métodos de centros instantáneos para el cálculo de velocidades en mecanismos

8/18/2019 Métodos de Centros Instantáneos Para El Cálculo de Velocidades en Mecanismos

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MÉTODOS DE CENTROS INSTANTÁNEOS PARA EL CÁLCULO DEVELOCIDADES EN MECANISMOS.

Tal como sugirió Reuleaux a mediados del siglo XIX, los eslabones se pueden

considerar que en cada instante realizan un giro alrededor de un centro. Dicho

centro se llama centro instantáneo de rotación o polo de velocidades. uando un

eslabón está e!ectuando una traslación en un momento dado, su centro

instantáneo de rotación se encuentra en el in!inito " en una dirección perpendicular

al movimiento del eslabón. #sto se denota !ácilmente porque las velocidades de

todos sus puntos son iguales " sus vectores paralelos.

#l centro instantáneo de rotación, re!erido al movimiento plano de un cuerpo, se

de!ine como el punto del cuerpo o de su prolongación en el que la velocidad

instantánea del cuerpo es nula.

• $i el cuerpo realiza una rotación pura alrededor de un punto, dicho punto es

el centro instantáneo de rotación.

• $i el cuerpo realiza una traslación pura el centro instantáneo de rotación se

encuentra en el in!inito en dirección normal a la velocidad de traslación.


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• $i el cuerpo realiza un movimiento general el centro instantáneo de rotación

se mueve respecto al cuerpo de un instante a otro %de ah& que se llame

centro instantáneo de rotación'. $u posición se puede conocer en cada

instante por intersección de las direcciones perpendiculares a la velocidad

de dos de sus puntos.

$i se conoce la posición del centro instantáneo de rotación I de un sólido, las

direcciones de las velocidades de todos los puntos del sólido son conocidas

automáticamente. (a velocidad de un punto tiene una dirección perpendicular a la

recta que lo une con su centro instantáneo de rotación I.

Inversamente, si se conocen las direcciones de las velocidades en dos puntos del

sólido, es posible determinar la posición de I. #l centro instantáneo de rotación se

encontrará en el punto de corte de las perpendiculares a ambas direcciones.


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(a !igura muestra un mecanismo e de cuatro barras articuladas en A , B , I 1 e13 .

(os centros I 1 e I 3 son evidentemente los centros de giro de las manivelas ) " *.

V A tiene dirección perpendicular a V 1 A " su módulo vale V A=ω1 ⋅ I 1 A .

(a dirección de V B es conocida "a que se conoce el centro instantáneo de

rotación del elemento *, que es evidentemente I 3 .

omo A y B pertenecen tambi+n al elemento , la posición de I 2 se

determina trazando las perpendiculares a V A y V B , esta -ltima de módulo

desconocido.

#l punto de corte de ambas perpendiculares determina I 2 .

na vez conocido I 2 , la velocidad angular ω2 tiene sentido de giro en torno a

I 2 congruente con la dirección de V A es decir el plano de movimiento.

V B tiene sentido congruente con ω2 " un módulo V B=ω2 ⋅ I 2 B .

na vez conocida la posición de I 2 y ω2 se puede conocer la velocidad en

cualquier otro punto del elemento , por e/emplo D y C .

(a velocidad angular ω3 tendrá sentido congruente con V B , saliente al plano

de movimiento, " módulo ω3=V B

I 3 B.

Centro instantáneo de rotación reati!o.

#l centro instantáneo de rotación relativa o polo com-n entre dos sólidos r&gidos,

re!erido al movimiento plano de ambos sólidos, se de!ine como el punto de los dos

sólidos o de su prolongación en el que la velocidad instantánea es igual para los

dos sólidos. #s decir, es el punto en el que no existe velocidad relativa entre

ambos sólidos.


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#l centro instantáneo de rotación de un sólido r&gido es un caso particular de

centro instantáneo de rotación relativo en el que uno de los dos sólidos es el

eslabón !i/o %suelo'.

