VIVIANA CORTS GARCA ROSITA ISABEL GARCA RAMN SHEILA ITZAYANA JESS LVAREZ OSCAR ARTURO VALOS DE LA CRUZ NGEL JIMNEZ VALENCIA

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METODO SIMPLEX

Es un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la solucin a cada paso. El proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando ms dicha solucin.El mtodo del simplex fue creado en 1947 por el matemtico George Dantzig .El mtodo del simplex se utiliza, sobre todo, para resolver problemas de programacin lineal en los que intervienen tres o ms variables.El lgebra matricial y el proceso de eliminacin de Gauss-Jordan para resolver un sistema de ecuaciones lineales constituyen la base del mtodo simplex

Partiendo del valor de la funcin objetivo en un vrtice cualquiera, el mtodo consiste en buscar sucesivamente otro vrtice que mejore al anterior. La bsqueda se hace siemprea travs de los lados del polgono(o de las aristas del poliedro, si el nmero de variables es mayor). Cmo el nmero de vrtices (y de aristas) es finito, siempre se podr encontrar la solucin.

El mtodo del simplex se basa en la siguiente propiedad: si la funcin objetivo,f, no toma su valor mximo en el vrtice A, entonces hay una arista que parte de A, a lo largo de la cualfaumenta.

Resolver mediante el mtodo del simplex el siguiente problema:MaximizarZ= f(x,y)= 3x + 2y

sujeto a:2x + y18

2x + 3y42

3x + y24

x0 , y0

Se consideran las siguientes fases:1. Convertir las desigualdades en igualdadesSe introduce unavariable de holgurapor cada una de las restricciones, para convertirlas en igualdades, resultando el sistema de ecuaciones lineales:2x + y + h = 18

2x + 3y + s = 42

3x +y + d = 24

2. Igualar la funcin objetivo a cero- 3x - 2y + Z = 03. Escribir la tabla inicial simplexEn las columnas aparecern todas las variables del problema y, en las filas, los coeficientes de las igualdades obtenidas, una fila para cada restriccin y la ltima fila con los coeficientes de la funcin objetivo:Tabla I. Iteracin n 1

BaseVariable de decisinVariable de holguraValores solucin

xyhsd

h2110018

s2301042

d3100124

Z-3-20000

. Encontrar la variable de decisin que entra en la base y la variable de holgura que sale de la baseA. Para escoger la variable de decisin que entra en la base, nos fijamos en la ltima fila, la de los coeficientes de la funcin objetivo y escogemos la variable con el coeficiente negativo mayor (en valor absoluto).En nuestro caso, la variablexde coeficiente - 3.Si existiesen dos o ms coeficientes iguales que cumplan la condicin anterior, entonces se elige uno cualquiera de ellos.Si en la ltima fila no existiese ningn coeficiente negativo, significa que se ha alcanzado la solucin ptima. Por tanto, lo que va a determinar el final del proceso de aplicacin del mtodo del simplex, es que en la ltima fila no haya elementos negativos.La columna de la variable que entra en la base se llamacolumna pivote(En colorverde).B. Para encontrar la variable de holgura que tiene que salir de la base, se divide cada trmino de la ltima columna (valores solucin) por el trmino correspondiente de la columna pivote, siempre que estos ltimos sean mayores que cero. En nuestro caso: 18/2 [=9] , 42/2 [=21] y 24/3 [=8]Si hubiese algn elemento menor o igual que cero no se hace dicho cociente. En el caso de que todos los elementos fuesen menores o iguales a cero, entonces tendramos una solucin no acotada y no se puede seguir.El trmino de la columna pivote que en la divisin anterior d lugar al menor cociente positivo, el 3, ya 8 es el menor, indica la fila de la variable de holgura que sale de la base,d. Esta fila se llamafila pivote(En color verde).Si al calcular los cocientes, dos o ms son iguales, indica que cualquiera de las variables correspondientes puede salir de la base.A. En la interseccin de la fila pivote y columna pivote tenemos el elemento pivote operacional,3.5. Encontrar los coeficientes de la nueva tabla.Los nuevos coeficientes dexse obtienen dividiendo todos los coeficientes de la filadpor el pivote operacional, 3, que es el que hay que convertir en 1.A continuacin mediante la reduccin gaussiana hacemos ceros los restantes trminos de su columna, con lo que obtenemos los nuevos coeficientes de las otras filas incluyendo los de la funcin objetivoZ.Tambin se puede hacer utilizando el siguiente esquema:Fila del pivote:

Nueva fila del pivote= (Vieja fila del pivote): (Pivote)Resto de las filas:

Nueva fila= (Vieja fila) - (Coeficiente de la vieja fila en la columna de la variable entrante) X (Nueva fila del pivote)Vemoslo con un ejemplo una vez calculada la fila del pivote (fila de x en la Tabla II): Vieja fila de s2301042

------

Coeficiente222222

xxxxxx

Nueva fila pivote11/3001/38

======

Nueva fila de s07/301-2/326

Tabla II. Iteracin n 2

BaseVariable de decisinVariable de holguraValores solucin

xyhsd

h01/310-2/32

s07/301-2/326

x11/3001/38

Z0-100124

Como en los elementos de la ltima fila hay uno negativo, -1, significa que no hemos llegado todava a la solucin ptima. Hay que repetir el proceso:A. La variable que entra en la base esy, por ser la variable que corresponde al coeficiente -1B. Para calcular la variable que sale, dividimos los trminos de la ltima columna entre los trminos correspondientes de la nueva columna pivote:2:1/3 [=6],26:7/3[=78/7] y 8:1/3[=8]y como el menor cociente positivo es 6, tenemos que la variable de holgura que sale esh.C. El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es1/3.Operando de forma anloga a la anterior obtenemos la tabla:Tabla III. Iteracin n 3

BaseVariable de decisinVariable de holguraValores solucin

xyhsd

y0130-26

s00-70412

x10-1016

Z0030-130

Como en los elementos de la ltima fila hay uno negativo, -1, significa que no hemos llegado todava a la solucin ptima. Hay que repetir el proceso:A. La variable que entra en la base esd, por ser la variable que corresponde al coeficiente -1B. Para calcular la variable que sale, dividimos los trminos de la ltima columna entre los trminos correspondientes de la nueva columna pivote:6/(-2)[=-3],12/4[=3], y 6:1[=6]y como el menor cociente positivo es 3, tenemos que la variable de holgura que sale ess.C. El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es4.Obtenemos la tabla:Tabla IV. Final del proceso

BaseVariable de decisinVariable de holguraValores solucin

xyhsd

y01-1/20012

d00-7/4013

x10-3/4003

Z005/40033

Como todos los coeficientes de la fila de la funcin objetivo son positivos, hemos llegado a la solucin ptima. La solucin ptima viene dada por el valor de Z en la columna de los valores solucin, en nuestro caso:33.En la misma columna se puede observar el vrtice donde se alcanza, observando las filas correspondientes a las variables de decisin que han entrado en la base:D (3,12)* Si en el problema de maximizar apareciesen como restricciones inecuaciones de la forma: ax + by c; multiplicndolas por - 1 se transforman en inecuaciones de la forma - ax - by - c y estamos en el caso anterior* Si en lugar de maximizar se trata de un problema de minimizar se sigue el mismo proceso, pero cambiando el sentido del criterio, es decir, para entrar en la base se elige la variable cuyo valor, en la fila de la funcin objetivo, sea el mayor de los positivos y se finalizan las iteraciones cuando todos los coeficientes de la fila de la funcin objetivo son negativos.