métodos matemáticos

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PROTOCOLO ACADEMICO Y GUÍA PARA LA ESTRUCTURACIÓN DEL CURSO: METODOS MATEMATICOS.

ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES

1. PROTOCOLO

1.1 FICHA TÉCNICA

Nombre del curso: Métodos Matemáticos

Palabras clave: Calculo vectorial, coordenadas curvilineas,

Transformada de Laplace, Funciones de Bessel,

Funciones de Fourier, Ecuaciones diferenciales

parciales.

Institución: Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD

Ciudad: Bogotá D.C.

Autor del Protocolo: Ing. MSc. Oscar Yesid Suárez, Ing. MSc. Jesus Alfonso

Torres,

Año: 2007

Unidad Académica: Escuela de ciencias básicas, tecnologías e ingeniería

Campo de Formación: Profesional

Área del conocimiento: Ciencias Básicas de la Ingeniería

Créditos académicos: Dos (2), correspondiente a 96 horas de trabajo del

estudiante, 26 de acompañamiento tutorial y 70 de

estudio autodirigido.

Tipo de curso: Teórico-Práctico

Destinatarios: Especialización en ingeniería de procesos en alimentos

y biomateriales.

Competencia general de

aprendizaje:

El estudiante identifica y aplica los métodos

matemáticos como una alternativa de solución de

problemas que implique la formulación diferencial

y/o integral de procesos principalmente de en los

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campos del procesamiento de alimentos y

biomateriales.

Metodología de oferta: A distancia

Formato de circulación: Aula virtual, CD-ROM,

Denominación de las

Unidades Didácticas:

1. Calculo vectorial 2. Formulación integral y

diferencial

1.2. INTRODUCCIÓN

Teniendo en cuenta el proceso de ajuste curricular al sistema de créditos académicos que los programas de la UNAD han tenido, a continuación se encuentran la estructuración de los contenidos del curso “Métodos Matemáticos” que serán cargados en la plataforma virtual. Para ello se ha adecuado la plataforma virtual de modo que los nombres de los servicios corresponden a los componentes de los materiales didácticos de cursos académicos definidos en el documento: El material didáctico y el acompañamiento tutorial en el contexto de la formación a distancia, Roberto Salazar Ramos. UNAD, 2004. La matemática desempeña un papel vital en la formulación y solución de los problemas relacionados con la ciencia y las ingenierías, y como estos problemas se hacen cada vez más complejos, es natural que los métodos matemáticos requeridos para su solución aumenten en número y en complejidad. Es propósito del curso suministrar conceptos y métodos matemáticos superiores para ingenieros y científicos que estén interesados en las aplicaciones prácticas de sus conocimientos. Se ha preparado el curso de tal manera que puede servir como suplemento a todo los textos que están corrientemente en uso, aunque él mismo puede utilizarse como texto para autodidactas sobre métodos matemáticos para ingenieros de alimentos. Se ha diseñado de esta manera para que el curso sea más flexible, y pueda utilizarse con mayor provecho como referencia. Los temas tratados comprenden las ecuaciones diferenciales ordinarias, la transformada de Laplace, el análisis vectorial, las series de Fourier, las integrales de Fourier, las funciones gamma, beta y otras especiales, las funciones de Bessel, y otras ortogonales, y las ecuaciones diferenciales parciales. 1.3. OBJETIVO GENERAL Conceptuar e identificar los métodos matemáticos como una alternativa de solución de problemas que implique la formulación diferencial o integral de fenómenos de transporte para quedar en capacidad de visualizar las aplicaciones de estos procedimientos en los campos de la ingeniería de procesos en alimentos y biomateriales.

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1.4. COMPETENCIAS Cada capítulo requiere de matemáticas introductorias, en consecuencia, al culminar la primera unidad, es necesario por parte del estudiante explorar algunos tópicos matemáticos que se empleará como base para las unidades posteriores. Al completar el segundo y tercer capítulo el estudiante debe tener la suficiente información para aplicar convenientemente el cálculo vectorial y sistemas de coordenadas curvilíneas ortogonales, de una amplia utilidad en problemas de ingeniería. En general, se dominará los procedimientos, se habrá aprendido a evaluar su confiabilidad y se tendrá la capacidad de optar por el método para cualquier problema en particular relacionado con la ingeniería de alimentos. Al ultimar el cuarto capítulo, el estudiante estará en capacidad de solucionar integral y diferencialmente los problemas de ingeniería que lo requieran mediante la utilización de la Transformada de Laplace, Series de Fourier, integrales de Fourier, funciones gamma, beta y otras especiales, funciones Bessel, y otras ortogonales. Al cumplir con el quinto y sexto capítulo, el estudiante debe aumentar de manera notoria su capacidad de enfrentar y resolver ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales. Las metas de estudio en general deberían incluir el poder seleccionar el mejor método para cualquier problema en particular de aplicación en ingeniería. 1.5. METODOLOGÍA De conformidad con la doctrina de la Universidad Nacional Abierta y a Distancia - UNAD, se seguirá una modalidad no presencial, de acuerdo al calendario académico, para ello se cuenta con ayudas didácticas, módulos de estudio y sistemas modernos de búsqueda como la Internet, que permitan al estudiante acercarse a temas avanzados de conocimiento sin abandonar su lugar de actividad productiva. El tutor será un facilitador del proceso de enseñanza-aprendizaje y el proceso de formación será participativo. El recurso principal será el material instructivo específico, bibliografía especializada, actualizada y demás medios que se consideren necesarios para el desarrollo de la asignatura que contribuyan a reforzar el proceso de enseñanza-aprendizaje. Las piezas fundamentales en todo proceso de enseñanza-aprendizaje: alumno, tutor, conocimiento y método de transmisión, coinciden con esta programación académica, obviando la intermediación permanente del tutor, considerando que la percepción del conocimiento se puede realizar mediante el uso de múltiples procedimientos.

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1.6. EVALUACIÓN Con el propósito de que el estudiante adquiera un aprendizaje verdaderamente significativo en la medida en que sea capaz de relacionar la teoría estudiada con la realidad que lo rodea y ante todo aplicar los conocimientos a la solución de problemas que tengan que ver con su entorno, se implementará la evaluación por proceso mediante la asignación de proyectos personalizados específicos para cada disciplina profesional. Un ingeniero es un solucionador de problemas, generalmente su incertidumbre se inicia con una necesidad no satisfecha que se puede solucionar mediante una nueva metodología, un artefacto mecánico o un nuevo proceso; entonces su objetivo es convertir un aproximado enunciado de lo que se necesita en un listado de especificaciones concretas. Desarrollar estas habilidades es lo que se pretende con la evaluación. A través de la evaluación el estudiante, necesariamente deberá despertar su espíritu investigativo que implica el desarrollo de habilidades de pensamiento como el análisis, la inducción, la deducción, que lo conducirá a la identificación y a la solución de un problema real relacionado con su estudio.

2. UNIDADES DIDÁCTICAS

Primera unidad CÁLCULO VECTORIAL Capítulo uno Introducción Capítulo dos Cálculo vectorial Capítulo tres Sistemas de coordenadas curvilíneas ortogonales

Segunda unidad FORMULACIÓN INTEGRAL Y DIFERENCIAL Capítulo uno Transformada de Laplace, funciones de Bessel, series de Fourier

Capítulo dos Solución de problemas usando ecuaciones diferenciales

ordinarias

Capítulo tres Solución de problemas usando ecuaciones diferenciales con

derivadas parciales

3. CONTENIDO PROGRAMÁTICO Las lecturas sugeridas siguen la misma secuencia de todos los textos recomendados en la sección de bibliografía. Por lo tanto se recomienda seguir el mismo orden del contenido programático que se describe a continuación, y que se encuentra en concordancia con las unidades didácticas. PRIMERA UNIDAD: CÁLCULO VECTORIAL CAPÍTULO UNO: INTRODUCCIÓN

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Lección uno: Operaciones fundamentales con números, gráficos Lección dos: Álgebra y cálculo Lección tres: Resolución de ecuaciones; datos numéricos; tablas y gráficos CAPÍTULO DOS: CÁLCULO VECTORIAL Lección uno: Convenciones usadas en las sumatorias Lección dos: Operaciones con vectores Lección tres: Coordenadas cartesianas rectangulares CAPÍTULO TRES: SISTEMAS DE COORDENADAS CURVILÍNEAS ORTOGONALES Lección uno: Introducción Lección dos: Operador Nabla y sus aplicaciones Lección tres: Sistemas especiales de coordenadas curvilíneas ortogonales SEGUNDA UNIDAD: FORMULACIÓN INTEGRAL Y DIFERENCIAL CAPÍTULO CUATRO: FUNCIONES ESPECIALES Lección uno: Transformada de Laplace, Lección dos: Funciones de Bessel Lección tres: Series de Fourier CAPÍTULO CINCO: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Lección uno: Métodos de obtención de soluciones Lección dos: Métodos numéricos. Lección tres: Aplicaciones prácticas CAPÍTULO SEIS: ECUACIONES DIFERENCIALES CON DERIVADAS PARCIALES. Lección uno: Métodos de obtención de soluciones Lección dos: Métodos numéricos. Lección tres: Aplicaciones prácticas

5. EVALUACIÓN A fin de proporcionarle al estudiante una enseñanza verdaderamente significativa en la medida en que sea capaz de relacionar los métodos matemáticos con la realidad que lo rodea y ante todo aplicar los conocimientos en la solución de problemas que tengan que ver con su entorno profesional y/o académico, se evaluará mediante la asignación de proyectos personalizados específicos para cada disciplina profesional. Considerando el papel de la evaluación en la enseñanza al nivel de posgrado, las actividades de evaluación se caracterizan por la participación en el análisis de casos objeto de estudio, la realización de tareas mediante el trabajo en estrategias de solución y extracción de conclusiones. Se realizará una evaluación práctica y finalmente un proyecto de aplicación personalizado, en el que se deberá demostrar la ejecución de los métodos matemáticos en el análisis y solución de un problema de interés para el alumno de preferencia un proceso de la ingeniería de alimentos o de producción de un biomaterial.

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6. BIBLIOGRAFÍA GENERAL El libro guía del curso es: SPIEGEL. Matemáticas Superiores para Ingenieros y Científicos. México, 1975. McGraw-Hill. Los métodos matemáticos, al ser una pieza clave del desarrollo de modelos aplicados en ingeniería, se encuentran desarrollados en una cantidad importante de textos; por lo cual el estudiante podrá seguir los temas planteados en el contenido programático en cualquier libro que desarrolle los temas. Referencias Adicionales SPIEGEL. Ecuaciones diferenciales aplicadas. 3 ed. México, 1893. McGraw Hill. ARFKEN. Mathematical Methods for Physicists., New York, 1985. 3 ed., Academic Press. BOYCE y DIPRIMA. Ecuaciones Diferenciales Elementales y Problemas de Contorno 1997. 6 ed. John Wiley & Son. ARPACI. Conduction Heat Transfer. 1966. Addison Wesley. RICE y DO. Applied Mathematics and Modeling for Chemical Engineers. New York, 1995. John Wiley and Sons.

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES

MÉTODOS MATEMÁTICOS

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PRIMERA UNIDAD: CÁLCULO VECTORIAL CAPÍTULO UNO: INTRODUCCIÓN

LECCIÓN UNO. Representación gráfica. Incluso con la posibilidad de utilizar poderosas herramientas de computación, los métodos gráficos siguen siendo métodos exitosos en el análisis de datos de proceso. Los gráficos son utilizados principalmente para:

1. Ayuda de visualización de procesos. 2. Representación de cantidades cuantitativas o de resultados empíricos. 3. Comparación de datos experimentales con datos teóricos. 4. Medios de cálculo de cantidades involucradas en un proceso.

La relación entre dos cantidades físicas p y x es comúnmente obtenida por medio de tabulación de diferentes valores de p correspondientes a diferentes valores de x. Sin embargo la relación entre las variables no es fácil de ver en la tabulación, por lo que se realiza un gráfico de p vs x. El estudiante ya debe estar relacionado con esta dinámica. De acuerdo al orden de magnitud de los datos, los gráficos pueden ser de escala lineal, de escala logarítmica, semilogarítmica o de escala extendida. Cuando se grafican datos experimentales, estos suelen tener una dispersión. Si a partir de los datos se debe obtener una función para p en función de x, se debe aplicar un método de correlación estadístico (hoy en día es parte del paquete básico de cualquier hoja de cálculo e incluso de calculadoras). Sin embargo, es labor del ingeniero eliminar los datos que se encuentren fuera de la tendencia, para obtener una correlación más acorde con el comportamiento real. Ecuaciones empíricas. La representación de datos experimentales por medio de ecuaciones algebraicas es una necesidad diaria de la ingeniería. La forma de la ecuación es normalmente sugerida por un criterio teórico, siendo necesario evaluar algunas constantes. El problema general de ajustar los datos a una ecuación se puede dividir en dos partes: la determinación de la forma de la ecuación y la evaluación de las constantes. El procedimiento general es graficar una serie de datos para obtener una línea recta, de donde se obtienen los parámetros de la ecuación. A continuación se presentan las formas de ecuaciones más comunes y sugerencias de procedimiento.

Ecuación Sugerencia Ecuación Sugerencia

bxay += Graficar y vs x x

bay += Graficar y vs 1/x

naxy = Graficar logy vs logx o y vs x en coordenadas logarítmicas bxa

xy

+

= Graficar x/y vs x o 1/y vs 1/x

naxcy +=

Obtener c del intercepto de una gráfica y vs x; luego graficar

log(y-c) vs logx o y vs xn, o (y-c) vs x en coordenadas semilogarítmicas.

bxaey = Graficar logy vs x o y vs x en coordenadas semilogarítmicas

2cxbxay ++=

Graficar (y-yn)//x-xn) vs x donde yn, xn son las

coordenadas de cualquier punto en una curva suave a

través de los datos experimentales.

xaby = Graficar logy vs x o y vs x en coordenadas semilogarítmicas

cbxa

xy +

+

=

Graficar (y-yn)//x-xn) vs x donde yn, xn son las

coordenadas de cualquier punto en una curva suave a

través de los datos experimentales.

Cuando los datos experimentales no se ajustan a ningún modelo relativamente fácil, luego no se puede obtener una curva suave en un grafico que muestre la tendencia de los datos, es inevitable el uso de la tabulación de datos. Cuando se requiere encontrar un valor que no se encuentra explicito en la tabla, sino que se encuentra



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entre dos de los valores, se debe utilizar la interpolación. Este es un método muy común que el estudiante puede consultar. Los métodos más usados son la interpolación lineal, la de Newton y la de Lagrange. Finalmente, cuando se cuenta con un gráfico del que se desconoce su función, y es necesario obtener la derivada en un punto en particular, se puede acudir al concepto matemático de que la derivada es la pendiente de la curva en un punto dado. De esta manera, si se mide la pendiente con un método sencillo, se puede determinar la derivada. Los métodos presentados anteriormente, con toda seguridad ya han sido empleados por el estudiante, y podría parecer vacío presentarlos de nuevo, sin embargo como se verá en el curso, algunos de los métodos mas “finos” para el modelamiento de un proceso, no son fácilmente solucionables analíticamente, por lo que se deberá acudir a métodos gráficos como los mencionados.



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LECCIÓN DOS. Los problemas de ingeniería en general requieren altos niveles de lógica cualitativa debido a que los la necesidad de modelamientos es frecuente. El primer paso de cualquier modelamiento es el dibujo de un sistema o diagrama del sistema que se estudia. El segundo paso es entrelazar toda la información física y química que sea aplicable, las leyes de conservación y las expresiones de velocidad de cambio químico o físico. Normalmente, en este punto el ingeniero debe tomar decisiones criticas acerca de cuan detallado deberá ser el modelo, lo que conlleva a la realización de suposiciones y/o simplificaciones que hacen mas sencilla la resolución de los sistemas de ecuaciones. Se debe especificar el propósito real del modelo para evaluar cuanto esfuerzo vale la pena emplear en su construcción. El estudiante podrá observar en este curso como a mayor grado de detalle que se requiera en el modelo este se hace más complejo y por tanto requerirá de mucho mas esfuerzo es su construcción. El tercer paso requiere de la formulación de una solución matemática analítica o el montaje de una técnica numérica finita o diferencial de elementos de volumen seguido del planteamiento de las ecuaciones de conservación. El resultado final, puede ser una fórmula matemática elemental o una solución numérica expuesta en un arreglo de números. EJEMPLO DE LA FORMULACIÓN DE UN MODELO. (ENFRIAMINETO DE UN FLUIDO) Considérese el enfriamiento de un fluido en un tubo circular. Se hará el modelamiento comenzando con el modelo más simple, adicionando complejidad de acuerdo al nivel de precisión requerida. Modelo 1: flujo pistón. El flujo pistón considera que no existe un perfil de velocidad en la tubería, es decir, la velocidad del fluido es el mismo en cualquier ubicación radial del tubo, incluso en la pared. Esto implica que en el tubo existen unas condiciones de turbulencia que permiten que la temperatura sea uniforme en cualquier posición radial del tubo. Para el primer modelo, las suposiciones serán: 1. Se obtendrá una solución de estado estable (no dependiente del tiempo) 2. Las propiedades físicas del fluido tienen valores constantes. 3. La temperatura de la pared es constante y uniforme (no cambia en la dirección z o r), y tiene un valor Tw. 4. La temperatura de entrada es constante y uniforme, con un valor To donde To>Tw. 5. El perfil de velocidad es plano y uniforme. 6. El fluido se encuentra bien mezclado, así que la temperatura es uniforme respecto a r. 7. La transferencia de calor por conducción es despreciable a lo largo de la trayectoria z. Seleccionando un volumen de control diferencial para el sistema (en este caso una porción del fluido), se realiza el modelo. La ley de conservación de la energía es:

nacumulació de velocidad generación de velocidadsalida de velocidad- entrada de Velocidad =+

Ya que se considera estado estable, la acumulación es cero, y como no se consideran fuentes de generación de calor (es diferente la generación a la transferencia), el término generativo también es cero. El único calor que se transfiere es el debido a la diferencia de temperatura con la pared fría. La velocidad de remoción de calor pude ser expresada como:



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( ) ( )Tw)z(TzhR2Tw)z(ThAQ −∆π=−=∆

Em esta ecuación se tiene )z(T que es un promedio:

2

)zz(T)z(T)z(T

∆+−

=

De manera tal que cuando ∆z tiende a cero: )z(T)z(TLim0z

=

→∆

.

Entonces, para un elemento de longitud ∆z, el balance de energía es:

pared la de través a perdida sale que energía entra que energía

0 )TwT(h)zR2( )zz(TCAv )z(TCAv popo =−∆π−∆+ρ−ρ

Los dos primeros términos vienen de evaluar la entalpía de entrada y salida.

Rearreglando la ecuación y dividiendo por ∆z, se obtiene:

0)TwT)(Rh2(z

)z(T)zz(TCAv p0 =−π−

∆

−∆+

ρ−

Evaluando el límite cuando ∆z tiende a cero:

0)TwT)(Rh2(dz

dTCAv p0 =−π+ρ

Es una costumbre que para facilitar la solución, se agrupen términos. Entonces, si p0 CAv

Rh2ρ

π=λ tenemos:

0)Tw)z(T(dz

)z(dT=−λ+

El estudiante puede verificar que esta es una ecuación diferencial lineal no homogénea que se resuelve con el llamado “factor integrante”. La solución del modelo para la condición de frontera (T(0)=To) es:

TwCAv

Rhz2exp)TwTo()z(T

p0

+

ρ

π−−=

Modelo 1: Perfil de velocidad parabólico. De la mecánica de fluidos de pregrado, el estudiante debe recordar, que cuando el flujo en una tubería no es suficientemente turbulento, se genera un perfil de velocidades que es parabólico, con un mínimo en la pared (v=0) y un máximo en el centro. La expresión matemática para la velocidad en función del radio es:

−=

2

0R

r1v2)r(v

Donde vo es una velocidad promedio. Para este nuevo modelo, las suposiciones 5, 6 y 7 cambian: 5. El perfil de velocidad en es parabólico y depende de la posición en r. 6. El fluido no esta completamente mezclado en la dirección r, por lo tanto se debe tener en cuenta la transferencia de calor radial. 7. La conducción radial es importante. Estas nuevas características físicas generan un Nuevo volumen de control, que es el que se muestra en la figura. Con la forma de un



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porción de cilindro hueco, de espesor ∆r y longitud ∆z. El calor cruza dos superficies, la anular normal al flujo del fluido, y el área del perímetro del anillo. Se necesita entonces designar unas cantidades adicionales (vectoriales) para representar la transmisión de calor por conducción.

axialdirección laen conductivo calor)z,r(q

radialdirección laen conductivo calor)z,r(q

z

r

=

=

El balance de energía es:

0)zqr2()zqr2()rqr2()rqr2(

)r,zz(TC)rR2(v)r,z(TC)rR2(v

rrrrrzzzzz

pzpz

=∆π−∆π+∆π−∆π+

∆+ρ∆π−ρ∆π

∆+∆+

Dividiendo todo por 2π∆r∆z y rearreglando se obtiene:

[ ] [ ] [ ] [ ]0

r

rq rq

z

rq rq

z

)r,z(T)r,zz(TrCv rrrrrzzzzzpz =

∆

−

−

∆

−

−

∆

−∆+

ρ−∆+∆+

Tomando límites cuando ∆z y ∆r tienden a cero, y recordando la definición de una derivada parcial, se obtiene:

( ) ( )0

r

rq

z

rq

z

TrCv rzpz =

∂

∂

−

∂

∂

−

∂

∂ρ− ó,

z

TCv

rr

)rq(

z

qpz

rz

∂

∂ρ=

∂

∂

−

∂

∂

En este punto la ecuación no tiene solución pues se desconocen qr, qz y T. Se debe introducir entonces la ley de

Fourier que dice Tkq ∇−= , que en este caso se traduce en:

z

Tkq;

r

Tkq zr

∂

∂−=

∂

∂−=

Introduciendo estas dos nuevas ecuaciones y la ecuación del perfil de velocidad, se tiene:

z

T

R

r1Cv2

r

Tr

rr

1k

z

Tk

2

p02

2

∂

∂

−ρ=

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

Este modelo es una ecuación en derivadas parciales de segundo orden, que es bastante complejo de resolver. Nótese como el cambio en solo una de las premisas llevó a un cambio fundamental en la matemática necesaria para resolver el modelo. Este es el caso general, a medida que se requiera una precisión mayor para la solución del modelo, las ecuaciones resultantes serán más complejas, y en muchos casos no solucionables con métodos analíticos, llevando al uso de métodos numéricos. COMBINACIÓN DE VELOCIDAD Y CONCEPTOS DE EQUILIBRIO. Los procesos donde se combinas la velocidad de transferencia y un estado de equilibrio termodinámico, son comunes en los modelos de ingeniería. Para ilustrar esta combinación, se empleará el ejemplo de una separación por adsorción. Considere un sólido de alta porosidad (como carbón activado) que se pone en contacto con una mezcla fluida que contiene una sustancia que se adsorberá en el sólido. El proceso de adsorción es relativamente rápido, asi que se puede considerar que cerca de las partículas existe un equilibrio.

*KCq =

Donde q es la composición promedio de la fase sólida, expresada como moles de soluto adsorbido por unidad de volumen de sólido; C* denota la composición del soluto (moles de soluto por unidad de volumen de fluido), que existiría en equilibrio. Se supondrá que el coeficiente de transferencia de masa controla el fenómeno.



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El esquema se muestra en la figura, Se utilizará un perfil de velocidad plano para facilitar el modelo, Si la corriente de proceso es diluida respecto a la sustancia que se va a adsorber, los efectos calóricos se desprecian, así que se puede tomar el proceso isotérmico. Si las partículas del sólido son pequeñas, los efectos de difusión axial pueden ignorarse. El transporte interfacial desde el fluido en movimiento y las partículas inmóviles obedece a una ley de velocidad. Ya que el área total interfacial se conoce, la cantidad de moles

que se transfieren en un volumen equivalente a un avance ∆z es:

zA)CC(akR *c ∆−=∆

Donde ak c es un coeficiente de transferencia de masa que hace referencia al

área superficial del sólido. C hace referencia a la concentración en el líquido y A es el área de flujo en el equipo. Aplicando la ley de conservación de la masa, se obtiene:

t

qzA)1(

t

CzA)t,zz(ACv)t,z(ACv 0o

∂

∂

∆ε++

∂

∂∆ε=∆+−

vo es la velocidad del fluido, ε es la fracción de vacíos en el equipo (no todo el sólido ocupa todo el volumen, hay una porción de volumen por donde puede pasar el fluido). Nótese que esta ecuación depende del tiempo, pues como se esta adsorbiendo una sustancia, esta se queda dentro del equipo, luego hay una acumulación. La ecuación puede rearreglarse para llegar a:

t

q)1(

t

C

z

Cvo

∂

∂

ε−+

∂

∂ε=

∂

∂−

De igual manera, se puede hacer un balance en la fase estacionaria, teniendo en cuenta que la adsorción remueve material de la fase fluida y lo acumula en el sólido. El balance es (la velocidad de acumulación es igual a la velocidad de transferencia):

)CC(akt

q)1(;zA)CC(ak

t

qz)1(A *

c*

c −=

∂

∂

ε−∆−=

∂

∂

∆ε−

A medida que el proceso se acerque al equilibrio (cuando el sólido se sature y no pueda adsorber mas), C

tenderá a C* y 0t

q→

∂

∂

. Reemplazando la condición de equilibrio (para eliminar q de las ecuaciones) se llega a:

)CC(akt

CK)1(

0t

CK)1(

t

C

z

Cv

*c

*

*

0

−=

∂

∂ε−

=

∂

∂ε−+

∂

∂ε+

∂

∂

La solución de este sistema de ecuaciones diferenciales parciales puede realizarse por varios métodos, que se discutirán en el curso.



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LECCIÓN TRES. RESUMEN DE LOS PASOS PARA LA CONSTRUCCIÓN DEL MODELO DE UN PROCESO. Los ejemplos vistos anteriormente pretendían ilustrar de manera cualitativa y esencial la construcción de modelos, que es seguida por detalles cuantitativos. La experiencia es un factor fundamental en la formulación de modelos, pues a mayor numero de modelo formulados, el ingeniero es capaz de identificar las suposiciones que pueden ser introducidas sin que el resultado final se vea alterado de manera significativa, además, dicha experiencia también puede orientar a la hora de seleccionar la ruta de solución cuantitativa. Para iniciar su experiencia, a continuación se presentan algunos pasos generales para la construcción de un modelo.

1. Dibuje un esquema del sistema a ser modelado; defina las diferentes geometrías y las cantidades físicas y químicas que intervienen.

2. Cuidadosamente seleccione las variables dependientes (o de respuesta). 3. Selecciones las posibles variables independientes, que cambiarán y necesariamente afectan a las

variables dependientes. 4. Haga una lista de los parámetros, es decir, cantidades que son constantes en el análisis (constantes

físicas, tamaños, formas). Tener en cuenta que algunos de estos parámetros pueden no serlo, y cambiar con las variables (p.e. la viscosidad cambia con la temperatura).

5. Dibuje un esquema del comportamiento esperado para las variables dependientes. 6. un volumen de control para un elemento finito del sistema a modelar (normalmente el volumen de

control es diferencial). Esquematice el elemento e indique los flujos de entrada y salida, y las trayectorias de transferencia.

7. Escriba las leyes de conservación para el volumen de control. 8. Genere a partir de los balances sistemas de ecuaciones diferenciales o integrales. 9. Escriba todas las posibilidades para las condiciones de frontera o de inicio. Este paso es fundamental

pues pude sugerir el método de solución. 10. Seleccione un método apropiado de solución (algebraica o numérica) y resuelva. 11. Verifique que sus respuestas sean concordantes con la realidad (p.e. no hay temperaturas absolutas

negativas). JERARQUIA DEL MODELO Y SU IMPORTANCIA EN EL ANÁLISIS. Desde el punto de vista de los verdaderos propósitos de un modelo, el enfoque y profundidad de lo detallado del modelo determinan la complejidad de la descripción matemática del proceso. De acuerdo a las mencionadas visiones y profundidades, se puede obtener una jerarquía de modelos donde el nivel mas bajo puede parecer una “caja negra” y el más alto puede contener todos los posibles procesos de transporte conocidos por el hombre junto con otros conceptos (p.e. termodinámicos). Los modelos entonces no son aislados, y generalmente pertenecen a “familias” donde la jerarquía es dictada por el número de reglas (de principios de transporte, termodinámicas). Es esta familia la que provee al ingeniero las capacidades para predecir y entender los fenómenos. El ejemplo del enfriamiento de un fluido, presentado en la lección anterior, ilustra dos miembros de una familia. A medida que el nivel de sofisticación se incrementa, la complejidad matemática también lo hace. Si se esta interesado es saber exactamente como es que el calor es conducido a través del metal y luego transferido a la atmósfera, la complejidad del problema aumentará al tener que escribir un balance de energía para el metal del tubo. Mas allá, si se esta interesado en como el calor es transferido cerca de la sección de entrada con elementos cercanos, deberá incluirse un nuevo balance de energía para esta zona. Adicional a esto, las condiciones de frontera se hacen más difíciles de puntualizar.