$i los dos sólidos r&gidos están articulados en un punto, dicho punto es el centro

instantáneo de rotación relativo entre dichos sólidos. 0s&, por e/emplo, en lasiguiente !igura el punto 0 es el centro instantáneo de rotación relativo entre las

barras " *, 1, el correspondiente a las barras * " 2, " 3 el del eslabón !i/o

%suelo' " la barra . #n este caso, 3 es el centro instantáneo de rotación de la

barra . #s decir, la barra tiene un movimiento de rotación pura alrededor del

punto de unión de dicha barra con el eslabón !i/o.

uando existe un par prismático entre dos sólidos r&gidos, el centro instantáneo de

rotación relativo entre ambos sólidos se encuentra sobre la perpendicular com-n a

la dirección de deslizamiento relativo entre ambos sólidos, pero localizado

in!initamente le/os en la dirección de!inida por dicha perpendicular. #n la siguiente

!igura se muestra un e/emplo de par prismático %entre la deslizadera " el eslabón

!i/o del mecanismo biela4manivela'.

0 los pares cinemáticos de rotación " a los pares prismáticos se les denomina

centros de rotación instantáneos directos por ser rápidamente identi!icables. #n

cambio, cuando el movimiento relativo entre eslabones es más comple/o, por

e/emplo el que se produce entre los eslabones * " ) del anterior mecanismo, ladeterminación del centro de rotación instantáneo entre ambos no es directa " es

necesario utilizar el teorema de los tres centros %o de 5enned"'.


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Teore"a de os tres centros#l teorema de los tres centros %o de 5enned"' es -til para encontrar aquellos

centros instantáneos de rotación relativos en un mecanismo, que no sean de

obtención directa %obvios'. $u enunciado es el siguiente6

7$i tenemos tres eslabones %sólidos r&gidos' animados de movimiento relativo

entre ellos %"a sea que est+n o no conectados entre s&' los centros instantáneos

de rotación relativos entre los tres eslabones han de estar alineados7

$e puede demostrar este teorema por contradicción, como se muestra en la

siguiente !igura. $uponemos que uno de los eslabones es !i/o %suelo'. #n esecaso, el centro instantáneo de rotación relativo entre los eslabones " * no puede

estar en el punto 8 de contacto entre dichos eslabones, pues dicho punto no

tendr&a la misma velocidad como perteneciente al eslabón % V P2 ', que la que

tendr&a como perteneciente al eslabón * % V P3 '. #stas dos velocidades sólo

pueden ser iguales en un punto Q que est+ alineado con los centros

instantáneos de rotación relativos de cada eslabón respecto del eslabón !i/o. 9a

que esta es la -nica !orma de que las direcciones %" sentidos' de V Q2 y V Q3

coincidan.


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(a posición de Q dependerá de las velocidades angulares de los eslabones "

* %tanto de su módulo, como de su sentido'. #n el e/emplo mostrado, es claro que

: ha de ser ma"or que :*.

#ste teorema tambi+n puede demostrarse planteando el cálculo de la velocidad

del punto ; %centro instantáneo de rotación relativo entre los eslabones " *'

como perteneciente al sólido " como perteneciente al sólido *6

⃗V Q2 ¿ ⃗ ω2⃗V Q3 ¿ ⃗ ω3

X ⃗ O2Q

X ⃗ O3

Q

#sta -ltima igualdad sólo es posible si los dos vectores de posición del punto ;

%respecto a los centros de rotaciónO

2 y O

3

' tienen la misma dirección. 9, por lo

tanto, los tres centros instantáneos de rotación relativos % O2, O3 , y Q ' han de

estar alineados.

Anáisis de a Veocidad

#n esta sección se realizará un análisis del vector velocidad observando las

propiedades de sus componentes. $ea un cuadrilátero articulado 01D %


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" que será perpendicular al eslabón AB. #sta velocidad puede descomponerse en

V ' BC y V ' ' BC , de modo que tales componentes sean respectivamente de la

dirección del acoplador BC %eslabón ' " normal a +ste. #s decir6

V B=V ' BC +V ' ' BC

omo el punto 1 pertenece tambi+n al eslabón , que al igual que los restantes es

r&gido, todos los puntos del segmento BC de esta barra tendrán la misma

componente de la velocidad seg-n la dirección 1. #n particular, el punto C

gozará de tal propiedad. 0hora bien, el punto C tambi+n pertenece al eslabón * "

ha de girar en torno al punto D, con velocidad absoluta normal a CD. 8or tanto,

llevando V ' CB=V ' BC " trazando por el extremo de V ' CB una perpendicular a

BC , se obtiene V C .

(a determinación de la velocidad del punto # del acoplador puede hallarse de

!orma parecida. Descompóngase V B en dos componentes6 una de la dirección

V BE " la otra normal a ella. (a componente V ' BE se traslada a E , "a que

V ' EB=V ' BE , por ser V BE inde!ormable %el mismo eslabón '.

