metodos numericos_ splines-ejemplo
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splines-metodos numericosTRANSCRIPT
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NOTAS EJEMPLO CORREGIDO SPLINES
Ejemplo 4.12: Se trata de estimar (2.3)f utilizando splines cbicas construidas con los datos de la tabla siguiente,
i 0 1 2 3 4
xi 1.2 1.6 2.1 2.5 2.7
f(xi) 0.079181 0.204120 0.322219 0.397994 0.431364
(1) Caso con las Condiciones sobre la Segunda Derivada:
En ese caso: h0=0.4, h1=0.5, h2=0.4 y h3=0.2, por otra parte, se tiene las condiciones M0 = M4 = 0,
=
+
+
+
2
23
3
34
1
12
2
23
0
01
1
12
3
2
1
322
2211
110
360
636
063
h
yy
h
yy
h
yy
h
yy
h
yy
h
yy
M
M
M
hhh
hhhh
hhh
1 1
2 2
3 3
0.3 0.083333 0 0.076148 0.233809
0.083333 0.3 0.066667 0.046897 0.072066
0 0.066667 0.2 0.022183 0.086893
M M
M M
M M
= =
Como x=2.3 se encuentra en el intervalo [2.1, 2.5], donde es vlida la spline S2(x), se tiene:
[ ] [ ]
[ ]
3 3 2
2 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3
2 2
3 3
2
1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
6 6
1 1(2.3) (2.5 2.3) ( 0.072066) (2.3 2.1) ( 0.086893) (2.5 2.3)(0.322219) (2.3 2.1)(0.397994)
6*0.4 0.4
0.4 (
6
hS x x x M x x M x x y x x y x x M x x M
h h
S
= + + + +
= + + +
[ ]
2
2.5 2.3)( 0.072066) (2.3 2.1)( 0.086893)
(2.3) (2.3) 0.361669f S
+
=
el valor exacto de la funcin es 361728.0)3.2( =f , entonces el error relativo del resultado es de 0.016%.
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(2) Caso con las Condiciones sobre la Primera Derivada:
Se supone que se tiene los datos sobre las derivadas 361912.0)2.1( 0 == yf y 160850.0)7.2( 4 == yf ,
=
+
+
+
3
344
2
23
3
34
1
12
2
23
0
01
1
12
00
01
4
3
2
1
0
33
3322
2211
1100
00
36000
63600
0636
0
00636
00063
h
yyy
h
yy
h
yy
h
yy
h
yy
h
yy
h
yy
yh
yy
M
M
M
M
M
hh
hhhh
hhhh
hhhh
hh
0
1
2
3
4
0.133333 0.066667 0 0 0 0.049565
0.066667 0.3 0.083333 0 0 0.076148
0 0.083333 0.3 0.066667 0 0.046897
0 0 0.066667 0.2 0.033333 0.022183
0 0 0 0.033333 0.066667 0.006268
M
M
M
M
M
=
0
1
2
3
4
0.290394
0.162689
0.095782
0.069071
0.059499
M
M
M
M
M
=
Como la spline vlida para x=2.3 es S2(x), se tiene:
[ ] [ ]
[ ]
3 3 2
2 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3
2 2
3 3
2
1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
6 6
1 1(2.3) (2.5 2.3) ( 0.095782) (2.3 2.1) ( 0.069071) (2.5 2.3)(0.322219) (2.3 2.1)(0.397994)
6*0.4 0.4
0.4 (2
6
hS x x x M x x M x x y x x y x x M x x M
h h
S
= + + + +
= + + +
[ ].5 2.3)( 0.095782) (2.3 2.1)( 0.069071)
+
2(2.3) (2.3) 0.361728f S = , que es una buena aproximacin del resultado exacto (0.0000966 % de error relativo).