métodos numéricofs introducción 2016

7/26/2019 Mtodos Numricofs Introduccin 2016

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Escuela Politecnica del Ejercito

Departamento de Ciencias de la Energa y

Mecanica

Matematicas Aplicadas a la Manufactura y

Diseno

(Parte 2)

Metodos Numericos

Byron Guerrero

31 de diciembre de 2015

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Indice

1. Prefacio 3

2. Algebra de Matrices 4

2.1. Definicion de Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.1.1. Filas y Columnas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.1.2. Dimension de una Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.1.3. Vector Columna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2. Reglas de Operaciones con Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.1. Suma y Resta de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.2. Producto Matriz por un Escalar . . . . . . . . . . . . . . 52.2.3. Producto de Dos Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3. Ecuaciones Lineales y Ecuaciones no Lineales . . . . . . . . . . . 6

2.3.1. Ecuacion Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3.2. Ecuacion No Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4. Sistemas de Ecuaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.5. Solucion de un Sistema de Ecuaciones Lineales . . . . . . . . . . 72.6. Representacion de Ecuaciones Algebraicas de Forma Matricial . . 7

2.6.1. Solucion de Un Sistema de Ecuaciones Lineales . . . . . . 82.6.2. Matriz Aumentada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.6.3. Operaciones entre Filas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

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1. Prefacio

Las ecuaciones diferenciales ordinarias y las ecuaciones diferenciales parcia-les resultan de mucha utilidad en diversas aplicaciones de ingeniera. De hecho,estas ecuaciones decriben varios fenomenos fsicos aplicados a la mecanica desolidos, mecanica de fluidos, termodinamica, electromagnetismo, y otras disci-plinas del conocimiento.

El proposito de este curso no es el de demostrar las ecuaciones diferencialesque gobiernan estos fenomenos. Por el contrario, lo que se desea es adquirirun conocimiento sobre los metodos numericos que nos permiten resolver estasecuaciones diferenciales con la finalidad de obtener resultados numericos.

El interes de encontrar una solucion numerica para varios problemas fsicos

reside en que varias de las ecuaciones que se utilizan en ingeniera no tienenpor el momento solucion analtica (en otras palabras, no podemos resolver lasecuaciones diferenciales a mano). Por lo tanto, se vuelve necesario utilizar unmetodo numerico adecuado para poder resolver estas expresiones matematicas.Ademas, con el incremento del poder computacional, se esta volviendo factiblela simulacion de problemas fsicos que habran sido imposibles de resolver hacesolo algunas decadas. Por estas razones, es importante entender como funcio-nan los metodos numericos, y como los podemos implementar en forma de unprograma computacional. [3]

Por lo tanto, antes de empezar este curso de metodos numericos, se ha asu-mido que el estudiante tiene conocimiento de ecuaciones diferenciales, c alculo

vectorial y algebra lineal. Se ha asumido tambien, que el estudiante sabe utilizarMatlab al menos de una forma basica.

Para los estudiantes interesados en desarrollar software de ingeniera y cientfico,este curso sirve como una breve introduccion a los metodos numericos mas popu-lares en la actualidad. Por otro lado, para los estudiantes que pretenden utilizarsoftware comercial para mecanica de solidos, mecanica de fluidos computacionaly/o software multifsica, este curso trata de generar en el estudiante una nocionde como funcionan estos codigos comerciales.

En la primera parte del curso se hara una breve revision de los conceptos masrelevantes de algebra lineal. La segunda parte del curso contemplara el analisisde varios metodos numericos que permiten resolver ecuaciones de una sola va-

riable, y sistemas de ecuaciones lineales. La parte tres del curso contempla elanalisis de metodos de resolucion ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemasde ecuaciones diferenciales ordinarias. Finalmente, la cuarta parte del curso esuna introduccion a las ecuaciones diferenciales parciales, y se revisaran el metodode las diferencias finitas y el metodo de los elementos finitos, los cuales permitenresolver numericamente este tipo de ecuaciones.