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Para mostrar el concepto de jerarquía del modelo y su importancia en el análisis, se considerará el problema de la remoción de calor de un recipiente con un líquido caliente, sumergiendo una vara metálica para que el calor se transfiera a la vara y luego de ésta a la atmósfera.

To

T1Solvente

2R

L1

L2

Nivel uno. En este nivel se asumirá:

a) La temperatura de la vara es uniforme, desde el baño a la atmósfera. b) Se ignora la transferencia de calor a los costados y en el fondo del recipiente. c) Los coeficientes de transferencia de calor se conocen y son constantes. d) No hay evaporación del líquido a la atmósfera.

To y T1 son la temperatura de la atmósfera y del líquido respectivamente. El balance de energía en la vara en estado estable (no hay acumulación) sería un balance entre el calor obtenido del líquido (parte inferior) y el disipado en la atmósfera (parte superior).

)TT)(RL2(h)TT)(RL2(h 02G11L −π=−π Despejando T se tiene:

( )2G

1L10

LhLh :Donde

)1(TT

T =αα+α+

=

Esta ecuación nos da un rápido estimativo de la temperatura de la vara y como variaría con las longitudes expuestas. Por ejemplo, si α es mucho mas grande que uno, la temperatura de la vara sería muy cercana a T1. Para calcular la velocidad de transferencia de calor, se reemplaza T en el balance de energía:

( ) ( )

( )01

2G1L

01

2G

1L

1L01

1L

TTR2

Lh1

Lh1

1Q

TTR2

LhLh1

LhTT)1(

RL2hQ

−π

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

−π

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=−α+

π=

Cuando a es muy grande, la velocidad de transferencia de calor puede calcularse como: )TT(LRh2Q 012G −π≅



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Esto se da cuando la transferencia de calor es controlada por el segmento de la vara expuesto a la atmósfera. Si el coeficiente de transferencia de calor entre la vara y el solvente es muy grande (α>>1), no importa cuanto de la varilla este sumergida. Entonces, para una diferencia de temperatura y diámetro de la vara constantes, la velocidad de transferencia de calor puede mejorarse tanto por el incremento de la longitud expuesta (L2), como incrementando la velocidad de transferencia en el líquido (por agitación). Sin embargo estas conclusiones estas sujetas a las consideraciones realizadas al inicio. Para cuantificar los efectos de gradientes de temperatura en la vara, se aumentará un nivel de jerarquía, considerando un volumen de control diferencial. Nivel dos.

To

T1Solvente

2R

L1

xqx

qx+∆x

x

x+∆x Perdida de calor

Se modificará la suposición a) del caso anterior, en esta ocasión se tendrá una temperatura uniforme en la parte de la vara sumergida en el líquido, con un valor Tv. Esta es una suposición razonable ya que los líquidos normalmente tienen mayores conductividades térmicas respecto al aire. El resto de las suposiciones se mantiene. Se selecciona como punto cero para la coordenada x, la interfase entre el líquido y el aire. La figura muestra el volumen de control seleccionado. Aplicando un balance de energía. En un segmento delgado de espesor ∆x:

0)TT(xhR2)xx(qR)x(qR 0G22 =−∆π−∆+π−π

El primer y segundo término representan el calor que entra y el que sale del volumen de control respectivamente; el tercer término es la perdida al ambiente. Dividiendo por πR2∆x, y tomando límite cuando ∆x tiende a cero, se tiene una ecuación diferencial para el flujo de calor q:

0)TT(hR2

dxdq

0G =−+

Asumiendo que la vara es homogénea, de manera uqe la conductividad térmica es constante, el flujo de calor a lo largo del eje se relaciona con el gradiente de temperatura de acuerdo a la ley de Fourier. Entonces:

)TT(Rh2

dxTdk 0

G2

2−=

Esta es una ecuación diferencial de segundo orden, por lo que se necesitan dos condiciones de frontera para su solución. Asumiendo que la longitud de la vara es mucho más larga que su diámetro, se puede decir que todo el



4

calor se disipa en el perímetro curvo, y que en el extremo no hay transferencia de calor. Esto no permite establecer las condiciones de frontera:

0dxdT ;L x En

TT 0;xEn

2

1

≅=

==

La solución de la ecuación es: ( )[ ]

Rk2hm :Donde

)mLcosh(xLmcosh)TT(TT G

2

2010 =

−−+=

Una vez se conoce el perfil de temperatura, La velocidad de transferencia de calor puede hallarse de dos formas. Primera, se sabe que el flujo de calor a través del área πR2 en x=0 debe ser igual al calor liberado a la atmósfera, esto es:

0x

2

xTkRQ

=∂∂

π−=

Combinando con la ecuación para el perfil de T:

2

2012G mL

)mLtanh( :donde )TT(LRh2Q =η−ηπ=

η es un grupo adimensional llamado el factor de efectividad, y representa la relación entre el calor perdido, respecto a la perdida cuando los gradientes están ausentes (máxima pérdida). La siguiente figura muestra el comportamiento de η respecto al grupo mL2. Nótese que a medida que el factor de efectividad se acerca a uno mL2 es mucho menor que la unidad. 100

10-1

10-2

10 1 10 210 010-110-2

2

2

mL)mLtanh(

2mL

Este comportamiento dice que para un valor pequeño de mL2:

1mL

)mLtanh(

2

2 ≈=η

Esta es la condición más efectiva para la transferencia de calor. Esto se consigue físicamente cuando: - La conductividad de la vara es muy alta. - El segmento que se expone a la atmósfera es corto.

Para cualquiera de estos casos, se tendría entonces:

)TT(LRh2Q 012G −π≅ Que es el mismo resultado que se obtuvo para el primer caso (nivel uno). De aquí se puede inferir que el primer modelo obtenido es válido solo cuando mL2<<1.



5

El según do método para calcular la velocidad de transferencia de calor es haciendo una integración dela transferencia de calor local a lo largo de la vara:

∫ −π=∫=2L

00G

2L

0dx)TT(Rh2qdxQ

Donde T esta dada por la ecuación del perfil de temperatura ya obtenido. El estudiante puede verificar que la solución por este método es igual a la ya obtenida:

2

2012G mL

)mLtanh( :donde )TT(LRh2Q =η−ηπ=

La soluciones de los niveles uno y dos tienen una suposición en común: la temperatura de la vara en su parte sumergida es uniforme. La validez de esta suposición solo se sabrá al aumentar un nivel en la jerarquía del modelo. Nivel tres. En este nivel del modelamiento se modificará la suposición a), analizando los gradientes de temperatura en la vara para segmentas tanto arriba como debajo de la interfase del líquido. Se tomará la temperatura bajo la interfase como T1, y la temperatura sobre la interfase como T11. Realizando los balances de energía unidimensionales para los dos segmentos de la vara se obtiene:

)TT(Rkh2

dxTd

y

)TT(Rkh2

dxTd

111G

2

112

11L

2

12

−=

−=

Con un razonamiento similar al presentado en el nivel anterior, para las condiciones de frontera se tiene:

0dx

dT ;Lx En

0dx

dT ;-Lx En

11

2

1

1

==

==

Teniendo en cuenta que la temperatura a lo largo de la barra debe ser continua se tienen las siguientes condiciones de frontera:

dxdT

dxdT ;0x En

TT ;0x En111

111

==

==

La solución de las dos ecuaciones diferenciales es:

[ ]

[ ]Rk

2hm )xL(mcoshBTT

Rk2h

n )Lx(ncoshATT

G20

11

L11

1

=−+=

=++=

Las constantes A y B son: ( )

( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−=

)mLcosh()mL(senh)nL(senh

mn)nLcosh(

TTA

)nLcosh()nL(senh)mL(senh

nm)mLcosh(

TTB

22

11

01

11

22

01



6

La velocidad de transferencia de masa puede calcularse con cualquiera de los dos métodos mencionados en el nivel anterior, es decir, utilizando el flujo de calor en x=0, o integrando a lo largo de la superficie. El resultado es:

( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−ηπ=

)nLtanh(n)mLtanh(m

1

T1TLRh2Q

1

2

02G

Puede apreciarse la diferencia con la solución del nivel dos. Tener en cuenta los gradientes en ambas secciones de la barra, lleva a tener un flujo de calor menor al calculado en el nivel anterior donde la temperatura se consideró uniforme en la parte sumergida. Esto implica que la resistencia a la transferencia de calor que presenta la parte que esta dentro del líquido es despreciable respecto a la resistencia de la parte superior SOLO cuando:

1)nLtanh(n)mLtanh(m

1

2 <<

Cuando esta condición se cumple, el modelo obtenido en el nivel dos es valido. Esto es controlado por la

relación 2/1

LG

hh

nm ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛= que siempre es menor que 1.

Lo que se ha visto en este ejercicio es simplemente que mayores niveles en el modelamiento llevan a mayor información acerca del sistema y proveen los criterios necesarios para hacer validos a los modelos de menor nivel. Por ejemplo, el nivel tres provee de un criterio para indicar cuando la resistencia a la transferencia de calor en la parte sumergida puede ser ignorada comparada con la resistencia superior; y el nivel provee de un criterio para indicar cuando es despreciable la conducción en la vara. El siguiente nivel de modelamiento pretenderá mostrar hasta que punto y bajo que condiciones los gradientes radiales se vuelven significantes; estro implica un dominio de las ecuaciones diferenciales parciales. Nivel cuatro.

2R

L2

r

x

x

x+∆xr r+∆r

Es claro, que si el diámetro de la vara es significativo respecto a la longitud, los efectos radiales toman importancia. Se asumirá en este modelo que no hay resistencia al flujo de calor por debajo del nivel del líquido; como antes, se tomará la temperatura T=T1 cuando 0x ≤ . Esto nos lleva a estudiar solo la porción que esta sobre la superficie. Tomando una porción diferencial como la mostrada en la figura, y realizando los balances en las direcciones axial y radial, se obtiene:

( ) ( ) ( ) ( ) 0rqr2rqr2xqr2xqr2 xxxxxrrrrr =∆π−∆π+∆π−∆π∆+∆+

Dividiendo esta ecuación por y tomando límites se obtiene: xr2 ∆∆π



7

( ) 0x

qrrq

rx

r =∂∂

−∂∂

−

Introduciendo la ley de Fourier en sus dos formas aplicables a este caso:

;xTkq ;

rTkq xr ∂

∂−=

∂∂

−=

Considerando a la conductividad térmica (k) uniforme, se obtiene:

0x

TrTr

rr1k 2

2=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

Esta es una ecuación en derivadas parciales elíptica. Las condiciones de frontera a utilizar son:

0xT ;Lx En

TT ;0x En

)TT(hrTk- ;Rr En

0rT ;0r En

2

1

0G

=∂∂

=

==

−=∂∂

=

=∂∂

=

La ecuación obtenida implica una simetría en el centro de la vara mientras que en la superficie curva la ley de Newton para el enfriamiento es aplicable. También esta implícito que no hay transferencia en el extremo plano de la vara. Cuando se manejan ecuaciones “sencillas” (como las de los casos anteriores) la solución se puede obtener sin recurrir al proceso de “adimensionalización”. Sin embargo cuando se manejan ecuaciones como la obtenida en este nivel, para simplificar la notación durante el análisis, se hacen cambios de variable en función de parámetros del sistema. Para lograr esto, se introducen las siguientes variables adimensionales:

Biot) de (número k

RhBi ;

LR

Lx ;

Rr ;

TTTT

u

G

2

201

0

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=∆

=ζ=ξ−−

=

La ecuación y las condiciones de frontera en términos de las variables adimensionales son:

0u ;1 En

1u ;0 En

uBiu ;1 En

0u ;0 En

0uu12

22

=ζ∂∂

=ξ

==ζ

−=ξ∂∂

=ξ

=ξ∂∂

=ξ

=ζ∂∂

∆+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ξ∂∂

ξξ∂∂

ξ

Es claro que las variables independientes ( ζξ y ) están definidas de forma relativa a las longitudes máximas posibles para las variables x y r; R y L2 respectivamente. De otro lado, la forma en que se definió la “temperatura adimensional” u, pudo haberse realizado de otras formas, por ejemplo:

formas otras de y ;T

TTu ;

TT-T

u ;TTu ;

TTu

1

0

0

0

10

−====

La solución de la ecuación es:



8

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∆β

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ζ−∆β

ξ∑=−−

=∞

= n

n

n1n nn

n

01

0

cosh

)1(cosh)(K

K,KK,1

TTTT

u

Las funciones incluidas en esta solución son: )(J)(K n0n ξβ=ξ

Y los muchos valores característicos (eigenvalores) se obtienen por ensayo y error de: )(BiJ)(J n0n1n β=ββ

Los otros grupos funcionales se define como:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ β+

β=

ββ

=

2nn

21

nn

n

n1n

Bi1

2)(J

K,K

)(JK,1

Donde J0(β) y J1(β) son relaciones tabuladas llamas “funciones de Bessel”. De nuevo, como en los casos anteriores se procede a calcular el flujo de calor; utilizando el flujo de entrada en la posición x=0, se debe tener en cuenta la variación radial de la temperatura así que el elemento de área es 2πrdr. Entonces, la integración sobre una base total es:

ξξ∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ζ∂

∂−−

π=

π∫ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

−==

d)0(u

)TT(L

kR2Q

:aladimension forma En

rdr2xTkQ

1

001

2

2

0x

R

0

El resultado final para la transferencia de calor es:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∆β

∑β

∆−π

=∞

=

n

1n nn

2nn

2

012

tanhK,KK,1

L)TT(kR2

Q

Esto ilustra como la complejidad crece de manera apreciable a medida que las simplificaciones se eliminan. Para valores pequeños de Bi (Bi<<1), no es difícil mostrar que el eigenvalor más pequeño es:

( ) 2/11 Bi2≅β

La sustitución de este valor en la ecuación para el flujo de calor lleva a la misma ecuación obtenida en el nivel dos. Entonces, el cuarto modelo muestra que la conducción radial es despreciable cuando Bi<<1. En resumen, se ha ilustrado como una apropiada jerarquía del modelo fija los límites en los niveles inferiores. Surge entonces una pregunta obvia: ¿Cuándo el modelo de un proceso es suficientemente bueno?. Esta no es una cuestión trivial, y solo puede ser resuelta completamente cuando los detalles económicos del diseño y la práctica son tenidas en cuenta. Aquí, se ha ilustrado de manera simple la jerarquía de un proceso simple, y como encontrar los límites de validez de cada nivel. En un análisis final el ingeniero debe decidir que es más importante entre la facilidad de solución y la preescisión. REFERENCIAS Bird, Stewart, y Lightfoot. Transport Phenomena. John Wiley & Sons, Inc., New York 1960. Carslaw y Jaeger. Conduction of Heat in Solids, 2nd ed., Oxford University Press, New York 1959. Rice. "Approximate Solutions for Batch, Packed Tube and Radial Flow Adsorbers—Comparison with Experiment," Chem. Eng. Sci. 37, 83-97 1982. Walas. Modeling with Differential Equations in Chemical Engineering. Butterworth-Heinemann, Boston 1991. Rice y Do. Applied Mathematics and Modeling for Chemical Engineers. John Wiley & Sons. 1995



1

PRIMERA UNIDAD: CÁLCULO VECTORIAL CAPÍTULO DOS: CÁLCULO VECTORIAL

LECCIÓN CUATRO. CALCULO VECTORIAL UTILIZANDO ALGEBRA INDICIAL. Para la descripción de los fenómenos de transporte (momentum, calor y masa), es fundamental el dominio de conceptos físicos involucrados y de métodos matemáticos para la solución de ecuaciones. Para comenzar, se hará una revisión de los cálculos vectoriales y de los operadores diferenciales presentando un tratamiento de algebra indicial; también se presentarán los tensores de segundo orden y los cálculos utilizando estos objeto matemáticos. No se hará un detalle exhaustivo de los temas pues estos pueden ser objeto de un curso completo. Debido a que los estudiantes de este curso son todos ingenieros, los temas que se expondrán son una revisión de la matemática vectorial. Algebra indicial. Una suma de N términos puede ser abreviada utilizando el símbolo de la suma n en la forma:

∑=++++==

N

1iiiNN332211 baba.....bababaS

Por la convención de Einstein, esta expresión puede ser abreviada a: N..,1,2,3,....i para baS ii ==

La convención de suma introducida por Einstein puede enunciarse como: “Siempre que dos y solamente dos índices de un término de un solo factor literal (caracterizado por dos índices literales), o de dos o mas factores (cada uno caracterizado por uno o más índices literales) se repiten, significa, suma de los términos, variando los índices repetidos en todo el campo de variación. Los índices repetidos son denominados “falsos” y los no repetidos “libres”. En caso de haber un índice repetido más de dos veces, para indicar que se trata de una suma, se debe escribir al final de la ecuación “suma en (número del índice repetido)” Representación de un vector en términos de sus componentes. Sean ai, i=1,2,3 los componentes de un vector A

r, relativos a los ejes de un sistema cartesiano ortogonal cuyos

vectores unitarios son el vector se puede expresar por la ecuación: ,321 e,e,errr

1,2,3i eAA ii ==rr

El delta de Kronecker y el símbolo de permutación. El delta de Kronecker es una entidad caracterizada por dos índices, por ser simétrica en relación a los índices y por tener los siguientes valores:

⎩⎨⎧

≠=

=δji si 0ji si 1

ij

De esta definición se tienen las siguientes propiedades:

imjmij

3iiδ=δδ

=δ

El símbolo de permutación es una entidad caracterizada por tener tres índices y por poseer los siguientes valores:

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=ε

iguales.son indices dos si 01,2,3 de imparn permutació una orden, eseen faoman,k j,i, si 1

1,2,3 paran permutació una orden, eseen forman,k j,i, si 1

ijk

1 Permutación par de 1,2,3, sin los grupos (1,2,3),(3,1,2) y (2,3,1) 2 3 Permutación impar de 1,2,3; sin los grupos (1,3,2), (2,1,3) y (3,2,1) De la definición se tienen las siguientes propiedades:



2

62

...

ijkijk

illjkijk

jlimjmillmkkijklmijklmkijk

=εε

δ=εε

δδ−δδ==εε=εε=εε

Notación de productos de vectores. - Producto dos a dos de los vectores ortogonales ,321 e,e,e

rrr (en sistema dextrogiro):

iijkkj

ijji

eee : vectorialoductoPr

ee :escalar oductoPrrrr

rr

ε=×

δ=

- Producto de dos vectores y iieAArr

= jjeBBrr

= :

ikjijk

ii

eBABA : vectorialoductoPr

BABA :escalar oductoPrrrr

rr

ε=×

=

También se puede escribir el componente j del producto: [ ] kjijki BABA ε=×

rr



1


LECCIÓN CINCO. El gradiente, la divergencia y el rotacional en coordenadas rectangulares. Un modo simple y abreviado para escribir las ecuaciones que describen a los fenómenos de transporte es a través del uso de entidades matemáticas denominadas “gradiente de una función escalar”, “divergencia de una función vectorial” y “rotacional de una función vectorial”. La principal ventaja de utilizar estas entidades es que las ecuaciones son invariantes como las transformaciones de coordenadas espaciales. Estas entidades son definidas por medio de un operador vectorial diferencial denominado “nabla”, denotado por ∇ , cuya definición operacional en coordenadas rectangulares es:

zx ,yx ,xx

1,2,3i x

e

321

ii

===

=∂∂

=∇

Gradiente de una función escalar: Sea f(x1,x2,x3) una función escalar, definida y derivable en todo su dominio. El gradiente de f(x1,x2,x3) es una función vectorial obtenida aplicando el operador ∇ a la izquierda de f(x1,x2,x3).

ii x

fef∂∂

=∇r

O escribiendo solamente el componente i del vector ∇ f.

3,2,1ixf)f(i

i =∂∂

=∇

Divergencia de una función vectorial: Sea )x,x,x(V 321

runa función vectorial, definida y derivable en todo su dominio. La divergencia de V

res una

función escalar obtenida aplicando el operador ∇ a la izquierda de )x,x,x(V 321r

, por medio de multiplicación escalar:

i

i321 x

V)x,x,x(V∂∂

=∇r

Rotacional de una función vectorial: Sea una función vectorial, definida y derivable en todo su dominio. El rotacional de )x,x,x(V 321

rVr

es una

función vectorial obtenida aplicando el operador ∇ a la izquierda de )x,x,x(V 321r

, por medio de multiplicación vectorial:

j

kijki x

VeV

∂∂

ε=×∇rr

O escribiendo solamente el componente i:

( )j

kijki x

VV

∂∂

ε=×∇r



2

Formulas y teoremas: Sean ϕ y ψ dos funciones escalares y y V

rWr

dos funciones vectoriales de x1, x2 y x3. Entonces se cumple:

V-)Vgrad(divrot(rotV)

0)Vdiv(rot

0)rot(grad. de Laplaciano ó

),( Laplaciano operador u operador llamadotambien xxx

)grad(div

)W(V)V(WW)V(V)W()WV(grads

)W(VW)V()V(WV)W()WV(rot

VrotVgrad)V(rot

VdivgradV)V(div

gradgrad)(gradWrotVrot)WV(rot

WdivVdiv)WV(div

)(grad)(grad)(grad

2

2223

2

22

2

21

22

rr

r

rrrrrrrrr

rrrrrrrrr

rrr

rrr

rrrr

rrrr

∇=

=

=ϕϕ

ϕ∇∇∂ϕ∂

+∂ϕ∂

+∂ϕ∂

=ϕ∇=ϕ

×∇×+×∇×+∇+∇=

∇+∇−∇−∇=×

ϕ+×ϕ=ϕ

ϕ+ϕ=ϕ

ψϕ+ϕψ=ϕψ+=+

+=+

ψ+ϕ=ψ+ϕ

Integrales que involucran funciones vectoriales. En la descripción de los fenómenos de transporte es frecuente la ocurrencia de integrales que involucran términos vectoriales. Sea una función vectorial definida en una región Ω o sobre una superficie

o sobre una curva : )x,x,x(FF 321

rr=

Σ Γ

∫=

∫∫=Ψ

∫∫∫=

Γ

Σ

Ω

rd)x,x,x(FW

dAn)x,x,x(F

dV)x,x,x(FI

321

321

321

rr

rr

rr

Donde dV, dA y rdr

son respectivamente elementos de volumen en Ω , de área Σ y de vector de localización sobre y el vector normal a la superficie Γ n

rΣ . La primera integral es un vector y las dos últimas escalares. Si la

superficie y la curva Γ fuesen cerradas, las dos últimas integrales se denotan respectivamente como: Σ

∫=

∫∫=Ψ

Γ

Σ

rd)x,x,x(FW

dAn)x,x,x(F

321

321

rr

rr

Teorema de la divergencia de Gauss y teorema de Stokes. Sea un volumen cuya superficie de contorno es Ω )(ΩΣ y sea )x,x,x(FF 321

rr= una función definida en el

interior y sobre , entonces el teorema de la divergencia de Gauss garantiza que: Σ

dV)x,x,x(FdivdAn)x,x,x(F 321)(

321rrr

∫∫∫=∫∫ΩΩΣ



3

Sea una superficie abierta cuyo contorno es una curva simple (curva sin intersecciones) Σ Γ , y sea

una función vectorial definida sobre )x,x,x(FF 321rr

= Σ , entonces el teorema del rotacional de Stokes garantiza que:

[ ] dAn)x,x,x(Frotrd)x,x,x(F)(

321321rrrr

∫ ∫∫=ΣΓ Σ



1


LECCIÓN SEIS. Tensores de segundo orden En esta lección se presentarán nociones elementales de tensores de segundo orden y de los cálculos que involucran estas cantidades, con miras a la comprensión de textos de mecánica de fluidos y te fenómenos de transporte en general. Un tensor de segundo orden, en una definición sencilla es la multiplicación de dos vectores. Representación de un tensor de segundo orden. Sean dos vectores y , descritos en coordenadas cartesianas. Efectuando la multiplicación simple de estos vectores se obtiene:

iieVVrr

= jjeWWrr

=

33332323131332322222

1212313121211111jiji

eeWVeeWVeeWVeeWVeeW V

eeWVeeWVeeWVeeWVeeWVWVrrrrrrrrrr

rrrrrrrrrrrr

++++

++++==

Observe que el resultado de la multiplicación no es ni un escalar ni un vector sino muna entidad con nueve términos compuestos de factores del tipo vector unitario € y del tipo escalar (V,W), con i y j variando de 1 a 3. Los factores jiee

rr se denominan díadas y se llaman coeficientes numéricos. El producto resultante de la

multiplicación es denominado representación diádica de un tensor de segundo orden. Entonces, un tensor de segundo orden puede ser denotado con dos flechas de vector, de la siguiente manera:

ji VV

3333322331313223

22221221311321121111jiij

eeeeeeee

eeeeeeeeeeeerrrrrrrr

rrrrrrrrrrrr

τ+τ+τ+τ

+τ+τ+τ+τ+τ=τ=τ

Las díadas jieerr

, donde i y j varían de 1 a 3, constituyen la base de la representación diádica de un tensor de

segundo orden. Dos tensores son iguales solamente si τσrrrr y ijij τ=σ para todos los pares ij, con i y j variando de

a 3. La multiplicación que representa WVóWV

rrrr⊗ se denomina producto tensorial de dos vectores. Para algunas

finalidades es conveniente escribir el tensor de segundo orden en forma de una matriz de 3x3 como sigue:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

τττττττττ

=τ

333231

232221

131211rr

Definiciones. Un tensor transpuesto de denotado por es también un tensor: τ

rr Tτrr

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

τττττττττ

=τ

332313

322212

312111Trr

Un tensor es denominado simétrico si jiij τ=τ y antisimétrico si jiij τ−=τ Un tensor unitario es por definición un tensor de la siguiente forma:



2

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

100010001

1rr

De forma similar, una díada unitaria puede ser por ejemplo:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

000000001

ee 11rr

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

000010000

ee 22rr

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

000000010

ee 21rr

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

010000000

ee 23rr

Operaciones con tensores de segundo orden. La adición de dos tensores de segundo orden es:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

τ+στ+στ+στ+στ+στ+στ+στ+στ+σ

=τ+σ

333332323131

232322222121

131312121111rrrr

La multiplicación de un tensor de segundo orden por un escalar, τ

rra es un tensor de segundo orden cuyos componentes son multiplicados por a. La multiplicación escalar de díadas o contracción de díadas: ya que ijjiee δ=

rrdonde es el delta de Konecker: ijδ

jkikji eeee δ=⋅rrrr

ijkkji eeee δ=⋅rrrr

jklilkji eeeeee δ=⋅rrrrrr

jkillkji ee:ee δδ=rrrr

La multiplicación escalar de un tensor de segundo orden por un vector:

jijiijij eVveVvrrvrrrrv

τ=ττ=τ La multiplicación escalar de dos tensores de segundo orden es:

likliljkliklijlkkljiij eeee)ee()ee(rrrrrrrrrrrr

τσ=δτσ=τ⋅σ=τ⋅σ

jiijjkilklijlkkljiij )ee(:)ee( τσ=δδτσ=τσ=τ⋅σrrrrrrrr

Aplicaciones del operador nabla sobre vectores y tensores de segundo orden. Sobre un vector (gradiente de un vector)

jii

jjj

iee

xV

)eV(x

ieVVgradrrrrrr

∂

∂=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=∇=

Sobre un tensor de segundo orden (divergencia del tensor de segundo orden)

kiji

jkkjjk

ie

x)ee(

xiediv

rrrrrrrrδ

∂

τ∂=τ⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=τ∇=τ

Teorema de la divergencia para un tensor de segundo orden:

∫∫ τ⋅=∫∫∫ τΩΣΩ )(

dAndVdivrrrrr



3

Representación gráfica del tensor de segundo orden: En mecánica de fluidos, la fuerza de superficie es descrita en términos de un tensor de tensiones de fuerzas por unidad de área. Los índices son característicos de la siguiente forma: el primero corresponde al índice el eje coordenado donde la componente de fuerza es normal a la superficie; y el segundo corresponde al eje coordenado al cual la componente de fuerza es paralela a la superficie. τ33

τ32τ31

τ22

τ23

τ21

τ11τ12

τ13

X3

X1

X2



1

PRIMERA UNIDAD: CÁLCULO VECTORIAL CAPÍTULO TRES: SISTEMAS DE COORDENADAS

CURVILÍNEAS ORTOGONALES. LECCIÓN SIETE.

SISTEMA DE COORDENADAS CURVILINEAS.