De igual manera, de la velocidad V C se encuentra la componente V ' CE

paralela a la dirección CE " se traslada al punto E . (a velocidad absoluta del

punto, V E , se encontrará en la intersección de las dos perpendiculares por los


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extremos de los vectores V ' EC " V ' EB , respectivamente a EC y EB . omo

práctica podemos intentar averiguar la a velocidad del punto E %!igura *.'.

$eg-n las construcciones realizadas en los diversos eslabones, se llegará a la

conclusión que en una misma barra la velocidad de un punto cualquiera %por e/emplo, el C ' relativa a otro punto de su propio eslabones %por e/emplo, el

B ' es siempre perpendicular al segmento que une dichos puntos %en este caso,

normal a BC '.

islando el eslabón BC con las velocidades obtenidas anteriormente V B y V C

%!igura *.*' se transporta a C el vector V B . omo la pro"ección sobre BC

de ambas velocidades ha de ser la misma, se llega al resultado que la di!erencia

de estos dos vectores ha de ser normal a la recta que une los dos puntos. $i se

denomina velocidad de B respecto a C mediante la notación V BC , se

tiene6

V BC =V B−V C

#sta velocidad relativa, como se ve en la


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Tal como se observa en la !igura *.*, : es del sentido de la agu/as del relo/ tal

como se desprende de los sentidos de las velocidades relativas V BC ó V CB .

Deter"inación de centros instantáneos.

8ara localizar los IR seguimos el siguiente m+todo6

)' =allar el n-mero de centros ( N =4 (4−1 )

2=6) .

' Determinar los inmediatos por simple inspección.*' (ocalizar el resto mediante la le" de los tres centros.

3tro mecanismo de corredera está representado en la !igura *.>, que dispone

tambi+n de cuatro eslabones con un par prismático entre los elementos ) " . (aconstrucción auxiliar de los eslabones está realizada, en la parte derecha de la

!igura " se muestra que inicialmente son inmediatos la localización de los polos

P14 , P34 " P23 ? restando encontrar otros tres polos más.

#l polo P12 , al ser el elemento prismático que se desplaza por el eslabón ), se

encontrará en el in!inito en la dirección ortogonal a la barra ). #l centro

instantáneo de rotación P13 se encuentra como la intersección de las l&neas

de!inidas por los polos P

12

" P

23

, de un lado " P

14

con P

34

, de otro.

#l centro que resta, P24 , se encuentra en la recta BC " en la perpendicular

por A al eslabón ). De esta !orma quedan establecidas las posiciones de todos

los centros instantáneos de rotación, " a partir de ellos cabe encontrar velocidades

en todo el mecanismo.


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(a !igura *.@ representa una cadena cinemática de A eslabonamientos " con

n−1¿

n¿

N =¿

centros instantáneos de rotación, los cuales quedan representados.


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Anáisis de a !eocidad "ediante os CIR.

uando se conocen los centros instantáneos de rotación de un mecanismo resulta

inmediato determinar la velocidad de cualquier punto del mismo, sin necesidad de

calcular primero las velocidades de otros puntos. on el m+todo de los IR, no es

necesario calcular la velocidad de un punto que una !&sicamente dos barras, sinoque calculando la velocidad del IR relativo de dos eslabones podemos

considerar que conocemos la velocidad de un punto que pertenece indistintamente

a cualquiera de los dos eslabones.

#s importante resaltar que el IR se comporta como si perteneciera

simultáneamente a ambos eslabones, por tanto su velocidad debe ser la misma si

la obtenemos en base a uno u otro eslabón.

8ara calcular las velocidades por IR seguiremos los pasos siguientes6

)' Identi!icar los eslabones a los que pertenecen6a' #l punto de velocidad conocida.b' #l punto de velocidad desconocida.c' #l eslabón de re!erencia o barra !i/a.

' $e hallan los tres IR relativos correspondientes a las barras, que estarán en

l&nea recta seg-n nos indica el Teorema de 5enned".*' $e calcula la velocidad del IR relativo de los dos eslabones no !i/os,

considerándolo como un punto perteneciente a la barra de velocidad conocida.2' $e considera la velocidad hallada como la de un punto del eslabón cu"a

velocidad queremos hallar. onociendo la velocidad de un punto del eslabón

%IR' " su centro de giro podemos encontrar la de cualquier otro punto delmismo.