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2. Algebra de Matrices

El algebra lineal es un tipo distinto de algebra. De hecho, las reglas del alge-bra de los numeros reales no necesariamente son aplicables en el algebra lineal.De todas formas, resulta de mucha ayuda tener bases solidas de algebra linealpara compreder de mejor manera la Ingeniera Asistida por Computador o CAEpor sus siglas en ingles. Adicionalmente el algebra lineal resulta bastante practi-ca para resolver problemas en geometras complicadas debido a la naturalezageometrica de esta rama de las ciencias exactas. [1]

2.1. Definicion de Matriz

Una matriz es un arreglo rectangular de numeros complejos que cuenta con

mfilas y ncolumnas. Esto se conoce como una matriz m n.Para denotar una matriz, se utilizan letras mayusculas (A, B, C, , Z) y losarreglos numericos o la letra que denota a la matriz deben estar entre corcheteso parentesis. Este arreglo numerico es representado por un solo smbolo [A]

Los elementos individuales de la matriz se representan de la formaaij , dondela letra i representa a las filas, y la j a las columnas.

2.1.1. Filas y Columnas

Una fila es definida como un arreglo horizontal de elementos de una matriz,y una columna es definida como un arreglo vertical de elementos de la matriz.

2.1.2. Dimension de una Matriz

La dimension de una matriz indica la cantidad de filas y de columnas conlas que cuenta una matriz. Por ejemplo si tenemos la siguente matriz [ A]m n,quiere decir que la matriz A tiene m filas y n columnas.[2]

Por ejemplo, una matriz expandida [A]m,n es representada de forma expan-dida de la siguiente forma:

Am,n=

a1,1 a1,2 a1,na2,1 a2,2 a2,n

.

.....

.. .

...

am,1 am,2 am,n

2.1.3. Vector Columna

Un vector columna de tamano m es una lista ordenada de numeros la cualesta ordenada verticalmente empezando desde arriba y terminando en la parteinferior. A los vectores columna se los identifica usualmente con letras minuscu-las del alfabeto latino en negrilla o entre corchetes. Por ejemplo la notacion{v}o v, se refieren en ambos casos al vector v .[1]

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2.2. Reglas de Operaciones con Matrices

2.2.1. Suma y Resta de Matrices

La suma de matrices puede ser representada de la siguiente forma:

[C] = [A] + [B]Los elementos se deben sumar o restar uno a uno como se indica en la si-

guiente ecuacion

cij =aij+ bijEs importante tomar en cuenta que tanto la suma como la resta matriciales

son conmutativas.

[A] + [B] = [B] + [A]

Tambien son asociativas

[A] + [B]

+ [C] =

[B] + [C]

+ [A]

2.2.2. Producto Matriz por un Escalar

Considere que g es un escalar y que [A] es una matriz de dimensiones 3 3.Entonces el producto g[A] es:

[D] =g[A] =

ga11 ga12 ga13ga21 ga22 ga23ga31 ga32 ga33

2.2.3. Producto de Dos Matrices

Si se tiene un producto de dos matrices [C] = [A] [B], el producto se puedecalcular de la siguiente forma:

cij =n

k=1

aikbkj

Esta notacion resulta un poco difcil de visualizar. En el siguiente ejemplotomado de la referencia [2], se puede visualizar de mejor manera la forma demultiplicar dos matrices.

Suponga que va a multiplicar las matrices [X] y [Y] para obtener otra matriz[Z].

Una forma mas grafica de representar la multiplicacion entre matrices sepuede ejecutar con el siguiente metodo al ubicar las matrices de la siguienteforma:

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Si se procede de igual manera con el resto de filas y columnas, el resultado es

Nota 1: Al multiplicar dos matrices, el numero de columnas de la primeramatriz debe ser igual al numero de filas de la segunda matriz tal como se repre-senta en la siguiente figura:

Nota 2: La multiplicacion de matrices NO es conmutativa.[A] [B]= [B] [A]

Nota 3:Aunque la multiplicacion entre matrices ha sido definida, la divisionpara matrices no esta definida, pero la multiplicacion de una matriz por suinversa es una operacion analoga a la division.

[A] [A]1

= [I]

donde [I] es la matriz identidad donde todos los elementos son cero, exceptolos elementos aii de la diagonal principal que tienen el valor de aii= 1.

I=

1 0 0 00 1 0 00 0 1 0...

......

. . . ...

