DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

METODOS DE CONTEO

Como se vio, para calcular la probabilidad de un evento A, es necesario contar el número de elementos del espacio muestral S y el número de elementos de evento A. Cuando el conjunto es pequeño no hay problema, pero cuando los conjuntos contienen muchos elementos toca acudir a unas técnicas de conteo especiales llamadas métodos de conteo. PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACIÓN La primera de estas técnicas de conteo o métodos de conteo es la regla de la multiplicación la cual dice que si una operación se puede llevar a cabo en 1n

formas y si para cada una de estas se puede realizar una segunda operación en 2n y para cada una de dos primeras se puede realizar una tercera operación

3n formas, y así sucesivamente, entonces la serie de k operaciones se puede

realizar en knnn ,...,21 formas

Ejemplo ¿Cuántos almuerzos que consisten en una sopa, emparedado, postre y una bebida son posibles si podemos seleccionar de 4 sopas, 3 tipos de emparedados, 5 postres y 4 bebidas?

Como 1n = 4, 2n = 3, 3n = 5 y 4n = 4 hay en total

1n X 2n X 3n X 4n = 4 X 3 X 5 X 4 = 240 almuerzos diferentes para

elegir PRINCIPIO DE LA SUMA. Supongamos que un procedimiento, designado con 1, se puede hacer de n1 formas. Supongamos que un segundo procedimiento, designado con 2, se puede hacer de n2 formas. Supongamos además que no es posible que ambos, 1 y 2, se hagan juntos. Entonces, el número de maneras como se puede hacer 1 o 2 es n1 + n2. Ejemplo. Supongamos que planeamos un viaje y debemos decidir entre transportamos por autobús o por tren. Si hay tres rutas para el autobús y dos para el tren, entonces hay 3 + 2 = 5 rutas diferentes disponibles para el viaje.

PERMUTACIONES. Una permutación es un arreglo de todo o parte de un conjunto de objetos. El número de permutaciones de n objetos distintos es n!. Ejemplo: De cuantas maneras se pueden ubicar 6 personas en una fila.

7x 6x 5x 4x 3x 2x 1

7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 7! = 5040. Ejemplo. El número de permutaciones de 4 letras: a, b, c, d. será 4! = 24. El número de permutaciones de n objetos distintos de r a la vez es.

)!(

!

rn

np r

n−

=

Ejemplo El número de permutaciones de las cuatro letras a, b, c, d al tomar dos a la vez será: Ab, ac, ad, ba, ca, da, bc, cb, bd, db, cd, dc.

4x 3

4*3 = 12, 12!2

!4=

El número de permutaciones de n objetos distintos arreglados en un círculo es: (n-1)!. Ejemplo. De cuantas formas se pueden plantar cinco árboles diferentes en un circulo? Solución n = 5 entonces el número de permutaciones es : ( 5 – 1 ) ¡ = 4! = 24.

El número de permutaciones distintas de n cosas de las que 1

n son de una

forma, 2

n de una segunda forma, …, kn de una k-ésima forma es:

knnnn

n

L31 2

!

Ejemplo De cuántas formas diferentes se pueden arreglar 3 focos rojos, 4 amarillos y 2 azules en una serie de luces navideña com9 portalámparas? Solución El número total de arreglos es:

1260!2!4!3

!9=

El número de formas de partir un conjunto de n objetos en r celdas con 1

n

elementos en la primera celda, 2

n elementos en la segunda, y así

sucesivamente, es:

!!!

!

2121 rr nnn

n

nnn

n

LL=

Donde nnnn r =+++ L21

Ejemplo ¿En cuántas formas se pueden asignar siete científicos a una habitación de hotel triple y a dos dobles? Solución El número total de particiones posibles sería:

210!2!2!3

!7

2,2,3

7==

COMBINACIONES En muchos problemas nos interesamos en el número de formas de seleccionar r objetos de n sin importar el orden. Estas selecciones de llaman combinaciones. Una combinación es realmente una partición con dos celdas, una celda contiene los r objetos seleccionados y la otra contiene los (n – r ) objetos restantes. El número de tales combinaciones, denotado por:

− r

nreduceasegenerallopor

rnr

n,

,

El número de combinaciones de n objetos distintos tomados de r a la vez es

)!(!

!

rnr

n

r

n

−

=

Ejemplo De cuatro químicos y tres físicos encuentre el número de comités que se pueden formar que consistan en dos químicos y un físico. Solución

El número de formas de seleccionar a dos químicos, de cuatro es 6!2!2

!4

2

4==

.

El número de formas de seleccionar un físico, de tres es 3!2!1

!3

1

3==

Al usar la regla de la multiplicación tenemos 61

=n y 32

=n , podemos formar:

18)3)(6(21

==nn

Comités con 2 químicos y 1 físico.