8/13/2019 Metodo de Steffensen.doc

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1.- Introduccin

En la resolucin de ecuaciones no lineales nos aparecen muchos problemas en forma natural, con lanecesidad de calcular el valor de x donde una funcin f se anula, es decir, una raz de f. En general, colas herramientas analticas que se usan para estudiar y graficar funciones suaves (derivables) slopodemos analizar si hay un intervalo a, b! donde el gr"fico de f cruza el e#e x.

En muchas ocasiones, slo tiene sentido encontrar una solucin aproximada. $ veces, el c"lculo exact

no es posible ya sea porque se trata de una raz irracional o porque la funcin viene dada porcoeficientes cuyos valores se conocen slo en forma aproximada.

%o importante al utilizar m&todos que estimen el valor deseado es poder controlar el error que secomete al utilizar un valor aproximado en lugar del exacto.

2.- Fundamento Terico

'ara una sucesin xn, obtenida por el m&todo del punto fi#o xn*+ f(xn), partimos de tres puntos-

y f(x)

z f(y)

donde xes el punto inicial. /bteniendo as-

x+ x0 (y0x)+12

z0 23y0 x

En forma general-

4n*+ xn0 (yn0 xn)+12

zn0 23 yn0 xn5onde si 6xn*+0 xn6 error 7 8ol entonces se satisface la tolerancia.

3.- Planteamiento del Problema

Obtener una raz de la funcinf(x)= x - cos xpor la iteracin del punto fijo y aplicando el mtodo de Steffensen,

tomamosg(x)= cos x = 0 y error

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4.- Desarrollo del mtodo

El mtodo de Steffensen consiste en aplicar un mtodo de Aitken modificado a unasucesin convergente obtenida de la iteracin de punto fijo. Para ello partiremos de trespuntos obtenidos mediante la iteracin en el punto fijo, que cumplen:

a!ora podemos aplicar Aitken a estos tres trminos

Para la obtencin de los siguientes trminos de la sucesin basta considerar los siguientesvalores . .

. . . en la siguiente formula genrica

5.- Diseo del modelo matemtico

Deflexin de vigas en voladizo"a ecuacin diferencial que determina el despla#amiento de una viga puede determinarsea partir de la relacin e$istente entre el momento flector %&$', el radio de curvatura k&$' dla curva (&$' que define la forma de la viga, el mdulo de elasticidad E &que depende delmaterial' ( el momento de inercia dic!a relacin es la siguiente:

)eniendo en cuenta que el radio de curvatura depende de las dos primeras derivadas de(&$', puede deducirse la siguiente ecuacin no lineal:

donde " es la longitud de la viga.*uando la fle$in de la viga es peque+a, se tiene que (&$' - . Por tanto, asumiendo est!iptesis de peque+as deformaciones, obtenemos:

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.- !eri"icacin de los modelos matemticos

Si consideramos el caso de una viga en voladi#o, debemos imponer las siguientescondiciones iniciales:

(&' - , (&' - ."a condicin (&' - indica que el e$tremo i#quierdo de la viga est/ situado en el origende coordenadas, mientras que la condicin (&' - nos dice que dic!o e$tremopermanece fijo. 0e esta forma !emos e$presado (&$' como solucin de un problema devalores iniciales. Para resolverlo numricamente ser/ necesario escribirlo en forma desistema.

"a ecuacin diferencial obtenida depende de la forma del momento flector, que a su ve#depende de la distribucin de la carga que soporta la viga. 1amos a tener en cuenta doscasos:

*arga uniformemente distribuida P &figura 2.3':

*arga puntual P en el e$tremo de la viga en voladi#o &figura 2.33':

Figura 5.10: 0efle$in de una viga en voladi#o con carga uniformemente distribuida: esquema.

Figura 5.11: 0efle$in de una viga en voladi#o con carga puntual en un e$tremo: esquema.

*onsideremos una viga de longitud " - 4 m ( tomemos los valores E - 4 $3335m4 ( 6 - 7,82 $ 399 m. Se representan los resultados obtenidos al aplicar el mtodo ;