metodos matem¶ aticos¶ avanzados para ciencias e …metodos.fam.cie.uva.es/~latex/caplibro.pdf ·...

1

METODOS MATEMATICOS

AVANZADOS PARA

CIENCIAS E INGENIERIAS

Manuel Gadella

Luis Miguel Nieto

Departamento de Fısica Teorica

UNIVERSIDAD DE VALLADOLID

Capıtulo 1

LA FUNCION GAMMA YOTRAS FUNCIONESRELACIONADAS

1.1. Introduccion

Al haberse planteado la elaboracion de este libro como un manual deMetodos Matematicos avanzados con aplicaciones en disciplinas cientıficasy tecnicas, suponemos que el lector posee ya unos solidos conocimientosde algebra y calculo en una y varias variables, y en particular, que yaha tenido ocasion de estudiar tanto las series numericas como las series depotencias, y en concreto los desarrollos en serie de Taylor1. Es probable quetambien se haya familiarizado con las funciones de una variable compleja,en particular con las funciones analıticas (es decir desarrollables en serie deTaylor) y con las funciones enteras (aquellas que son analıticas en todo elplano complejo).

En este primer tema vamos a proseguir de manera natural estas lıneasde trabajo abordando en primer lugar el analisis de la teorıa de los produc-tos infinitos. Este estudio nos servira de punto de partida para introducir enla seccion tercera una de las funciones especiales mas utilizadas, la funciongamma Γ(z), cuyas propiedades fundamentales consideraremos en detalle(la funcion gamma puede introducirse de varias maneras; nosotros optamos

1Brook Taylor (1685–1731), matematico ingles.

3

4 CAPITULO 1. LA FUNCION GAMMA

por la aquı indicada por ser la mas completa). La funcion gamma surge demanera natural al intentar extender las propiedades de los factoriales a va-lores no naturales. Sus interesantes propiedades le hacen ser la herramientaadecuada para describir muchas de las funciones especiales que iran apa-reciendo a lo largo del temario que vamos a desarrollar. Otras funcionesrelacionadas con la funcion gamma se introducen en la seccion cuarta. De-dicamos la seccion quinta a definir la funcion zeta de Riemann2, ζ(z). En laseccion sexta se definen las integrales elıpticas que, aunque no guardan unarelacion directa con la funcion gamma, deberıan resultar familiares paratodo cientıfico o ingeniero, ya que aparecen en la resolucion de destaca-dos problemas tanto de matematica pura como aplicada. Para finalizar, seefectua una breve introduccion a la teorıa de las series asintoticas; sin en-trar en los detalles matematicos delicados de la teorıa, se pretende al menosmotivar un resultado de tanta utilidad como es la formula de Stirling3 (queno es otra cosa que el desarrollo asintotico para la funcion gamma).

1.2. Productos infinitos. Teorema de Weierstrass

De manera analoga a como se desarrolla la teorıa de series, se pue-de construir una teorıa de productos infinitos. Una primera aproximacionintuitiva se obtiene al considerar un polinomio cualquiera de grado n:

pn(z) = anzn + · · ·+ a1z + a0 = an

[zn +

an−1

anzn−1 + · · ·+ a1

anz +

a0

an

].

(1.2.1)Suponemos que an 6= 0 y, para mayor generalidad, la variable z se tomacompleja. Si denominamos α1, α2, . . . , αn a las raıces de este polinomio(puede haber alguna repetida; se denomina multiplicidad de una raız alnumero de veces que aparece repetida), podremos factorizarle en la forma

2Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826–66), fue uno de los matematicos mas bri-llantes del siglo XIX, realizando importantısimas contribuciones en campos como teorıade numeros, funciones de variable compleja, series de Fourier o geometrıa (de hechosus innovadoras ideas sobre los fundamentos de la geometrıa fueron el punto de partidaque permitio desarrollar el aparato matematico necesario para formular la teorıa de larelatividad general).

3James Stirling (1692–1770), matematico escoces.

1.2. PRODUCTOS INFINITOS. TEOREMA DE WEIERSTRASS 5

siguiente:

pn(z) = an(z − α1)(z − α2) · · · (z − αn) = an

n∏

k=1

(z − αk). (1.2.2)

Parece natural intentar generalizar la expresion precedente cuando en lugarde un polinomio tenemos una serie de potencias (es decir, cuando pasamosal lımite n → ∞). En este caso, en lugar de un numero finito de factorestendremos un numero infinito de ellos. Hemos de precisar ahora las sencillasideas que acabamos de exponer. Para ello comencemos estableciendo unadefinicion rigurosa de que es lo que se entiende por un producto infinito.

Sea {a1, a2, a3, . . .} una sucesion de numeros complejos, ninguno de loscuales es igual a −1, es decir ak 6= −1, ∀k ∈ N. Consideremos el productode n terminos de la forma

Pn =n∏

k=1

(1 + ak) = (1 + a1)(1 + a2) · · · (1 + an). (1.2.3)

Escribimos el termino general de este producto finito como (1+ak) porque,como luego veremos, si el producto converge, el termino general debe tendera 1.

Definicion 1: diremos que el producto Pn anteriormente definido es con-vergente cuando n →∞ si la sucesion Pn posee un lımite finito distinto decero (este lımite no nulo sera precisamente el valor del producto infinito).Lo indicaremos ası:

lımn→∞Pn = lım

n→∞

n∏

k=1

(1 + ak) ≡∞∏

k=1

(1 + ak). (1.2.4)

Cuando alguno de los ak sea igual a −1, el producto vale 0. Si sucede esto, osi el lımite (1.2.4) vale cero, diremos que el producto diverge a cero. Comodato anecdotico, la convergencia del producto en el que ak = −(k + 1)−2

fue investigada por Wallis4 en 1655.

Consideremos a continuacion unos ejemplos de productos numericos(mas adelante consideraremos tambien productos en los que intervienenfunciones).

4John Wallis (1616–1703), matematico ingles.


Ejemplo 1: analicemos la convergencia del producto infinito

p =∞∏

k=2

(1− 1

k

)=

∞∏

k=2

(k − 1

k

)=

12

23

34· · ·

Consideremos el producto hasta k = n y pasemos luego al lımite:

p = lımn→∞

n∏

k=2

(k − 1

k

)= lım

n→∞12

23

34· · · n− 2

n− 1n− 1

n= lım

n→∞1n

= 0.

Hemos dicho que el producto es convergente si la sucesion del producto den terminos tiende a un lımite finito distinto de cero. Como aquı el lımite escero, entonces el producto analizado diverge a cero5.

Ejemplo 2: consideremos a continuacion otro caso que resolveremos demanera completamente analoga al anterior:

p =∞∏

k=2

(1− 1

k2

)=

∞∏

k=2

(k2 − 1

k2

)= lım

n→∞

n∏

k=2

(k − 1

k

k + 1k

)

= lımn→∞

(12

32

)(23

43

)(34

54

)· · ·

(n− 2n− 1

n

n− 1

)(n− 1

n

n + 1n

)

= lımn→∞

12

n + 1n

=12.

Mediante unos sencillos calculos (tanto que no es necesario explicarlos endetalle) hemos demostrado que este producto infinito converge a 1/2.

Ejemplo 3: un ultimo ejemplo, que requiere un poco mas de cuidado alsimplificar antes de efectuar el paso al lımite, es el siguiente:

p =∞∏

k=2

(1− 2

k(k + 1)

)=

∞∏

k=2

k2 + k − 2k(k + 1)

=∞∏

k=2

(k − 1

k

k + 2k + 1

)

= lımn→∞

(12

43

)(23

54

)(34

65

)· · ·

(n− 2n− 1

n + 1n

)(n− 1

n

n + 2n + 1

)

= lımn→∞

13

n + 2n

=13.

