mÉtodo de reducciÓn (triangulación) · sistemas de ecuaciones. aplicaciones abel martín &...

Sistemas de ecuaciones. Aplicaciones

Abel Martín & Marta Martín Sierra www.aulam atematica.com 1

Resuelve todos los sistemas de ecuaciones siguientes por diferentes métodos algebraicos (en caso de que haya infinitas soluciones, propón al menos 2 de ellas):

(a) Reducción, sustitución, igualación y gráficamente. Simultáneamente, comprueba con la calculadora los resultados, señalando las soluciones lo más simplificadas posibles.

(b) A la vista de las soluciones obtenidas , di el nombre que recibe cada uno de los sistemas anteriores e interprétalos geométricamente.

MÉTODO DE REDUCCIÓN (Triangulación)

04 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones

−=+=−−

25

02

yx

yx

RESOLUCIÓN

Eliminamos la "x"

−=+=−−

25

02

1

5

yx

yx

)(

)(

→

29

25

0105

−=−

−=+=−−

y

yx

yx

9y = 2 → y = 2/9 Calculamos el valor de la otra incógnita, de nuevo, por reducción:

−=+=−−

25

02

2

1

yx

yx

)(

)(

→

49

4210

02

−=

−=+=−−

/x

yx

yx

x = – 4/9 x = – 4/9 ; y = 2/9 ; Esta solución es comú n en ambas ecuaciones

Geométricamente se trata de 2 rectas que se cortan en el punto (– 4/9, 2/9) SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO

Comprobación de las soluciones con la calculadora

08

=+=+

362

53

yx

yx

RESOLUCIÓN

Eliminamos la "x"

=+=+

+−

362

53

1

2

yx

yx

)(

)(

700

362

1062

−=+

=+−=−−

yx

yx

yx

0 = – 7

Pero como 0 ≠ –7 No existe ninguna solución común en ambas ecuacione s

Resolución de sistemas de ecuaciones de primer grad o...

... con dos incógnitas

Geométricamente se trata de 2 rectas paralelas Sistema INCOMPATIBLE


ClassWiz nos indica que NO tiene solución

12

=+=+

251010

522

yx

yx

RESOLUCIÓN

=+=+−

251010

522

1

5

yx

yx

)(

)(

→

000

251010

251010

=+

=+−=−−

yx

yx

yx

0 = 0 INFINITAS SOLUCIONES

Geométricamente se trata de 2 rectas superpuestas SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO

Tendría por solución todos aquellos valores de “x” e “y” que verifiquen la igualdad

2x + 2y = 5 ; así, algunas soluciones serían:

2y = 5 – 2x

y = 2

25 x−

x = 0 ; y = 5/2

x = 1 ; y = 3/2

x = 2 ; y = 1/2




MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

Pasaremos a solucionar los 24 ejercicios por el mét odo de SUSTITUCIÓN, con el objetivo fundamental de practicar y afianzar su pro cedimiento de resolución.

Consiste en despejar UNA de las incógnitas de una de las ecuaciones (la que te parezca más sencilla) y sustituir la expresión resultante en la OTRA ecuación.


−=+=−−

25

02

yx

yx

RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN Despejamos la "y" de la segunda ecuación:

y = – 2 – 5x Sustituimos el valor de "y" en la primera ecuación – x – 2y = 0

– x – 2(– 2 – 5x) = 0 – x + 4 + 10x = 0

9x = – 4 x = – 4/9

Calculamos el valor de la otra incógnita sustituyendo en 5x + y = – 2 y = – 2 – 5x

y = – 2 – 5

−9

4 =

y = 9

2018+− =

9

2

y = 2/9 x = – 4/9 ; y = 2/9 ; Esta solución es comú n en ambas ecuaciones

Geométricamente se trata de 2 rectas que se cortan en el punto (– 4/9, 2/9) SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO

08

=+=+

362

53

yx

yx

RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN Despejamos la x de la primera ecuación:

x = 5 – 3y Sustituimos el valor de "x" en la segunda ecuación 2x + 6y = 3

2(5 – 3y) + 6y = 3 10 – 6y + 6y = 3

0y = – 7 0 = – 7

Pero como 0 ≠ – 7



Son 2 rectas paralelas. Geométricamente se trata de 2 rectas paralelas

Sistema INCOMPATIBLE

12

=+=+

251010

522

yx

yx

RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN: Despejamos la "x" de la primera ecuación:

2x = 5 – 2y

x = 2

25 y−

Sustituimos el valor de "x" en la segunda ecuación: 10x + 10y =25

10·2

25 y− + 10y = 25

5(5 – 2y) + 10y = 25 25 – 10y + 10y = 25

– 10y + 10y = 25 – 25 0 = 0

INFINITAS SOLUCIONES Geométricamente son dos rectas superpuestas

SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO Tendría por solución todos aquellos valores de "x" e "y" que verifiquen la igualdad 2x + 2y =

5; así, algunas soluciones serían: x = 5/2 ; y = 0 x = 0 ; y = 5/2 x = 1 ; y = 3/2

etc.

RESOLUCIÓN CON CALCULADORA GRÁFICA

.