Las ecuaciones que describen las dimensiones y las propiedades geométricas de un cuerpo y las ecuaciones que describen un fenómeno físico, pueden ser muy simplificadas eligiendo el sistema de coordenadas adecuadas. Por ejemplo, para describir las propiedades físicas o geométricas de un paralelepípedo, se debe adoptar un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares, cuyos ejes y direcciones sean escogidos adecuadamente para poder aprovechar al máximo las simetrías existentes. De igual manera cuando se tiene un fenómeno en un al interior de un tubo cilíndrico, en donde el fenómeno tiene simetría con el eje, lo mas adecuado será seleccionar un sistema de coordenadas cilíndricas. Las definiciones y las propiedades de los sistemas de coordenadas que se presentan aquí, son absolutamente generales, pudiéndose por tanto, ser utilizadas en cualquier sistema de coordenadas curvilíneas ortogonales. Generalidades. Seas tres superficies , ,11 C=ξ 22 C=ξ 33 C=ξ que se cortan dos a dos. Las curvas

)C,Cint( y)C,Cint( ),C,Cint( 221133311233221 =ξ=ξ=ξ=ξ=ξ=ξ=ξ=ξ=ξ , son denominadas curvas coordinas y las superficies coordenadas 11 C=ξ , 22 C=ξ , 33 C=ξ . Las curvas ii C=ξ , son las tres líneas que definen un sistema de coordenadas curvilíneas. La siguiente figura representa un sistema de coordenadas cartesianas (x1,x2,x,3) y curvilíneas ),,( 321 ξξξ .

1ξ

2ξ

3ξ

2a

1a

3a

11 Cξ =

33 Cξ =

22 Cξ =

rr

x1

x2

x3 En relación al sistema cartesiano xi, i=1,2,3, los puntos sobre las curvas coordenadas , pueden ser descritos por el vector de posición,

3,2,1j,i =ξ),,(rexr 321ii ξξξ==

rrr. Se cumple que, si las curvas

, , representan a un sistema de coordenadas curvilíneo generalizado, los vectores 11 C=ξ 22 C=ξ 33 C=ξ

321 a,a,arrr

son ortogonales entre sí.



2

Vectores de los ejes. Sea P un punto de coordenadas (x1,x2,x,3) y ),,( 321 ξξξ , para un sistema de coordenadas curvilíneas es común definir los siguientes vectores: - Tangentes a los ejes coordenados en el punto P.

1,2,3i r

r

a

i

ii =

ξ∂∂

ξ∂∂

= r

r

r

En el sentido positivo de iar

y en el sentido creciente de la coordenada iξ . -Normales a las superficies coordenadas en el punto P.

1,2,3i bi

ii =

ξ∇ξ∇

=r

El vector es un vector normal a la superficie coordenada, ibr

ii C=ξ en el punto P. En el sentido positivo de ibr

y de la normal a la superficie. Los sistemas de coordenadas curvilíneas en que las tres superficies coordenadas sean ortogonales, dos a dos, son denominados “sistemas de coordenadas curvilíneas ortogonales”. En estos sistemas los vectores ia

r y ib

r son

coincidentes. En vez de trabajar con la base normalizada ( ia

r y ib

r) es común trabajar con las bases:

reciproca) o dual (base g ij ξ∇=

r

natural) (base rgi

i ξ∂∂

=r

r

Bases covariante y contravariante.

i las coordenadas fueran transformadas para iξ iξ , las bases igr

y jgr

serán transformadas respectivamente a: r

rrr ∂∂ξ∂∂

S

ii

k

ki

k

ii grrg

ξ∂ξ

=ξ∂ξ∂

=ξ∂

=

k

k

ik

k

ii

j ggrr

ξ∂ξ∂

=ξ∇ξ∂ξ∂

=ξ∇=

En las dos ecuaciones anteriores, las repeticiones en k indican la suma de 1 a 3. Observe que las matrices de

transformación de las bases natural y dual, son respectivamente i

k

ξ∂ξ∂

y k

i

ξ∂ξ∂ . Los vectores que transforman la

primera ecuación son llamados “covariantes” y os que transforman la segunda ecuación se llaman “contravariantes”. Así, la base natural es denominada “base covariante”” y la base dual “base contravariante”. Un vector puede ser descrito en términos de la base natural, g i

r, o de la base dual jg

r. Los componentes de los

términos de r

son denominados “componentes contravariantes” y los referentes a la base jig g

r, “componentes

covariantes”. Se denominan “componentes físicos” a los componentes de un vector descrito en términos de las bases ia

r y

r.

ib



3

lemento de arco.

l elemento de vector de localización es:

E

x1

x2

x3

rr

rrrr

∆+

rr

∆E

rrd iiii dgdxer ξ==

el elemento de arco es:

v En el sistema curvilíneo ortogonal

Y

rrr( ) jen yien sumacon ddggrdrdds jiji2 ξξ=⋅=

ji e ,0gg ji ≠=rr

actor de escala.

n el estudio de sistemas de coordenadas curvilíneas, una de las cantidades importantes es el factor de escala,

F Edefinido por la ecuación:

ji

rhξ∂∂

=r

Las coordenadas cartesianas xi y en las curvilíneas iξ un mismo punto están relacionadas a través de las

O viceversa. De las ecuaciones anteriores se obtienen:

ecuaciones:

)x,x,x(),,(xx

321ii

321ii

ξ=ξξξξ=

21

2

3

i2

2

i2

1

i

21

2

i

32

i

22

i

1

xxx

1hi

xxxhi

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

ξ∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

ξ∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

ξ∂

=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ξ∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ξ∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ξ∂

∂=

erivada de los vectores en relación a D ia

r iξ .

r

Los vectores de un sistema de coordenadas curvilíneas, al contrario de los vectores de un sistema cartesiano, iadependen de las coordenadas, por tanto, sus derivadas no son nulas. Para sistemas de coordenadas ortogonales tales derivadas son:

rrr

in ,hhaa

ir r,n i,n ,hhah

haa

i

n

i

n

n

i

r

i

r

r

n

i

n

n

i

i

≠ξ∂

∂=

ξ∂∂

≠≠≠ξ∂∂

−ξ∂∂

−=ξ∂∂

rr

Los índices repetidos en las dos últimas ecuaciones, no i ican suma. De las ecuaciones anteriores se obtiene: nd



4

3

2

3

3

1

2

1

1

2

2

3

1

3

3

2

1

2

2

1

1 hhah

haa h

hah

haa

ξ∂∂

−ξ∂

∂−=

ξ∂∂

ξ∂∂

−ξ∂∂

−=ξ∂∂

rrrrrr

1

2

1

3

2

1

2

3

2

2

1

3

1

1

3

3 hhaa h

hah

haa

ξ∂∂

=ξ∂∂

ξ∂∂

−ξ∂

∂−=

ξ∂∂

rrrrr

2

1

2

1

1

2

1

3

1

3

3

1 hhaa h

haa

ξ∂∂

=ξ∂∂

ξ∂∂

=ξ∂∂

rrrr

3

1

3

1

1

3

2

3

2

3

3

2 hhaa h

haa

ξ∂∂

=ξ∂∂

ξ∂∂

=ξ∂∂

rrrr

3

2

3

2

2

3 hhaa

ξ∂∂

=ξ∂∂

rr



1


CURVILÍNEAS ORTOGONALES. LECCIÓN OCHO.

Gradiente, divergencia, rotacional y laplaciano en coordenadas curvilíneas ortogonales. Una de las principales ventajas de expresar una ecuación que gobierna determinado fenómeno, en términos del gradiente, la divergencia, el rotacional o el laplaciano, es que un cambio en el sistema de coordenadas no modifica la forma de la ecuación en cuestión. Por ejemplo, en un sistema cartesiano una ley dada se expresa por la ecuación, , esta ecuación será invariante para cualquier sistema de coordenadas sea cartesiano o curvilíneo. Lo que puede cambiar es la forma de la expresión de

0)q(div =r

)q(divr

. Así, es de mucha importancia el conocimiento de las ecuaciones que expresan el gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano en sistemas de coordenadas curvilíneas. De ecuaciones ya vistas en el curso se puede obtener: * Para el gradiente de una función escalar ),,( 321 ξξξϕ=ϕ :

1,2,3i i,en suma ha

ii

i =ξ∂ϕ∂

=ϕ∇r

Donde el componente i de es: )(grad ϕ

ien suma es no h1)(

iii ξ∂

ϕ∂=ϕ∇

*Para la divergencia de una función vectorial ),,(VV 321 ξξξ=

rr:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ξ∂

∂+

ξ∂∂

+ξ∂

∂=

ξ∂

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛∂

=∇3

i21

2

i31

1

i32

321i

ii321

321

)Vhh()Vhh()Vhh(hhh

1hVhhh

hhh1V

r

* Para el rotacional de una función vectorial ),,(VV 321 ξξξ=rr

:

( ) 3. a 1 dek yji,en suma )Vh(

hahhh

1Vj

kkijkii

321 ξ∂∂

ε=×∇rr

O escribiendo solamente el componente i del rotacional:

( ) ien suma no pero 3, a 1 dek yjen suma )Vh(

hhhh

1Vj

kkijki

321i ξ∂

∂ε=×∇

r

* Para el operador laplaciano:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ξ∂∂

ξ∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ξ∂∂

ξ∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ξ∂∂

ξ∂∂

=∇

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ξ∂∂

ξ∂∂

=∇=∇⋅∇

33

21

322

31

211

32

1321

2

i2i

321

i321

2

hhh

hhh

hhh

hhh1

3 a 1 de ien suma h

hhh hhh

1



1


CURVILÍNEAS ORTOGONALES. LECCIÓN NUEVE.

Sistemas especiales de coordenadas curvilíneas ortogonales. Coordenadas cilíndricas circulares. Este sistema de coordenadas es definido por las siguientes superficies coordenadas: - Una superficie cilíndrica de radio 11 Cr ==ξ cuyo eje es el eje x3 del sistema cartesiano x1,x2,x3. - Una superficie plana que forma un ángulo 22 C=ϕ=ξ constante con el plano x1x3 , y - una superficie 333 Cx ==ξ constante. Las tres superficies son ortogonales dos a dos. Coordenadas:

zx , ,r 3321 ==ξϕ=ξ=ξ Vectores:

332r1 ea ,aa ,aarrrrrr

=== ϕ Ecuaciones de transformación:

zx yrsenyx ;cosrxx 321 =ϕ==ϕ== Rangos de variación de las coordenadas:

∞≤≤∞π≤ϕ≤≥ z- ;20 ;0r Factores de escala:

1hh ; rhh ; 1hh z32r1 ====== ϕ Elemento de volumen:

dzrdrddVol ϕ= Gradiente de una función : ψ

za

ra

ra zr ∂

ψ∂+

ϕ∂ψ∂

+∂ψ∂

=ψ∇ ϕ rr

r

Divergencia de un vector : V

r

z

)rV(r1V

r1

r)rV(

r1V

:ó z

)rV(Vr

)rV(r1V

zr

zr

∂∂

+ϕ∂

∂+

∂∂

=⋅∇

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂+

ϕ∂

∂+

∂∂

=⋅∇

ϕ

ϕ

r

r

Laplaciano de una función : ψ

2

2

2

2

22

zr1

rr

rr1

∂ψ∂

+ϕ∂ψ∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂ψ∂

∂∂

=ψ∇



2

Coordenadas esféricas. Este sistema de coordenadas es definido por las siguientes superficies coordenadas: - Una superficie esférica de radio 11 Cr ==ξ cuyo eje es el centro del sistema cartesiano x1,x2,x3. - Una superficie plana que forma un ángulo 22 C=θ=ξ constante con el plano x1x3 ,y - una superficie plana que forma un ángulo 33 C=ϕ=ξ variante en el plano x2x3. Las tres superficies son ortogonales dos a dos. Coordenadas:

ϕ=ξθ=ξ=ξ 321 , ,r Vectores:

ϕθ === aa ,aa ,aa 32r1rrrrrr

Ecuaciones de transformación:

θ==ϕθ==ϕθ== cosrzx ysenrsenyx ;cosrsenxx 321 Rangos de variación de las coordenadas:

π≤ϕ≤π≤θ≤≥ 20 ;0 ;0r Factores de escala:

θ====== φθ rsenhh ; rhh ; 1hh 32r1 Elemento de volumen:

θϕθ= ddrdsenrdVol 2 Gradiente de una función : ψ

ϕ∂ψ∂

θ+

θ∂ψ∂

+∂ψ∂

=ψ∇ ϕθ

rsena

ra

rar

rrr

Divergencia de un vector : V

r

)rV()Vrsen(

r)Vsenr(

senr1V r

2

2 ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ϕ∂

∂+

θ∂θ∂

+∂θ∂

θ=⋅∇ ϕθ

r

Laplaciano de una función : ψ

2

2

2222

22

senr1sen

senr1

rr

rr1

ϕ∂ψ∂

θ+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

θ∂ψ∂

θθ∂∂

θ+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂ψ∂

∂∂

=ψ∇



1

SEGUNDA UNIDAD: FORMULACIÓN INTEGRAL Y DIFERENCIAL CAPÍTULO CUATRO: FUNCIONES ESPECIALES.

LECCIÓN DIEZ.

TRANSFORMACIONES DE LAPLACE. La transformada de Laplace puede utilizarse para solucionar ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales. Es ideal para problemas de valor inicial, y muy útil para resolver sistemas de ecuaciones simultaneas. El primer paso para aplicar la transformada de Laplace es aprender como realizar la primera integración:

)s(fdt)t(fe)t(Lf 0st =∫= ∞ − 1

Esencialmente, esta expresión integra el tiempo en la relación y lo reemplaza por una variable s (que pertenece al dominio de la variable compleja). Para ecuaciones diferenciales ordinarias, la operación reduce al problema al campo del algebra. La transformada de Laplace de una función f(t) se define como los valores positivos de t en función de una nueva variable s, según la integral de la primera ecuación. La función más sencilla es una constante K:

[ ]sKKeKL

0

st =∫=∞

−

Entonces, es claro que cuando en el campo de la transformada se tenga a/s, en la inversión que se denota como , se obtendrá a. )s/a(L 1−

Propiedades de la transformada. La TL, existe si f(t) satisface las siguientes condiciones:

- f(t) es continua o continua a trozos en el intervalo de trabajo (de valores positivos) - )t(ft n n esta limitado cerca de t=0 cuando se aproxima desde los valores positivos de t, para cualquier

n, donde n <1. - )t(fe tso− Es acotada para valores grandes de t para cualquier número so.

La función f(t) es continua a trozos en el rango 21 ttt ≤≤ si es posible dividir el rango en un número finito de intervalos de tal forma que f(t) sea continua en cada intervalo y se aproxime a valores finitos a medida que se acerca al limite de cada intervalo. De la definición, se pueden extraer las siguientes propiedades: Propiedad de transformación lineal: )s(g(b)s(fa)t(bg)t(afL +=+ Transformación de derivadas: Realizando una integración por partes se puede obtener:

cero"en evaluado" :significa )(0 dt

)0(fd....dt

)0(fdsdt

)0(dfs)0(fs)s(fsdt

)t(fdL 1n

1n

2

23n2n1nn

n

n

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ +++

++

+++−=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−

−−−−

1 Se ofrece disculpas al estudiante, el símbolo de la transformada de la place es un “ele” mayúscula estilizada que no se encuentra disponible en el editor de ecuaciones, por lo cual se empleará la “L”.



2

Esta ecuación es una de las propiedades más útiles de la transformada de Laplace. Esta relaciona la transformada de la n-ésima derivada de f(t) a la transformada de f(t) junto a valores numéricos de la derivada de menor orden a medida que esta se aproxima a cero (para valores positivos). Cuando la transformada de Laplace se utiliza para resolver ecuaciones diferenciales, es en la ecuación presentada donde se incluyen las condiciones de frontera, lo cual arroja una ventaja adicional cuando se conoce el valor de frontera en t=0. Las condiciones en las que la propiedad presentada en la última ecuación es válida son:

- si la primera derivada de f(t) es continua en el intervalo 0 a t2. - Si es al menos continua a trozos en e intervalo 0 a t2. - Si f(t) y sus primeras n derivadas son de “orden exponencial”.2

La transformación de un integral se logra por partes y se obtiene (válido si Lf(t) existe):

∫−=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧∫

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧∫

a

0

t

a

t

0

dt)t(fs1 )s(f

s1dt)t(fL

y )s(fs1dt)t(fL

Propiedad de traslado de la transformada:

)ap(f)t(feL at −=

Esta ecuación establece que la transformada de un producto se obtiene reemplazando s por s-a n la transformada de f(t). Si:

)t(feat

)s(ge)s(f

at)at(gat0

)t(f

ap−=

⎩⎨⎧

≥−<

=

La utilidad de la expresión anterior se presenta cuando una función f(t) es cero para todos los valores de t menores a un valor positivo a, y es de la forma g(t-a) para t ≥ a, entonces la transformada de esta función se encuentra como el producto de y la transformada de g(t). ase−

La transformada inversa. En la práctica, la mayor dificultad del método de la transformada de Laplace es determinar la función que corresponde a la expresión encontrada en función de s. Entonces, )s(f es relativamente fácil de encontrar y el paso final es la determinación de “la transformada inversa de Laplace f(t)”. El proceso de inversión es único pues a una función f(t) corresponde una transformada )s(f . Sin embargo no

todas las funciones en el dominio de “s” son funciones susceptibles de ser transformadas. Aun así, si )s(f tiende

a cero a medida que s tiende a infinito y )s(fs es acotada a medida que s tiende a infinito, entonces )s(f es la transformada de alguna función f(t) que es al menos continua a trozos en un intervalo y es de orden exponencial.

2tt0 ≤≤

Cuando el valor inicial de f(t) se necesita y )s(f es conocida, lo siguiente es útil:

)0(f)s(fsLims

+=∞→

Al continuación se presenta una tabla resumen de transformadas comunes.

2 El orden exponencial se cumple cuando )t(fe tso− es limitada para valores altos de t.



3

Transformada ∫=∞

−

0

st dt)t(fe)s(f Función f(t)

s1 1

2s1 t

.1,2,3,....n s1n =

( ) !1nt 1n

−

−

s1

t1π

2/3s1

πt2

1,2,3,...n s

12/1n =

+ [ ] π−

−

)1n2....(x5x3x1t2 2/1nn

0ks

)k(k >

Γ 1kt −

as1−

ate

( )2as1−

atte

( ),...3,2,1n

as1

n =−

at1n et)!1n(

1 −

−

( )0k

as)k(

k >−

Γ at1k et −

( )( ) babsas

1≠

−− ( )btat ee

ba1

−−

( )( ) babsas

s≠

−− ( )btat beae

ba1

−−

( )( )( )cba

csbsas1

≠≠−−−

)ac)(cb)(ba(

e)ba(e)ac(e)cb( ctbtat

−−−−+−+−−

Para que el estudiante pueda profundizar, en la carpeta correspondiente al capítulo cuatro encontrara el capítulo sexto del libro “Ecuaciones diferenciales aplicadas” de Murray Spiegel (Prentice Hall-1983).

t

seissoluciol’n de ecuaciones

difererkales portransformadas de Laplace

1. INTRODUCCION A L METODO D E L A S T R A N S F O R M A D A S

D E LAPLACE

1.1 Motivación por las transformadas de Laplace

1.2 Definición y e jemplos de la t ransformada de Laplace

1.3 Propiedades adicionales de las transformadas de

Laplace

1.4 La Función gamma

1.5 Observaciones concernientes a la existencia de las

transformadas de Laplace

1.6 La función salto unidad de Heaviside

2 . FUNCIONES IMPULSO Y LA FUNCION DELTA DE DIRAC

3 . APLICACION DE LAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE A

ECUACIONES DIFERENCIALES

3.1 Solución de ecuaciones diferenciales sencillas.

Transformadas inversas de Laplace

3.2 Algunos métodos para hallar transformadas inversas de

Laplace

3.3 Observaciones concernientes a la existencia y unicidad

de las transformadas inversas de Laplace

4. APLICACIONES A PROBLEMAS FISICOS Y BIOLOGICOS

4.1 Aplicaciones a circuitos eléctricos

4.2 Una aplicación a biología

4.3 El problema tautbcrono-aplica&% de una ecuación

integral en mecánica

4.4 Aplicaciones involucrando la función delta

4.5 Una aplicación a la teoría de control automático y

servomecanismos

2 6 0

,

1 4

1 Introduccibn a l método de lastransformadas de Laplace

1.1 MOTIVACION POR LAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE

En los capítulos anteriores el estudiante aprendió cómo resolver ecuacio-nes diferenciales lineales con coeficientes constantes sujetas a condicionesdadas llamadas de frontera o condiciones iniciales. Se recordará que el mé-todo consiste en encontrar la solución general de las ecuaciones en términosde un número de constantes arbitrarias y luego determinar estas constantesde las condiciones dadas.

Durante el siglo XIX estuvo de moda para científicos e ingenieros, enca-bezados y motivados por el ingeniero electricista Heaviside, usar métodos deoperador tales como los descritos en las páginas 207-215 para resolver variosproblemas involucrando ecuaciones diferenciales. En estos métodos los ope-radores fueron tratados como símbolos algebraicos y las ecuaciones resultan-tes fueron manipuladas de acuerdo a las reglas del álgebra (vea, por ejemplo,el Ejemplo ilustrativo 13, página 210). Admirablemente, los métodos condu-jeron a respuestas correctas. Estos éxitos motivaron a científicos e ingenie-ros a usar los métodos aún más, e incitaron a la retórica de parte de algunosmatemáticos quienes no gustaban de ver tales ciegas manipulaciones mate-máticas gratificadas con el éxito. Comentarios demeritando los procedimien-tos no rigurosos se contestaban con observaciones tales como “iDebe unoentender el proceso de la digestión para poder comer?” y “Esta serie es di-vergente; por tanto debe tener algún uso práctico”.

Algunos matemáticos inquietos, viendo que las manipulaciones algebrai-cas sí conducían a resultados correctos> razonaron que debería haber algunamanera de colocar los procedimientos en una base matemática rigurosa. Lainvestigación hacia este objetivo condujo al poderoso método de las transfor-madas de Luplace, el cual examinamos en este capítulo. Este método tienevarias ventajas sobre otros métodos. Primero, usando el método podemos, co-mo en el enfoque de Heaviside, transformar ecuaciones diferenciales dadasen ecuaciones algebraicas. Segundo, cualesquiera condiciones iniciales da-das automáticamente se incorporan en el problema algebraico de modo queno se necesita hacer ninguna consideración especial sobre ellas. Finalmente,el uso de tablas de transformadas de Laplace pueden reducir el .trabajo deobtener soluciones lo mismo que las tablas de integrales reducen el trabajode integración.

Las transformadas de Laplace tienen muchas otras aplicaciones ademásde resolver ecuaciones diferenciales, tales como la. evaluación de integralesy la solución de ecuaciones integrales, y examinaremos algunas de ellas, pos-teriormente en el capítulo.* Con una visión hacia tales aplicaciones, dirigi-mos nuestra atención a la definición y ejemplos de la transformada de La-place.

*Las transformadas de Laplace son también de interés teórico en sí mismas. Ver (301por ejemplo.

Solución de ecuaciones diferenciales por transformadas de Laplace 2 6 1

1.2 DEFINICION Y EJEMPLOS,DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Sea F(t), t > 0 dada. La transformada de Laplace de F(t) se define como*

f(s) = Y(F(t) = Jom e-“‘F(t)dt

donde s es un parámetro real.** El símbolo 2’ se llama el operador de la trans-formada de Laplace.

La integral impropia en (1) se define comol í m sM e-“‘F(t)&M+m O

(2)

y la transformada de Laplace se dice que existe o no de acuerdo a si el límiteexiste o no. Si (2) existe decimos que la integral converge. Condiciones bajolas cuales la transformada de Laplace existe se discuten en la página 267.

Usando la definición (1) podemos encontrar la transformada de Laplacede varias funciones como se indica en la tabla en la contraportada posterior. t

EJEMPLO ILUSTRATIVO 1

Encuentre (a) .P’ l), (b) T(P).

Solución a (a) 2?1) = Jom e-“‘(l)& = Mí-“, Jo” e-“’ dt = GIGI 2 11

= lím 1 - PM 1=- sis > 0M-+02 s s ’

Solución a (b) Ye”‘f = Joa eCs’(ent)dt = lí+~ soM e-(‘-‘)* dt

e-(s-a)t M 1 _ e-(s-a)M. =J!!~-(S-a)o =;ym--------

1sis> a

s - a s - a’

Estas corresponden a las entradas 1 y 5 de la tabla.Note.que del Ejemplo ilustrativo 1, la existencia de la transformada

Pe

Laplace de una función F(t) depende de los valores de s. Así la transfo ma-da de Laplace de 1 existe si s > 0 pero no existe si s 6 0. Similarmente la trans-formada de Laplace de e at existe si s > a pero no existe si s 5 a. Una situa-ción similar surge al considerar cualquier transformada de Laplace.+ No esdifícil mostrar que si la transformada de Laplace de una función existe paras = LY entonces también existirá para todo s > (Y. Hay funciones cuyas trans-

*En general si las funciones se denotan por letras mayúsculas tales como F, G sus trans-formadas de Laplace se denotan por las letras minúsculas correspondientes f, g. Alternativa-mente una sobrebarra se puede usar para denotar la transformada de Laplace. Por ejemplo

-qf@)) = As,.“En la teoría avanzada de las transformadas de Laplace es conveniente asumir que s es

una variable compleja de modo que f(s) es una función de una variable compleja. La letra p se .usa algunas veces en lugar de s, especialmente por algunos ingenieros y físicos. En otras defini-ciones algunas veces usadas, la integral en (1) se multiplica por s (o p).

*Note que la transformada de Laplace de cero es cero, como es claro de la definición, y noha sido incluido en la tabla.

tA1 escribir transformadas de Laplace no siempre puede ser conveniente indicar el rangoverdadero de valores para los cuales existe la transformada de Laplace, y frecuentemente lo omi-tiremos. Uno debería por supuesto ser capaz de producirlo cuando se solicite.

262 Capítulo seis

formadas de Laplace no existen para ningún valor de s. Así, por ejemplo, pues-to que la integral n

no converge para ningún valor de s, la transformada de Laplace de et * noexiste.


Encuentre (a) 6P(sen cot), (b) Zcos ot).

Soluciones Aunque estas se pueden hallar directamente de la definición(ver Ejercicio 1B) acudiremos al siguiente procedimiento. Remplace a por iwen parte (b) del Ejemplo ilustrativo 1. Luego usando la fórmula de Euler e’“’ =cos wt + i sen wt tenemos

,ei”‘) = Jox e-s’e’“’ rlt = Jo* ees’ cos ot dt + i JoT e-” sen 0.X dt

1 s + iw s + io= Lfcos oti + iYsen wt) = & = -. ~ = ~

s - iw s + iw s2 + oI2

=*+i&

Igualando las partes reales e imaginarias obtenemos

qcos ox) = +, $Psen ot = +s f o

las cuales corresponden a las entradas 6 y 7, respectivamente, en la tabla.Pbesto que ya hemos sugerido que las transformadas de Laplace son úti-

les para resolver ecuaciones diferenciales no debería sorprender que estaría-mos interesados en hallar las transformadas de Laplace de derivadas. Pode-mos conseguir esto directamente de la definición. Así tenemos

Z Y’(t)) = Jo= e -“‘Y’(t)At = Mrna JoM e-“‘Y’(t)&

= f.. je-“Y(t) 11 ++s Jf e-“Y(t)&

= límM+X i

epsM Y(M) - Y(0) + s JoM ees’Y(t)dt1

s

m= s

0eC”‘Y(t)dt - Y(0)

= sy - Y(0)

donde hemos asumido que YY(O = Y(S) = Y y lim,-, e-SMWW = 0.’.

*Se debería notar que el método está basado en la igualdad

sC C 1,-srgwt & -

0 s - i w ’s>o

Esto se puede justificar usando métodos de variable compleja.tTambién se asume que Y(t) es continua en t = 0. Para el caso donde esto no es así, vea

el Ejercicio 3C.

Solución de ecuaciones diferenciales por transformadas de Laplace 263

Para hallar las transformadqs de Laplace de derivadas de alto orden po-demos usar la definición y la integración por partes. Sin embargo es más fá-cil emplear el resultado que acabamos de obtener. Para hacer esto hagaG(t) = Y’(t). Entonces

.ZY”(t)) = cYG’(t)) = s6PG(t)) - G(O)

= .%Y<;P(Y’(t)J - Y’(0) = s[sg(s) - Y(O)] - Y’(0)

= s2y(s) - sY(0) - Y’(0)Los resultados corresponden a las entradas 15 y 16 de la tabla. Generaliza-ciones a derivadas‘más altas se pueden obtener en forma similar y se indicapor la entrada 17 de la tabla.

ObServación. Note que las derivadas de Y tienen transformadas deLaplace las cuales son funciones algebraicas de s y contienen los valores ini-ciales de Y y sus derivadas. Esta observación ‘proporcionó una pista impor-tante a los matemáticos para relacionar las transformadas de Laplace con losmétodos operacionales descritos en la página 261, y la aparente conexión en-tre el operador D y el símbolo algebraico s. También sirvió para mostrar lasventajas descritas en la página 261. Ilustraremos el uso de los métodos de latransformada de Laplace en ecuaciones diferenciales en la página 278 des-pués de que hayamos examinado algunas ,propiedades más de la transfor-mada.