5El lector puede haber observado que en este ejemplo el ındice k del producto comienzaen 2 y no en 1. Un momento de reflexion le hara darse cuenta de que este hecho no presentaninguna relevancia, ya que con un sencillo cambio de ındices podrıa llevarse a la formaestandar (1.2.4).


Enunciamos ahora un resultado en el que, a la vez que se introducen algunosconceptos nuevos, se resumen las principales propiedades de convergenciade los productos infinitos6.

Teorema 1: dado un producto infinito en la forma anteriormente conside-rada (1.2.4), se verifica lo siguiente:

i) Si∞∏

k=1

(1 + ak) converge, entonces lımk→∞

ak = 0.

ii) Supongamos que |ak| < 1, ∀k ∈ N, entonces el producto∞∏

k=1

(1 + ak)

converge si y solo si la serie∞∑

k=1

log(1 + ak) converge (se considera la

rama principal del logaritmo. Observese que |ak| < 1 garantiza quelog(1 + ak) esta bien definido).

iii) Diremos que el producto∞∏

k=1

(1+ak) converge absolutamente si el pro-

ducto∞∏

k=1

(1 + |ak|) converge. El producto convergera absolutamente

si y solo si la serie∞∑

k=1

ak tambien converge absolutamente, es decir,

si∞∑

k=1

|ak| converge.

iv) Si un producto infinito converge absolutamente, entonces tambienconverge en el sentido ordinario.

Ejercicio: como aplicacion de lo que acabamos de comentar, puede estu-diarse la convergencia de los dos productos siguientes:

∞∏

k=1

e(−1)k/k,∞∏

k=1

e1/k.

6No vamos a probar aquı los teoremas 1, 2 y 3 que siguen, pues estas demostracionesprecisan de unos conocimientos de analisis complejo que no suponemos en el lector de estelibro. Ademas su presentacion no aporta nada esencial. Remitimos al lector interesadoal tema septimo del libro de Marsden mencionado en la bibliografıa recomendada, queaparece al final de este capıtulo.


Al igual que sucede con las series absolutamente convergentes, hay cier-tas operaciones que es lıcito efectuar para los productos absolutamenteconvergentes, pero no para aquellos que no lo son. En particular, para losprimeros se puede cambiar el orden de los factores, ya que el resultado no sealtera (esto no es cierto para los que no son absolutamente convergentes).

Hasta ahora hemos considerado unicamente productos numericos. Acontinuacion vamos a introducir los productos infinitos de funciones.

Definicion 2: sean {fk(z)}k∈N funciones definidas en un conjunto B ⊂ C,donde C es el cuerpo complejo. Diremos que el producto infinito

∞∏

k=1

(1 + fk(z)) (1.2.5)

converge uniformemente en B si y solo si sucede lo siguiente:

i) existe un m ∈ N tal que fk(z) 6= −1, para k ≥ m y ∀z ∈ B;

ii) la sucesion Pn(z) =n∏

k=m

(1 + fk(z)) converge uniformemente a la fun-

cion P (z) en B;

iii) P (z) 6= 0, ∀z ∈ B.

Observese que el producto converge a

T (z) = P (z)m−1∏

k=1

(1 + fk(z)) .

Un resultado que puede ser de utilidad es el siguiente:

Teorema 2: si {fk(z)}k∈N son funciones analıticas en un abierto A ⊂ C

y la sucesion de funciones Pn(z) =n∏

k=1

(1 + fk(z)) converge uniformemente

a P (z) en todo disco cerrado contenido en A, entonces la funcion P (z) esanalıtica en A.

Para terminar esta seccion, vamos a enunciar un teorema debido aWeierstrass7 que es muy importante en las aplicaciones. Aunque pueden

7Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815–97), matematico aleman que construyo lateorıa de los numeros reales y trabajo en teorıa de funciones, influyendo de forma desta-cada en el uso de metodos rigurosos y no intuitivos en matematicas.


encontarse diferentes versiones del teorema, daremos aquı una version sim-plificada que es suficiente para lo que mas tarde precisaremos: la definicionde la funcion gamma.

Teorema 3 (de Weierstrass): sea {a1, a2, a3, . . .} una sucesion (puedeser tambien un conjunto finito) de numeros complejos distintos de cero ytales que

∞∑

k=1

1|ak|2 < ∞.

Si g(z) es una funcion entera (es decir, analıtica en todo el plano complejo)y ` un numero natural, la funcion f(z) definida como

f(z) = eg(z) z`∞∏

k=1

(1− z

ak

)ez/ak (1.2.6)

es entera. El producto converge uniformemente en discos cerrados, tieneceros en a1, a2, a3, . . . y tiene un cero de orden ` en z = 0, pero no poseeningun otro cero. Recıprocamente, cualquier funcion entera f(z) con laspropiedades citadas puede ser escrita en la forma (1.2.6).

Los numeros {ak} pueden aparecer repetidos un numero finito de vecespara dar cuenta de la existencia de ceros multiples. ¿Que sucede si f(z) esentera y no tiene ningun cero? El teorema de Weierstrass nos dice que eneste caso f(z) = exp(g(z)), siendo g(z) una funcion entera.

Para finalizar este apartado creemos conveniente indicar un resultadoimportante, como es la expresion de la funcion seno como producto infinito:

sen πz = πz

∞∏k=−∞

k 6=0

(1− z

k

)ez/k. (1.2.7)

Para demostrar esta igualdad se utiliza el teorema de Weierstrass que acabamos de enun-ciar. Como la funcion sen πz es entera y tiene ceros simples en {n ∈ Z}, siendo ciertoademas que

∞∑n=−∞

n 6=0

1

n2< ∞,

el teorema nos asegura que existe una funcion entera g(z), que habra que determinar, talque

sen πz = πz eg(z)∞∏

n=−∞n 6=0

(1− z/n) ez/n


= πz eg(z) (1− z)ez(1 + z)e−z(1− z/2)ez/2(1 + z/2)e−z/2 · · ·

= πz eg(z) (1− z2)(1− (z/2)2) · · · = πz eg(z)∞∏

n=1

(1− (z/n)2).

Observese que hemos podido reordenar los productos por existir convergencia uniforme.Consideremos ahora los productos parciales

PN (z) = πz eg(z)N∏

n=1

(1− (z/n)2) → sen πz.

De aquı se sigue que

P ′N (z)

PN (z)=

d

dzlog PN (z) =

d

dz

{log z + g(z) +

N∑n=1

log(1− (z/n)2)

}

=1

z+ g′(z) +

N∑n=1

2z

z2 − n2.

Como hay convergencia uniforme, podemos derivar termino a termino y tendremos

P ′N (z) → π cos πz,P ′N (z)

PN (z)→ π cot πz, z 6= n ∈ Z.

Tomando el lımite en la expresion anteriormente obtenida para la derivada logarıtmica dePN (z) y usando el siguiente resultado que se demuestra en los cursos de variable compleja

cot z =1

z+

∞∑n=1

2z

z2 − (nπ)2, z 6= nπ,

tenemos:

π cot πz = lımN→∞

P ′N (z)

PN (z)=

1

z+ g′(z) +

∞∑n=1

2z

z2 − n2= g′(z) + π cot πz.

Por tanto g′(z) = 0, es decir g(z) = C. Para determinar el valor de esta constantecalculamos el lımite z → 0 de

lımz→0

sen πz

πz= lım

z→0eC

∞∏n=1

(1− (z/n)2) = eC .

