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52 Métodos Matemáticos en Física EJEMPLO de Planteamiento de problema (clase) Se obtiene una barra fina (problema 1-dimencional) de longitud L mediante unión de dos barras homogéneas (L=L 1 +L 2 ) con diferentes coeficientes de conductividad térmica (k 1,2 ) y de difusion termica (a 1,2 ) [a 2 =k/C donde es densidad de material y C su capacidad calorífica). La superficie lateral y extremo derecho de barra están aislados ( ver figura) mientras que extremo izquierdo se pone en contacto térmico con un medio de difusion térmica infinita (foco termico) a temperatura cero. 1. PLANTEAR el PROBLEMA MATEMATICAMENTE 2. Hallar autofunciones de problema Sturm Louville k 1 a 1 ; k 2 a 2 L Extremo term. aislado Extremo en contacto con foco termico a T=0

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52

Métodos Matemáticos en FísicaEJEMPLO de Planteamiento de problema (clase)

Se obtiene una barra fina (problema 1-dimencional) de longitud L mediante unión de dos barras homogéneas (L=L1+L2) con diferentes coeficientes de conductividad térmica (k1,2) y de difusion termica (a1,2) [a2=k/C donde es densidad de material y C su capacidad calorífica).

La superficie lateral y extremo derecho de barra están aislados ( ver figura) mientras que extremo izquierdo se pone en contacto térmico con un medio de difusion térmica infinita (foco termico) a temperatura cero.

1. PLANTEAR el PROBLEMA MATEMATICAMENTE

2. Hallar autofunciones de problema Sturm Louville

k1 a1; k2 a2

L

Extremo term. aislado

Extremo en contacto con foco termico a T=0

53

Formulación matemática

1 1

2 1

1 1

2 1

1 1

2 1

0

(t>0)

(0<x<L )( )

(L <x<L)

(0<x<L )( )

(L <x<L)

(0<x<L )( )

(L <x<

( ) ( ) [ ( )

L): (0) ( ) 0

] 0

(t>0): ( ,0)

x

t xx C x u k

kk x

k

x

CC x

CCC u u LCI

x

x T

x

u

u

k1 a1; k2 a2

L

Métodos Matemáticos en Física1er_Ex_Par_10_11

54

Separando variables

n n m0

[ ( ) ]( ) 0

( ) ( )

[ ( ) ]

( ) ( ) ( )

( ) ( )

Ortoganalidad para v : ( ) ( ) ( )v (x)v ( )

*

0

para v(x

( ) 0

)

0) (

xt

L

x

n

x

m

u T t v

k x vx v x

v v L

SL

x

k x vT xT x C x v x

x C x

Cond x C x x dx

k1 a1; k2 a2

L

Métodos Matemáticos en Física1er_Ex_Par_10_11

55

21 1 1

121

22 2 2

222

21

12 21

22

221,22

1,21,2 1,2

22

k

=

0

0

1 0

1 0

d v C vdx k

d v C vdx k

od v vdx

con

a

d v vdx Ca

a

Separando Ec. (*) en 2 partes

k1 a1; k2 a2

L

Métodos Matemáticos en Física1er_Ex_Par_10_11

Hallamos Cond. Contorno y de unión de v1,2

1

2

11

22

(0) 0 =>

(

v =A Sen( )

v =B Cos () [ )]0

xa

x La

v

dv Ldx

1

2

k1 a1; k2 a2

L

Métodos Matemáticos en Física1er_Ex_Par_10_11

CL: Condiciones de union de dos funciones?

57

1 1 2 2

1

1 1

( ) ( )

(*) por entorno de la union x=L

obtendremos condicio

[ ( ) ] (

n de union de der

) 0 *

(

ivadas:

L ) (L )

x

x x

k x v x C x

Integramos dx

Entonce

v xx

k v k

s

v

k1 a1; k2 a2

L

Métodos Matemáticos en Física1er_Ex_Par_10_11

58

Métodos Matemáticos en FísicaL.5A. Cond_Cont_Conduccion de Calor Cap.5APL

Tipos de Cond. Contorno que vimos

Oscilaciones: Fijos, Libres, Mediolibres/Fijos

Conduccion termica: anclados a Foco termico, aislados, medio-aislados

Gases/Liquidos: contornos cerrados, abiertos, (medio-abiertos)

Electrostatica: potencial de campo en contornos metalicos (contornos aislantes, metal/aislante)

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Métodos Matemáticos en FísicaL.5A. Cond_Cont_Conduccion de Calor Cap.5APL

Cond. Contorno Dieléctricos

Electrostática: de Ec. Maxwell

rot(E)=0

60

Métodos Matemáticos en FísicaL.5A. Cond_Cont_Conduccion de Calor Cap.5APL

Cond. Contorno Dieléctricos

Teorema Stokes

Continuidad de componente tangencial de campo en contornos Dieléctricos

rot(E)

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Métodos Matemáticos en FísicaL.5A. Cond_Cont_Conduccion de Calor Cap.5APL

Cond. Contorno Dieléctricos

Integramos otra Ec. de electrostática por el volumeninfinitesimal a lo largo de interfase (- permisividad dieléctrica del medio no metálico).