Es de interés e importancia notar que el operador de la transformada deLaplace 2 es un operador linea1 como los operadores D, 02,. . , del Capítu-lo cuatro, página 168. Para probar esto sólo necesitamos mostrar que

TF(O + W = y(W)) + ~W)) = f(s) + g(.y) (3)

IPcF(t)) = &F(t)) = c:f(s) (4)donde F(t) y G(t) tienen transformadas de Laplace f(s) y g(s), respectivamen-te, y c es cualquier constante. La prueba sigue directamente de las propieda-des de las integrales. Puesto que

g”(F(t) + G(t)) = Jox e-“*(F(t) + G(t))& = Jo= e-“‘F(t)dt + SO e~“‘GW&

= Y(F(t)j + Y(G(t)) = ,f(s) + g(s)

--áP(cF(t) = Jom e-“‘cF(t)) tlt = c JoK eC”‘F(t)tlt = cá”(F(t)j = cI

Esta propiedad lineal nos permite hallar transformadas de Laplace de sumas.


Encuentre <;p3 - 5e2’ + 4senr - 7 cos 3t).

Solución Usando la propiedad lineal tenemos

F(3 - 5e2’ + 4sen t - 7 cos 3r) .= 93j + sP -5e 2’) + y2’(4 sen t) + F -7 cos 3t)

= 3911; - 59e2’j + 49sen t) + 91-7 cos 3tj

3 5 4 7s=- -___ +---- sis r 2S s - 2 s2 + 1 s2 + 9’

264 Capitulo seis

Los resultados que involucran transformadas de Laplace de derivadas a me-nudo son útiles para hallar las transformadas de Laplace sin el uso directode la definición. Considere el


Encuentre L?t”;, n = 1,2, 3,. .

Solución Haga Y(t) = t” de modo que Y’(t) = nt”-’ , Y(0) = 0. Entoncestenemos LfY’(tj) = SIP Y(t); - Y ( 0 ) 0 ~rtt”-‘] = sZt”)

Así 2?r”J = Fujr-1:

Colocando n = 1, 2,. , encontramos para s > 0

P?t] = f 91) = $, Tt”) = 5 Z(t) = ;, (iBt” = +?Jq = y = 6

zy) = n(n - 1) . . . 1 n!=--yI+ 1 gl+1y en general (5)

1.3 PROPIEDADES ADICIONALES DE LAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE

Al construir tablas de transformadas de Laplace ciertas propiedades de-muestran ser útiles. Para desarrollar una de tales propiedades escribamos ladefinición

f(s) = .S(F(t)) = Joa e-“‘F(t)dt (6)

y formalmente remplace s por s -a. Entonces encontramos

f(s - a) = Jr e-(S-a)‘F(t)dt = j: emS’e”F(t))dt

y así 9eatF(t)] = f(s - a) (7)

Otra propiedad importante surge al diferenciar ambos lados de (6) conrespecto a s. Encontramos

g = f’(s) = $ Jox e-“‘F(t)dt = JOm - te-“‘F(t)dt = -yt~(q)

asumiendo justificable la diferenciación bajo el signo de la integral.* Así si-gue que

<;P(tF(t)) = -f’(s) (8)

Diferenciando más tenemos

Lf?F(t) = f”(S), Tt3F(t) = -f”‘(S) . (9)

*Si a y b son constantes, el resultadod 1- $ G(s, t)dt = l ‘; dtds a

con frecuencia llamada la regla de Leibniz para derivar una integral. Para las condiciones bajolas cuales el resultado se cumple, ver cualquier libro sobre cálculo avanzado (por ejemplo [26]de la bibliografía).


0 en general ~~r’~F(t)) = ( - l)y”“‘(.s) = ( - l)$

LOS resultados anteriores se resumen en el siguiente

Teorema. Si Y ( F(t)/ = f(s) entonces1. LfftV(e”‘F(t)) = f(s - 0).2. (ru jt”F(t)) = ( - l)“f’“‘(s), II = 1) 2 , 3 , .

Para ilustrar estos resultados consideremos algunos ejemplos.


Halle 940(e3’ cos 4t).Solución Puesto que Y(cos 4t) = 7: 1% tenemos

-Yl’le3’ 4t’ ~~ s 3 s - 3cos = -

L 1 (s - + 163)2 .s2 - 6s + 25Note que esto es válido si s > 3. El resultado es un caso especial de la entra-da ll en la tabla.


Halle (a) LF[(tsentj, (b) F[t’sen t).

Solución Puesto que Y(sen,t) = A tenemos

las cuales son válidas para s > 0. Compare con la entrada 13 de la tabla.

1.4 LA FUNCION GAMMA

Ya hemos encontrado (en el Ejemplo ilustrativo 4) que

Una pregunta natural que surge es, icómo se debe modificar (ll) si n no esun entero positivo? Para responder a esto notemos primero que

Haciendo la sustitución u = st, s > 0, encontramos

266 Capítulo seis

Si usamos ahora la notación l-(/1 + 1) = Jo' unc" LlU (13)

entonces (12) llega a ser

Llamamos r (n + 1) la función gamma. Examinemos esta función un poco másde cerca. Integrando por partes encontramos

r(i7 + 1 ) = jo’ Il”emu tl1r = (IP)( -C”) ’ -l J0

(; (Mrl)( -~-~‘)th

s

7= II un ’ e

0-Id du = /c(n)

La relación l-(/7 + 1) = ill- (15)se llama una fórmula de recurrencia para la función gamma. Puesto que

(16)

tenemos r(2) = ir-(i) = 1, r(3) = 2r(2) = 2. I = 2!, r(4) = 31-l13) = 3!

y en general cuando n es un entero positivortn + 1) = d (17)

Así (14) concuerda con (ll) para este caso.Sigue que Ia función gamma es realmente una generalización del facto-

rial. Un resultado interesante es que

r(i) = $i (18)Para indicar una prueba de esto notemos que al hacer u = x2

Cambiando a coordenadas polares (r, 4) esta última integral se puede trans-formar en

I2 = 4 @‘fos s

rr=O e-“r dr d$ = 4

de la cual 1= r (4) = \r;;. Aunque esto es un enfoque algo “informal”, el mé-todo se puede hacer matemáticamente riguroso por procedimientos de límitesapropiados.

Es de interés notar que

(19)

1.5 OBSERVACIONES CONCERNIENTES A LA EXISTENCIADE LAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE

En la definición (1) de la transformada de Laplace, el factor e-S’ es un“factor de amortiguamiento” el cual para cualquier valor fijo positivo de s


tiende a decrecer al crecer t. Intuitivamente hablando, esperaríamos que laintegral converja, y así exista la’ transformada de Laplace, con tal que F(t)no “crezca tan rápidamente” al crecer t. Los matemáticos hacen esto máspreciso al definir una clase de funciones tales que existen constantes K y (Ypara las cuales

lF(t)l < Ke”’Tales funciones se dice que son de orden exponencial CI, o brevemente deorden exponencial. La función F(t) = t es ciertamente de orden exponencialpuesto que tenemos (por ejemplo)

ttd

Por otro lado la función et2 no es de orden exponencial, esto es, crece muyrápidamente para ser de este tipo.

Otra clase de funciones que el matemático encuentra importante es laclase de funciones continuas a tramos o seccionalmente continuas. Llama-mos una función seccionalmente continua en un intervalo si tiene solamenteun número finito de discontinuidades en el intervalo y si los límites por la de-recha y por la izquierda existen en cada discontinuidad.* Por ejemplo,

cuyo gráfico se muestra en la Figura 6.1 es seccionalmente continua en el in-tervalo 0 5 t s 4 puesto que solamente hay una discontinuidad, t = 2, en elintervalo y los límites por la derecha y por la izquierda en esta discontinui-dad existen (y son iguales a 2 y 1, respectivamente).

, F(t)

tf

L---L-- - -..L-.---.--. .- -s_ ,. ..-.. i ..-- _. ..-q t

1 2 3 4 5

Figura 6.1

- *El límite por la derecha de una función F(t) en el punto t,, se define como lírne.+o F(t, + c)donde 6 tiende a cero por valores positivos. Similarmente, el límite por la izquierda de F(t) ent. e s l í í r-O F(t, -t) donde t tiende a cero por valores positivos. Para indicar que c tiendea cero por valores positivos algunas veces escribimos lím,,o+F:(t,, + C) y lím,+,,+F&, - c) para loslímites por la derecha y por la izquierda, respectivamente, y deñotamos estos limites, si existen,por Me + 0) y F(t, - 0) respectivamente.#

El siguiente teorema es de importancia fundamental. Para una prueba veael Ejercicio 5C.

Teorema. Si F(t) es de orden exponencial LY y es seccionalmente conti-nua en todo intervalo finito 0 5 t 5 T entonces la transformada de Laplacede F(t) existe para todo s > (Y .Se debería enfatizar que la hipótesis de este teorema garantiza la existenciade la transformada de Laplace. Sin embargo si estas condiciones no se satis-facen no quiere decir que la transformada de Laplace no exista. De hechopuede o no puede existir (vea los Ejercicios 3 y 6B). En situaciones como ea-tas, las condiciones se dicen que son suficientes pero no necesarias para lavalidez de las conclusiones.

Ilustremos el teorema anterior en los siguientes ejemplos.


Encuentre la transformada de Laplace de F(t) = 3, 05t<2o

, t > 2.

Solución La función es seccionalmente continua y de orden exponencial ypor el teorema anterior tiene una transformada de Laplace. Esta está dada por

YF(t) = Jom ews’F(t)dt = Jo2 e-“‘(3)& + J2m e-“‘(0)dt

= 3(!C)l; = 3(’ -;-“)


Encuentre la transformada de Laplace de e%‘.

Solución La función es seccionalmente continua en cualquier intervalo ini-to. Podemos también mostrar que es de orden exponencial. Para ello no iemosque para t > 1, VR t, y así

evi < et

de la cual vemos que F(t) =e” es de orden exponencial. Por tanto =.Y(eVG>existe. Sin embargo, aún cuando exista esta transformada de Laplace, no lapodemos determinar en forma cerrada porque la integral

1

m

. 0e -stevidt = 2

s1 eu-su2 du (20)

donde t = u2 no se puede evaluar exactamente. Sin embargo se puede eva-luar aproximadamente para cualquier valor de s > 0 usando integración nu-mérica o el método del Ejercicio 7(c)C.

Este ejemplo sirve para ilustrar el hecho enfatizado con frecuencia en ca-pítulos previos, de que existe una gran diferencia entre probar que algo exis-te y el. hallarlo.

1.8 LA FUNCION SALTO UNIDAD DE HEAVISIDE

La función definida por H(t - a) = t>at t a (21)


H(t -d

Figura 6.2

llamada la función salto unidad de Heaviside, o más brevemente la funciónde Heaviside o la función salto unidad, es frecuentemente útil en aplicacio-nes. El gráfico se muestra en la Figura 6.2.

La transformada de Laplace de esta función está dada por

y[:H(t - U) = Jo= e-“‘H(t - a)dt = J: e-“‘(O)& + r edst(l)&

=asumiendo que s > 0.

sx emas

e -Sr&= - -u s

varias funciones discontinuas frecuentemente se pueden expresar entérminos de la función de Heaviside como se indica en el siguiente

EJEMPLO ILUSTRATIVO 9t>71

4

Exprese la función F(t) = t < ~ en términos de la función sal-

to unidad de Heaviside.

Solución La función dada se puede expresar como

sen t - cos t,F(t) = cos t + o

1.

t>rrt-cl-t1

=cost+(sent-cost)A: :zE[

= cos t + (sen t - cos t)H(t - 7~)l

EJERCICIOS A

1. Usando la definición, encuentre la transformada de Laplace de cada una de lassiguientes funciones. En cada caso especifique los valores de s para los cuales latransformada existe. Compare con los resultados obtenidos de la tabla de trans-formadas de Laplace.(a) 3t - 2. (b) 4sen 3t. (c) 5 cos 2t.(d) lOe- 5*. (e) 2~’ - 3eF’ + 4t’. (f) 3sen 5t - 4 cos 5t.(g) 6 cosh 3i - 2 senh 5t. (h) t(em3* - tZ + 1).

270 CupíMo seis

2. Dado que Y/‘(sen WI i = & usedlla entrada 15 de la tabla para hallar Y(cos wtj.

3. Halle la transformada de Laplace de cada una de las siguientes( a ) t2e3’. (b) e - 2r(5 sen2t - 2 cos 2t). (c) t(sent+ e-‘).(d) (t’ + 1)‘. (e) t(cosh 2t - 2t). (f) 8 senh’ 3t.

-4. Use la función gamma para hallar(a)Y(t3’2j,(b)lP((r”“+t-“4)2~,(c)~pjt2’3~,(d)~4p:~~r~~ Ir~9)*’ 4

5. (a) Explique cómo puede usted estar seguro que la función F(t) = oi,

o<r<4t>4

tiene una transformada de Laplace sin realmente hallarla. (b) Encuentre YjF(t‘)). .

PS. Verifique las entradas 15 y 16 en la tabla para las funciones (a) Y(t) = tec, (b)%Io$Y(t) = t2 sen 3t.

7. Exprese cada una de las siguientes funciones en términos de la función de Heavi-side y obtenga sus gráficos.

t> 1 t>3 t > 2nt < 1’ t < 3' t < 2x'

8. Hallar (a) ytH(t - 1)). (b) ye’H(t - 2) - e-‘H(t - 3)).

EJERCICIOS B

1. Obtenga y( serrut) por (a) evaluación directa; (b) usando el hecho de que senwtsatisface la ecuación diferencial Y”+ w2 Y= 0. Haga lo mismo para Ycos cot).

2 .

3 .

4 .

5 .

Hal$+y ( te-’ sen t) .

Pruebe que (;e(e:‘> existe pero U(e@ ) no existe.

Si .T F(t)] existe para s =(Y, pruebe que también existe para todo s >o.

Halle la transformada de Laplace de la función periódica que se muestra en la Fi-gura 6.3.

6 . Muestre que aunque la función F(t) = t- r/2 no satisface las condiciones del teo-rema en la página 269 aún tiene una transformada de Laplace. ¿Hay alguna con-tradicción en esto? Explique

.-

l-----+---I

a-g-+g---~.~------ t

- 1 ^

Figura 6.3


Figura 6.4

7. Exprese en términos de la función de Heaviside

i

3 sen t, tgnF(r) = t2, x<t$2x

t - cos t, t > 2rl

8. La función

i

0, t-ca

P(t) = l/C, astsa+c 40, ’ r>a+e

donde a 2 0 y e > 0, cuyouha función impulso.

@áfico se indica en la Figura 6.4, es a menudo llamada

(a) Exprese esta función en términos de la función salto unidad de Heaviside.(b) Halle la transformada de Laplace de esta función.(c) Muestre que el límite de la transformada de Laplace en (b) cuando c+O exis-te y es igual 8 e-Os.

EJERCICIOS C

1. Muestre que F(t) = 1, t > 0 y G(t) =i:’

t=3tienen las mismas transformadas

t#3

de Laplace, a saber l/s, s > 0. ¿Puede &.ted pensar de otras funciones con la mis-ma transformada de Laplace? Explique.

2.

1,SeaF(t)= t : z 0 (4 Encuentre (i” F(t)! y 2 ( F’(t). (b) Es cierto para

este caso q;e 91 F’(t)1 =s(i”( F(t)! -F(O)?

3. Pruebe que si Y(t) tiene una discontinuidad en t = 0 entonces debemos remplazarla entrada 15 de la tabla por sy- Y(O+ ), donde Y(O+) scgnifka lím,,,+Y(t) estoes, el límite cuando t-0 por valores positivos. Usando esto explique la discre-pancia en el Ejercicio 2.

4. Sea F(t) una función periódica de período P, empezando en t = 0 (por ejemplo, veala Figura 6.2). (a) Si YF(t) existe muestre que está dada por

s,’ e-“‘F(t)&

1 - e-sp(b) Usando 6) obtenga la transformada de Laplace de F(t) = [sen t 1 donde el pe-ríodo es ï~.

272 Capítulo seis

5. Pruebe el teorema en la página 269. Sugerencia: Escriba

s70

e-“F(t)dt ” Ji e-“F(r)<lt + J; e -“tF(t)<It

y luego use el hecho de que

6. (a) Pruebe que si F(t) es seccionalmente continua en todo intervalo finito y de or-den exponencial entonces su transformada de Laplace f(s) tiende a cero cuandos- ~0 . (b) Ilustre el resultado en (a) dando varios ejemplos. (c) ¿Qué concluiríausted acerca de F(t) si lírnsw7 f(s) #O? (Sugerencia: Use el Ejercicio 5.)

‘7. Sea F(t) = et. Usando la expansión en serie ea = 1 +-t +c! + $ + y tomando

la transformada de Laplace término a término, verifique formalmente que Ypl et =l/(s - l), s > 1. iCómo puede usted usar este método para hallar (a)Y’ sen t ;( b ) At’ cost); ( c ) yle“; ? 6. Puede usted justificar el método ?

9. Muestre que si a > 0 y n > 1 entonces (a)li H(u - a)~/u = (t - a)H(t - a),

(b) j-i ( u - a)“H(u - a)du = (t - “;+;y’ - a).

9. Muestre que la función ilustrada gráficamente en la Figura 6.2 se puede represen-tar por

, H ( t ) + i (- l)“H(t - na)n= 1

2 Funciones impulso y la funcibn delta de Dirac

Suponga que una fuerza F(t) que depende del tiempo t actúa sobre unapartícula de masa m del tiempo t. al tiempo tl . Si u es la velocidad instan-tánea de la partícula durante este intervalo de tiempo, entonces por la ley deNewton tenemos

F = $nu> (1)

así ques

“Fdt =fo s

” d(m) = mu,fo I

- mu0 (2)

donde uc y u1 son las velocidades de la partícula en tiempos t. y t , , res-pectivamente. .

Puesto que mu es el momentum de la partícula, la cantidad a la derechade (2) es el cambio de momentum sobre el intervalo. La integral a la izquier-da de (2) a menudo se llama el impulso de la fuerza sobre el intervalo, o bre-vemente el impulso. Así, en palabras (2) dice que

impulso = cambio en momentum (3)Ahora suponga que la diferencia entre t 1 y t, está dada por E > 0, así quet 1 = t, + E. Si asumimos que la fuerza es una constante, digamos A, en el in-

Solucidn de ecuaciones diferenciales por transformadas de Laplace 273

Figura 6.5

tervalo, 0 si asumimos que c se toma lo suficientemente pequeño para quela fuerza sea aproximadamente. igual a A en el intervalo, entonces la fuerza sepuede representar gráficamente como en la Figura 6.5. El impulso denotadopor Z está entonces dado por

I= s “‘+’ A rlt = AE(0 (4)

y está representada geométricamente por el área del rectángulo sombreadoen la Figura 6.5.

Suponga ahora que el impulso es una constante no cero, digamos 1, asíque como se ve de (2) hay un cambio unitario en momentum sobre el interva-lo, esto es, Ac = 1. Entonces cuando c+O tenemos que A- 00 , así que geo-métricamente el ancho del rectángulo en la Figura 6.5 se hace más grande detal manera que el área permanezca igual a 1.

Si el estudiante prefiere no asumir que F(t) esté dada como en la Figura6.5, sino en vez que varíe de alguna manera como se indica en la Figura 6.6,entonces de nuevo asumiendo Z= 1 tenemos

En tal caso, aún cuando la forma de la función no se conozca, no es difícil verque si (5) debe ser cierto, cuando c +O, F(t) debe tender a infinito. La in-terpretación geométrica es que cuando t -0 el pico de la curva de la Figura6.6 debe tender a infinito de tal manera que el área bajo ella sea igual a 1, es-tando esencialmente de acuerdo con la discusión dada en relación con la Fi-gura 6.5.

Estas ideas nos llevan naturalmente al tema matemático de intentar des-cribir funciones, tales como las representadas por las Figuras 6.5 o 6.6, las

.

‘* tt. f E

Figura 6.6

cuales tienden a infinito cuando t -0 de tal manera que sus integrales (geo-métricamente sus áreas asociadas y físicamente el impulso) permanezcanconstantes. Tales funciones por obvias razones se llaman funciones impulsoo, en el caso especial donde la constante es 1, funciones impulso unitario.Puesto que podemos considerar F(t) como cero fuera del intervalo de t, at, + C, podemos pensar más generalmente en una función impulso unitariacaracterizada por las siguientes dos propiedades I,

i

/1. F(f) = ó’ t = ro

3 t z ro?-. s;, F(f)flf = 1(6)

(7)

Tales funciones ciertamente no son de las clases convencionales con las cua-les hemos tratado, y de hecho, como lo sugiere la Propiedad 1, no son realmen-te funciones. Para distinguirlas de los tipos familiares de funciones, se hanllamado funciones generalizadas, y los matemáticos han tenido éxito en cons-truir una teoría sobre ellas llamada la teorúz de distribuciones.*

En su investigación sobre mecánica cuántica, Dirac encontró las funcio-nes impulso de gran uso.3 El introdujo lo que se llamó la función delta, aho-ra frecuentemente llamada de función delta de Dirac, con las propiedadesanteriores, esto es,

1. s(t - ro) =1

cI_3t = t,

0, t # t,

2:s:, S(t - t,)tlt = 1

Un resultado importante relativo a la función delta es que, si f(t) es cualquierfunción la cual es continua e n t = tc, entonces

s:, fs(t - t,)jlt)dt = fft,) (10)Esto algunas veces se llama la propiedad selectoru de la función delta, pues-to que todos los valores de f( t ) se elimina excepto aquellos para los cuales t =t. y sólo permanece el resultado f (to).

La propiedad selectora se puede hacer plausible si nos fijamos que el in-tegrando en lado izquierdo de (10) es cero excepto donde t = t, . Entoncespuesto que f(t) = f(to) en t = to, podemos remplazar f(t) por f(t,,) en (10)para llegar a

s ’-, 4t - t0V(Wt = ,f’tt,) J:7 S(t - t,)dt = .fjro)

usando la segunda propiedad de la función delta.Si tomamos el caso especial f(t) = e- uf en (lo), obtenemos la transfor-

mada de Laplace de la función delta, esto es,

yifjtt - t,); =s0

’ r-.“fj(t - t,)rlt = e-sr~~(11)

Si en particular t, = 0, tenemos F;S(t)) = 1 (12)

*Ver referencia [ 191 por ejemplo.$ Ver referencia (41 .

So!ución de ecuaciones diferenciales por transiormadas de Laplace 275

El hecho de que la transformada de Laplace de s(t) no tienda a cero cuan-do s--ì m sirve como un recordatorio de que la función delta no es una fun-ción convencional (vea el Ejercicio 6

B, página 273). Para ganar habilidad en

el uso de la&rnción delta, considerer os algunos ejemplos.


Evalúe JTx c-t26 (t - ;) dt.

Solución Sea t. = */2 y f(t) =e-t2 . Entonces por la propiedad (10) y f(t,) =f(7r/2) = e - +14, tenemos


Evalúe s1, ¿i(u - t&u.

Solución Puesto que 6(u - to) = 0 para u <t,, sigue que la integral escero para t < t. .

En el caso t > t,,, la integral se puede remplazar para todos los propósi-tos prácticos por la integral en (9), puesto que 6(u - to) = 0 para u > t, .Así, la integral es 1 para t > ro.

s t > t,Entonces tenemos t < t.Se debería notar que la función a la derecha es la función de Heaviside demodo que

s‘, 6(u - t&h = H(t - to) (13)

Si formalmente tomamos la derivada de ambos lados de (13), obtenemos

H’(t - t()) = s(t - to) (14)

esto es, la función delta es la derivada formal de la función salto unidad deHeaviside. Decimos derivada formal debido a que la función de Heavisideno tiene una derivada en el sentido ordinario. En la teoría de las distribucio-nes mencionada antes, se consideran tales derivadas generalizadas.

La función de Dirac es útil en muchos problemas aplicados que surgenen ingeniería, física y otras ciencias. Por ejemplo, si golpeamos un objetocon un martillo o golpeamos un tambor con una vara, una fuerza algo grandeactúa por un intervalo corto de tiempo. Esta fuerza se puede aproximar poruna función delta multiplicada por alguna constante apropiada de magnitudigual al impulso total. La función delta se puede también usar en electricidad,tal como cuando hay grandes picos en voltaje o corriente por intervalos cor-tos de tiempo.

2 7 6 Capítulo seis

x

Y

Figura 6.7

Una aplicación interesante de la función delta también surge en conexióncon los problemas de vigas. Suponga que la viga de la Figura 6.7 tiene unacarga concentrada P, actuando sobre ella en la localización x = x0 desdeel extremo izquierdo. Si asumimos que w(x) es la fuerza por unidad de longi-tud actuando sobre la viga, entonces tendremos

sxu+ t w(x)dx = P,. xodonde se asume que c es pequeño. El resultado (15) en el limite cuando c-4)sugiere que expresemos w(x) en términos de la función delta como

w(x) = P,h(x - x0) (16)

un resultado útil para hallar la deflexión de la viga debido a la carga concen-trada.

Presentaremos algunas aplicaciones de la función delta al final de estecapítulo.

EJERCICIOS A

1. Evalúe cada una de las siguientes integrales que involucran la función delta.

(a) JT, S (t - 1) COS 2t dt. (b) S-E t2e-3’¿i(t - +)dt.

(c) j-i t3cqt - ))dt. (d) JO1 t36(t + +)dt.

(4 JoE t3,%(t - $)dt. (f) [i 6 (t - $sen t2 dt.

2. Evalúe cada una de las siguientes transformadas de Laplace que involucran la fun-ción delta.(a) Y[(r’cT(t - 2);. (b) Yfe -3’6(t - 7x,;. (c) 6P(t6(t - 1);. (d) Ytte-‘6(t + 1)).

EJERCICIOS 6

1. Encuentre la transformada de Laplace de la función representada en el gráfico dela Figura 6.4. (a) Muestre que el límite de la transformada de Laplace hallada en(a) es e-Sto . (c) Discuta la relación del resultado hallado en (b) con la funcióndelta.

2. Evalúe P( 6(t - T! cos tJ 1 .

3. Discuta la relación del Ejercicio 8B, página272, con la función delta.


.f’on ’

sia >O

4. Muestre quef sT, &at)f(t)dt = !--.fmu ’

siu < 0

iQué supuestos debe hacer usted en relación a f(t)?

5. Evalúe (a) fTx S(2t + a)sen 3t dt. (b) JmTX & “’ 6(3t) dr.

EJERCICIOS C

1. Deduzca formalmente los siguientes resultados relativos a las derivadas de la fun-ción delta.

(a) JT2 ¿Y(t)f(t)dt = -f’(O). (b) Sr, G”“(t)f‘(t)dt = (- l)“f”“‘(O).

(c) L?¿P(f)) = f, n = 1, 2, 3, .

2. Muestre que si t, > 0 y f(t) es continua en t = f t, entonces

sTX w - m-w = ;- [f(b) + .f(- f,)]

3. Considere la secuencia de funciones 4,;;) = n/~(l + np ti ), n = 1, 2, 3,.(a) Muestre que

s-“, c$, (t)dt = 1. (b) Asumiendo que i(t) es continlla en t = 0,

muestre que lím sxn-n: -a 4,(OfW = f(O)(c) Discuta una posible conexión entre las funciones 9,(t) y la función delta.

3 Aplicación de las transformadas de Laplacea ecuaciones diferenciales

3.1 SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES SENCILLAS.TRANSFORMADAS INVERSAS DE LAPLACE

Para ver cómo se pueden usar las transformadas de Laplace para hallar so-luciones a ecuaciones diferenciales, consideremos el siguiente

PROBLEMA PARA DISCUSION

Resuelva Y ” + 4 Y = 16t, Y ( 0 ) = 3 , Y ’ ( 0 ) = - 6 .

Si tomamos las transformadas de Laplace de ambos lados de la ecuación dife-rencial encontramos al usar la entrada 16 en la tabla y denotando 2? Y por y,

c!P”( Y ” ) + P’4Y) = P’Y(16t), .s2y - sY(0) - Y ’ ( 0 ) + 4~. = ;

S’J. - 3s + 6 + 4y = $

3s - 6 16Y 4’=

s2+4+ s2(s2 + 4 ) (1)

278 Capítulo seis

Parece lógico que si pudiéramos encontrar la función cuya transformada de La-place es el lado derecho de (1) entonces tendríamos la solución. Para hacer estoescribimos (1) en la forma

3s>’ = -.---$2 + 4

-L+ il(~-~~-~)-\‘t4-~~-~+;:s2 + 4

Sabemos ahora que

La transformada de Laplace de cos 2t es J+km4

La transformada de Laplace de sen 2t es2

s2 + 4'

La transformada de Laplace de t es Ls2 .

Parecería por tanto que la solución buscada es

Y(t) = 3 cos 2t - 5 sen2t + 4t.Esta ciertamente satisface la ecuación diferencial dada y las condiciones y portanto es la solución requerida.

En el problema acabado de considerar necesitamos encontrar una funciónF(t) cuya transformada de Laplace f(s) se conoce. Tal función se llama unatransformada inuersa de Laplace y se denota por Y- 1( f(s)1 donde 9’- 1 sellama el operador de la transformada inversa de Laplace.Del hecho de que Yi/‘(F(t) -t G(t); = J(s) + y(.\)> Y’jr,F(f) = c;/‘(s) tenemos

Y-1 (f(s) + /(.\)j = F(f) + G(t) = Lz.- ’ ;,/‘<.s,; + y-l #.s); (2)

Y--‘j~:f(s); = c~F(t) = c2z-’ ( f(s)) (3)lo cual muestra que Y- 1 es un operador lineal.