Pero es bien sabido que este lımite vale 1, de manera que finalmente obtenemos

sen πz = πz

∞∏n=1

(1− (z/n)2),

y por anadidura tambien demostramos (1.2.7).

1.3. LA FUNCION GAMMA Γ(Z) 11

1.3. La funcion gamma Γ(z)

Pasamos a estudiar ahora la funcion gamma. Historicamente la funcionΓ(z) fue definida en primer lugar por Euler como el lımite de un ciertoproducto, del cual derivo una expresion integral. Pero para poder desa-rrollar adecuadamente la teorıa, es mas adecuado definir esta funcion enterminos de un producto infinito del tipo que ha aparecido en el teorema deWeierstrass. Otras contribuciones importantes en este campo son debidas aGauss8 y a Legendre (quien introdujo la notacion actual, Γ(z), en 1814). Esinteresante destacar el hecho de que ha sido demostrado que esta funcion nosatisface ninguna ecuacion diferencial con coeficientes racionales; la mayorparte de las funciones especiales que van a aparecer en capıtulos posterioressı verifican esta propiedad.

1.3.1. Definicion

Para introducir la funcion gamma vamos a utilizar la funcion auxiliarG(z), definida como sigue:

G(z) =∞∏

k=1

(1 +

z

k

)e−z/k =

−∞∏

k=−1

(1− z

k

)ez/k. (1.3.1)

Por el teorema de Weierstrass, esta funcion es entera y presenta ceros sim-ples en los numeros enteros negativos.

Consideremos el producto z G(z) G(−z), utilizando el resultado (1.2.7)tenemos lo siguiente:

z G(z) G(−z) = z

[ ∞∏

k=1

(1 +

z

k

)e−z/k

][ −∞∏

k=−1

(1 +

z

k

)e−z/k

](1.3.2)

= z∞∏

k=−∞k 6=0

(1 +

z

k

)e−z/k = z

∞∏m=−∞

m6=0

(1− z

m

)ez/m =

senπz

π.

8Johann Carl Friedrich Gauss (1777–1855), matematico y fısico aleman, llamado ensu tiempo “el prıncipe de las matematicas”. Trabajo en gran variedad de temas, tantopuramente matematicos como fısicos: fue uno de los creadores de la geometrıa no eu-clıdea, demostro el teorema fundamental del algebra, desarrollo la teorıa de superficies,trabajo en astronomıa, en optica y en magnetismo, y tambien perfecciono la telegrafıa.


Definamos ahora la funcion H(z) = G(z − 1); tendra ceros simples en0,−1,−2, . . . En virtud del teorema de Weierstrass podemos escribir

H(z) = eg(z) z∞∏

k=1

(1 +

z

k

)e−z/k = eg(z) z G(z),

donde g(z) es una funcion entera sin determinar por el momento. Vamos aver que se trata de una constante. En efecto, sabemos que el producto quedefine H(z) converge uniformemente en discos cerrados, por tanto, segunel teorema 1, podemos tomar logaritmos en esa expresion, conservandola convergencia uniforme, lo cual nos permite a su vez derivar termino atermino la expresion resultante:

log H(z) = g(z) + log z +∞∑

k=1

[log

(1 +

z

k

)− z

k

], (1.3.3)

d log H(z)dz

= g′(z) +1z

+∞∑

k=1

[1

k + z− 1

k

]. (1.3.4)

Por otro lado, dado que H(z) = G(z − 1), tenemos

d log H(z)dz

=d log G(z − 1)

dz=

d

dz

∞∑

k=1

[log

(1 +

z − 1k

)− z − 1

k

]

=∞∑

k=1

[1

k + z − 1− 1

k

]=

1z− 1 +

∞∑

k=2

[1

k + z − 1− 1

k

]

=1z− 1 +

∞∑

m=1

[1

m + z− 1

m + 1

]

=1z− 1 +

∞∑

m=1

[1

m + z− 1

m+

1m− 1

m + 1

]

=1z− 1 +

∞∑

m=1

[1

m + z− 1

m

]+

∞∑

m=1

[1m− 1

m + 1

]

=1z

+∞∑

m=1

[1

m + z− 1

m

].


De la comparacion entre la ultima igualdad y la ecuacion (1.3.4) se tie-ne g′(z) = 0, de modo que g(z) es una constante llamada la constante deEuler9-Mascheroni10 que denotaremos por γ. A continuacion vamos a en-contrar su expresion explıcita y su valor numerico. De lo que acabamos deevaluar se sigue que

G(z − 1) = H(z) = z eγ G(z). (1.3.5)

Tomando z = 1, se tiene que G(0) = eγ G(1). Pero de la definicion de G(z)en (1.3.1) se deduce que

G(0) = 1 y G(1) =∞∏

k=1

(1 +

1k

)e−1/k,

por tanto, como G(0) = eγ G(1),

e−γ =∞∏

k=1

(1 +

1k

)e−1/k.

Consideremos el producto de n terminos

Pn =n∏

k=1

(1 +

1k

)e−1/k =

n∏

k=1

k + 1k

e−1/k

=21

32· · · n

n− 1n + 1

nexp

{−1− 1

2− 1

3− · · · − 1

n

}

= n e−(1+ 12+···+ 1

n) + e−(1+ 1

2+···+ 1

n).

Por tanto, tomando el lımite tenemos11:

e−γ = lımn→∞Pn = lım

n→∞

(n e−(1+ 1

2+···+ 1

n))

+ lımn→∞

(e−(1+ 1

2+···+ 1

n))

= lımn→∞ exp

{ln n−

(1 +

12

+ · · ·+ 1n

)}

= exp{

lımn→∞

[lnn−

(1 +

12

+ · · ·+ 1n

)]},

9Leonhard Euler (1707–83), eminente matematico suizo que desarrollo gran parte desu labor cientıfica en Berlın y en San Petersburgo, en la corte de Catalina la Grande, yque fue una figura clave de las matematicas y de la fısica teorica en el siglo XVIII, siendoel autor mas prolıfico en matematicas de todos los tiempos.

10Lorenzo Mascheroni (1750–1800), matematico italiano.11Para indicar el logaritmo natural usamos ln cuando el argumento es un numero real

positivo y log en caso contrario


ya que el ultimo lımite en la primera lınea es cero, pues la serie armonica∞∑

n=1

1n

es divergente. Ası pues, la constante de Euler-Mascheroni es el valor

del lımite

γ = lımn→∞

[1 +

12

+ · · ·+ 1n− lnn

]= 0,5772 . . . (1.3.6)

Llegados a este punto estamos en condiciones de dar la definicion dela funcion gamma, siguiendo a Weierstrass, como la inversa de la funcionz eγ z G(z):

Definicion 3: se define la funcion gamma como el producto infinito

Γ(z) =

[z eγ z

∞∏

k=1

(1 +

z

k

)e−z/k

]−1

. (1.3.7)

1.3.2. Propiedades

De la definicion que acabamos de ofrecer se siguen una serie de propie-dades que pasamos a analizar:

1. Propiedades de analiticidad de la funcion gamma. De (1.3.7) se deduceque se trata de una funcion analıtica en todo el plano complejo salvoen z ∈ {0,−1,−2, . . .}, puntos en los que presenta polos simples: espor tanto una funcion meromorfa (analıtica salvo en algunos puntosen los que posee polos).