• 0plicación de los IR a un mecanismo de cuatro barras.

• 0plicación de los IR a un mecanismo de biela 4 manivela.

C#r!as $oares.

na curva polar es el lugar geom+trico de todas las posiciones alcanzadas por el

centro instantáneo de rotación, o polo de velocidades, de un eslabón con respecto

a otro.

(a !igura *.B Camuestra la curva polar correspondiente a diversas posiciones del

mecanismo de 2 barras " generada por el punto P24 . omo tal punto tiene la

misma velocidad, tanto si se considera del eslabón como si se hace del 2, se

desprende que tal punto no tiene velocidad. 8or tal razón a esta curva polar se

denomina curva polar !i/a, o base.


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Debe tenerse especial cuidado en no con!undir la curva polar con la tra"ectoria de

ning-n punto cuando evoluciona el mecanismo. 8i+nsese que el punto P24 es

centro instantáneo solo para una posición? al moverse el cuadrilátero articulado,

otros puntos irán sucedi+ndose como centros instantáneos " con!igurarán la curva

polar.

uando se realiza la inversión del mecanismo, tal como re!le/a la !igura *.B Cb, se

obtiene otra curva polar que se denomina móvil, o ruleta " que se ha generado por

el mismo punto P24 . 0mbas curvas, seg-n se va moviendo el cuadrilátero, se

mantienen tangentes en todo momento. 8ara una posición cualquiera el punto de

tangencia es el polo de velocidades actual a tal posición.

Po%&ono de !eocidades.

no de los medios más e!icaces " rápidos para el análisis de las velocidades de

un mecanismo lo o!rece el pol&gono de velocidades. 0demás, como se verá en el

siguiente cap&tulo, este m+todo proporciona datos !undamentales para el análisis

de la aceleración, como son las velocidades relativas.

(a construcción de velocidades de !orma grá!ica realmente se !unda en la

ecuación vectorial6

V X =V A+V XA

donde V X es la velocidad, en general desconocida, de un punto X

cualquiera del mecanismo? V A , es la velocidad conocida de otro punto del

mismo eslabón al que pertenece X " por -ltimo, V XA es la velocidad relativa

de X con respecto a A . como quiera que la velocidad relativa V XA es


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normal a la recta XA , el trazado de los pol&gonos de velocidades se realizará

por aplicación de las propiedades descritas.

#n la !igura *.)E puede verse un mecanismo de 2 barras con un punto E de

acoplador " se pretende encontrar las velocidades de los puntos C " E , as&

como las velocidades relativas de los puntos B , C " E , partiendo de la

velocidad V B .

a' álculo de V C ,V CB , : " :*. (a ecuación se escribirá para este caso

mediante6

V C =V B+V CB

8or un punto O cualquiera se lleva el vector V B " por su extremo se traza

una perpendicular a BC %dirección del vector V CB ' " por O una recta

normal a CD %dirección de V C '. #stas rectas se cortan cerrando el triángulo

de los vectores implicados en la ecuación, determinándose V C " V CB .

(a velocidad angular : se obtiene por aplicación de la expresión

ω2=V CB=V BC

" la velocidad angular :*, se hallar&a directamente por medio de


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ω3=V C =V CD

b' álculo de V E , V EB y V CE . #n esta ocasión la ecuación se desdobla en las

dos siguientes6

V E=V B+V EB

V E=V C +V EC

de las cuales son vectores conocidos F1 " F " de los vectores F#1 " F# son

tambi+n datos sus direcciones %por ser ortogonales respectivamente a las #1 "

#'. Del vector F# no se conoce ni dirección ni módulo.

8or el extremo del vector V B se traza una perpendicular a BE %dirección de

V EB ' " por el extremo del vector V C se constru"e una recta normal a CE

%soporte de la velocidad V EC '. Donde ambas rectas se encuentran %punto E '

' se obtiene el extremo del vector V E buscando. (os restantes vectores,

V EB y V EC , !orman los triángulos correspondientes en los pol&gonos de

velocidades para que se veri!iquen las relaciones % V E=V B+V EB ' " %

V E=V C +V EC ', como puede comprobar el lector.

#l triángulo E ' B ' C ' es seme/ante al EBC del acoplador, tal como se

evidencia de !orma inmediata, "a que ambas !iguras tienen sus lados respectivos

perpendiculares entre s&. #sta propiedad general tiene interesantes aplicaciones

en el análisis grá!ico de velocidades.

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