En vista de nuestra experiencia previa en relación a los problemas de exis-tencia y unicidad (vea la página 20, por ejemplo) surgen varias preguntas.

1. Existencia. iExiste la transformada inversa de Laplace de una funciónf(s)?

2. Unicidad. ¿Si esta existe, es única?3. Determinación. iCómo la encontramos?

Desde el punto de vista práctico, como ya lo hemos mencionado, el numeral 3parece ser el más importante. Pero los otros dos también son importantes. Enlo que sigue investigaremos varios métodos por los cuales las transformadas in-versas de Laplace se pueden encontrar y al mismo tiempo mostraremos cómoresolver varias ecuaciones diferenciales usando estos métodos. En la página 287

consideraremos las preguntas de existencia y unicidad.

3 . 2 A L G U N O S METODOS P A R A H A L L A R T R A N S F O R M A D A S

I N V E R S A S D E LAPLACE

Del problema de discusión anterior, de una vez es claro que la proficienciaen resolver ecuaciones diferenciales usando transformadas de Laplace es prác-ticamente sinónimo con la proficiencia en determinar las transformadas de La-


place inversas. Varios métodos están disponibles para hallar transformadas in-versas de Laplace. Estos son

(a) Uso de las tablas de la transformada de Laplace(b) Uso de teoremas sobre las transformadas inversas de Laplace(c) El método de las fracciones parciales(d) El método de convoluciones(e) Métodos misceláneas

Trataremos ahora ejemplos que ilustran cada uno de éstos.(a) Uso de las tablas de la transformada de Laplace

Suponga que deseamos hallar 9 - 11 f(s)) donde f(s) se conoce. Entoncesnecesitamos sólo mirar en la tabla de la transformada de Laplace lo opuesto af(s). Considere por caso el


Resuelva Y” + Y = 16 cos t, Y(0) = 0, Y’(0) = 0.

Solución Tomando las transformadas de Laplace encontramos

(.GJ - sY(0) - Y ’ ( 0 ) ) + J = ei1 6s

0 !‘ = (,2+1,2

Por tanto, de la entrada 13, tenemos el hacer w = 1 y dividiendo por 2 (jus-tificado por la propiedad lineal de la transformada de Laplace) la solución re-ouerida I ,

En algunos casos una transformada inversa no se encuentra directamen-te de la tabla pero se puede obtener al combinar transformadas que están en latabla. Considere por caso el


Encuentre Iy-’

Solución La transformada como la dada no está en la tabla. Sin embargo al es-cribirla como

-JyJ-1 gl - 355-l &)

vemos en las entradas 6 y 7 con w = 1 que la solución requerida es 2 cos t -3 s e n t .Es bastante evidente que el éxito en usar las tablas depende en lo extensas quesean las tablas y también en nuestra habilidad para usar las tablas eficiente-mente.* En caso de que no podamos encontrar la transformada requerida en latabla se deben usar otros métodos.

*Como en el caso de la diferenciación e integración, el estudiante debería, por facilidad,llegar a estar familiarizado con ciertas transformadas de Laplace básicas, por ejemplo las entra-das 1-7.

280 Capítulo SEiS

(b) Uso de teoremas sobre las transformadas inversas de Laplace

Correspondiente a cada teorema desarrollado para las transformadas de La-place hay un teorema sobre las transformadas inversas de Laplace. Por ejemplocorrespondiente a los teoremas en la página 266, tenemos

Teorema. Si 9 - l f(s) = F(t) entonces1. 9-l (,f’(s - 0); = @‘F(t).2. Lf- l (,f’“‘(.s)) = (- l)“t”F(t).


Resuelva Y” + 2Y’ + .5Y = 0, Y ( 0 ) = 3 , Y ’ ( 0 ) = - 7 .

Solución Tomando las transformadas de Laplace encontramos

j.S2!. - .sY(O) - Y’(0)) + 2SJ - Y.(O)) + 5). = 0, (s2 + 2s + 5)). - 3s + 1 Yz 0

y así 3s - 1J =sz+2s+5

Para hallar la inversa, completemos el cuadrado en el denominador y reescri-bámosla como

3(s + 1) - 42’=-(s + 1)2 + 4 =3&z1+4-4~~4

De la primera parte del teorema vemos que

y-1 si 1s2 + 4

= cos 2r, -i’lj~~:li)~l+4=i-~cos2t

y-1 1

i 1s2 + 4

= +sen2t, 2-l its + l\2 + 4\ = +e-‘sen2t

De donde J = 3e-’ Cos 2 t - $epfsen2t = e-‘(3 cos 2 t - 2sen2t)

(c) El método de las fracciones parcialesEn muchos problemas llegamos a una transformada la cual es una fun-

ción racional de s [esto es, una función con la forma P(s)/Q(s), donde P(s)y Q(s) son polinomios y el grado de P(s) es menor que el de Q(s)] . Enton-ces es con frecuencia útil expresar el resultado dado como una suma de frac-ciones más simples, llamadas fracciones parciales. Como un ejemplo consi-dere el


Resuelva Y” - 3 Y’ + 2 Y = 12e”, Y(0) = 1, Y’(0) = 0.

Solución La transformación de Laplace produce,

(.?-

- 3s + 2)y - s + 3 s2 7s + 2 4= 12s - 4 0 y = c l)(s - 2)(s - 4, ( 4 )

Para descomponer esto en fracciones parciales, se pueden usar dos métodos.


Primer método. Si A, B, C son constantes indeterminadas tenemos

s2 - 7s + 24 A B C

(s - l)(.s - 2)(.s - 4) s - 1 s - 2 s - 4 (5)

Multiplicando por (s - 1) (s - 2) (s - 4) obtenemos

s2 - 7s + 24 = A(s - 2)(s - 4) + B(s - l)(s - 4) +- C(s - l)(s - 2)

= (A + B + C)s2 + (-6A - 5B - 3C)s + (8A + 4B + 2C)Puesto que esto es una identidad tenemos al igualar coeficientes de poten-cias similares de s,

A+B+C=l. -6A - 5B - 3 C = - 7 , 8A + 4B + 2C = 24

Resolviendo éstas encontramos A = 6, B = - 7, C = 2. Así,

7

s - 2= fjr’ _ 7$f + 1~41

Segundo método. Multiplicando ambos lados de (5) por (s - 1) encon-tramos

s2 - 7s + 24(\-2)o = A +

B(s - 1)

s - 2+ ccs-Id!

s - 4

Luego haciendo s-l ,

Similarmente, multiplicando (5) por s - 2 y haciendo s-2 produce B= - 7,y multiplicando (5) por s - 4 y haciendo s -4 produce C = 2. El método en-tonces procede como antes


Encuentre Tlí/‘-’ 5s2 - 7s + 17---.

(S - i)(.s2 + 4)

So luc ión Asuma que5s’ - 7s + 17 A Bs + C

(s - l)(.s2 + 4) s - 1 + s2 + 4

Primer método. Multiplicando por (s - l)(sz + 4) tenemos

5s’ - 7s + 17 = (A + B)s2 + (C - B).s + 4A - C

Entonces A+B=5. C - B = - 7 , 4A - C= 17

Así A=3, B=2, C= -5 y tenemos

= 3e’ + 2 cos 2t - $sen2t

Segundo método. Multiplicando (6) por s - 1 y haciendo s-l produ-ce A = 3. Así

5s2 - 7s + 17 3 Bs + C(s - l)(s2 + 4) = s_l + ____.s2 + 4

282 Capítulo seis

Para determinar C es conveniente colocar s = 0 y obtener C = - 5. Finalmen-te al colocar s = - 1 por ejemplo encontramos B = 2. El método luego procedecomo antes.Note que en ambos ejemplos, el primer método es general pero la solución delas ecuaciones simultáneas es tedioso. El segundo método, aunque más corto,es más efectivo cuando el denominador se puede factorizar en factores linea-les distintos. Casos más complicados se consideran en los ejercicios.

(d) EL método de convoluciones

Ya hemos notado que si f(s) y g(s) son las transformadas de Laplace deF(t) y G (t ), respectivamente, entonces

Y ‘(f(s) + y(s)) = F(r) + G(f), ((‘-l f’(s) - g(s); = F(l) - G(f)

Es de interés preguntar si hay alguna expresión para la transformada inver-sa de Laplace del producto f(s)g(s) en términos de F(t) y G(t). La respuestaes si y el resultado se resume en el siguiente

Teorema. Si u/-‘f’(s); = F(t) y y-‘[g(s)) = G(t) entonces

1/‘- l jf’(.s)y(s)) = j+; F(u)G(t - u)du = F*G

donde llamamos F*G la convolución de F y G. En forma equivalente, tenemos

YF*G) = Y = ,f’(s)y(.s)

Este teorema, llamado el teorema de convolución, con frecuencia es útilpara obtener transformadas inversas de Laplace. Antes de presentar unaprueba del teorema, consideremos varios ejemplos de su uso.


Encontrar (Y 1

=sen t

Por tanto por el teorema de convolución

=I’0 cos II sen(t - U)C/U = 1‘,: COS Ir[sen t cos II - cos t sen Il] tlri

=sen t rfcos Il rlu - cos r.O sAsen 11 cos 11 rlu

= sen t[& + +sen t cos t] - cos t[+sen2 t] = +t sent

Note que esto coincide con la entrada 13.


Si hacemos G(t) = 1 en el teorema de convolución obtenemos

Así multiplicando f(s) por 1,‘s corresponde a integrar F(t) de 0 a t; multipli-cando por l/s2 a integración doble, etc. Para un uso de esto considere


Encontrar (a) 9-l (b) Yw’

Solución (a) Puesto que Y-’

LF1 ists2’+ I,) = Jisenudz4 = 1 - cost

(b) Puesto que por (a), 9-l = 1 - COS t tenemos, usando (7),

Haciendo G(t) = eat en el teorema de convolución encontramos

Note que (7) es un caso especial de (8) con a = 0. De (8) vemos que hayuna correspondencia entre

1Y

,at fs e-y )du (9)

s - a 0

donde el primero se puede considerar como un operador actuando sobref(s) mientras que el segundo se considera como un operador actuando sobreF(t). La correspondencia tiene algún parecido con la ecuación (31) en la sec-ción sobre métodos de operador en la página 208. Esto proporciona una clavepara la conexión entre s y el operador D y así la conexión entre los métodosde la transformada de Laplace y los métodos operacionales de Heaviside.

Para presentar una prueba del teorema de convolución, notamos primeroque las transformadas de Laplace de F(t) y G(t) se pueden escribir, respec-tivamente, como

f(s) = som emSXF(x)dx, g(s) = sox eesyG(y)dy (10)

Podemos escribir éstos en términos de la función salto unidad de Heavisidecomo

f(s) = JTx e -““F(x)H(x)dx, g(s) = j-tx e-“YG(~4W.~)~y (11)


Entonces 1 = ~‘(s)y(s) =iJ:, t> ““F(s)H(s)tls e -“G( -,)If( j,)rlJ

I ïz s s e~“‘“+“‘F(s)H(.~)G(!~)H(~~)rl‘c ~IJ-, --,usando un procedimiento similar a aquel en la prueba de f (3) = V/X en lapágina 267.

Escribamos ahora esta integral doble como la integral iterada

I= J:7 F(xW(‘c)[s-‘, L’ ++y)G( j,)H( J,)~J, 1 rlx (12)

Suponga que en la integral entre paréntesis cambiemos la variable de inte-gración de y a t, donde x +y = t, esto es, y = t - x. Entonces (12) se convier-te en

I=i’;, F‘(.Y)H(.Y)

[J’ e -“G( t - s)H( t - s)dt tls

1(13)-,

o al cambiar el orden de integración

F(r)H(x)G(t - .u)H(t - s)rl‘c1 í/t (14)

Ahora debido a la definición de la función de Heaviside, el integrando de laintegral entre paréntesis es cero excepto para 0 < x < t, y para estos valoresde x las funciones de Heaviside son iguales a 1. Así (14) se convierte en

1rlt

0

[ = i e-\I

i’ [J0

’ F(u)G(t - LL)~L,] tlt = Y 1s; F(u)G(t - LI)~U] = Y’(F*G)0

al usar x = U. Esto completa la prueba. Los intercambios del orden de las in-tegrales en esta prueba se pueden justificar si asumimos que las funcionesF y G satisfacen las condiciones en la página 269 para la existencia de sustransformadas de Laplace.

La convolución con frecuencia es útil para resolver ecuaciones integru-les donde la función desconocida a ser determinada está bajo el signo de laintegral. Como una ilustración considere


Resuelva la ecuación integral Y’(t) = 3t + si Y(u)sen(t - zl)tlcr.

Solución La ecuación integral se puede escribir en términos de convolucióncomo Y(t) = 3t + Y(t)*sentLuego tomando la transformada de Laplace y usando el teorema de convolu-ción tenemos

JjS) = 3 + ;:.!$2

.s20 ).(s) = 22 ‘!! = 3 + 3

.s4 s2 .s4Luego tomando !a transformada inversa de Laplace encontramos y(t) = 3t ++t3.

Soluci&n de ecuaciones diferenciales por transformadas de Laplace 2 8 5

El teorema de convolución es frecuentemente útil para obtener solucio-nes a ecuaciones diferenciales en las cuales hay funciones cuyas transfor-madas de Laplace son difíciles o aún imposibles de encontrar. Por caso con-sideremos el

E J E M P L O I L U S T R A T I V O 9

Resuelva el problema de valor inicial Y” + Y = Cr’. E’(0) = 0. Y’(0) = 0. (15)

Solución Remplace e -t2 por F(t) y denote su transformada de Laplace porf(s). Entonces. de la ecuación diferencial y condiciones dadas tenemos

Puesto que

tenemos

s2y - sY(0) - Y’(0) + I' = f(s) f(40 )' = ~s2 + 1

22-l f(s)) = e-“, y-l 1

i isz + 1=sent

(16)

La integral en (16) no se puede evaluar exactamente.

Es interesante notar que si el lado derecho de la ecuación diferencial en(15) fuera et2 en vez de e-l* la transformada de Laplace no existiría, perola solución sin usar transformadas de Laplace es en efecto

Y = s0 e”sen(t - U)All (17)

Así formalmente el método de las transformadas de Laplace se puede usarpara llegar a soluciones posibles las cuales se pueden luego chequear.

El hecho de que las técnicas de la transformada de Laplace puedan con-ducir a resultados correctos aún en los casos donde las funciones no tienentransformadas de Laplace parece indicar que hay algo más básico que la trans-formada de Laplace, pero aún bastante relacionado con ella, el cual puedeusarse en su lugar. De los ejemplos anteriores parecería que la misma conuo-lución es el concepto deseado. Esto se indica además por el hecho de que laconvolución obedece muchas de las reglas comunes del álgebra, tales comolas siguientes

:t,’F*G = G*H Ley conmutativa

F*(G*H) = (F*G)*H Ley asociativa(c) F*(G + H) = F*G + F*H Ley distributiva

Esto ha conducido a algunos autores a evitar el uso total de la transformadade Laplace y tratar sólo con convoluciones.* Por medio de este procedimien-to es posible construir funciones de impulso rigurosas tales como la funcióndelta de Dirac.

(e 1 Métodos misceláneas

Varios métodos especiales se pueden también usar para hallar las trans-formadas inversas de Laplace.

*Ver por ejemplo, la referencia [ 191

286 Capítulo seis


Encontrar Y ’ ic- “‘f’(s); donde,/‘(s) = Y’i/‘F(r)] y II > 0

Solución Tenemos por definición f(s) = Jo’ e-“‘F(t)dt

Entonces multiplicando por e-as encontramos e -“‘f’(s) = 1,’ r-““+“‘F(t)dt

Con t +a = u esta integral se puede escribir como

e -“*f’(s) = J,’ e -““f-(u - ([)(/l, = ” p-51’1’0

-hl’F(I/ - u)rhr

= Y/‘G(t)j

donde G(t) =i

0, t < Cl

F(t - u). f > II

Tenemos así al tomar las transformadas inversas de Laplace

y- 1 !e-U.;f(,s)j =

i

0. t<U

F( t - LI), t > Li

Este resultado también se puede expresar en términos de la función unitariade Heaviside como

El resultado de este ejemplo es importante y lo enunciamos para referenciaen el siguiente

Teorema. Si -!F’f(s)) = F(t) entonces

y-1 ;e-a”J(s); =

i

0, t < ci

F( t - a), t > (1= F( f - tr)H(t - u)

3.3 OBSERVACIONES CONCERNIENTES A LA EXISTENCIA Y UNICIDADDE LAS TRANSFORMADAS INVERSAS DE LAPLACE

Tácitamente hemos asumido en lo anterior que hay sólo una función quetiene alguna transformada de Laplace dada, esto es, hemos asumido que latransformada inversa de Laplace es única. Esto no es realmente así al notaraue la función

(18)

difiere de la función F(t) = 1, puesto que el valor de G(t) en t = 3 es 5 mien-tras que el valor de F(t) en t = 3 es 1. Sin embargo la transformada de La-place de ambas funciones está dada por l/s, s > 0. Así la transformada in-versa de Laplace de l/s puede ser F(t) = 1 o la función G(t) dada en (18),o de hecho cualquiera de las infinitamente muchas funciones.

Una clave posible de la razón por qué no obtenemos unicidad se debe aque la función G(t) dada en (18) es discontinua en t = 3. A propósito se pue-de mostrar que si nos restringimos a las funciones continuas entonces la


transformada inversa de Laplace es única. Este teorema, el cual es algo difí-cil de probar, se llama el teorema de Lerch.*

Ahora sabemos que si F(t) es seccionalmente continua en todo intervalofinito y de orden exponencial entonces lím,,. f(s) = 0 (vea el Ejercicio 6C, pá-gina 273). En caso de que se tuviera lím,-, I f(s) # 0 sigue que la transforma-da inversa no puede ser seccionalmente continua y de orden exponencial. AsíIím,, , f(s) = 0 es una condición necesaria para la existencia de una transfor-mada inversa de Laplace que es seccionalmente continua y de orden expo-nencial. t

E J E R C I C I O S A

1. Encuentre las transformadas inversas de Laplace de las siguientes funciones.

2. Usando los teoremas sobre las transformadas inversas de Laplace encuentre cadauna de las siguientes.

3. Use el método de fracciones parciales para encontrar las transformadas inversasde Laplace de las siguientes

.\ + 17 5 - ll(;i, ~~~ ~~,(a - I)(s + 3)

(b) 3s8.s2 - 16’ (c) (s + I)(s ~ 2)(.\ - 3)’

4. Use el método de convolución para encontrar cada una de las siguientes.

5. Resuelva cada una de las siguientes y chequee las soluciones.(al 1~” - 4Y’ + 3Y = 0. Y(0) = 3 . l”(O) = 5 .(b) Y” + 2)” = 4, l’(o) = I. Y’(O) = -4. (c) 1”’ + 91. = zocos’. I’(O) = 0. I.‘(O) = I(d) 1”’ - 2 1.’ + 1’ = 121. I’(O) = 4. I.‘(O) = 1.fe) 1.” + XY’ + 3 5 2’ = 100. l’(O) = 2. 1 ‘(0) = 20.

*Más generalmente Lerch ha probado que si dos funciones tienen la misma transformadade Laplace entonces ellas difieren a lo sumo por una función nula, esto es, una función N(t) talque para todo t > 0

J,i :(lf)r/lf = 0

Un significado práctico de esto es que, en un cierto sentido, la transformada inversa de Laplacees “esencialmente única”, Para mayor discusión ver la referencia [6]

*La condición no es suficiente sin embargo. Para condiciones suficientes debemos consi-derar f(s) como una función de la variable compleja s. Ver [S] por ejemplo.


EJERCICIOS B

1. Use fracciones parciales para encontrar y 1(,s2

ll.? - 10s + 11Sugerencia: Asuma __-.__-~~

As -t B Cs + D

(s? + I)(s2 - 2s + 5)= s2+-i + --.-z--z;+5’

52 12. Encuentre 9-l

3. Resuelva Y”’ + 3Y" + 3Y' + Y = 12~~'. Y(0) = 1. Y'(0) = 0. Y"(0) = -3.

4. Resuelva Y”“) - Y = cos í sujeto a Y(0) = 1, Y’(0) = - 1, Y”(0) = Y”‘(0) = 0.

5. Encuentre (a)Y-‘e-‘“~~~. (b) íY-‘(e-‘;(s + 1)3 ‘1.

9. Resuelva Y” + Y = 0, Y(0) = 0, Y(n/Z) = 4.[Sugerencia: Haga Y’(O) = C y encuentre C.]

‘7. Pruebe (a) F*G = G*F. (b) F*(G*H) = (F*G)*H. Discuta.

8. Resuelva las siguientes ecuaciones integrales y chequee S U S respuestas.

(a) Y(t) = 1 + Ji e’“Y(t - tf)du. (b) J; Y ( )tf sen(t - tf)t/tf = Y(r) + sent - cos t.

9. Encuentre 9-r

10. Resuelva la ecuación integral s’o Y(tf)Y(t - tf)h = 4 (sen t - t cos t).

EJERCICIOS C

1. Muestre que 1 = j: EF dx = 2 si t > 0.

(Sugerencia: Primero muestre que yl;p(l: = s-I Yjsen rxl__~o x

í1.x y evalúe la última in-tegral.)

2. Muestre que s* cos tx

0--& = :Q-’ s i t=O.x2 + 1

3. Resuelva ?Y” - tY’ + Y = 0, Y(0) = 0. Y’(0) = 1.

4. Pruebe que ~-‘~n[l +$=‘F.

5. Resuelva cada uno de los siguientes problemas de valor inicial que involucran lafunción delta de Dirac.ta) Y' + 2Y = 5d(t - l), Y(0) = 2. (b) Y” + Y = 3d(r - TC), Y(0) = 6. Y’(O) = 0.(c) y" + 4Y' + 4Y = 66(t - 2), Y(0) = 0. Y'(0) = 0.

6. Trabaje el Ejercicio 4C, página 246, usando la función delta.

7. Sean P(s) y Q(s) polinomios en s donde el grado de P(s) es menor que el grado deQ(s) y donde Q(S) = 0 tiene raíces distintas a,, aa,, , a,. Pruebe la fórmulade expansión de Heaviside.

Solución de ecuaciones diferenciales por transiofmadas de LapJace 289

9. Use el Ejercicio 7 para trabajar (a) el Ejemplo ilustrativo 4, página 281; (b) elEjemplo ilustrativo 5, página 282 (c) el Ejercicio 3(e)A.

9. Generalice el Ejercicio 7 para el caso donde las raíces pueden no ser distintas eilustre con un ejemplo.

19. (a) Muestre que

donde hay n integrales a la izquierda. LSe cumple el resultado para F(w) = ex* ?Explique(b) Muestre que el resultado en (a) es equivalente a enunciar que

D-“F(f) = ,11,.I;; (r - .Y)-‘F(t)dtI

11. Suponga que el resultado en el Ejercicio 10(b) se toma como la definición deD-“F(t) para cualquier número positivo n. (a) Muestre que si en particular n=4 entonces

(b) Opere con D en ambos lados del resultado en (a) y asuma que D[D- 1’2 ] =DI/2 para llegar a la definición de la media derivada de F(t) dada por

(c) Chequee la definición en (b) al encontrar la media derivada de t’ dos vecespara ver si concuerda con la derivada completa, esto es, 2t.

Aplicaciones a problemas físicos y biológicos

Como ya hemos visto en capítulos precedentes una formulación mate-mática de problemas en mecánica, electricidad, vigas, etc., a menudo con-duce a ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. En es-ta sección mostramos cómo la transformada de Laplace se usa para resolvertales problemas.

4.1 APLICACIONES A CIRCUITOS ELECTRICOS

Como un primer ejemplo ilustrando el uso de la transformada de Lapla-ce en la solución de problemas aplicados, consideremos el siguiente proble-ma involucrando circuitos eléctricos.


Un cierto circuito eléctrico (ver Figura 6.8) consiste de una resistenciade R ohmios en serie con un condensador de capacitancia C faradios, ungenerador de E voltios y un interruptor. En el tiempo t = 0 el interruptor secierra. Asumiendo que la carga en el condensador es cero en t = 0, encuen-tre la carga y corriente en cualquier tiempo más tarde. Asuma que R, C, Eson constantes.

290 Capítulo seis

Figura 6.8

Formulación matemática. Si Q e I = dQ/dt son la carga y la co-rriente a cualquier tiempo t entonces por la ley de Kirchhoff tenemos

RI++ 0 RIZ+$E (1)

con condición inicial Q(0) = 0.

Solución Tomando transformadas de Laplace en ambos lados de (1) y usan-do la condición inicial, tenemos, si q es la transformada de Laplace de Q,

0CE E R

’ = s(RCs + 1) = s(s+~R~)

1 ! - ~~1

s + l/RC 5 s + I:RC

Entonces tomando la t ransformada inversa de Laplace encontramos

Los métodos de la t ransformada de Laplace prueban ser de gran valoren problemas que involucran funciones seccionalmente continuas. En talescasos las propiedades de la función unidad de Heaviside (página 269) sonúti les. Como una i lustración del procedimiento consideremos


Trabaje el Ejemplo i lustrat ivo 1 para el caso donde el generador de Evoltios se remplaza por un generador con voltaje dado como una función deltiempo por

05t<T

t > T

Solución de ecuaciones diferenciales por tcansformadas de Laplace 291

Formulación matemática. Ilemplazando E en el Ejemplo ilustrativo1 por E(t) obtenemos la ecuación diferencial requerida

con condición inicial Q(0) = 0. La ecuación (2) también puede expresarseen términos de la función unidad de Heaviside como

R ‘$ + g = E,[l - H(t - T)]

Solución. Método 1. Tomando las transformadas de Laplace de ambos la-dos de (2) o (3) y usando la condición inicial encontramos

0

Rsq - Q(0); + ; =EJ1 - emsT)-.

s

E, ( 1 - eFST) Eoq = R s(s + l/RC) = %(s-] -

EORs(s + l/RC) ’

-sl

1s + l/RC

1 -57es + 1,‘RC

Tomando las transformadas inversas de Laplace de ambos ladosresultado enunciado en el teorema de la página 287, encontramos

Q = CE,(l - FtIRC) - CE,(l - e-(‘- ‘)jRC)H(f - T)

=i

CE,(I - e-’ RC), t<TcEo(e-“-l-“RC _ e-t:RC), t>T

Para t = T tenemos Q = CE,(l - e-t!RC).

usando el

Método 2. Usando el Teorema de conuolución. Sea e(s) la transformada deLaplace de E(t). Entonces como antes tenemos

R(sq - Q(O)) + : = e(s)

o puesto que Q(0) = 0, e(s)’ = R(s +- l/RC)

Ahora (iu-’ blm] = G, Li?-‘(e(s)j = E(t)

Así por el teorema de convolución Q = I”-‘(q) -4 j-0 Q~)~-(‘-“)“RC

Para 0 < t < T tenemos Q =f J; E~~-(~-QRC [ltl = c,r,(l _ e-f,RC)

292 Capítulo seis

Para t > T tenemos Q =; ji’ ~-(‘-‘d RC dL, = CE,~-“P’“R“ _ ,-t!RC;

la cual concuerda con el resultado del Método 1.

4.2 UNA APLICACION A LA BIOLOGIA

Como una aplicación biológica, en particular la absorción de drogas enun órgano o célula, consideremos el siguiente


Un líquido tránsporta una droga en un órgano de volumen Vcm3 a unatasa de a cm3 /seg y sale a una tasa de b cm3 /seg, donde V, a, b son cons-tantes. En el tiempo t = 0 la concentración de la droga es cero y crece lineal-mente a un máximo de k en t = T, en este tiempo el proceso se detiene. ¿Cuáles la concentración de la droga en el órgano en cualquier tiempo t?

Formulación matemática. El problema es el mismo de la página 157,excepto que la concentración es una función del tiempo denotada por C(t)dada por

cuyo gráfico aparece en la Figura 6.9. Denotando la concentración instantá-nea de la droga en el órgano por x, tenemos así

;(xV) = aC - bx, x(0) = 0 (4)

Solución Usaremos el método de convolución (Método 2 del Ejemplo ilus-trativo 2) para resolver el problema de valor inicial (4). Tomando la transfor-mada de Laplace de la ecuación diferencial en (4), llamando Y X = 2 y2’ C(t) = c(s), tenemos

Vjs.Y - x(O); = ac - by

/)IK

- _ - _ -. . ..-.L.-..- . . . .-_ .- . .---- - - - -__4

0 T

Figura 6.9


Luego usando x(O) = 0 produceac

4 = V(s + b/V)

9-l IV@ &) = ; e-bt!V, LPc(s)j = C(t)

Así por el teorema de convolución

x = y-‘(y) cay ; c(u)e-WW’ dus

Para 0 s t < T, tenemosa f

x=T oKUes-b(t-u)iV du = 7 t _ v”“(1 _ ,-bf:V)

b2

Para t > T, tenemosx=~~orKue-b(~-u)~Vdu=~~-brlr + (,,’‘h;“) e-b(t-T,,V

El valor de x para t = T se encontró al hacer t = T en cualquiera de estos.Interpretación. Del último resultado notamos que cuando t aumenta

más allá de T la droga gradualmente desaparece. Sigue que la concentraciónde la droga en el órgano alcanzará un máximo en algún tiempo. El estudiantepuede mostrar (vea el Ejercicio 9B) que este tiempo está dado por t = T y queeste máximo el cual llamaremos la concentración pico de La droga está dadopor

IcaT- -b

!!!$f (1 - e-bT/“)

En la práctica el tiempo de la concentración pico de la droga ocurrirá mástarde que T debido al hecho de que la droga no entra al órgano instantánea-mente, como en el modelo anterior, sino que en vez hay una demora.