2. Resulta sumamente ilustrativo tener una imagen de como se com-porta la funcion gamma. Ofrecemos dos graficas. En la Figura 1.1 serepresenta el valor absoluto de la funcion gamma, |Γ(z)|, cuando ztoma valores en una region del plano complejo. La Figura 1.2 nos dauna informacion cualitativa muy util respecto del comportamiento dela funcion gamma; en ella se representan las funciones Γ(x), en trazocontınuo, y 1/Γ(x), en trazo discontınuo, para x ∈ R.

3. La ecuacion funcional. Como se verifica G(z−1) = z eγ G(z) = H(z),entonces

Γ(z + 1) = [(z + 1) eγ(z+1) G(z + 1)]−1 = [eγz(z + 1)eγ G(z + 1)]−1


= [eγz G(z)]−1 =[1z

z eγz G(z)]−1

= z Γ(z).

Es decir, tenemos la siguiente relacion fundamental:

Γ(z + 1) = z Γ(z), z 6= 0,−1,−2, . . . (1.3.8)

4. Relacion de la funcion Γ(z) con los factoriales. Observemos que [Γ(1)]−1 =eγG(1) = G(0) = 1. Procediendo ahora por induccion, a partir de(1.3.8), dado n ∈ N se verifica

Γ(n + 1) = n Γ(n) = n Γ(n− 1 + 1) = n(n− 1) Γ(n− 1) = · · ·= n(n− 1) · · · 1Γ(1) = n!,

es decirΓ(n + 1) = n!, n ∈ {0, 1, 2, 3 . . .}. (1.3.9)

Nota. A veces es conveniente utilizar la notacion de los semifactoria-les, definidos de la siguiente manera:

(2n)!! := 2n(2n− 2)(2n− 4)(2n− 6) · · · 4 · 2;

(2n + 1)!! := (2n + 1)(2n− 1)(2n− 3) · · · 3 · 1.

Con esto (2n)! = (2n)!! (2n− 1)!! y (2n + 1)! = (2n + 1)!! (2n)!!.

5. Para obtener otra importante propiedad, recordemos los resultadosobtenidos en (1.3.2) y (1.3.5). Operando se llega a

sen πz

π= z G(z) eγ z e−γ z G(1− z − 1)

= z G(z) eγ z e−γ z (1− z) eγ G(1− z)

= [z eγ z G(z)][(1− z) eγ(1−z) G(1− z)] =1

Γ(z)1

Γ(1− z).

Por lo tantoΓ(z) Γ(1− z) =

π

senπz. (1.3.10)

De aquı se deduce que Γ(z) 6= 0, ∀z ∈ C.

6. De la definicion (1.3.7), y tomando complejos conjugados, es trivialla siguiente igualdad

Γ(z) = Γ(z). (1.3.11)

Otras propiedades de la funcion gamma se proponen como ejercicios al finaldel capıtulo.


1.3.3. Formulas de Euler

Para finalizar esta seccion dedicada a la funcion gamma, daremos dosformulas debidas a Euler, que historicamente fueron anteriores a la expre-sion como producto infinito que nos ha servido para para definirla.

A.– Formulas de Euler para la funcion gamma

Vamos a demostrar, en primer lugar, el siguiente par de igualdades:

Γ(z) = lımn→∞

n! nz

z(z + 1) · · · (z + n)=

1z

∞∏

n=1

[(1 +

1n

)z (1 +

z

n

)−1]

.

(1.3.12)Partiendo de la definicion de la funcion gamma (1.3.7)

1Γ(z)

= z eγ z G(z) = z lımn→∞ e(1+ 1

2+···+ 1

n−ln n)z lım

n→∞

n∏

k=1

(1 +

z

k

)e−z/k

= z lımn→∞

[e(1+ 1

2+···+ 1

n−ln n)z

n∏

k=1

(1 +

z

k

)e−z/k

]

= z lımn→∞n−z

n∏

k=1

(1 +

z

k

)(1.3.13)

= z lımn→∞

(21

32

43· · · n

n− 1

)−z n∏

k=1

(1 +

z

k

)

= z lımn→∞

[n−1∏

k=1

(k + 1

k

)−z n∏

k=1

(1 +

z

k

)]

= z lımn→∞

[(n + 1

n

)z n∏

k=1

(1 +

1k

)−z(1 +

z

k

)]

= z∞∏

k=1

(1 +

1k

)−z (1 +

z

k

).

El paso de la primera a la segunda lınea es obvio, pues todos los lımitesexisten y el producto de los lımites es el lımite del producto. Con esto


queda probada la segunda igualdad de (1.3.12). Para demostrar la primera,partimos de la ecuacion (1.3.13):

1Γ(z)

= z lımn→∞n−z

n∏

k=1

(1 +

z

k

)= lım

n→∞z

nz

n∏

k=1

(k + z

k

)(1.3.14)

= lımn→∞

z(z + 1)(z + 2) · · · (z + n)n! nz

,

que es lo que pretendıamos demostrar.

B.– Representacion integral de la funcion gamma

Sea z ∈ C tal que su parte real es positiva, Re z > 0. Vamos a mostrarla “verosimilitud”de la formula

Γ(z) =∫ ∞

0tz−1 e−t dt, Re z > 0. (1.3.15)

En algunos libros se parte de esta formula integral para definir la funciongamma. Se trata, sin embargo, de una definicion incompleta, pues soloes valida en el semiplano Re z > 0. Con la definicion de la funcion gammacomo producto infinito, que nosotros hemos tomado como punto de partida,Γ(z) ya esta definida en C. El hecho de que una funcion admita diferentesdefiniciones es comun a la mayorıa de las funciones especiales que van a irapareciendo en capıtulos posteriores.

Para probar (1.3.15) partimos de la formula de Euler que acabamos dedemostrar. Sea

Fn(z) =n! nz

z(z + 1)(z + 2) · · · (z + n), lım

n→∞Fn(z) = Γ(z).

Consideremos la siguiente integral, en la que hacemos primero el cambiode variable t = ns y luego integramos reiteradamente por partes (tomandou = (1− s)n y dv = sz−1 ds):

∫ n

0

(1− t

n

)n

tz−1 dt = nz

∫ 1

0(1− s)n sz−1 ds

= nz

{(1− s)n sz

z

∣∣∣∣1

0

+n

z

∫ 1

0(1− s)n−1sz ds

}


= nz n

z

∫ 1

0(1− s)n−1sz ds

= nz n

z

{(1− s)n−1 sz+1

z + 1

∣∣∣∣1

0

+n− 1z + 1

∫ 1

0(1− s)n−2sz+1 ds

}= · · ·

= nz n

z

n− 1z + 1

n− 2z + 2

· · · 1z + n− 1

∫ 1

0sz+n−1 ds

= nz n!z(z + 1)(z + 2) · · · (z + n)

= Fn(z).

De esta manera, pasando al lımite, resulta que

Γ(z) = lımn→∞Fn(z) = lım

n→∞

∫ n

0

(1− t

n

)n

tz−1 dt. (1.3.16)

Supongamos que pudieramos introducir el lımite dentro de la integral, esdecir que pudieramos operar de manera formal, como se hace a menudo.Entonces tendrıamos que:

Γ(z) =∫ ∞

0lım

n→∞

{(1− t

n

)n

tz−1

}dt =

∫ ∞

0e−t tz−1 dt. (1.3.17)

Aunque no es lıcito proceder como hemos hecho en el ultimo paso, uncalculo riguroso permite llegar exactamente al mismo resultado, ya que esposible justificar estos pasos. En efecto, consideremos, en primer lugar, lasiguiente funcion:

δA(x) =

{1 si x ∈ A,

0 si x /∈ A,(1.3.18)

llamada la funcion caracterıstica del conjunto A. Notemos que, por la de-finicion de funcion caracterıstica, esta es nula fuera del conjunto al querepresenta. Por lo tanto

∫ n

0

(1− t

n

)n

tz−1 dt =∫ ∞

0

(1− t

n

)n

δ[0,n](t) tz−1 dt. (1.3.19)

Consideremos ahora la integral en el termino a la derecha de (1.3.17):∫ ∞

0e−t tz−1 dt. (1.3.20)


Si pretendemos demostrar que la funcion Γ(z) es igual a esta integral, debe-mos de demostrar que converge, al menos en aquellos puntos en los que lafuncion gamma esta bien definida. Para ver que es ası, utilicemos el siguien-te resultado que aparece al estudiar la integral de Riemann: si una funcioncontinua esta acotada en modulo por una funcion integrable, entonces esintegrable12.

