx), entonces, podemos escribirla haciendo el cambio siguiente:
2. La función R(senx, cosx) es IMPAR en cosx, es decir, si la función cambia de signo al sustituir (cosx) por (-cosx), entonces, podemos escribirla haciendo el cambio siguiente:
3. La función R(senx, cosx) es PAR en senx, cosx, es decir, si la función no se altera al sustituir (senx) y (cosx) simultáneamente por (-senx) y (-cosx) respectivamente, entonces, podemos escribirla haciendo el cambio siguiente:
4. La función R(senx, cosx) no obedece a ninguno de los 3 casos anteriores, entonces, podemos realizar el cambio siguiente:
Þ
.t1
dtdx
.t1
1xcos
.t1
tsenx
ttgx
2
2
2
Þ
.t1
dt2dx
.t1
t1xcos
.t1
t2senx
t2x
tg
2
2
2
2
PARA RECORDAR
.)(tg1
)(tg2
)(sen)(cos
)cos()(sen2senx
2x2
2x
2x2
2x2
2x
2x
.
)(tg1
)(tg1
)(sen)(cos
)(sen)(cosxcos
2x2
2x2
2x2
2x2
2x2
2x2
INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS POTENCIALES:
Son de la forma Pueden ocurrir los casos siguientes:
1. Si m es IMPAR, entonces, se hace el cambio:
.dtsenxdx.txcos
2. Si n es IMPAR, entonces, se hace el cambio:
.dtxdxcos.tsenx
3. Si m y n son de IGUAL PARIDAD, se hace :
.dtxcos
dx.ttgx
2
4. Cuando (m+n) 0 y los tres cambios anteriores no resultan eficaces:
(A) Reduciendo el exponente del seno:
n,2m
1n1mnm
n,m Inm1m
nmxcos.xsen
dx.xcos.xsenI
(B) Reduciendo el exponente del coseno:
2n,m
1n1mnm
n,m Inm1n
nmxcos.xsen
dx.xcos.xsenI
1.2. Integración por partes
dx.xcos.xsen nm
1.3. Fracciones parciales1.4. Integración de funciones racionales1.5. Integración por sustitución1.6. Integración numérica