4.3 EL PROBLEMA TAUTOCRONO-APLICACION DE UNA ECUACIONINTEGRAL EN MECANICA

Como un ejemplo de un problema en mecánica el cual conduce a unaecuación integral de tipo convolución consideremos el siguiente


Un alambre tiene la forma de una curva en el plano vertical xy con su ex-tremo más bajo 0 localizado en el origen como se indica en la Figura 6.10.Asumiendo que no hay fricción, encuentre la forma que la curva debe tenerpara que una bolilla bajo la influencia de la gravedad se deslice hacia abajodesde el reposo a 0 en un tiempo constante especificado T independiente dedonde se coloque la bolilla sobre el alambre por encima de 0.

Formulación matemática. Antes de formular el problema en términosmatemáticos, puede ser instructivo examinar si el problema tiene sentidodesde el punto de vista físico. Para hacer esto suponga que tenemos dos per-sonas con alambres idénticos a los mostrados -en la Figura 6.10. De acuerdoal problema, si los alambres tienen la forma correcta, entonces las bolillaspuestas en cualquier lugar del alambre por las dos personas en un instantedado deberían alcanzar sus extremos más bajos simultáneamente después

294 Capítulo seis

Y

Figura 6.10

del tiempo T. A primera vista se puede pensar que esto no puede suceder,puesto que parecería que entre más alto coloque la persona la bolilla en elalambre le tomaría más tiempo a la bolilla alcanzar el extremo inferior por-que la distancia a recorrer sería mayor. Sin embargo, la bolilla que viaja ladistancia mayor tendría también la velocidad más alta cerca del final delalambre, así que presumiblemente la carrera podría resultar empatada.

Para formular el problema matemáticamente, sea (x, y) cualquier puntode partida de la bolilla y (X, Y) cualquier punto entre el punto inicial y elpunto 0. Sea (r la longitud del alambre (esto es, la longitud del arco de lacurva) medido desde 0.

Si denotamos por E.P. y E.C. la energía potencial y la energía cinética dela bolilla, entonces de acuerdo al principio de conservación de la energía dela mecánica elemental tenemos

E . P . e n (x,y)+E.C. e n (x,y)=E.P. e n ( X , Y ) + E . C . e n ( X , Y)

Si la bolilla tiene una masa m y t es el tiempo de viaje medido desde la posi-ción de reposo esto se convierte en

nu 2mgy+O=mgY +fnl -

0dt

Para conseguir esto tenemos que usar el hecho de que la energía potenciales el peso mg multiplicado por la altura por encima del eje x, mientras la ener-gía cinética es $mv2, donde la velocidad v = da/& en (X, Y) pero es ceroen (x, y) puesto que se asume que la bolilla parte del reposo.

De (5) obtenemos resolviendo para da/&do- = gzj(y7qdt (6)

Sin embargo, puesto que u decrece a medida que t se incrementa así queda/dt < 0, debemos escoger el signo negativo en (6) para obtener

no-= -J2sodt (7)

Solución de ecuacionks diferenciales por transformadas de Laplace 2 9 6

Puesto que Y = y en t = 0 mientras que Y = 0 en t = T, tenemos de (7) alseparar variables e integrar

Ahora la longitud del arco se puede expresar como una función de y en la for-ma 0 = F(y), de modo que (8) se convierte en

(9)

Nuestro problema se reduce así a determinar F(y), esto es, resolver la ecua-ción integral (9) y de ésta obtener la curva requerida.

Solución La ecuación integral (9) es de tipo convolución y se puede escri-bir como

T = + F’( y)*y 1:2t B I

Tomando la transformada de Laplace y usando el teorema de convoluciónencontramos

T 1- -qF’(Jg)9p2)

5-G(10)

Ahora si hacemos 2 F(y)/ =f(s), entonces 6p( F’(y) = sf(s) -F(O) = sf(s)puesto que F(0) = 0. También 56 ( y - ll2 1 = P ( $)/s 1/2 = V%/\/s; Así (10) seconvierte en

esto es,

Tomando las transformadas inversas de Laplace conduce a

F’( ,,) = !g = ‘“.grcdj?’

(11)

Ahora de la fórmula de la longitud del arco del cálculo elemental tenemos

do2 = dx2 + lly2 0 ($y = (i;)- + 1

Usando esto junto con (ll) conduce a

De esto tenemos


al usar el hecho de que la pendiente dy/‘dx y así dx/dy no puede ser nega-tiva. Separando variables en (12) e integrando obtenemos

JJ a - J‘X= dy

J

Para desarrollar la integración en (13), es conveniente hacer y = a sen2 4.Entonces

x = 2a scos2 4 d$ = a s(l + cos 2#)d$ = f (24 + sen 24) c c

así que x = ;(2rj, +sen2$) + c, y = asen2 4 = t (1 - cos 24)

o al hacer 24 = 0, x = t(O +sen0) + c, y = ;(l - COSO)

Usando el hecho de que x = 0 cuando y = 0, debemos tener c = 0 para quelas ecuaciones paramétricas de la curva requerida estén dadas por

x = z (H +sen Í3), y = ;(l - COSO) (14)

Interpretación. La curva descrita por (14) es una cicloide la cual es ge-nerada por un punto fijo sobre un círculo de diámetro a a medida que ruedaa lo largo de la parte inferior punteada y = a, como se indica en la Figura6.11. En nuestro caso la forma requerida del alambre está representada poresa parte de la cicloide mostrada en la línea gruesa de la figura. El tamañode la cicloide naturalmente dependerá del valor particular de T.

La curva obtenida es a menudo llamada una tautócrona del griego tauto,que significa lo mismo o idéntico y Cronos que significa tiempo. El problemade encontrar la curva requerida conocido como el problema tautócrono* fuepropuesto cerca del final del siglo XVII y resuelto de varias maneras por al-gunos prominentes matemáticos de ese tiempo. Uno de estos fue Huygens,quien empleó el principio para diseñar un péndulo cicloidal para usar en relo-jes. En este diseño (ver Figura 6.12) el medallón del péndulo B está en el ex-tremo de una cuerda flexible cuyo lado opuesto está fijo en 0. El péndulo es-tá restringido por dos arcos vecinos de la cicloide OP y OQ para que oscileentre ellos.

Y

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

x0

Figura 6.1 1

*El estudiante debería comparar el problema tautócrono con el problema de la braquistó-trona (Ejercicio,aC, página 130), el cual también involucra la cicloide.

Solucidn de ecuaciones diferenciales por transformadas de Laplace 2 3 7

Figura 6.12

El período de oscilación es constante, y la trayectoria del medallón del pén-dulo resulta ser una cicloide (ver Ejercicio 5C, página 303).

El problema tautócrono, aunque aparentemente es sólo como un ejerciciointeresante en mecánica y ecuaciones diferenciales, realmente resulta degran significancia porque inspiró a Abel en 1923 a un estudio de ecuacionesintegrales. Investigación en esta interesante e importante rama de las mate-máticas con numerosas aplicaciones fueron hechas por muchos matemáticosde los siglos XIX y principios del XX, pero muchos problemas todavía per-manecen sin solución. El estudiante que desea estudiar este tópico deberíaconsultar algunas de las referencias dadas en la Bibliografía.

4.4 APLICACIONES INVOLUCRANDO LA FUNCION DELTA

Como mencionamos en la página 276, algunos importantes problemasaplicados pueden ser formulados en términos de la función delta de Dirac.Como ejemplo consideremos


Una masa m está acoplada al extremo inferior de un resorte vertical deconstante k suspendido de un punto fijo. En el tiempo t = t, la masa es gol-peada al aplicarle una fuerza hacia arriba durando un tiempo muy pequetio.Describa el movimiento subsecuente.

Formulación matemática. Asumiendo que el eje vertical del resorte setoma como el eje x y que la masa está inicialmente en x = 0, tenemos

777 xT + ks = P,n(r - ro), s(0) = 0, s’(0) = 0 (15)

Aquí hemos asumido que el impulso de la fuerza aplicada a la masa es cons-tante e igual a P, de modo que la fuerza se puede tomar como P, d (t - t, ).Solución Tome la transformada de Laplace de la ecuación diferencial en(15) usando las condiciones iniciales y el hecho de que 9 ( 6 (t - to) = e-st* .Entonces si X =Y ( Z) , tenemos


Puesto que

Interpretación. De (16) vemos que la masa permanece en reposo hastael tiempo t,, después del cual oscila senosoidalmente con período 27rV&7%y amplitud PO/-. En este ejemplo no hemos tomado en cuenta el amor-tiguamiento. Esto se deja para el Ejercicio 12B.

4.5 UNA APLICACION A LA TEORIA DE CONTROL AUTOMATICOY SERVOMECANISMOS

Suponga que un misil M está siguiendo a un avión enemigo o a otro mi-sil E como se indica en la Figura 6.13. Si en tiempo t el enemigo E gira algúnángulo, q(t), entonces M debe también girar este ángulo si quiere alcanzarE y destruirlo. Si un hombre estuviera a bordo de M, él pudiera operar algúnmecanismo de dirección para producir el giro requerido, pero puesto .que elmisil no está tripulado por cuestiones de seguridad, tal control se debe rea-lizar automáticamente. Para hacer esto necesitamos algo para sustituir losojos del hombre, tal como un haz de radar el cual indicará o apuntará a la di-rección que M debe tomar. Necesitamos también algo para sustituir las ma-nos del hombre el cual girará un timón algún ángulo para producir el giro de-seado. Un mecanismo, ya sea que involucre principios eléctricos, mecánicos,u otros, diseñado para conseguir tal control automático se llama un servome-canismo o brevemente un servo.

Formulación matemática. En esta aplicación asumamos que el ángu-lo deseado de giro como lo indica el haz de radar es \k (t). También sea 0 (t)para denotar el ángulo de giro del timón en tiempo t. Idealmente desearíamostener o (t) = 9 (t), pero debido a que las cosas suceden tan rápido debemosesperar tener una discrepancia o error entre los dos dada por

error = O(t) - Y(t) (17)La existencia del error debe ser señalizado hacia el timón, algunas veces re-ferido como una señal de retroalimentación, de modo que se pueda producirun efecto de giro o torque compensatorio. Si el error es grande, el torque ne-cesario será grande. Si el error es pequeño, el torque necesario sera pequeño.

Figura 6.13


Es así razonable diseñar el servomecanismo de modo que el torque requeridosea proporcional al error (17). Ahora sabemos de la mecánica que el torque esigual al momento de inercia de la cosa a ser girada (en este caso el timón jun-to con lo que-esté conectado a éste), denotado por Z, multiplicado por la ace-leración angular dada por 8 “(t). Así tenemos de (17)

ro”(t) = -h-[@(t) - Y(t)] (18)donde k > 0 es la constante de proporcionalidad. El signo negativo ante k seusa porque si el error es positivo (esto es, el giro es demasiado grande) en-tonces el torque debe ser opuesto a éste (esto es, negativo), mientras que siel error es negativo el torque debe ser positivo. Asumiendo que el ángulo ini-cial y velocidad angular son cero como condiciones posibles, tenemos

O(0) = 0, O’(0) = 0 (19)Para llegar a (18) hemos despreciado el amortiguamiento. Para este caso, veael Ejercicio 15B.

Solución Tomando la transformada de Laplace de ambos lados de (18) usan-do las condiciones (19), y asumiendo que 53( e(t) = e(s), 3’( 9(t)\ =+(s),tenemos

zs2w = -K[O(S) - $(s)] 0 g(s) = $!%!;

Entonces por el teorema de convolución

(21)

Interpretación. El resultado (21) nos permite determinar O(t) a par-tir de q(t). En la teoría de control automático q(t) se llama co.n frecuenciala función de entrada o brevemente la entrada, e(t) se llama la función desalida o brevemente la salida. El factor de multiplicación en (20),

~~ K---Is + I\

el cual sirve para caracterizar el servomecanismo al relacionar la entrada yla salida se llama la función de transferencia o función respuesta.

Los servomecanismos surgen en muchas situaciones en la práctica, co-mo por ejemplo en el hogar donde un termostato se usa para regular la tem-peratura y en barcos o aviones donde se necesita un piloto automático. Laidea básica de un servomecanismo se ilustra esquemáticamente en el dia-grama de bloques de la Figura 6.14. En el primer bloque a la izquierda tene-mos el, estado deseado (por ejemplo, la posición deseada y dirección en elcaso de un misil o la temperatura de un cuarto). Puesto que el estado desea-do no es el mismo del estado real, hay un error indicado por el segundo blo-

Figura 6.14


que. Este error se alimenta en un adaptador, indicado por el tercer bloque, elcual intenta rectificar el error (tal como un torque adaptivo en el caso del mi-sil) y conduzca al estado real indicado por el bloque a la derecha. Este esta-do real luego es retroalimentado (señal de retroalimentación) para indicar elerror de distanciamient,o del estado deseado, y el proceso se repite una y otravez hasta conseguir el estado deseado.

E J E R C I C I O S A

1. Un circuito eléctrico consiste de una resistencia de R ohmios en serie con un in-ductor de inductancia L henrios y un generador de E voltios donde R, L y E sonconstantes. Si la corriente es cero en el tiempo t = 0 encuéntrela en cualquier tiem-po t>o.

2. Un objeto de masa m se lanza verticalmente hacia arriba con velocidad inicial uo.

Asumiendo que la aceleración debida a la gravedad es constante e igual a g, y laresistencia del aire es despreciable, determine la posición y velocidad del objetoen cualquier tiempo más tarde.

3. Trabaje el Ejercicio 1 si el generador tiene un voltaje dado por

OgtzT

t > T(b) E(t) = E,senwt.

4. Trabaje (a) Ejemplo ilustrativo 3, página 76; (b) Ejercicio 3A, página 88; (c!

Ejemplo ilustrativo 1, página 225.

E J E R C I C I O S B

1. Una masa m en el extremo de un resorte vibrante vertical de constante k sufre unavibración alrededor de su posición de equilibrio de acuerdo a la ecuación

d2X dXm > f fi -- + kX = F, cos at

dt- d t

donde p es la constante de amortiguamiento, y X es el desplazamiento de la ma-sa de su posición de equilibrio en cualquier tiempo t. (a) Resuelva esta ecuaciónsujeta a la condición inicial X(0) =X’(O) = 0. (b) iCuál es la solución de estadoestacionario? (c) Explique cómo la transformada de Laplace de la solución sepuede simplificar para que conduzca a la solución de estado estacionario.

2. Trabaje el Ejercicio 1 si las condiciones iniciales se modifican así: X(0) =X0,X’(0) = V,. Interprete los resultados físicamente.

3. Trabaje (a) El Ejemplo ilustrativo 8, página 244; (b) El Ejemplo ilustrativo en lapágina 248.

4. Trabaje (a) Ejercicio lA, página 249; (b) Ejercicio lB, página 249.5. Trabaje Ejercicio 1 si la fuerza externa de la masa m está dada por

F(a) F(t) = o”’

i.

O<t<T

t > T(b) F(r) = F,t cos OI/.

6. Trabaje el problema de cardiografía, página 253, usando la transformada de La-place.

7. Trabaje el problema en Economía, página 255, usando la transformada de Laplace.3. Use las ecuaciones paramétricas para la cicloide dadas por (14), página 297, para

verificar directamente que el tiempo gastado por la bolilla en deslizar hacia abajodel alambre en el Ejemplo ilustrativo 4 es T.


9. Pruebe los resultados establecidos al final del Ejemplo ilustrativo 3, página 294.

10. Discuta cómo usted construiría un alambre en un plano vertical tal que una boli-lla puesta en cualquier lugar de él deslizaría del reposo al extremo más bajo en3seg. iQué problemas esperaría usted que surgieran desde el punto de vista fí-sico?

ll. Una partícula de masa m está en reposo en el origen 0 sobre el eje x. En t = t,actúa sobre ella una fuerza durante un intervalo de tiempo muy corto donde elimpulso de la fuerza es una constante P,. (a) Establezca un problema de valorinicial que describa el movimiento. (b) Resuelva e interprete los resultados.

12. Trabaje el Ejemplo ilustrativo 5, página 298, si el amortiguamiento se toma encuenta.

13. Un circuito eléctrico está hecho de una resistencia R e inductancia L en serie. Ent = t,, un voltaje muy grande se introduce en el circuito pero sólo por un cortotiempo. Asumiendo que la corriente inicial es cero, icuál es la corriente en cual-quier tiempo más tarde?

14. Trabaje el problema del servomecanismo de la página 299 si (a) q(t) = (Y, (b)9(t) =at, (c) P ( t ) =(Y senwt, donde LY, w son constantes.

15. Trabaje el problema del servomecanismo de la página 299 si hay una fuerza deamortiguamiento actuando sobre el timón la cual es proporcional a la velocidadangular instantánea.

16. Discuta las características del servomecanismo si la función de transferencia es-tá dada por

EJERCICIOS C

1. Las vibraciones de una masa m en el extremo de un resorte vertical de constantek están dadas por

donde F(t) es la fuelza externa aplicada en cualquier tiempo t y X es el despla-zamiento de m de su posición de equilibrio en cualquier tiempo t. Suponga que lafuerza está dada por

F(f) =

i

Fc,, O<t<T

2F,, T < t < 2T

0 . t > 2T

(a) Encuentre el desplazamiento en cualquier tiempo t asumiendo que el despla-zamiento inicial y la velocidad son cero. (b) Describa f%icarn:7te las vibracionesdé la masa.

2. Trabaje el Ejercicio 1 si el término de amortiguamiento pdx/dt SC t,oma en cuenta.3. Suponga que la fuerza F(t) en el Ejercicio 1 está dado por

F”/k.

1.

o<t<cF(t) = o

t>E

(a) Encontrar el desplazamiento en cualquier tiempo t asumiendo que el despla-zamiento inicial y la velocidad son cero. (b) Discuta el resultado en (a) para elcaso límite donde e+O y dé una interpretación física. (c) iCómo está relaciona-

302 Capítulo seis

do su resultado en (b) con la función delta de Dirac? (d) Podría usted obtener elresultado en (b) haciendo F(t) = F,d(t) en la ecuación del Ejercicio 1 y despuéstomando la transformada de Laplace usando 2 6 (t )I = 1 ? Explique.

4. Discuta el Ejemplo ilustrativo 4, página 294, en caso de que la bolilla se le dé unavelocidad inicial u0 en el punto de partida.

5. Pruebe los enunciados hechos acerca del péndulo cicloidal en el primer párrafo enla página 298.

6. Trabaje el Ejemplo ilustrativo 3, página 145, usando la función delta. [Sugeren-cia: Use la ecuación diferencial EZy”v’= w(x) obtenida en el Ejercicio BC, página147.

7. Trabaje el Ejercicio 1A; página 145, usando la función delta.

8. Muestre cómo encontrar la solución de la ecuación integral de Abel

s, Y(u) rlu = F(1), O<r<l” (r - uydonde F(t) está dada y Y(t) es para ser determinada.

9. (a) Discuta el Ejercicio 8 para el caso especial CY = 3 y explique la relación de la so-lución con la media deriuada del Ejercicio llC, página 290. (b) Muestre que la so-lución del problema tautócrono en la página 294 depende de la solución de unaecuación diferencial de “medio orden”.




1


LECCIÓN ONCE.

FUNCIONES DE BESSEL. La ecuación lineal de segundo orden:

0y)px(dxdy

ydx

ydx 22

2

22 =−+++

ocurre con mucha frecuencia en problemas prácticos. Como resultado los valores numéricos de la solución por series de esta ecuación se han calculado y tabulado como función de x, p. Esta ecuación se conoce como “ecuación de Bessel” (Friedrich Wilhelm Bessel, 1784-1846) y sus soluciones como “funciones de Bessel”. El origen, x = 0, es un punto singular de ésta ecuación, por lo que el método de Frobenius puede utilizarse para encontrar dos soluciones linealmente independientes que se colocan en la forma más frecuentemente usadas introduciendo la función Gamma (tercera letra del alfabeto griego). Γ La función gamma. Se define para números complejos p con parte positiva real como:

∫=Γ∞

−−

0

1px dxxe)p(

Se refiere solo a números p reales mayores que 0, sin considerar valores complejos. La integral implicada es impropia, o sea que primero se debe comprobar si converge lo cual se cumple si p > 0 (la única fuente de dificultad es el infinito). Las propiedades fundamentales de la función gamma son:

0p )p(p)1p( >Γ=+Γ Si n es un entero positivo:

! n)1n( =+Γ 1! 0)0( ==Γ

Se puede extender esta definición para el factorial de reales positivos no enteros: ! p)1p( ≡+Γ

Entonces:

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π=Γ=Γπ=∫ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π==Γ

∞− −

2)2/1()2/1()2/3(;22dxe2)2/1(0

x 2

Cambiando variables en la integral podemos evaluar muchas integrales impropias:

∫π

=∞

−

0

ax

aa21dxex

Forma generalizada de la ecuación de Bessel. La ecuación diferencial que se escribe a continuación puede reducirse a la forma de la ecuación de Bessel haciendo las transformaciones de variables a las que halla lugar:

[ ] 0yxbx)ra1(bdxcdxdy

)b2a(xdx

yd2x r22rs2r

2

2=+−−−++++

Usando las propiedades de la función gamma y sujeto a los valores de p, la solución puede obtenerse en términos de funciones de Bessel. La solución generalizada es:



2

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−+⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−−= sx

sd

pZ2csxsd

pZ1crrbx

e2a)(1

xy

Donde:

c2

a1s1p

2

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

En la ecuación representa una de las funciones de Bessel: pZ±

1. Si sd es real y p no es ni cero ni un entero, p-p-pp J es Z ;J es Z

2. Si sd es real y p es cero o un entero, pp-pp Y es Z ;J es Z

3. Si sd es imaginario y p no es ni cero ni un entero, p-p-pp I es Z ;I es Z

4. Si sd es imaginario y p es cero o un entero, pp-pp K es Z ;I es Z

La función de Bessel de primera clase y de orden p es:

( ) ( )∑

−

−=∑

+

−=

∞

=

−

−

∞

=

+

0k

pk2k

p0k

pk2k

p )!pk(!k2

x)1()x(J;

)!pk(!k2

x)1()x(J

La función Bessel de segunda clase y de orden n es:

( )[ ]

( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

∑ ∑+

+φ+φ−+−−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ γ+

π=

−

=

∞

=

+

−1n

0k 0k

kn21k

nk2

nn )!kn(!k2

x)nk()k()1(

21

!k2

x)!1kn(21)x(J

2xLN2)x(Y

...5772157.0=γ que es la constante de Euler.

0)0(;1kk1...

211

m1)k(

k

1m=φ≥∑ +++==φ

=

La función de Bessel modificada de primera clase y de orden p es:

( )∑

+==

∞

=

+

−

0k

pk2

pp

p )!pk(!k2

x)ix(Ji)x(I

La función Bessel modificada de segunda clase y de orden n:

[ ])ix(iY)ix(Ji2

)x(K nn1n

n +π

= +

Los valores hacia los cuales tienden las funciones de Bessel cuando x → 0 o cuando x → ∞ son importantes en la solución de problemas prácticos. Para valores pequeños de x (x < 0.5) son útiles las siguientes aproximaciones:



3

)!p(x2)x(J

!p2x)x(J

pp

pp

p

p −≅≅

−

−

π≅≠

π−

−≅− 2LNx(x)Y ;0p

x)!1p(2)x(Y 0

pp

p

)!p(

x2)x(I !p2

x)x(Ipp

pp

p

p −≅≅

−

−

-LNx(x)K ;0p x)!1p(2)x(K 0

p1pp ≅≠−≅ −−

Se observa que solamente Jp e Ip son finitas en x = 0. Para valores grandes de x (x → ∞), se pueden usar las siguientes aproximaciones:

xp

x

p

p

ex2

)x(K;x2

e)x(I

2p

4xcos

x2)x(Yp;

2p

4xcos

x2)x(J

−π≅

π≅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−π

−π

≅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−π

−π

≅

Tanto Jp como Yp oscilan como una onda sinusoidal amortiguada y se aproximan a cero cuando x → ∞. La amplitud de las oscilaciones alrededor de cero decrece a medida que x aumenta. Los ceros de Jp+1(x) separan los ceros de Jp(x); es decir, entre dos valores de x que hacen Jp+1 igual a cero existe uno y solo un valor de x que hace Jp igual a cero. Esto mismo se aplica para Yp+1 y Yp. Por su parte Ip aumenta continuamente con x y Kp decrece en forma continua. Las siguientes relaciones son de notable utilidad:

[ ]⎪⎩

⎪⎨⎧

=αα−

=αα=α

−

−

KZ)x(ZxI,Y,JZ)x(Zx

)x(Zxdxd

1pp

1pp

pp

[ ]⎪⎩

⎪⎨⎧

=αα

=αα−=α

+

+−

IZ)x(ZxK,Y,JZ)x(Zx

)x(Zxdxd

1pp

1pp

pp

[ ]⎪⎩

⎪⎨

⎧

=α−αα−

=α−αα=α

−

−

KZ)x(Zxp

)x(Z

I,Y,JZ)x(Zxp

)x(Z)x(Z

dxd

p1p

p1pp

[ ]⎪⎩

⎪⎨

⎧

=α+αα

=α+αα−=α

+

+

IZ)x(Zxp

)x(Z

K,Y,JZ)x(Zxp

)x(Z)x(Z

dxd

p1p

p1pp



4

[ ])x(I)x(I)x(Idxd2 1p1pp α+αα=α +−

[ ])x(K)x(K)x(Kdxd2 1n1nn α+αα−=α +−

[ ] Y,JZ)x(Z)x(Zp2x)x(Z 1p1pp =α+α

α=α −+

[ ])x(I)x(Ip2

)x(I 1p1pp α−αα−

=α −+

[ ])x(K)x(Kp2x)x(K 1n1nn α+α

α=α −+

entero. o cero esn cuando)x(K)x(K

)x(I)x(I)x(J)1()x(J

nn

nn

nn

n

⎪⎭

⎪⎬

⎫

α=αα=α

α−=α

−

−

−

En la carpeta del capítulo cuatro el estudiante puede encontrar el ejemplo 3.5 del texto “applied mathematics and modelling for chemical engineers” de Rice y Do.



1


LECCIÓN DOCE.

SERIES DE FOURIER. Un caso especial y muy utilizado de la expansión de funciones ortogonales en series son las “series de Fourier”. En un intervalo simétrico –L,L, la representación de las series de Fourier de una función f(x) se define como:

∑ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+∑ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

=∞

=

∞

= 0nn

0nn L

xnsenBL

xncosA)x(f

Donde n es un entero positivo. Si la ecuación presentada se multiplica por ( )dxL

xncos π y el resultado se integra entre –L y L, se pueden

determinar los coeficientes An. De manera similar, utilizando ( )dxLxnsen π se obtienen lo coeficientes Bn:

∫π

=∫=−−

L

Ln

L

L0 dx

Lxncos)x(f

L1A;dx)x(f

L21A

∫π

==−

L

Ln0 dx

Lxnsen)x(f

L1B;0B

Aunque la expansión en series de Fourier de la función f(x) dependa solo de términos de seno o de coseno, o de ambos, si depende de si la función es regular, impar o ninguna de las dos. Una función regular, es una donde f(x)=f(-x). u un número puro son funciones regulares ( o pares). Si una función es regular:

xsenmx,nxcos,x2

0B;dxL

xncos)x(fL2A;dx)x(f

L1A 0

L

0n

L

00 =∫

π=∫=

Entonces se puede decir que:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π−−−=

πL

xnsen)x(fL

xnsen)x(f

Consecuentemente, en la evaluación de los coeficientes An, la integral desde –L hasta 0 se suma a la integral de 0 a L, mientras que en la evaluación de los términos Bn estas integrales se cancelan. Esto se puede mostrar de manera formal a continuación: Sea f(x) una función regular (o par), entonces:

∫=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∫−∫=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∫+∫=∫=

−

−−

L

00

L

0

L

00

0

L

L

0

L

L0

dx)x(fL1A

dx)x(fdx)x(fL21A

dx)x(fdx)x(fL21dx)x(f

L21A

Los coeficientes An y Bn se obtienen de la misma manera.