En nuestro caso, e−t tz−1 es una funcion continua en t para cada valorcomplejo de z. Su modulo es |e−t tz−1| = e−t tRe(z)−1. Esta ultima funcionconverge a cero cuando t →∞ mas rapidamente que t−1, debido al terminoexponencial. Por lo tanto, la siguiente integral es convergente

∫ ∞

1e−t tRe(z)−1 dt. (1.3.21)

Por otro lado, sea p = Re(z)−1. Si p > −1 (o lo que es lo mismo, Re z > 0),la siguiente integral converge

∫ 1

0e−t tRe(z)−1 dt ≤

∫ 1

0tRe(z)−1 dt =

∫ 1

0tp dt =

1p + 1

tp+1

∣∣∣∣1

0

. (1.3.22)

Por tanto deducimos que la integral en (1.3.20) converge cuando Re z > 0.

Una vez que hemos encontrado cuando la integral es convergente, hemosde probar que en este caso coincide con Γ(z). Para ello, vamos a usar elllamado teorema de la convergencia mayorada de Lebesgue13, quede una manera adecuada al nivel de este libro, lo podrıamos enunciar ası:

Teorema 4: sea {fn(t)} una sucesion de funciones continuas o continuas atrozos e integrables en R, convergiendo puntualmente14 hacia una funcioncontinua o continua a trozos15 f(t). Supongamos ademas que existe unafuncion, F (t), de R a C, tal que:

i) F (t) ≥ 0, ∀t ∈ R.

12Diremos que f(x), definida en un cierto conjunto A ⊂ R, esta acotada en modulopor F (x) en A, si F (x) ≥ 0, ∀x ∈ A, y ademas |f(x)| ≤ F (x), ∀x ∈ A.

13Henri Leon Lebesgue (1875–1941), matematico frances que en 1901 formulo la teorıade la medida definiendo despues la integral que lleva su nombre y que generaliza la nocionde integral de Riemann.

14Esto significa que para cada t ∈ R la sucesion de numeros complejos {fn(t)} convergea f(t) en el sentido de la convergencia de sucesiones en el plano complejo.

15Vease la definicion precisa de este tipo de funciones en el Capıtulo 3.


ii) F (t) es continua a trozos e integrable.

iii) Para cada t ∈ R y para cada n ∈ N, |fn(t)| ≤ F (t).

Entonces se verifica lo siguiente:

1. La funcion lımite f(t) es integrable.

2. Podemos introducir el lımite dentro de la integral, es decir:

lımn→∞

∫ ∞

−∞fn(t) dt =

∫ ∞

−∞lım

n→∞ fn(t) dt =∫ ∞

−∞f(t) dt. (1.3.23)

Para aplicar este teorema en el caso que nos ocupa, escojamos:

fn(t) =(

1− t

n

)n

δ[0,n](t) tz−1. (1.3.24)

Evidentemente, fn(t) → e−t tz−1 δ[0,∞)(t), que es integrable (¿por que?).Ademas, del curso elemental de analisis matematico o calculo, sabemos quesi t ≤ n,

0 ≤(

1− t

n

)n

≤ e−t. (1.3.25)

Por lo tanto|fn(t)| ≤ e−t tRe(z)−1 δ[0,∞)(t). (1.3.26)

Luego, si escribimos

F (t) := e−t tRe(z)−1 δ[0,∞)(t), (1.3.27)

no es difıcil ver que las condiciones del teorema de la convergencia mayoradade Lebesgue se verifican con estas fn(t), f(t) y F (t). Entonces

Γ(z) = lımn→∞

∫ n

0

(1− t

n

)n

tz−1 dt = lımn→∞

∫ ∞

−∞

(1− t

n

)n

δ[0,n](t) tz−1 dt

=∫ ∞

−∞e−t tz−1 δ[0,∞)(t) dt =

∫ ∞

0e−t tz−1 dt. (1.3.28)

Esto es justamente lo que se pretendıa demostrar.

1.4. OTRAS FUNCIONES ESPECIALES 21

1.4. Otras funciones especiales

1.4.1. La funcion beta

La funcion beta, tambien llamada integral de Euler de primera especie,se define habitualmente como la integral

B(z, w) =∫ 1

0tz−1 (1− t)w−1 dt; Re z, Rew > 0. (1.4.1)

Esta ıntimamente relacionada con la funcion gamma por la formula

B(z, w) =Γ(z) Γ(w)Γ(z + w)

= B(w, z), (1.4.2)

cuya demostracion se propone como ejercicio. Esta relacion permite exten-der la definicion de la funcion beta a C2.

1.4.2. La funcion psi

La funcion psi, tambien llamada funcion “digamma”, se define como laderivada logarıtmica de la funcion gamma:

ψ(z) =d

dz[log Γ(z)] =

Γ′(z)Γ(z)

. (1.4.3)

Su comportamiento cualitativo para valores reales de z se muestra en laFigura 1.3, y en la Figura 1.4 se representan los valores de su modulo.

Algunas expresiones interesantes que involucran esta funcion se propo-nen como problemas. Observese que al tomar complejos conjugados

ψ(z) = ψ(z).

1.4.3. Funciones “incompletas”

Las funciones beta y gamma incompletas presentan aplicaciones enteorıa de probabilidades y estadıstica. La funcion gamma incompleta sedefine como la integral

γ(a, x) =∫ x

0ta−1 e−t dt, Re a > 0. (1.4.4)


Su complementaria es

Γ(a, x) = Γ(a)− γ(a, x) =∫ ∞

xta−1 e−t dt. (1.4.5)

A veces se usa tambien la funcion

γ∗(a, x) =x−a

Γ(a)γ(a, x),

que presenta la ventaja de ser una funcion analıtica univaluada tanto en acomo en x.

Algunas de las propiedades de estas funciones son las siguientes:

γ∗(−n, x) = xn, (1.4.6)

γ(1/2, x2

)= 2

∫ x

0e−t2 dt ≡ √

π erf (x), (1.4.7)

Γ(1/2, x2

)= 2

∫ ∞

xe−t2 dt ≡ √

π erfc (x), (1.4.8)

donde erf (x) es la funcion error, definida justamente en (1.4.7), y usada enel estudio de la probabilidad gaussiana, en la teorıa de errores de observa-cion y en los estudios sobre la conduccion del calor, entre otros; erfc (x) essu funcion complementaria. Sus graficas, junto con la de la gaussiana e−x2

,pueden verse en la Figura 1.5.

La funcion beta incompleta guarda relacion con la distribucion estadıs-tica de Student16:

Ix(a, b) =1

B(a, b)

∫ x

0ta−1 (1− t)b−1 dt, (0 ≤ x ≤ 1),

y verifica Ix(a, b) = 1− I1−x(b, a).

