métodos iterativos

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES TEMA3: Métodos iterativos para Sistemas de Ecuaciones Lineales Unidad Docente de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: MÉTODOS MATEMÁTICOS 1 TEMA 3. Métodos iterativos para Sistemas de Ecuaciones Lineales 3.1 Métodos iterativos: introducción Aplicar un método iterativo para la resolución de un sistema S Ax=b, consiste en transformarlo en lo que se denomina un sistema de punto fijo, que sea equivalente al dado y cuya solución se aproxima paso a paso. Para obtener el sistema de punto fijo equivalente al dado se elige una matriz M que sea fácil de invertir y escribimos la matriz A como: A = M + (A – M), entonces el sistema Ax=b se transforma en: (M + (A – M))x = b Mx = (M – A)x + b Si designamos N = M‐A, nos queda Mx = Nx + b (*). La aproximación k‐ésima de la solución, x (k) , se obtiene, en la iteración k, a partir de la aproximación anterior x (k‐1) Mx (k) = Nx (k‐1) + b Cuando este proceso es convergente el límite de las aproximaciones x (k) cuando k es la solución del sistema de punto fijo planteado y, en consecuencia, del sistema S inicial. En cada iteración, el sistema (*) es fácil de resolver si M es diagonal o triangular. Por otro lado, es conveniente que M no sea muy diferente de A. Las tres opciones para M que presentan mejores resultados son: M = D , donde D es la matriz diagonal cuya diagonal es la de A (Método de Jacobi) M = L+D, donde L+D es la parte triangular inferior de A (Método de Gauss‐Seidel) M = L+D/, donde es un número elegido para ponderación (Método de Sobrerrelajación) El Método de Gauss‐Seidel es un caso particular del de Sobrerrelajación cuando se toma = 1. El método de Sobrerrelajación con 0 < <1, se utiliza para obtener la convergencia cuando Gauss‐Seidel no converge. Se toma > 1 para acelerar la convergencia cuando Gauss‐Seidel converge. Observaciones: La resolución iterativa no es aplicable a todos los problemas pero resulta muy útil para ciertos tipos, por ejemplo, si el número de incógnitas es muy grande y la matriz de los coeficientes dispersa. La precisión de la solución obtenida por un método iterativo dependerá del número (k) de iteraciones y de la convergencia del método.

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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESTEMA3: Mtodos iterativos para Sistemas de Ecuaciones Lineales UnidadDocentedeMatemticasdelaETSITGC Asignatura:MTODOSMATEMTICOS1TEMA3.MtodositerativosparaSistemasdeEcuacionesLineales 3.1 Mtodositerativos:introduccinAplicarunmtodoiterativoparalaresolucindeunsistemaSAx=b,consisteentransformarloenloquesedenominaunsistemadepuntofijo,queseaequivalentealdadoycuyasolucinseaproximapasoapaso.ParaobtenerelsistemadepuntofijoequivalentealdadoseeligeunamatrizMqueseafcildeinvertiryescribimoslamatrizAcomo:A=M+(AM),entonceselsistemaAx=bsetransformaen:(M+(AM))x=bMx=(MA)x+bSidesignamosN=MA,nosquedaMx=Nx+b(*).La aproximacin ksima de la solucin, x(k), se obtiene, en la iteracin k, a partir de laaproximacinanteriorx(k1)Mx(k)=Nx(k1)+bCuando este proceso es convergente el lmite de las aproximaciones x(k) cuando k es lasolucindelsistemadepuntofijoplanteadoy,enconsecuencia,delsistemaSinicial.Encadaiteracin,elsistema(*)esfcilderesolversiMesdiagonalotriangular.Porotrolado,esconvenientequeMnoseamuydiferentedeA.LastresopcionesparaMquepresentanmejoresresultadosson:-M=D,dondeDeslamatrizdiagonalcuyadiagonalesladeA(MtododeJacobi)-M=L+D,dondeL+DeslapartetriangularinferiordeA(MtododeGaussSeidel)-M=L+D/e,dondeeesunnmeroelegidoparaponderacin(MtododeSobrerrelajacin)ElMtododeGaussSeidelesuncasoparticulardeldeSobrerrelajacincuandosetoma e=1.El mtodo de Sobrerrelajacin con 0

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