2

Una función impar, es una en la que f(x)=-f(-x). son funciones impares. )nxcos(x),nx(sen,x,x 3

Si f(x) es impar:

∫π

=

==

L

0n

n

0

dxL

xnsen)x(fL2B

0A0A

Si solo el intervalo 0 a L es de interés, f(x) puede expandirse solo en series senoidales o solo en series cosenoidales, y esto puede realizarse aunque la función sea par o impar. Cuando este procedimiento se realiza la expansión en términos de se senos genera una función impar que, en general, no representará a f(x) fuera del intervalo o a L. y la expresión en términos de cosenos, genera una función par que de igual manera no representa a f(x) fuera del intervalo. Cuando el intervalo de despliegue de las series incluye al infinito, y si la función es ortogonal, se puede llegauar en el despliegue a uno de los siguientes casos: * Integral del seno de Fourier:

( ) ∞<<⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∫∫

π=

∞∞x0dvda)av(sen)v(Faxsen2)x(F

00

* Integral de coseno de Fourier:

( ) ∞<<⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∫∫

π=

∞∞x0dvda)avcos()v(Faxcos2)x(F

00

* Integral de Fourier-Bessel:

1p;x0dvda)ax(J)v(avF)x(F0 0

p −>∞<<∫ ∫=∞∞

* Integral completa de Fourier:

∞<<∞−∫ ∫ −π

=∞

∞−

∞

∞−xdvda)xv(acos()v(F

21)x(F

En la carpeta del capítulo cuatro ud. podrá encontrar un ejemplo de solución utilizando series de Fourier, extraído de BRDKEY y HERSHEY, Transport Phenomena.

654 APPLICATIONS OF TRANSPORT PHENOMENA

It is common practice to abbreviate Eqs. (13.33) and (13.34) as

8 (x, 0) = 630

8 (0, t) = 0

8(2L,t)=O

(13.35)

Similarly, it is desirable to transform the mass transfer equation, Eq. (13.11),using some convenient variable such as &:

% = CA - CA,f (13.36)

where again the transformation is useful only if the boundary conditions arenot a function of time. For one-dimensional transient mass transfer, Eq.(13.11) becomes

(13.37)

The boundary conditions in terms of & are almost identical to those in Eq.(13.35); the variable & is simply substituted for 8.

W.2.1 Fourier Series Solution

The solution of partial differential equations using Fourier series is usuallygiven in an advanced mathematics course at most universities. Hence, in thissection only a typical Fourier series solution to Eq. (13.32) will be given. Thereader is referred to the several excellent texts devoted to a more completetreatment [C3, Ml, M4, Rl, W2].

A Fourier series may be defined as

f(x) = ~0 + ,zl Uj COS jnx + i bj sin jzx Osx52L (13.38)j=l

where the function f(x) is represented in terms of two periodic infinite series,as shown in Eq. (13.38). If the function f(x) is assumed to be periodic, withperiod’ 2L as shown in Fig. 13.6, then it is easily shown that

(13.39)

(13.40)

(13.41)

’ A function is periodic if f(r + 2L) =f(r) for all r.

UNSTEADY-STATE TRANSPORT 655

The power of Fourier series arises from the fact that any function may beassumed periodic, even if it is not, by assuming that the length of the period isthe region of interest. For clarification, let us consider the following boundaryconditions:

0(x, 0) = 00 0(0, t) = 0 0(2L, t) = 0 (13.35)

These are the simplest possible; since the transformed temperature is zero ateither end, these boundary conditions are termed “homogeneous”. Obviously,those are not in themselves periodic; yet they may be considered as a periodicfunction of period 2L, as shown in Fig. 13.7. Physically the boundaryconditions in Fig. 13.7 have no meaning for x less than zero or greater than2L, but the mathematical assumption of periodicity allows a Fourier seriessolution, as will be shown later.

Many functions likely to be encountered in our engineering problems canbe expanded in a Fourier series. There are some mathematical restrictions,known as the Dirichlet conditions [M4], that cannot be violated. A function isFourier expandable if in the interval 0 5 x 5 2L the following are true:

1. The function f(x) is single-valued.2. The function f(x) never becomes infinite.3. The function f(x) has a finite number of maxima and minima.4. The function f(x) has a finite number of discontinuities.

A practical concern that does limit the utility of Fourier series solutions is that

-4L -2L 0 2L 4L (13.35) as a periodic function.


the integrals in Eqs. (13.39) to (13.41) must be analytic, since Uj and bj arecoefficients in an infinite series. Also, not all boundary conditions areamenable to Fourier series solution [C2, C3, C6, 52, Ml, M4, Rl, W2].

The first step in the Fourier series solution of a partial differentialequation is to assume that the solution is a product of two quantities:

@(x, t) = X(x) - z-w (13.42)

where & is a function of x only and T is a function of t only. This assumptioncan be justified only in that it leads to a solution satisfying the partialdifferential equation and its boundary conditions. The assumed solution, Eq.(13.42) is substituted into the partial differential equation of interest, Eq.(13.32). Since X is a function of x only, it follows that

Similarly

Substituting the above into Eq. (13.32), the result is

(13.43)

(13.44)

The variables in Eq. (13.45) are separated as follows

X ” 1T’-z-z-x aT

(13.46)

It is argued that, if x is varied there is no effect on the term T’/(LY~) sinceT’/(arT) is not a function of x. Thus, the term T’/(@‘) must be independentof x. A similar argument about varying t and its effect on the term r/;Y leadsto the conclusion that each side of Eq. (13.46) must be equal to a constant.This constant shall be designated as --/3” to facilitate later forms of thesolution:

X” 1T’L=-L=x ffT

-B’ (13.47)

The constant -p’ in Eq. (13.47) must be negative in order to avoid anexponential solution that would be inconsistent with the boundary conditions[Rl]. Equation (13.47) may be decomposed into two ordinary differentialequations:

r+p2g=o (13.48)

T’+/32aT=o (13.49)


The solutions to Eqs. (13.48) and (13.49) are assumed to be

T = Cl exp( -B*&) (13.50)

X= C2cos/3x+ C3sin/3x (13.51)

Appropriate boundary conditions for a direct Fourier series solution must bethe simplest possible, i.e., homogeneous:

O(x, 0) = 00

O(0, t) = 0

0(2L, t) = 0 (13.35)

At this stage in the solution, there are four constants (C,, C,, C3. and p) to bedetermined from the boundary conditions. Using the boundary condition atthe point x = 0, Eq. (13.42) becomes

O(0, t) = T(O) * T(t) = 0 (13.52)

Since for the nontrivial case T(t) cannot be zero for all t, it follows that Eq.(13.52) is true only if

X(O) = 0 (13.53)

Substituting the results of Eq. (13.53) into Eq. (13.51), Eq. (13.51) becomes

0 = C2 cos [UNO)l + C3 sin [WUU (13.54)

Since the sine of zero is zero and the cosine of zero is one, then by Eq. (13.54)C2 must be zero. Next, the boundary condition at the other end is applied, andby similar reasoning

&(2L) = 0 = C3 sin 2/3L (13.55)

Equation (13.55) equals zero only if C3 is zero or if sin 2f?L is zero or if bothare zero. However, if C, is zero, then ;Y is zero and our assumed solution, Eq.(13.42) is trivial. Therefore

sin 2j3L =0 (13.56)

The sine of an arbitrary angle LY is zero if (Y = n, 2~r, 3n, etc. Hence

2/3L=jn o’= 1, 2, 3, . . .) (13.57)

From Eq. (13.57), the constant /3 is found to be

(13.58)

The solution as determined so far is substituted from Eqs. (13.50),(13.55) and (13.58) into Eq. (13.42):

O(x, t) = C,C,(sin$) exp(-(g)zm) (13.59)


where each and every j, as j goes from 1 to 00, is a solution to the originalpartial differential equation, Eq. (13.32). Thus, the total solution is the sumover j of all possible solutions, since Eq. (13.32) is a linear partial differentialequation:

@(X, t)=i [bjSiIl~~)eXp(-(~)‘cxt)] (13.60)

where the product Cr C, has been replaced by bj.The remaining boundary condition at time zero, Eq. (13.33), is used to

evaluate bjs Applying that condition to Eq. (13.60):

@(cc, 0) = B,=g [bj sinrg)exp(-(g)*&(O))] (13.61)

Since the exponential of zero is one, Eq. (13.61) reduces to

O,, = 2 bj sin($$)j=l

(13.62)

A comparison of Eq. (13.62) with the Fourier series of Eq. (13.38) shows thataj must be zero for all j and

(13.63)

By substituting Eq. (13.63) into Eq. (13.60), a complete solution is nowavailable. Note that a Fourier series solution is possible as long as theintegration in Eq. (13.63) can be performed. For the case of constant 00,integration of Eq. (13.63) yields

= 7 [-cos jn - (-cos 0)] = F [for odd j] (13.64)

The simplification of Eq. (13.64) resulted from the following reasoning. Thecosine of zero is one. The cosine of Jo equals -1 for odd j and +l for even j.Hence

-(cos jn) + 1 = 0 if j is even

-(cos jn) + 1 = 2 if j is odd (13.65)

Note that a single value of bj from Eq. (13.64) cannot possibly satisfy theboundary condition of Eq. (13.33). Hence, it is argued that only the sum fromone to infinity of all possible bj will satisfy the boundary condition, since Eq.(13.32) [or Eq. (13.37)] is a linear partial differential equation.

Combining results, the final solution to Eq. (13.32) as determined by the


method of Fourier series is

Equation (13.66) expresses in terms of an infinite series the dimensionlesstemperature 8/@, for any x and t when the boundary conditions of Eq. (13.35)are valid. However, the engineer will usually be interested in the temperaturefor a particular x and c or for a series of x and t combinations. In general aFourier series such as Eq. (13.38) or Eq. (13.66) converges very slowly,especially for small t. Often thousands of terms are required in order toevaluate 8 to the required accuracy. In fact, evaluation of Eq. (13.66) on adigital computer requires almost as much effort as a direct numerical method(to be discussed subsequently), not including the lengthy steps required to getEq. (13.66).

A mass transfer problem with nonhomogeneous boundary conditions issolved in Example 13.2.

Example l3.2. A 3-in. schedule 40 pipe is 3 ft long and contains helium at26.03 atm and 317.2 K (44“C), as shown in Fig. 13.8. The ends of the pipe areinitially capped by removable partitions. At time zero, the partitions areremoved, and across each end of the pipe flows a stream of air plus helium at thesame temperature and pressure. On the left end, the stream is 90 percent air and10 percent He (by volume) and on the right 80 percent air and 20percent He. Itmay be assumed that the flow effectively maintains the helium concentrationconstant at the ends. If isothermal conditions are maintained and there are noend effects associated with the air flowing past the pipe, calculate the compositionprofile (to four decimal places) after 1.2 h at space increments of OSft. UseFourier series. The value of DHtti is 0.7652 x 10m4 m’s-’ (2.965 ti h-‘) [F2].

Answer. First, note that mass transfer in Fig. 13.8 occurs in the z direction only;there is no transport in either the r- or e-directions. Since the previous equations(derived with heat transfer as the example) are in terms of the x direction, thesolution to this problem H;ill arbitrarily use the x direction as the direction of masstransfer.

.

f FIGURE l3.890% air, 10% He 80% air, 20% He

1 atm, 44°C 1 atm, 44°CTransient diffusion of heliumin a pipe.

660 APPLICAl7ONS OF TRANSPORT PHENOMENA

Concent ra t ion i s re la ted to par t ia l pressure by Eq. (2 .37) :

CA = n/V =p.J(RT) (2.37)

where R is the gas constant (0.082057 atm m3 kmoll’ K-i from Table C.l). Thepart ia l pressure of species A is def ined by Eq. (2 .38) :

PA = YAPto, (2.38)

where yA is the mole fract ion of A and ptow i s the to ta l p ressure .Example 2.7 illustrated the method of converting partial pressures into

concentrations. Initially, the partial pressure of helium in the tube equals the totalpressure, 26.03 atm. When the partitions are removed, the partialpressures ofhel ium at the ends of the pipe are

B* = YIPtotal = (0.1)(26.03) = 2 .603 a tm

B2 = Y2Pmal = (0.2)(26.03) = 5.206 atm

Inser t ing these in to Eq . (2.37), the concent ra t ions are

C,, = &/(RT) = (26.03)/[(8.2057 x lo-‘)(317.2)] = 1.0 kmol mm3

C,,, =p,/(RT) = (2.603)/[(8.2057 x lo-‘)(317.2)] = 0.1 kmol mm3

C,,* =p,/(RT) = (5.206)/[(8.2057 x lo-‘)(317.2)] = 0.2 kmol mm3

Fol lowing the nomenclature of Eq. (13.35), these are

C,&, 0) = 1.0 kmol mm3

C,,,(O, t) = 0.1 kmol mm3

C.42L. t) = 0.2 kmol mm3

(9

(ii)

(iii)

where the total length of the pipe is 2L, or 3 ft. Although C..,, does not equalCA,2, it is still convenient to transform C, to 0,:

%I = CA - CA.1 (30”(X, 0) = CA,0 - CA,, = 0.9 = 00 69

@%.4(O,t) = CA.1 - CA.1 = 0 (40,(2L, t) = C,,J - c,,, =.0, = 0.1 (vii)

where the definition of 0, is arbitrarily based on CA.I; for ease of notation, 0,and 0* have also been introduced in the above equations. Using the abovetransformat ion, Eq. (13 .37) s t i l l appl ies :

(13.37)

where the total length of the pipe is 2L, or 3 ft.The boundary cond i t ions in Eqs . ( iv ) th rough (v i i ) do no t a l low a so lu t ion

by Four ie r ser ies because the condi t ion in Eq. (v i i ) does not equal zero . Thislimitation is easily circumvented by expressing the total solution as the sum of theunsteady-state (or transient or particular) solution 0, and the steady-statesolution 0, [Rl]:

0&, t) = e,(x) + 0,(x, t) (viii)

UNSTfiADY-STATE TRANSPORT 661

The steady-state solution 8, is obtained from Fick’s law, Eq. (2.4). Forequimolar counter d i f fus ion , i t i s eas i ly shown tha t the ra t io ApA/Ax must beconstant a t s teady-s ta te . I f the ra t io ADA/Ax i s cons tan t , then the ra t io AC,/Axis also constant [cf. Eq. (2.37)]. Since two points uniquely determine the equationfor a s t ra ight l ine , the equat ion for 8, i s

8,=%l(0,~)+[%&, ~)-~M(0,~)l[.dw)I= 0 + (63, - O)[xl(2L)]

= @,[x/(ZL)] = (O.l)(x/3) = n/30 64

The boundary condi t ions for the t rans ien t so lu t ion are found by combiningthe las t two equa t ions . F i r s t , Eq . (v i i i ) i s so lved for @(x, t ) ; t hen the cond i t i onsin Eqs. (v) through (vii) are inserted into the resulting equation:

@(x, 0) = c&(x, 0) - e,(x) = 0.9 -x/30 = 8, - 8,[xl(2L)] (x)

@(O, t) = &(O, t) - e,.(o) = 0 - 0 = 0 (xi)e,(2L, t) = 63,(2L, t) - 6,(2~) = 0. i - (o.i)(2L)l(2L) = 0 (4

The solution to Eq. (13.37) subject to the above boundary conditions follows thederivation of Eq. (13.66) from the inception, Eq. (13.42), up through Eq.(13.60), which af ter replacing (Y w i t h D i s

e,(x, t) =s [b, sintg)exp( - (g)*Dt)] (xiii)

‘Ihe boundary condi t ion of Eq. (x) i s used to evaluate the remaining cons tant , bj:

et+, 0) = e. - e,[xipL)] = 0.9 -x/30 =s [ bj sin($$)exP( - (~)z~~~(~))]

A comparison of Eq. (xiv) with the Fourier series of Eq. (13.38) shows that a,must be zero for all j and

b,=; 8 0 - 8 X>o

sin JZ h22L 2L

Equat ion (xv) equals the sum of two in tegra ls :

The first integral is identical to that in Eq. (13.64):

$rsin($$) dr =F [for odd j]

The second in tegral may be located in a s tandard table of in tegrals [Pl]:

I xc0sl.x sinkxsinAxak=--+-

a A2

(4

(xviii)


where A equals jn/(2L). Substituting, the second integral is

The f i rs t term in the above is

$z[IL(cosjn)-(O)(cosO)]=~cosjn=~(-1)’ ( x x )

s ince cos jlt = +l for even values of j and -1 for odd values of j . The second termis zero since sin jn equals zero for all values of j:

sin[@r)(2L)/(2L)] - sin 0 = sin jn - 0 = 0 (4

The value of bj is the combination of Eqs. (xvii) and (xx). The finalexpression is obtained by the summation of all bj between 1 and infinity, which isthen included in Eq. (xiii):

C&(x, t) = ?j=li5 ,__ 5 [ sin@q.( - (E)*Df)]

+Ti:s3 .,.i(-l)j[sint$)exp(-($)*Dt)] ( x x i i ), . 3

As a rule, these infinite series converge slowly; hence, it may be advantageous tocombine the two inf in i te ser ies :

B,(x,t)=:$i[C&+(-l)j(B,-B.)][sit@exp(-(g)iDtl] (xxiii)I

Note that if &=O, Eq. (xxiii) reduces to Eq. (13.66). Inserting Eqs. (ix) and(xxiii) into Eq. (viii) yields the final expression for the concentration or for 8, asa function of t ime and distance:

=&(&) +zii[@,+(-ly(&-&)][sin($$)exp( -(g)‘DI)]

where(xxiv)

&=0.9 &=O.l 2L=3ft D = 2.965 ft2 h-’ cm

A computer program to evaluate Eq. (xxiv) at the t and I of interest isgiven in F ig . 13 .9 . Equat ion (xxiv) i s a converging inf in i te ser ies , in which thesigns of the terms alternate in an irregular pattern. The best procedure is tocombine a l l terms of l ike s ign, then tes t the magni tude to see i f that combinat ionis less than the accuracy des i red . In the case of a s imple a l ternat ing convergingseries, the truncation error is smaller in absolute value than the first termneglected and is of the same s ign. The resul ts are given in Table 13.2. The las tcolumn is an indicat ion of how many terms are required for the inf ini te ser ies toconverge.



1

SEGUNDA UNIDAD: FORMULACIÓN INTEGRAL Y DIFERENCIAL CAPÍTULO CINCO: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS.

LECCIÓN TRECE. El estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias puede ser tema de un curso completo. Para la revisión del tema por parte del estudiante, en la carpeta del capítulo cinco ud. encontrará uno de los más completos resúmenes en el área, que hace parte de una sección del apéndice B del texto: TOSUN, Ismail. Modeling in transport phenomena: a conceptual approach. Amsterdam, 2002, Elsevier.

LECCIÓN CATORCE. Para una revisión de la solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias el estudiante podrá encontrar en la carpeta del capítulo cinco, el capítulo nueve del texto: SPIEGEL. Ecuaciones diferenciales aplicadas. 3 ed. México, 1893. McGraw Hill.

LECCIÓN QUINCE. La parte correspondiente a la aplicación de las EDO, la podrá encontrar en la lección dieciocho del curso.

nuevela solucio’n nume’rica deecuaciones diferenciales

1 . S O L U C I O N N U M E R I C A D E y’=f(x, y)1.1 El método de pendiente c o n s t a n t e o

método de Euler

1 .2 E l método de pendiente promedio o

m é t o d o modIfIcado de Euler

1.3 Diagramas de computador

1.4 Análisis de errores

1.5 Algunas guías prácticas para la

sclución numérica

2 . E L METODO DE RUNGE-KUTTA

4 2 0

E n m u c h o s c a m p o s d e i n v e s t i g a c i ó n c i e n t í f i c a e l producto final es unnúmero o una tabla de valores. Puesto que las ecuaciones diferenciales jue-gan una parte importante en las investigaciones científicas, naturalmenteparecería deseable aprender cómo las ecuaciones diferenciales se pueden re-solver numéricamente. Esto es de un valor aún mayor cuando nos damosc u e n t a q u e a h o r a h a y d i s p o n i b l e s m á q u i n a s d e c o m p u t a c i ó n m a r a v i l l o s a sque ayudan extraordinariamente en las laboriosas tareas de trabajo numéri-co. Algunas de estas máquinas calculan tablas de valores y pueden aún gra-ficar resultados en un porcentaje muy pequeiío del tiempo que requeriría uncomputador ordinario. El hecho de que las máquinas alivien el trabajo, sinembargo, no significa que el operador necesite conocer menos acerca de losmétodos numéricos. Por el contrario él debería conocer mucho acerca de losvarios métodos puesto que él debe conocer la manera más eficiente de “ali-mentar” las matemáticas dentro de la máquina.

Un estudio de las técnicas de análisis numérico es un campo extenso ensí mismo. En un libro como este podemos dar sólo una breve introducción aeste importante tema.

Solución numérica de y’= f(x, y)

En esta sección nos restringimos a estudiar la solución numérica de laecuación diferencial de primer orden* y ’ = f(x, y). Hacemos la

Pregunta. Dado que .una solución de y’ = f (x, y) es tal que y es igual ac donde x = Q, ¿cómo podemos determinar el valor de y cuando x = b?

Por integración de la ecuación diferencial con respecto a x tenemos t

y=c+J; f’(X, y)dx (1)

y es claro que y = c cuando x = a de modo que (1) satisface la condición re-querida. El valor de y cuando x = b debe estar dado por

y = c + abf’(x, y)dxsDesafortunadamente, puesto que y ocurre bajo el signo de la integral de

(2), no podemos seguir adelante sin alguna clase de aproximación. Cada tipode aproximación usada en (2) determina un método de análisis numérico. Pri-mero examinamos uno de estos métodos, el cual llamamos el método de pen-diente constante o método de Euler.

*Suponemos que f(x, y) satisface las condiciones del teorema fundamental de existencia yunicidad de la página 24. Si la solución no existe o io es única no hay objeto en intentar unasolución numérica.

t En la integral (1) estamos usando el símbolo x como un símbolo mudo en la integración co-mo también para la variable independiente. Podríamos por supuesto haber usado un símbolo di-ferente, por ejemplo p, para denotar la variable muda y escribir

Sin embargo, no debería surgir confusión. Compare con el pie de página en la página 320

Solución numérica de ecuaciones diferenciales 421

1.1 EL METODO DE PENDIENTE CONSTANTE 0 EL METODO DE EULER

Asumamos que el intervalo de x = a a x = b se subdivide en n partesiguales, cada una de longitud h, de modo que

hzb-a~ o b = a + n hn

Llamamos h el tamaño de paso y n el número de pasos. Entonces (2) llega aser

J‘=c+ san+nh f(x, y)dx (4)

Si usamos solamente un paso, esto es, n= 1, esto llega a ser

y = c +J; + h f(x, y)dx

La aproximación más simple para tomar en (5) es asumir que la pendientef(x, y) es constante sobre el intervalo a 5 x 5 a + h e igual a la pendiente enel punto donde x = a, y = c, esto es, f(a, c). En este caso (5) llega a ser

y=c+ så+‘f(a, c)dx = c + hf(a, c) 63)

Esto se llama el método de pendiente constante ó, puesto que fue primero usa-do por Euler, el método de Euler. Claramente, (6) le dará una buena aproxi-mación al valor de y en x = a + h solamente si h es pequeña. El grado de pe-queñez evidentemente depende del grado de precisión deseado. Por tanto lapalabra “pequeño” debe necesariamente ser vago hasta que se disponga demayor información.

La interpretación gráfica de (6) se ve en la Figura 9.1. La solución ver-dadera se representa por la curva punteada AE. Puesto que la distancia AD =h es fácil de ver que el valor de y correspondiente a (6) está representado porla ordenada QB. El error cometido está dado por BE. Esto se hace más pe-queno a medida que h se hace más pequeño. Si h es grande, el error cometidoes grande. Si la longitud del intervalo de a a b es grande, parecería naturaltomar valores más pequeños de h correspondiendo a un incremento en el nu-

Y

x

--

Figura 9.1

422 Capítulo nmv.9

Y

mero de pasos, esperando de esta manera disminuir el error involucrado. Conesta idea en mente nos lleva a escribir (4) como

1’ = c + l+* f(x, y)dx + l::” f(x, y)dx + . . . + cy- l)h f(x, y)dx (7)

Usando la aproximación descrita en la página 422 para cada una de las inte-grales en (7), vemos que una aproximación a (7), está dada por

y = c + kf(a, c) + kf(u + k, cl) + kf’(a + 2k, c2) + . . . + kf(a + (n - l)k, c,-~) (8)

donde c, es el valor de y cuando x = a +jh, j = 1,2,. , n - 1.La interpretación geométrica de (8) está dada en la Figura 9.2. Por una

aplicación de (6), vemos que A 1 B, = hf(a, c), la ordenada del punto BI es-tando dada por

Cl = c + kf(u, c)

Se computa ahora una nueva pendiente correspondiente al punto B,, CU-yas coordenadas son (a + h, cI); el valor de esta pendiente está dado porf(a + h, cI). Usando esto, llegamos al punto B,, la distancia A,B, dadapor hf(a + h, c 1 ). Puesto que la ordenada de B, es la ordenada de B, másla distancia A,B,, la ordenada de B, es

(‘2 = c + kf(u, c) + kf(a + k, cl)

Similarmente, la ordenada del punto Bj es

Cj = C + kf(a, C) + kf(a + k, Cl) + . . . + kf(u + (j - l)k, cj- 1)

y en particular

cn = c + VIa, c) + kf’(u + k, cl) -t . . . + kf(u + (n - l)k, c,- J

Y

Valor verdadero de y-. /

Valor aproximado deA

ysi \

(0, d

Error

1a a+h

I^“-. -- . . ..^ l.... ‘xa + 2h a + nh

Figura 9.2

Soluoón numérica de ecuaciones diferenciales 4 2 3

es la ordenada alcanzada después de n pasos, la cual es el valor de y dado en(8). Si usamos la notación a, = a + jh, j = 1, 2,. , esto se puede escribir sim-plemente como

C” = c + hf‘(u, c) + Ilf’(u,, CI) + ” + I?f’(a,-,, c,-,)

A pesar de la simplicidad de este método los resultados obtenidos pue-den ser buenos, llegando la precisión a ser mejor en general a medida que nse escoge más grande. Para un valor grande de n, sin embargo, aunque la pre-cisión puede ser mayor el cómputo llega a ser más laborioso y por tanto se de-be alcanzar un compromiso. El método se adapta bien a computadores y noes difícil de programarlo. Ilustremos el método en el siguiente


Dado y’ = x +y, encuentre el valor de y correspondiente a x = 1 si y = 1donde x = 0.

Solución Aquí a = 0, b = 1. Nos gustaría escoger n para que h = (b - a)/nsea pequeño. Es conveniente escoger n = 10 para que h = 0,l. El cómputo sepuede entonces organizar como en la Tabla 9.1.

La condición inicial x = 0, y = 1 determina una pendiente y’ = x +y (pri-mera línea de la tabla). Puesto que el incremento en x es O,l, el nuevo valorde y, el cual denotamos por ynuevo, se obtiene del valor de y denotado por yviejo,como

Y ““ev0 =y,.i+ + 0,l (pendiente) = 1,00 + O,l(l,OO) = 1,lO

Tabla 9.1

X y y’ = x + Y ywo O.lbend.)= Y = huevo

0,oo 1,00 LoO l,OO+o,1wO)=~'o____---~--

0,lO 1,10~-----1,%-------1,10+0,1(1,20)= 122

1,22t---~--í-z2- ----- ---------

_-2-

0,20 1,22+0,1(1,42) = 1,36

- ---__----

0,301,36~--- em-i66------

1,36 + O,l(l@) = 1,53___------ - -

0,40 1,s3t---- -<Gd---- 1,53 + 0,1(1,93) = !,72___-_----- -0,50 1,72fv---~-gg2---

1,72+0,1(2,22) = 1,94_.-- __ ---

-

O,W1,s4f- _- --g5>------

1,94+ 0,1(2,54)= 2,lS

- - - - - - - - - -0,70

2,1s' _____ 289-----2,19 + 0,1(2,89) = 2,48_____-----

0,80 2,48t-----3y$j----2,48+0,1(3,28) = 2,81______-- ---

092,81t-- ---3;~l-----

2,81+0,1(3,71) = -1s

-------- -

4 2 4 Capítulo nueve

Este valor de y se transfiere luego a la segunda línea de la tabla y el procesose repite. En la Tabla 9.1 hemos mantenido tres cifras significativas; el va-lor obtenido para y correspondiente a x = 1 es $18. Resolviendo exactamen-te se puede verificar que el valor verdadero de y donde x = 1 es 3,44; el errores por tanto alrededor del 8 por ciento. Si hubiéramos usado n = 20, la preci-sión se hubiera incrementado considerablemente pero el cómputo involucra-do hubiera sido el doble.