1.4.4. Integrales exponenciales y otras

Habitualmente se define la funcion integral exponencial como

E1(x) =∫ ∞

x

e−t

tdt ≡ Γ(0, x), x > 0. (1.4.9)

16Este es el pseudonimo cientıfico del estadıstico ingles William Sealy Gossett (1876–1937), que trabajo como quımico para la companıa cervecera Guinness en Dublın durantela mayor parte de su vida. Invento y estudio las propiedades del test t para manejarpequenas muestras estadısticas en relacion con el control de calidad de la cerveza.

1.4. OTRAS FUNCIONES ESPECIALES 23

Una generalizacion es

En(x) =∫ ∞

1

e−x t

tndt, n = 0, 1, 2, . . . , x > 0. (1.4.10)

Veanse las graficas de algunas de estas funciones en la Figura 1.6. La restric-cion a valores de x > 0 puede evitarse cuando se consideran las expresionesde estas funciones como desarrollos en serie (algo similar a lo que ocurrecon la funcion gamma, como ya vimos).

Una funcion relacionada con las anteriores y que aparece con frecuenciaen problemas de astrofısica cuando se trabaja con un gas que verifica ladistribucion de Maxwell17-Boltzmann18 es

Ei (x) = −V P

∫ ∞

−x

e−t

tdt = V P

∫ x

−∞

et

tdt, x > 0, (1.4.11)

donde “V P” indica el valor principal de Cauchy19 de la integral, es decir

V P

∫ c

af(x) dx = lım

ε→0

[∫ b−ε

af(x) dx +

∫ c

b+εf(x) dx

],

siendo b la unica singularidad de f(x) en el intervalo [a, c].

Observese que

En(z) = zn−1 Γ(1− n, z), E1(x) = −Ei (−x).

La funcion integral del logaritmo fue introducida por Euler y es unafuncion muy importante en la teorıa de numeros:

li (x) =∫ x

0

dt

ln t= Ei (lnx), x > 1. (1.4.12)

17James Clerk Maxwell (1831–79), gran fısico y matematico escoces, considerado elfundador del Electromagnetismo.

18Ludwig Eduard Boltzmann (1844–1906), fısico austrıaco que aplico los metodos es-tadısticos a la teorıa de los gases.

19Augustin-Louis Cauchy (1789–1857), matematico frances que, como muchos de suscontemporaneos, trabajo tambien en diversos problemas de fısica teorica.


1.4.5. Integrales del seno y del coseno

Estas funciones se pueden definir de la siguiente manera:

Si (z) =∫ z

0

sen t

tdt; si (z) = Si (z)− π

2; |arg z| < π; (1.4.13)

Ci (z) = −∫ ∞

z

cos t

tdt ≡ ci (z), |arg z| < π. (1.4.14)

Tambien se acostumbra a introducirlas mediante los correspondientes de-sarrollos en serie que se deducen de las expresiones anteriores. Se muestrauna grafica de las funciones y = Si (x) e y = Ci (x) en la Figura 1.7.

1.4.6. Integrales de Fresnel

Las integrales de Fresnel20 aparecen al estudiar la teorıa de la difraccionen optica

S (x) =∫ x

0sen

(π

2t2

)dt, C(x) =

∫ x

0cos

(π

2t2

)dt. (1.4.15)

Al igual que sucede con las integrales del seno y del coseno, pueden hallarsedesarrollos en serie para estas integrales de Fresnel, cuyas graficas aparecenrepresentadas en la Figura 1.8.

Cuando se realiza una representacion grafica en la que se toma comovariable en el eje de ordenadas la funcion S (x) y como variable en el eje deabscisas la funcion C (x), siendo por tanto x el parametro que servira pa-ra describir el objeto resultante, se obtiene una interesante curva llamadaespiral de Cornu21 o clotoide. La espiral de Cornu posee una interesantepropiedad geometrica: su curvatura es proporcional a la longitud de arcomedida desde el origen de coordenadas. Aunque en realidad fue Euler elprimero en mencionar la existencia de la clotoide en uno de sus trabajos(1744), sin embargo fue a partir de los estudios de A. Cornu (1879) cuandose empezo a usar ampliamente en calculos relacionados con difraccion de la

20Augustin-Jean Fresnel (1788–1827), fısico e ingeniero frances, que fue uno de loscreadores de la teorıa ondulatoria de la luz y uno de los redescubridores de los fenomenosde interferencia y polarizacion de la luz.

21Alfred Cornu (1841–1902), profesor de fısica experimental en la Escuela Politecnicade Parıs.

1.5. FUNCION ZETA DE RIEMANN 25

luz (la llamada difraccion de Fresnel, que es mas realista que la de Fraun-hofer22). Unas interesantes representaciones de estas espirales pueden verseen las Figuras 1.9 a 1.11.

1.5. Funcion zeta de Riemann

La funcion ζ(z) de Riemann se define como la serie

ζ(z) =∞∑

n=1

1nz

, Re z > 1, (1.5.1)

que es uniformemente convergente en todo el dominio en el que Re z > 1,donde la funcion es analıtica. Ademas esta definicion puede extenderse alplano complejo por prolongacion analıtica, siendo regular para todo valorde z, excepto en z = 1, donde presenta un polo simple cuyo residuo esRes {ζ(z), z = 1} = 1.

Esta funcion era conocida ya por Euler (1737), pero sus propiedades masinteresantes fueron demostradas por Riemann (1859), quien la estudio enprofundidad en su trabajo sobre los numeros primos. Es una funcion de granimportancia en la teorıa de los numeros primos, ası como en la teorıa dela funcion gamma y de otras funciones afines. Aparece ademas al resolverciertas integrales relevantes en problemas de Fısica, ası como al estudiaralgunos problemas de teorıa cuantica de campos (en concreto de la llamadateorıa de cuerdas, que tan popular ha sido en las ultimas decadas del pasadosiglo XX).

Una formula muy interesante, que establece la conexion de esta funcioncon los numeros primos, es la siguiente

1ζ(z)

=∏

p∈primos

(1− 1

pz

). (1.5.2)

La funcion zeta se relaciona con la funcion gamma mediante las formulas

ζ(z) =2z−1 πz

Γ(z)ζ(1− z)cos π z

2

= 2z πz−1 Γ(1− z) ζ(1− z) senπ z

2. (1.5.3)

22Joseph von Fraunhofer (1787–1826), fısico aleman que descubrio las lıneas de absor-cion atomica en el espectro solar.


Para finalizar esta seccion, queremos hacer unos comentarios adicionalessobre esta curiosa funcion. La funcion ζ(z) tiene ceros en z = −2,−4,−6, . . .Riemann conjeturo que todos los demas ceros de ζ(z) estan en la rectaRe z = 1/2. Esta hipotesis aun no ha sido probada, si bien Hardy23 demos-tro que, en efecto, ζ(z) tiene infinitos ceros en esa lınea. Despues que elfamoso ultimo teorema de Fermat24 fuera probado por Wiles25 en 1994 u-sando potentısimas herramientas matematicas recientemente desarrolladas,la demostracion de la hipotesis de Riemann es uno de los pocos problemasclasicos de las matematicas que aun siguen abiertos, y cuya prueba defini-tiva tendrıa importantes consecuencias en la teorıa de los numeros primos.Algunos valores “sorprendentes” de la funcion zeta son:

ζ(0) = −12, ζ(−1) = − 1

12, ζ(−2n) = 0, n = 1, 2, . . .