Usando Teorema Gauss

62

Métodos Matemáticos en FísicaL.5A. Cond_Cont_Conduccion de Calor Cap.5APL

Integramos por superficie S´infinitesimal paralela a interfase

CC para Proyección normal de campo eléctrico

Contribución de proyección paralela a superficie es despriciable

63

Métodos Matemáticos en FísicaL.5A. Cond_Cont_Conduccion de Calor Cap.5APL

tU Const

nn U E

Cuando uno de medios es metálico

CC para Proyección normal de Campo eléctrico

tU Const

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Métodos Matemáticos en FísicaL.5A. Cond_Cont_Conduccion de Calor Cap.5APL

Problema de penetración de campo Eléctromagnetico en METALES <=> Ec. DIFUSION(ver libro Budak… 3.11) Clase_ omitimos deduccion

Ausentes1.Cargas externas2.Campos exteriores

1

2

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Métodos Matemáticos en FísicaL.5A. Cond_Cont_Conduccion de Calor Cap.5APL

Como es medio conductor,Corrientes de desplazamiento son nulas

Además

0

Relaciones entre distintos parámetros físicos

3

4

5

6

7

66

Métodos Matemáticos en FísicaL.5A. Cond_Cont_Conduccion de Calor Cap.5APL

Usando (5,7) Ec (1,2) se REescriben de manera

Aplicando Operador rot(*) a (1´)Hallando derivada por (t) de (2`)Excluimos H de ambos Ec.

1`

2`

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Métodos Matemáticos en FísicaL.5A. Cond_Cont_Conduccion de Calor Cap.5APL

Además simplificar rot rot (E)

Como grad (div E)=0div E=0 como no hay cargas

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Métodos Matemáticos en FísicaL.5A. Cond_Cont_Conduccion de Calor Cap.5APL

Como

Ec Difusion descibe la propagación / penetracion de campo E/M en metales

2

2

4

4

dE c Edt

dH c Hdt

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Métodos Matemáticos en FísicaL.5A. Cond_Cont_Conduccion de Calor Cap.5APL

Ejemplos Planteamiento de problemasLIBRO APL- 5.2Plantear problema de contorno sobre las vibraciones longitudinales pequeñas de una barra elástica en medio sin resistencia si uno de sus extremos es fijo rígidamente y otro experimenta una resisitencia proporcional a la velocidad

No hay extremo derecho para elemento dx

FRICCION

70

Métodos Matemáticos en FísicaL.5A. Cond_Cont_Conduccion de Calor Cap.5APL

izquierdo

derecho( )

( 0) CC(2) es

(0, ) 0

) (:

t

x t

t x t

u t

u L u

Extremo

Extremoxu Eu

xE

L u

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Métodos Matemáticos en FísicaL.5A. Cond_Cont_Conduccion de Calor Cap.5APL

Ejemplos Planteamiento de problemas (Libro APL 5.6.b)

Un tubo abierto por un extremo se desplaza en la dirección de su eje con velocidad constante VEn el instante t=0 se detiene instantáneamente.Determinar el desplazamiento de aire dentro de tubo a una distancia (x) en función de tiempo (en terminos de variacion de densidad-”condensacion”)

2 0tt xxu a u

v

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Métodos Matemáticos en FísicaL.5A. Cond_Cont_Conduccion de Calor Cap.5APL

1. como desplazamiento (de moleculas)

izquierdo

derecho abierto(0, ) 0

( ,0) 0( ,0)

( , ) 0

u

a) b)

x

t

Considerando

Extremo

Extremou

u t

u xu

t

x

L

CIV

Analogía: Coche se estrella contra farola

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Métodos Matemáticos en FísicaL.5A. Cond_Cont_Conduccion de Calor Cap.5APL

02. como

izquierdo cerrado

derecho(0, ) 0

( ,0) 0( ,0)( ,0) 0

u ( - ) s

( ,0)?? ?

abierto( , ) 0

a)

b ??)

x

t

Considerando

Extremo

Extremou

u t

u xx

L

tu

txx

t

CI

”condensacion”

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Métodos Matemáticos en FísicaL.5A. Cond_Cont_Conduccion de Calor Cap.5APL

0

0 0

0 0 00 0

Ec. de continuidad (1D)

( 0) ( 0)

( )

:

( )L L

Usamosvt t

t x

v v xx

Comprabacion

v dx v x dx vx

v

L

Función Heaviside Funcion Delta(ver libro APL, Apéndice A)

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Métodos Matemáticos en FísicaL.5A. Cond_Cont_Conduccion de Calor Cap.5APL

Definición de Función Delta Dirac a partir de función Heaviside (ver detalles en libro APL, Apéndice A)

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Métodos Matemáticos en FísicaL.5A. Cond_Cont_Conduccion de Calor Cap.5APL

0( ,: 0) ( )2 x t v xt

CI

dv/dx