1.2 EL METODO DE PENDIENTE PROMEDIO 0 METODOMODIFICADO DE EULER

En el método anterior la pendiente f(x, y) sobre el intervalo u 5 x s a + hse remplazó por f(a, c) de modo que el valor de y en x = a + h = u, resultóser

c 1 = c + hf(a, c) (9)

Una mejor aproximación se obtiene si remplazamos f(x, y) por el promedio delas pendientes en los puntos extremos correspondientes a x = u y x = u, =u + h, los cuales están dados, respectivamente, por f(u, c) y f(u 1, c 1 ). Así

“fk cl + .f’(Q,, CI)pendiente promedio = ~2 (10)

donde u, =u+h y c, está dado por (9). Usando (10) como el valor aproxi-mado de f(x,y), el valor de y en x=u+ h=u, está dado por

I‘ = C’ +.f(R cl + .f‘(a 1) (‘1)

2 1(11)

Este proceso de usar pendientes promedio se puede continuar para los inter-valos sucesivos u+hs xsu+2h, u+2h 5 xsu+3h, etc., hasta que fi-nalmente se tenga el valor de y para x = u + nh = b. Por ejemplo, en. el inter-valo a + h $ x 5 u + 2h, el cual escribimos como u 1 5 x 5 cz2, (lo), se remplaza

pendiente promedio = &!!’ CI) + .f’(% C?)2

(12)

donde c 1 = (‘1 + hf<u,, c,)

y el valor de y en x = u + 2h = u2 está dado por

(13)

(14)

Resultados similares se pueden escribir para intervalos posteriores.Por razones obvias este método se llama el método de pendiente prome-

dio, pero también se refiere como el método modificado de Euler.


Trabaje el Ejemplo ilustrativo 1, página 424, usando el método de pen-diente promedio.

Solución numérica de ecuaciones diferenciales 4 2 5

Tabla 9.2

Pen- Pendiente Pendiente

diente derecha promedio

x Y i z q u i e r d a ynuevo f(X”“.“O Ynuevo) Yá, Y”i.,,+ o.l(Y:,) = Y,,,,

0,oo 1,OO l,@J 1,lO 1,20 1,lO 1,00-t O,lU,lO) -7 1,ll

p - - - - - - - - - --0,20 1,24+ --í;44

p _ - - - _ - - - - - -1,38 1,68 1,56 1,24 + 0,1(1,56) = 1,40

!,40 + 0,1(1,84) = 1,58-__~~~~- - - - - - - -_------

0,40 1,58’--- 1.98 1,78 2,28 2,13 L58 + 0,1(2,13) = 1,79_----_------

- - - - _--------

0,50 1,7g’----2T2s---- 2,02 2,62 2.46 1,79 + 0,1(2,46) = 2.04- - - - - - - - - -----_---

0,60 2,04f~----2;64----2,go- 3m 2,82 2,05 + 0,1(2,82) = 2,33- - - - - - - - - - - - - - -

0,70____._

2,33’ 3103--~~263--~~-343-- 3,23 2,33 + 0,1(3,23) = 2,65- p - - m - -- - - - - - __.~ __.__._ - ~ - - -

0,80 ‘2,6.5- 3;43----2,gg 3,89 3,6’7 2,65-t 0,1(3,67) = 3,02_~~ - -_--------p---m-_----

O,M 3,02’----3,9j7---3,;l 4,41 4,16 3,02+ 0,1(4,16) = 3,44_------_---~_-~ - -

- -LoO 3,44

Solución En este caso escojamos también n = 10 de modo que h = 0.1. Loscómputos se pueden arreglar como en la Tabla 9.2 en la cual los primeros cua-tro encabezamientos de columna son los mismos de la Tabla 9.1. Sin embar-go, puesto que necesitamos dos pendientes, una a la izquierda del punto ex-tremo de un intervalo y la otra a la derecha del punto extremo, para obtenerla pendiente promedio, el encabezamiento de la tercera columna de la Tabla9.1 se ha modificado a pendiente izquierda. Las tres columnas restantes enla Tabla 9.2 se usan para encontrar respectivamente, la pendiente derecha,el promedio de las pendientes izquierda y derecha denotada por y’,, y elvalor corregido de y, denotado por yColr .

Para ver cómo el cómputo sigue, obtengamos las entradas en la primerafila de la Tabla 9.2. Las primeras cuatro entradas se obtienen exactamentecomo en la Tabla 9.1. La pendiente derecha (entrada de la quinta columna)se obtiene calculando y’ =f(x, y) = x +y, tomando x como el punto extremoderecho a+h=a,, el cual llamamos x,,,,, y y como el correspondiente va-lor aproximado de y, el cual hemos llamado ynuevo (ya obtenido en la entradade la cuarta columna). Esta pendiente derecha está dada por f(~,,,,, , y,,,,,) =n nuevo + Y ““ev0 = 0,lO + 1,lO = 1,20.

Habiendo encontrado las pendientes derecha e izquierda, podemos deter-minar la pendiente promedio (entrada de la sexta columna) como 1 (1,OO +1,20) = 1,lO. Finalmente el valor corregido de y denotado por yCorr. (entrada dela séptima columna) es el nuevo valor de y (cuarta columna) mas 0,l veces lac

426 Capítulo nueve

pendiente promedio, esto es, ycorr = 1,OO + O,l(l,lO) = 1,ll. El valor corregidode y se transfiere a la segunda fila de la tabla como se indica.

El mismo proceso usado para obtener las entradas en la primera fila sepuede usar ahora para obtener las entradas en la segunda fila y en todas lasfilas siguientes hasta obtener el valor de y correspondiente a x = 1. Comomuestra la Tabla 9.2, este valor es 3,44, el cual sorprendentemente concuer-da exactamente con el verdadero valor. Esto parecería indicar que todos lospares restantes de valores (x, y) en la Tabla 9.2 son también correctos, y po-demos usar éstos para obtener un gráfico de la solución en el intervalo 01x 5 1. Si deseamos continuaríamos el cálculo para valores de x por encimade 1, pero por supuesto no hay seguridad de que se mantendrá la misma pre-cisión.

1.3 DIAGRAMAS DE COMPUTADOR

Es de interés presentar diagramas esquemáticos que muestren las eta-pas sucesivas en los cálculos para los métodos de pendiente constante y pen-diente promedio. Tales diagramas se llaman diagramas de computador o dia-gramas de flujo. La Figura 9.3 presenta el diagrama de computador para elmétodo de pendiente constante. El par inicial de valores (x, y) proporcionanuna entrada la cual se alimenta en la primera caja, la cual calcula la pendien-te en (x, y). Esta pendiente se alimenta dentro de otra caja que calcula elnuevo valor de y. La salida final consiste del nuevo par de valores (x,“~“”Y ““,“,). Esto proporciona una nueva entrada o retroalimentación, y el mismoproceso se repite una y otra vez hasta que se consiga el resultado final de-seado.

I r IEntrada (x, y)

--i

Pendiente

cy’= f(x, Y)

1 1

Retroalimentación

Figura 9 . 3 Diagrama de computador para método de pendiente constante.

Pendiente

Entrada (x, y) t

A

Retroalimentación

IPendiente

Salida (xnuevoI yO,, ) 4~v,a,o + hy’,y + promedio

I yáv

Figura 9 .4 Diagrama de computador para método de pendiente promedio.L


En una manera similar podemos construir un diagrama de computadorque muestre el método de pendiente promedio como en la Figura 9.4. La pri-mera fila en esta figura que conduce a (x,,,,, , ynuevo ), es por supuesto idénticacon la de la Figura 9.3. La modificación consiste en tres cajas adicionales,la primera proporciona el cómputo de la pendiente derecha a partir de (x,“~“~,Y ,IUBVO), la segunda obtiene la pendiente promedio a partir de las pendientesizquierda y derecha como se indica, y la tercera proporciona el valor corregi-do de y. El par de valores (x....., y,,,, ) es la salida, la cual sirve como unanueva entrada, y el proceso se repite una y otra vez como antes.

1 . 4 ANALISIS D E E R R O R E S

Cada vez que se desarrolla una fórmula para obtener resultados aproxi-mados, es natural buscar algún estimador del error que se puede cometer alusarla. El proceso de estimar tales errores con frecuencia se llama análisisde errores. Al tratar con estos errores, no nos preocuparemos de los erroresaleatorios, tales como errores de redondeo, e. g., redondeo de 2,84316 a 2,8432,el cual puede ser debido por ejemplo a limitaciones en la capacidad de alma-cenamiento de un computador. En vez estaremos interesados solamente enel error producido al usar la fórmula particular. Si una fórmula produce resul-tados más precisos que otra, ciertamente esperaríamos que esta precisión au-mentada apareciera en un análisis de errores. Ilustraremos esto con un análi-sis de errores de los métodos de pendiente constante y de pendiente promedio.

(a) Análisis de errores para el método de pendiente constante.De la página 422 vemos que una solución aproximada del problema de valorinicial J’ = f’(X, 2‘), y(u) = < (15)

para y(a + h) está dada por

y(a + Il) = c + l?f’(a. c) (16)

Sin embargo, usando la serie de Taylor, asumiendo condiciones apropiadasde diferenciabilidad sobre f(x, y), el verdadero valor de y(a + h) es

2

J,(U) + hL“(U) + g 2“‘(U) + . = c + hf(u. c) + ; y”(U) + . . (17)

Comparando (16) y (17), vemos que el error cometido en usar (16) en vez de(17) es

(1%

donde los valores y”(a), y”‘(a), se encuentran por diferenciación sucesiva dela ecuación diferencial en (15). Este error ocurre debido al hecho de que laserie se ha cortado después de los primeros dos términos en (17). Por esta ra-zón el error con frecuencia se llama un error de truncamiento (del Latinismotruncare, que significa cortar).

Para valores de h suficientemente pequeños, esperaríamos que el error(18) fuera muy próximo igual al primer término, esto es, ;hz y”(a) desprecian-do el resto de términos. Sin embargo, el estudiante puede con derecho sentir-se molesto al despreciarse un número infinito de términos sin ninguna justi-ficación apropiada. Afortunadamente, esto se puede justificar con el uso del

.

428 Capítulo nueve

teorema de Taylor con residuo, que el estudiante pudo haber estudiado encálculo. Este teorema dice que si y es al menos doblemente diferenciable ]of(x, y) es al menos una vez diferenciable] , entonces

y(a + k) = L’(a) + IlJ,‘(U) + ; f’(r), donde r está entre a y a + h (19)

Aquí el último término a la derecha representa el residuo de la serie despuésde los primeros dos términos, y (19) proporciona un decidido mejoramientosobre (17), lo cual requiere la existencia de todas las derivadas. Usando (19),el error se puede escribir

E = g y”(r), donde r está entre a y a + h (20)

Puesto que este error es proporcional a h2, o como a menudo decimos es deorden h2, abreviado por O(hZ ), vemos que reduciendo el tamaño de h po-demos reducir considerablemente el tamaño del error. Puesto que y”(r) puedeser positivo o negativo el error (20) puede también ser positivo o negativo. Sidenotamos por M una constante positiva tal que ly”(r) ( < M para r entre a y

a + h, entonces

IEl < E- (21)

representando el lado derecho una cota superior para el error.Puesto que el error está dado por (20), si tenemos y(a) y buscamos y(a + h),

la pregunta que naturalmente surge es jcuál sería el error acumulado si pro-cedemos en n pasos al cálculo de y(b), donde b = a + nh? Análisis adicional,el cual es algo tedioso y que no haremos aquí, muestra que el error máximoes n veces el dado en (al), tal vez con un valor diferente de M, el cual llama-remos K; esto es, para n pasos

o puesto que n = (b - a)/h,K(b - a)k

IJ$,l < T-

(22)

lo cual muestra que el error acumulado es de orden h.(b) Análisis de errores para el método de pendiente promedio.

De la página 425 vemos que una solución aproximada al problema de valorinicial (15) para y(a + h) es

y(a + k) = c + ; [f‘(u, c) + f(a + k, c + kf(a, c))] (24)

la cual se debe comparar con el verdadero valor (17) o (19). El error cometidoen este caso es

E=~(u+h)- c+~[f(u,C)+/(a+h,c+kf.(n,c))]1 1

(25)

Para ver cómo el lado derecho de (25) depende de h, usamos de nuevo la se-rie de Taylor. Usaremos la serie infinita en vez de la serie con residuo porsimplicidad en la notación. Tenemos como antes


4’(a + 17) = J,(U) + hy’(u) + Zf y”(U) + g y”‘(U) + . . . (26)

Para hallar una serie para el último término a la derecha de (25), usamos laserie de Taylor para el caso de dos variables, la cual es análoga para el casode una variable. Esta está dada por

f(u + h, c + k) = f(u, c) + hf;(u, c) + kf,(a, c)

+ & [J72Lx(~, c) + 2hkL,(a, c) + k2fY,(u, c,] + . (27)

donde fx(a, c) denota la derivada parcial de f (x, y) con respecto a x evalua-da en x = a, y = c, fxx(a, c) denota la segunda derivada parcial de f (x, y)con respecto a x evaluada en x = a, y = c, f,,(a, c) denota la derivada par-cial de f(x, y) con respecto a x y y evaluada en x = a, y = c, etc.

Tomando k = hf(a, c) en (27) encontramos

fb + k c + Mu, 4) = f(a, c) + hf,(u, c) + hf(u, c)f,(u, c)

+ ;y [hzf;xh c.1 + 2h2f(4 CM;,&, c) + h’f(u, c);“f,,(u, c)] + . . (28)

Sustituyendo (26) y (28) en (25) produce

E = iIY(4 - cl + W(4 - f(a, 41 + “21 [y”(U) - f,(u, c) - f,(a, c)f(u, c)]+ términos involucrando h3 y superiores (29)

Puesto que y(a) = c de la condición inicial en (15), mientras que y’(a) = f(a, c)de la ecuación diferencial en (15), los primeros dos términos en (29) son cero.Tomando la derivada de ambos lados de la ecuación diferencial en (l5), tene-mos usando la regla de la cadena del cálculo elemental

(30)

De esto tenemos al evaluar las derivadas en x = a, y = c

Y”(4 = f,b, cl + fJu, c)f(u, 4 (31)

de modo que el tercer término en (29) es también cero. El resultado muestraque E involucra sólo términos en h3 o superiores. Usando la serie de Taylorcon residuo como en el caso del método de pendiente constante, sigue que elerror es de orden ha, esto es, E = O(h3 ). Puesto que E = O(h2 ) para el mé-todo de pendiente constante, mientras que E = O(h3 ) para el método de pen-’diente promedio, podemos ver rápidamente por qué el segundo método es mu-cho más preciso.

Como una ilustración de cómo se pueden usar las ideas anteriores de ana-lisis de errores, consideremos el siguiente

4 3 0 Capítulo nueve


Dado el problema de valor inicial y’ = x+y, y(0) = 1. Estime el error co-metido al calcular y(O,l) usando el método de pendiente constante con h = O,l.

Sohción Puesto que y’=f(x,y)=x+y, tenemos y” =l+y’= l+x+y demodo que

y”(r) = 1 + r + y, d o n d e O<r<O,l

Es razonable suponer que y < 2. Así tenemos

Iy” < 1+ 0,l + 2 = 3,l

y de (20) o (21) vemos que

lEl <(O,lP (371)

2 ’esto es, 1 E 1 < 0,016 aprox.

Puesto que el método de pendiente constante da 0,lO (ver Tabla 9.1) mientrasque el verdadero valor es 0,ll el error efectivo es O,Ol, el cual está de acuerdocon el estimador anterior.

1.5 ALGUNAS GUIAS PRACTICAS PARA LA SGLUCION NUMERICA

Hay muchos métodos disponibles para la solución numérica de ecuacio-nes diferenciales como puede darse cuenta el estudiante al leer la literaturaen el tema.* Para la mayoría de los métodos un análisis de errores es dificil,como puede conjeturarse de la derivación en la página 428 para el caso rela-tivamente simple del método de pendiente constante. También, aún en el ca-so de que se disponga de un análisis de errores éste no proporciona un términode error simple, tal como el dado en (20), página 429, sino solo que su ordenes una función del tamaño del paso, como por ejemplo O(h4), O(h5), etc.Una complicación adicional es que la precisión conseguida está limitada porlas características particulares de la ecuación diferencial considerada. Así,por ejemplo, si se desea una solución cerca a una singularidad, aún el “mejormétodo” puede dar una pobre precisión. Debido a estas dificultades no hayuna panacea simple para la solución numérica (lo cual puede servir para in-dicar por qué hay tantos métodos disponibles). A pesar de esto hay algunasguías prácticas que un científico puede seguir.

1. Escoja un método particular que involucre un tamaño de paso h el cualparezca razonable en vista del tipo de la ecuación diferencial involucrada.Por ejemplo, si la ecuación diferencial involucra una singularidad tal comox = 1 en el problema de valor inicial donde buscamos y(O,9) por caso, se ne-cesitan tamaños de paso más pequeños cerca de x = 0,9 que cerca de x = 0.En tal caso podemos dividir el intervalo de x = 0 a x = 0,9 en intervalos o ta-maños de paso de longitud desigual.

dq’ Yz= 1 -x7 Y(O) = 12. Para chequear la precisión del valor numérico hallado en 1, repita el

método usando un tamaño de paso más pequeño, por ejemplo la mitad del ta-

*Ver por ejemplo [ 121


maño de paso usado anteriormente. Si este procedimiento sólo produce uncambio menor en las cifras significantes podemos estar seguros de aquellasque no cambian. Así, si el valor repetido es por ejemplo 5,2435, en vez de 5,2408,podemos al menos estar seguros de la precisión a tres cifras significantes da-das por 5,24. Si hay una discrepancia mayor, posiblemente tengamos que re-ducir aún más el tamaño de paso.

3. La reducción del tamaño de paso, resultante de un incremento en elnúmero de pasos, puede conducir a errores de redondeo acumulativos los cua-les afectan la precisión. Debido a esto, los cálculos se deben hacer con sufi-cientes cifras significantes. Desafortunadamente, no se pueden dar reglaspuesto que esto de nuevo depende de las clases de cálculos involucradas. Así,por ejemplo, aunque podamos tener x = 7,41563 y y = 7,41492 cada una conuna precisión a seis cifras significantes, la mayoría de estas se pierden al to-mar la diferencia x -y = 0,00071. Sin embargo, en la mayoría de los casos quesurgen en la práctica no ocurren tales pérdidas en cifras significantes. Enestos casos de “rutina” una regla razonable a seguir es usar al menos dos ci-fras más de las requeridas en la respuesta.

EJERCICIOS A

Use (a) el método de pendiente constante y (b) el método de pendiente promediopara determinar el valor indicado de y para cada uno de los siguientes problemas devalor inicial tomando el número indicado de subdivisiones n. Si es posible comparecon el valor exacto.

1. y’ = 2x +y; y(0) = 0. Halle y(O,5); use rz = 5.2. y’= xï -y; y(1) = 0. Halle y(1,6); use n = 6.

3. y’= (y + 1)/x; y(2) = 3. Halle y(2,8); use n = 4 y n = 8.

4. y’= (x -y)/(x +y); y(3) = 2. Halle y(l); use n = 5 y n = 10.5. y’ = x2 +yz ; y(1) = 2. Halle y(O,5); use n = 5 y n. = 10.

6. y’= my(5)=4. Halley(4); use n=5 y n=lO.7. y’=seny;y(O)=l. Halley(1); use n=5y rz=lO.

EJERCICIOS B

1. Dado y’=y; y(0) = 1, encuentre y(l) numéricamente. iCómo puede usted usar es-te resultado para calcular e?

2. Si y’= tan-Ix; y(0) = 1, encuentre y(l).

3. (a) Use el problema de valor inicial y’= - 2y, y(0) = 1 para calcular y(O,l) Pr elmétodc de pendiente constante con h = 0,l. (b) Estime el error del cálculo en (a)usando (20), página 429, y compare con el verdadero valor.

4. Dado el problema de valor inicial y ’ =-1

, + s2, Y(O) = 1. (a) Calculey(O.,2) por el mé-

todo de pendiente constante usando un valor apropiado para h. (b) Estime el error.en el cálculo v compare con el verdadero valor.

5. En el Ejercicio 3 calcule y(O,2) usando el método de pendiente constante con h =0,1. ¿Como estimaría usted el error cometido? ’

6. (a) La ecuación diferencial y’= (x +y)-2 se va a resolver numéricamente paray(2), dado y(0) = 0. iCuáles son los valores numéricos obtenidos escogiendo n =

432 Capítulo nueve ,

2, 5, lo? iCómo puede uno estar seguro de tener una solución con precisión en doscifras decimales? (b) Resuelva la ecuación diferencial de (a) exactamente usandola transformación x +y = v. Así encuentre y(2) exactamente y compare con (a).

7. Dado y’ = e-xy; y(0) = 1, encuentre y(l) usando una calculadora o un manual quetabule los varios valores de eu. Obtenga una precisión de al menos con dos ci-fras decimales.

8. Dado y’ =y(x +y); y(0) = 0,5, encuentre y(O,5), usando n = 5. Compare con la so-lución exacta. iQué precisión se obtiene usando n = 20?

9. Dado el problema de valor inicial *‘= &. y(0) = 1 encuentre y(O,9) y compareT

con el verdadero valor (ver página 431).10. Dado y’= l/(l+ ~2); y(0) = 0, encuentre y(l) numéricamente. iCómo puede

usar sus resultados para calcular K?

EJERCICIOS C

1. El método de esta sección se limitó a la solución numérica de una ecuación dife-rencial de primer orden. La ecuación diferencial de segundo orden y” = f(x, y, y’)sujeta a las condiciones y = c 1, y’ = cz donde n = a se puede escribir como dosecuaciones simultáneas de primer orden

y’ = ti. c’ = f<.Y. J‘, c)

sujeta a las condiciones y = cr, v = cz donde x = a. Puede usted idear un pro-cedimiento para encontrar y y y’ cuando x = a + h? Sí así fuera, use el método enla ecuación y ” = x +y sujeta a las condiciones y(0) =y’(O) = 0 para obtener y(l).Compare con la solución exacta.

2. Use el método ideado en el Ejercicio 1 y encuentre y(O,8) y y’(O,8) para la ecuacióndiferencial y” = Vx +y sujeta a las condiciones y(0) = 1, y’(0) = 0.

3. Suponga que en la ecuación de la integral (5), página 422 aproximamos.f(x, y) porsu valor en x = a + $h y y = c + ;hf(a, c) los cuales son los valores prornedios de xy y obtenidos por el método de pendiente constante. (a) Muestre que

J‘ = 1’ + 5 /la + ;/1. < + ;Ilf(rr, c) )

(b) Usando el análisis de”errores compare la precisión del resultado en (a) con elobtenido por los métodos de pendiente constante y de pendiente promedio. (c)Trabaje algunos de los Ejercicios A en la página 432 por este método y comparecon los resultados de otros métodos. (d) Construya a diagrama de computador pa-ra el método el cual algunas veces se llama el método de Runge.

2 El método de Runge-Kutta

Como ya hemos visto (página 422), si nos dan la ecuación diferencial

Cl)ll.\-

= fc-Y. .v), donde ~((1) = C’

entonces tomando n = 1 de modo que b = a + h, encontramos

\‘(II + 11) = C’ +.I’

,:‘*” f’(.Y. y)t/\- (1)

1Solución numérica de ecuaciones diferenciales 4 3 3

También de la expansión en serie de Taylor tenemos

Expresando las derivadas indicadas en (2) en términos de f(x, y), Runge yKutta fueron capaces de obtener varias fórmulas para aproximar la serie en(2). Una de tales fórmulas, la cual se encuentra que está en concordancia con(2) hasta e incluyendo el término que involucra h4 está dada por

!‘(U + Il) = (’ + 6(/71, + 2/?1, i ?lJ?, + JH,)

donde 111, = h,f’(tr, c), 1112 = I?,f’(U + $1, í’ + $Yll)

‘?J3 = hf’(u + $1, (’ + $/i72>. /?1,$ = hf (tr + h, (’ + JJIA)

La verificación de esta fórmula es tediosa pero no difícil (ver Ejercicio 2C).Otra fórmula está dada en el Ejercicio 1C. Para ver una aplicación del méto-do Runge-Kutta, como a menudo se llama, consideremos el siguiente


Dado y’= x +y, y(0) = 1, encuentre y(1).

Solución Tenemos en este caso f(x,y)= x+y, ~~0, c= 1. Si escogemos

h = 1, encontramos

112 1 = /l,f’(U, c) = f‘<o, 1) = 1) 1112 = h,flu + $1, (’ + +ll,) = /]i, 3) = 2

JJJ3 = /J,f(U + jh. I’ + +JJl,) = ,f’($, 2 ) = 3, JJ14 = hf’(U + h, <’ + /J73) = ,f’( 1, ‘;) = ;

y así ~(1) = 1 + ;( 1 + 4 + 5 + 4) = 3,42

El hecho que esto esté en tan buen acuerdo con el verdadero valor 3,44 auncuando se haya usado un tamaño de paso relativamente grande h = 1, sirvepara indicar la superioridad del método de Runge-Kutta sobre el método dependiente promedio (y ciertamente el método de pendiente constante), el cualrequirió más cálculos, como se vió en los Ejemplos ilustrativos 1 y 2 en las pá-ginas 424-427. El incremento en la precisión del ejemplo anterior se obtieneusando valores más pequeños de h y aplicando el método más de una vez. Así,por ejemplo, si escogemos h = 0,5 y aplicamos el método dos veces, llegamosal verdadero valor de 3,44.

EJERCICIOS A

Para cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales y condiciones, determi-ne el valor indicado de y usando el método de Runge-Kutta. Si es posible compare con!os valores obtenidos resolviendo la ecuación exactamente

1. Y’=~x+Y; y(O)= 1. Encuentre y(O,5). 2. y’=x’ -y; y(l)=O. Encuentre y(1,6)

3. Y’ = (Y + 1)/x; ~(2) = 3. Encuentre y(2,8) 4. y’ = x-y; y(1) = 2. Encuentre y(o,5)

5. Trabaje los Ejercicios 1-7A en la página 432 usando el método de Runge-Kutta ycompare la precisión obtenida.

4 3 4 Capítulo nueve*



1

SEGUNDA UNIDAD: FORMULACIÓN INTEGRAL Y DIFERENCIAL CAPÍTULO SEIS: ECUACIONES DIFERENCIALES

CON DERIVADAS PARCIALES.

LECCIÓN DIECISÉIS. Como en el estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias, el de las ecuaciones en derivadas parciales puede ser tema de un curso completo. Para la revisión del tema por parte del estudiante, en la carpeta del capítulo seis ud. encontrará la segunda parte del apéndice B del texto: TOSUN, Ismail. Modeling in transport phenomena: a conceptual approach. Amsterdam, 2002, Elsevier.

LECCIÓN DIECISIETE. Para una revisión de la solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales el estudiante podrá encontrar en la carpeta del capítulo cinco, dos partes del capítulo 12 del texto: RICE y DO. Applied Mathematics and Modeling for Chemical Engineers. New York, 1995. John Wiley and Sons.

LECCIÓN DIECIOCHO. La parte aplicativa de las ecuaciones diferenciales ordinarias (lección quince) y parciales, junto con casos donde se aplican otros temas del curso, los puede encontrar el estudiante en los artículos presentados como estudios de caso.

1. Aliev, M; Aliev, Z; Aliev, R y Bolshakov. A mathematical model for convective mass and heat transfer between flows of finely dispersed food media in adjacent channels with a permeable wall. En: Journal of Food Engineering. Vol. 65 (2004), p. 341–348.

2. Aversa; Curcio; Calabro y Iorio. An analysis of the transport phenomena occurring during food drying

process. En: Journal of Food Engineering. Vol. 78 (2007), p. 922–932

3. De Bonis y Ruocco. Modelling local heat and mass transfer in food slabs due to air jet impingement. En: Journal of Food Engineering. Vol. 78 (2007), p. 230–237.

4. Dilay; Vargas; Amico y Ordonez. Modeling, simulation and optimization of a beer pasteurization

tunnel. En: Journal of Food Engineering. Vol. 77 (2006), p. 500–513.

5. Di Matteo; Dons y Ferrari. The role of heat and mass transfer phenomena in atmospheric freeze-drying of foods in a fluidised bed. En: Journal of Food Engineering. Vol. 59 (2003), p. 267–275.

6. Migliori; Gabriele; de Cindio y Pollini. Modelling of high quality pasta drying: mathematical model and

validation. En: Journal of Food Engineering: Vol. 69 (2005). p. 387–397.

7. Migliori; Gabriele; de Cindio y Pollini. Modelling of high quality pasta drying: quality indices and industrial application. En: Journal of Food Engineering. Vol. 71 (2005), p. 242–251.



2

8. Schittkowski. Data fitting in partial diferential algebraic equations: some academic and industrial applications. En: Journal of Computational and Applied Mathematics. Vol. 163 (2004), p. 29–57.

9. Straatsma; Van Houwelingen; Steenbergen y De Jong. Spray drying of food products: 1. Simulation

model. En: Journal of Food Engineering. Vol. 42 (1999), p. 67-72.

10. Verboven; Flick; Nicolaı y Alvarez. Modelling transport phenomena in refrigerated food bulks, packages and stacks: basics and advances. En: International Journal of Refrigeration. Vol. 29, (2006) p. 985-997

11. Welti-Chanes; Vergara-Balderas; Bermudez-Aguirre. Transport phenomena in food engineering: basic

concepts and advances. En: Journal of Food Engineering. Vol. 67 (2005), p. 113–128.

Administrador

Rectangle

métodos matemáticos

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