1.6. Integrales elıpticas

Las integrales elıpticas aparecen en la resolucion de multitud de pro-blemas fısicos, de astronomıa y de matematicas (en concreto al intentarcalcular la longitud de una elipse, de ahı su nombre). Aparecieron ya entrabajos de los Bernoulli26, Euler y otros, pero los trabajos decisivos sedeben a Legendre27. Trabajos posteriores de Abel28, Jacobi29 y Weierstrass

23Godfrey Harold Hardy (1877–1947) fue un destacado matematico ingles.24Pierre de Fermat (1601–65), matematico frances. El ultimo teorema de Fermat tiene

una curiosa historia que puede leerse detalladamente en el libro de Singh mencionadoen la bibliografıa. Fermat lo enuncio, sin demostrarlo, escribiendolo como un comentarioen el margen de uno de sus libros, la famosa Aritmetica del matematico griego Diofantode Alejandrıa (approx. 200-284 A.D.). El teorema dice que la ecuacion xn + yn = zn noposee soluciones enteras en z, y, z cuando n ∈ N es mayor que 2.

25Andrew John Wiles (1953–), matematico ingles.26Nombre de una gran familia de matematicos (hay al menos ocho que realizaron con-

tribuciones a las matematicas) originaria de Amberes, que en el siglo XVII se traslado aSuiza.

27Adrien-Marie Legendre (1752–1833), matematico frances que realizo importantescontribuciones a la teorıa de numeros y a la teorıa de funciones elıpticas.

28Niels Henrik Abel (1802–29), brillante matematico noruego que asento el analisismatematico sobre bases firmes, trabajando en teorıa de funciones elıpticas y demostrando,entre otos resultados, la imposibilidad de resolver la ecuacion general de quinto gradomediante raıces.

29Carl Gustav Jacob Jacobi (1804–51), matematico aleman de gran fama que desa-rrollo la teorıa de funciones elıpticas y que tambien trabajo en problemas de mecanica

1.6. INTEGRALES ELIPTICAS 27

enriquecieron enormemente este campo de las matematicas, llevando a de-finir las funciones elıpticas de Jacobi y de Weierstrass y las funciones ϑ,ninguna de las cuales estudiaremos aquı30.

Vamos a considerar un sencillo ejemplo en el que aparecen las integraleselıpticas: el pendulo simple representado en la Figura 1.12 (idealizado conla suposicion de que no hay rozamiento).

Es bien sabido que se trata de un sistema “conservativo”, de maneraque la energıa E es una constante del movimiento. Podemos evaluar estamagnitud, calculando primero las energıas cinetica T y potencial V ; elegi-mos como referencia de potencial, V = 0, la posicion mas baja que puedeocupar el pendulo, correspondiente a θ = 0:

T =12

mv2 =m

2(Lθ)2; (1.6.1)

V = mgh = mg(L− L cos θ); (1.6.2)

E = T + V =mL2

2θ2 −mgL cos θ + mgL. (1.6.3)

Habra un valor maximo de θ, llamemosle θm, que es el que correspondea la altura maxima alcanzada (estrictamente hablando diremos que es laaltura maxima a la derecha de la figura, pues existe una posicion simetricade igual altura pero valor −θm). Cuando se alcanza esa posicion se tieneθm = 0. Como la energıa se conserva, en ese punto se verifica

E = −mgL cos θm + mgL,

por tanto, usando esta ecuacion y (1.6.3), se tiene

mL2

2θ2 −mgL cos θ + mgL = −mgL cos θm + mgL,

es decir

L

2θ2 = g(cos θ − cos θm), θ = ±

√2g

L

√cos θ − cos θm. (1.6.4)

(ecuacion de Hamilton-Jacobi). El determinante “jacobiano”de una transformacion llevaese nombre en su honor.

30Se remite al lector interesado al libro clasico de Whittaker y Watson que se indicaen la bibliografıa.


Al extraer la raız hemos de tener en cuenta los dos signos; el signo (+) valecuando en la Figura 1.12 el movimiento es de izquierda a derecha y el signo(−) cuando el movimiento es de derecha a izquierda.

Consideremos el intervalo de tiempo que transcurre para pasar de laposicion de V = 0 a la posicion mas elevada (en la parte derecha deldibujo); en ese intervalo la velocidad angular es positiva: θ = dθ

dt > 0 , porlo cual tomamos el signo (+) en (1.6.4):

dθ

dt=

√2g

L

√cos θ − cos θm.

Integrando en ese intervalo temporal, que obviamente es un cuarto delperıodo del movimiento τ , tendremos:

√2g

L

τ

4=

∫ θm

0

dθ√cos θ − cos θm

=∫ θm

0

dθ√(1− cos θm)− (1− cos θ)

=∫ θm

0

dθ√2 sen2 θm

2 − 2 sen2 θ2

.

Haciendo el cambio de variable

senθ

2=

(sen

θm

2

)senu,

dθ

2cos

θ

2=

(sen

θm

2

)cosu du,

llegamos a

τ = 4

√L

2g

∫ π/2

0

2(sen θm

2

)cosu du√(

2 sen2 θm2

)(1− sen2 u)

1√1− (

sen2 θm2

)sen2 u

= 4

√L

g

∫ π/2

0

du√1− (

sen2 θm2

)sen2 u

. (1.6.5)

Esta integral no se puede resolver en terminos de funciones elementales.Por ello se introducen nuevas funciones: las integrales elıpticas.

Definicion 4: se define la integral elıptica de primera especie como

F (ϕ\α) =∫ ϕ

0

dθ√1− sen2 α sen2 θ

, (1.6.6)

1.6. INTEGRALES ELIPTICAS 29

donde α es el angulo modular. O bien, haciendo el cambio t = sen θ ym = sen2 α,

F (x|m) =∫ x

0

dt√(1− t2)(1−mt2)

, 0 ≤ m ≤ 1. (1.6.7)

La variable m se denomina el “parametro”de la integral elıptica. Para ϕ =π/2 o x = 1 tenemos la integral elıptica completa de primera especie:

K(m) =∫ π/2

0(1−m sen2 θ)−1/2 dθ =

∫ 1

0[(1−t2)(1−mt2)]−1/2 dt. (1.6.8)

Definicion 5: se define la integral elıptica de segunda especie como

E(ϕ\α) =∫ ϕ

0

√1− sen2 α sen2 θ dθ, (1.6.9)

o bien

E(x|m) =∫ x

0

√1−mt2

1− t2dt, 0 ≤ m ≤ 1. (1.6.10)

Para ϕ = π/2 o x = 1 tenemos la integral elıptica completa de segundaespecie:

E(m) =∫ π/2

0

√1−m sen2 θ dθ =

∫ 1

0

√1−mt2

1− t2dt. (1.6.11)

Pasemos a analizar con mas detalle las integrales completas. En el rango0 ≤ m < 1 pueden evaluarse estas integrales y se tiene para la de primeraespecie

K(m) =∫ π/2

0

dθ√1−m sen2 θ

=∫ π/2

0dθ

∞∑

n=0

(2n− 1)!!(2n)!!

mn sen2n θ.

Esta serie converge uniformemente y puede integrarse termino a termino:

K(m) =π

2

{1 +

(12

)2

m +(

1 · 32 · 4

)2

m2 +(

1 · 3 · 52 · 4 · 6

)2

m3 + · · ·}

.

(1.6.12)


Procediendo de modo analogo se obtiene

E(m) =π

2

{1−

(12

)2 m

1−

(1 · 32 · 4

)2 m2

3−

(1 · 3 · 52 · 4 · 6

)2 m3

5− · · ·

}.

(1.6.13)La demostracion de estos dos resultados se propone como problema. Enla Figura 1.13 se puede ver el comportamiento de las integrales elıpticascompletas K(m) y E(m).