0 0 0 1

2.3. Ecuaciones Lineales y Ecuaciones no Lineales

2.3.1. Ecuacion Lineal

Una ecuacion lineal tiene la forma

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ax1+bx2+cx3+...+nxn= m (1)

2.3.2. Ecuacion No Lineal

Las ecuaciones lineales tienen usualmente multiplicacion y o potencias en lasvariables. Por ejemplo:

x2 +xy+tan(y3) = 0 (2)

2.4. Sistemas de Ecuaciones Lineales

Un sistema de ecuaciones lineales puede ser definido como un grupo de mecuaciones que tiene las cantidades variables x1, x2, x3,..., xn en la forma: [1].

a11x1+a12x2+ +a1n+xn= b1

a21x1+a22x2+ +a2n+xn= b2

...

am1x1+am2x2+ +amn+xn= bm (3)

donde 1 i m ; 1 j n

2.5. Solucion de un Sistema de Ecuaciones Lineales

La solucion de un sistema de ecuaciones lineales en nvariables,x1, x2, x3, , xnes una lista ordenada de n numeros complejos s1, s2, s3, , sn, tales que sisustituimos sj por xj , el lado izquierdo de la ecuacion es igual al lado derechode la ecuacion.

2.6. Representacion de Ecuaciones Algebraicas de Forma

Matricial

El sistema de ecuaciones 3 se puede representar de forma matricial de laforma indicada a continuacion:

a11 a12 a1n

a21 a22 a2n......

. . . ...

an1 an2 ann

x1

x2...xn

=

b1

b2...bn

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La ecuacion 4 puede ser representada de manera corta de la siguente forma:

[A] {x}= {b} (5)

Donde [A] representa la matriz de coeficientes, {x} representa el vector delas variables, y{b} representa el vector de constantes.

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2.6.1. Solucion de Un Sistema de Ecuaciones Lineales

Una forma sencilla de encontrar la solucion de un sistema de ecuacioneslineales consiste en multiplicar la inversa de la matriz de coeficientes en amboslados de la ecuacion. Esto se puede demostrar de la siguiente manera:

[A]1[A] {x}= [A]1 {b}

[I] {x}= [A]1 {b}

{x}= [A]1 {b}

2.6.2. Matriz Aumentada

La matriz aumentada de un sistema de ecuaciones es la matriz de ordenm(n+ 1) cuyas primeras n columnas son las mismas columnas de [A], y lacolumnan+ 1 es el vector de constantes {b}La matriz aumentada es de gran ayuda ya que contiene la informaci on masimportante de un sistema de ecuaciones. Adicionalmente, es importante tomaren cuenta que la matriz aumentada es s olo una matriz y no es el sistema deecuaciones lineales. Sin embargo, para ciertas tecnicas de resolucion de matricescomo la reduccion Gaussiana, la matriz aumentada nos ayuda a ahorrar tiem-po al evitar escribir los nombres de todas las variables mientras resolvemos elsistema.[1]La matriz aumentada de la ecuacion 4 es:

a11 a12 a1n b1a21 a22 a2n b2

......

. . . ...

...an1 an2 ann bn

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2.6.3. Operaciones entre Filas

Existen varios metodos numericos que se utilizan para resolver sistemas deecuaciones. Algunos de estos metodos requieren del uso de las operaciones entrefilas. Cuando hablamos de matrices, existen unicamente tres operaciones entrefilas.

1. Intercambio de ubicacion entre filas

2. Multiplicion de cada elemento de una fila por un escalar diferente a cero.

3. Multiplicacion y suma de filas. Esta operacion consiste en multiplicar cadaelemento de una fila por un escalar, y sumar cada elemento de la fila con sucorrespondiente de una segunda fila, tomando en cuenta que los elementos quese suman correspondan a la misma columna. La primera columna no cambialuego de esta operacion, pero se reemplaza la segunda columna con los nuevosvalores.

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Referencias

[1] Robert Beezer. A First Course in Linear Algebra. University of PugetSound, 2014.

[2] Steven Chapra and Raymond Canale. Metodos Numericos para Ingenieros.Mc Graw Hill, 2010.

[3] Stephen Moore. Advanced Computational Mechanics. The University ofMelbourne, 2012.

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