Volviendo a la ecuacion que nos daba el perıodo del pendulo simple(1.6.5) y comparando con la definicion de la integral elıptica completa deprimera especie, vemos que el perıodo del movimiento sera

τ = 4

√L

gK(sen2 θm/2). (1.6.14)

Si la amplitud de la oscilacion es pequena, es decir si θm ≈ 0, entonces enel desarrollo en serie (1.6.12) podemos tomar solo el primer termino ya quelos otros son despreciables, y se obtiene el resultado bien conocido

τ = 2π

√L

g, (1.6.15)

valido, no lo olvidemos, en la aproximacion de pequenas oscilaciones entorno a la posicion de equilibrio.

Para finalizar, conviene indicar que existe una tercera integral elıpticade tercera especie, cuya forma es mas complicada que las que acabamos dever, y que no consideraremos aquı.

1.7. Series asintoticas: la formula de Stirling

Regresando de nuevo al estudio de la funcion que ha sido el centro deeste capıtulo, conviene saber que en determinadas circunstancias de interesresulta muy importante tener algun tipo de informacion sobre el compor-tamiento de la funcion Γ(z) para valores muy grandes de z. Por suerte, esposible aproximar el valor de Γ(z) en estos casos con gran precision y conmuy poco esfuerzo, usando una formula clasica debida a Stirling (1730).Existen diversas demostraciones de este resultado: unas utilizan el calculo

1.7. SERIES ASINTOTICAS: LA FORMULA DE STIRLING 31

de residuos y otras diversos metodos desarrollados en el estudio de las seriesasintoticas (metodos de la fase estacionaria, de Laplace31 y del punto desilla). Nos limitaremos aquı a dar el resultado sin demostrarlo, pero antesvamos a definir que es lo que se entiende por serie asintotica (para masinformacion sobre las series asintoticas, vease el libro de Erdelyi sobre estetema citado en la bibliografıa).

Definicion 6: sea f(z) una funcion de variable compleja. Consideremos laserie

a0 +a1

z+

a2

z2+

a3

z3+ · · · =

∞∑

n=0

an

zn. (1.7.1)

Siguiendo la definicion de Poincare32, diremos que se trata de una serieasintotica para f(z), y escribiremos

f(z) ∼∞∑

n=0

an

zn, (1.7.2)

si existe un entero positivo M tal que

lım|z|→∞

zM

(f(z)−

M∑

n=0

an

zn

)= 0, (1.7.3)

aun cuando pueda suceder que

lımM→∞

zM

(f(z)−

M∑

n=0

an

zn

)= ∞, para x fijo. (1.7.4)

31Pierre-Simon de Laplace (1749–1827), destacado matematico frances que trabajo enmecanica celeste, en teorıa de probabilidades y aplicaciones de las ecuaciones diferencialesa diversos campos de las ciencias fısicas.

32Jules Henri Poincare (1853–1912), matematico frances considerado por algunos comola ultima persona que tuvo un conocimiento global de toda la matematica y de sus apli-caciones. Catedratico de fısica matematica en la Sorbona, en el campo de la matematicaaplicada abordo problemas de optica, electricidad, telegrafıa, capilaridad, elasticidad, ter-modinamica, teorıa del potencial, teorıa cuantica, relatividad especial (es uno de los queformulo esta teorıa, junto con A. Einstein y H.A. Lorentz) y mecanica celeste (estudiandoen profundidad el problema de los tres cuerpos). Pero tambien realizo desarrollos impor-tantes en matematica pura, como por ejemplo sus trabajos sobre funciones automorfas ysus ideas originales sobre lo que con posterioridad se denomino topologıa. En sus traba-jos sobre orbitas planetarias, Poincare fue el primero en considerar la posibilidad de laaparicion del caos en sistemas deterministas (un campo que se ha desarrollado con granfuerza desde 1963).


La teorıa de las series asintoticas esta bien establecida desde el punto devista matematico y resultan muy utiles para determinar el valor numericode funciones para grandes valores de la variable independiente.

En la practica, una serie asintotica puede diverger; sin embargo se ob-tienen buenas aproximaciones tomando la suma de los terminos justo hastaque estos empiezan a crecer.

Ejemplo 4: consideremos la siguiente integral∫ ∞

0e−x t cos t dt =

∫ ∞

0e−x t

(1− t2

2!+

t4

4!− t6

6!+ · · ·

)dt

=1x− 1

x3+

1x5− 1

x7+ · · · = x

x2 + 1.

Este desarrollo es valido para x > 0 (de hecho, como se vera en un capıtuloposterior, la integral que hemos hecho no es mas que una transformadade Laplace). Observemos que al hacer la integral hemos obtenido una se-rie asintotica (serie de potencias negativas de x) que, en este caso, hemospodido sumar.

Ejemplo 5: usando la misma idea, evaluemos la siguiente integral∫ ∞

0

e−x t

1 + tdt =

∫ ∞

0e−x t (1− t+ t2− t3 + · · ·) dt =

1x− 1!

x2+

2!x3− 3!

x4+ · · ·

La diferencia respecto del caso anterior estriba en que la serie que acabamosde obtener diverge ∀x ∈ R, pero aun ası, tiene sentido como serie asintotica.

El resultado que mas nos interesa es la formula asintotica de Stirlingpara la funcion gamma, que ofrecemos a continuacion:

Proposicion: se puede probar que

Γ(z + 1) ∼√

2π z zz e−z

{1 +

112 z

+1

288 z2− 139

51840 z3+ · · ·

}, (1.7.5)

o bien

Γ(z) ∼√

2π

zzz e−z

{1 +

112 z

+1

288 z2− 139

51840 z3+ · · ·

}. (1.7.6)

1.8. BIBLIOGRAFIA 33

Estas expresiones son validas para valores grandes de |z| cuyo argumentose encuentre en el intervalo −π < arg z < π. En muchas ocasiones bastatomar el primer termino de la serie asintotica.

Para finalizar, una observacion: a pesar de la semejanza existente entrelas series asintoticas y las series de Laurent33 (que el lector puede conocer desus estudios de teorıa de funciones de variable compleja), no deben confun-dirse, pues son objetos matematicos completamente diferentes (recuerdeseque la serie asintotica puede ser incluso divergente).

1.8. Bibliografıa

1. Abramowitz, M., and Stegun, I.A., Handbook of Mathematical functions,Dover, 1972.

2. Arfken, G., Mathematical Methods for Physicists, Academic Press, 1985.

3. Ayant, Y. et Borg, M., Fonctions Speciales a l’usage des etudiants en phy-sique, Dunod, 1971.

4. Erdelyi, A., Magnus, W., Oberhettinger, F., and Tricomi, F.G., HigherTranscendental Functions, Vols. I-III, MacGraw-Hill, 1953.

5. Erdelyi, A., Asymptotic expansions, Dover, 1956.

6. Kline, M., Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, OxfordUniv. Press, 1972.

7. Markushevich, A.I., Theory of Functions of a Complex Variable, Chelsea,1977.

8. Marsden, J.E. and Hoffmann, M.J., Basic Complex Analysis, Freeman, 1987.

9. Singh, S., El enigma de Fermat , Planeta, 1998.

10. Whittaker, E.T. and Watson, G.N., A Course of Modern Analysis, Cam-bridge Univ. Press, 1988.

33Pierre-Alphonse Laurent (1813–54), ingeniero y matematico frances.

metodos matem¶ aticos¶ avanzados para ciencias e …metodos.fam.cie.uva.es/~latex/caplibro.pdf ·...

Documents