MÉTODO DE IGUALACIÓN

x = x Consiste en despejar la

misma incógnita en cada una de las ecuaciones e igualar las expresiones

obtenidas:


−=+=−−

25

02

yx

yx

RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE IGUALACIÓN: Por ejemplo la y

– 2y = x 2y = – x

y = 2

x−

y = – 2 – 5x

2

x− = – 2 – 5x

Sustituimos el valor de "y" en la primera ecuación – x – 2y = 0 – x = – 4 – 10x – x + 10x = – 4

9x = – 4 x = – 4/9

Calculamos el valor de la otra incógnita sustituyendo en y = – 2 – 5x

y = – 2 – 5

−9

4

y = 9

2018+− = 9

2

y = 2/9 Geométricamente se trata de 2 rectas que se cortan en el punto (– 4/9, 2/9)

SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO

08

=+=+

362

53

yx

yx

RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE IGUALACIÓN: Por ejemplo, la x

x = 5 – 3y 2x = 3 – 6y

x = 2

63 y−

5 – 3y = 2

63 y−

2(5 – 3y) = 3 – 6y 10 – 6y = 3 – 6y 10 – 6y + 6y = 3

0y = – 7

Se le llama IGUALACIÓN pues consiste en

igualar



0 = – 7 Pero como 0 ≠ – 7

Incoherencia No existe ninguna solución común en ambas ecuacione s

Geométricamente se trata de 2 rectas paralelas Sistema INCOMPATIBLE

12

=+=+

251010

522

yx

yx

RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE IGUALACIÓN: Por ejemplo la x

2x = 5 – 2y

x = 2

25 y−

10x = 25 – 10y

x = 10

1025 y−

2

25 y− =

10

1025 y−

5(5 – 2y) = 25 – 10y 25 – 10y = 25 – 10y

0y = 0 0 = 0

INFINITAS SOLUCIONES Tendría por solución todos aquellos valores de "x" e "y" que verifiquen la igualdad:

2x + 2y = 5 ; así, algunas soluciones serían: x = 5/2 ; y = 0 x = 0 ; y = 5/2 x = 1 ; y = 3/2

etc. Geométricamente se trata de 2 rectas superpuestas

SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO



MÉTODO GRÁFICO


−=+=−−

25

02

yx

yx

RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO GRÁFICO Como se trata de 2 rectas bastará con realizar unas sencillas tablas de valores:

– x – 2y = 0 5x + y = – 2 x y x y 0 0 0 – 2 2 – 1 – 2/5 0

Buscamos con la calculadora un 3º punto perteneciente a ambas rectas:

Representamos gráficamente ambas rectas y buscamos el punto común a ambas ecuaciones:

x = – 4/9 ; y = 2/9 ; Esta solución es comú n en ambas ecuaciones Geométricamente se trata de 2 rectas que se cortan en el punto (–4/9, 2/9)

SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO



08

=+=+

362

53

yx

yx


x + 3y = 5 2x + 6y = 3 x y x y 0 5/3 0 1/2 5 0 3/2 0


En los sistemas compatibles indeterminados e incompatibles LA CALCULADORA CIENTÍFICA

nos da el mensaje de Math ERROR


No existe ninguna solución común en ambas ecuacione s Geométricamente se trata de 2 rectas paralelas

Sistema INCOMPATIBLE



12

=+=+

251010

522

yx

yx


2x + 2y = 5 10x + 10y = 25 x y x y 0 5/2 0 5/2

5/2 0 5/2 0


En los sistemas compatibles indeterminados e incompatibles LA CALCULADORA CIENTÍFICA

nos da el mensaje de Math ERROR


INFINITAS SOLUCIONES Son 2 rectas superpuestas

Tendría por solución todos aquellos valores de "x" e "y" que verifiquen la igualdad 4x + 12y = 6

Así, algunas soluciones serían: (2, 0.5) (3, – 0.5) etc. SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO



48

−=+−−−

−=−−−−−

34

2

2

18

1

2

1

4

3

yx

yx

"MÉTODO LIBRE"

RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE REDUCCIÓN: Simplificamos cada una de las ecuaciones que conforman el sistema:

8

1

2

1

4

3 −=−−−−− yx

mcm: 8 2(– x – 3) – 4(– y – 1) = – 1

– 2x – 6 + 4y + 4 = – 1 – 2x + 4y = 1

34

2

2

1 −=+−−− yx

mcm: 4 2(x – 1) – (– y + 2) = – 12

2x – 2 + y – 2 = – 12 2x + y = – 12 + 4

2x + y = – 8 Resolvemos el sistema formado por las nuevas expresiones obtenidas

−=+=+−

82

142

yx

yx

5y = – 7 y = – 7/5

)(

)(

4

1

−

−=+=+−

82

142

yx

yx

→

3310

3248

142

=−

=−−=+−

x

yx

yx

10x = – 33 x = – 33/10

(b) A la vista de las soluciones obtenidas se trata de 2 rectas que se cortan en el punto (– 33/10, – 7/5)

(c) A la vista del número de soluciones el sistema se dice que es... COMPATIBLE DETERMINADO


49

=+−

−+−

−=−

−−−

332

33

2

6

3

3

2

xyyx

yxyx

RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE REDUCCIÓN: Simplificamos cada una de las ecuaciones que conforman el sistema:



3

2

6

3

3

2 −=−−−− yxyx

mcm: 6

2(– 2x – y) – (x – 3y) = – 4 – 4x – 2y – x + 3y = – 4

– 5x + y = – 4

332

3 =+−−+− xyyx

mcm: 6

3(– x + 3y) – 2(– y + x) = 18 – 3x + 9y + 2y – 2x = 18

– 5x + 11y = 18 Resolvemos el sistema formado por las nuevas expresiones obtenidas

=+−−=+−−18115

451

yx

yx)( →

=+−=−

18115

45

yx

yx

y = 22/10 y = 11/5

=+−−=+−−18115

45

1

11

yx

yx

)(

)( →

=+−=−

18115

441155

yx

yx

50x = 62 → x = 62/50 x = 31/25

(b) A la vista de las soluciones obtenidas se trata de 2 rectas que se cortan en el punto (31/25, 11/5)

(c) A la vista del número de soluciones el sistema se dice que es COMPATIBLE DETERMINADO


51

=−

=+

2

367

232

yx

yx

RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE REDUCCIÓN: Eliminamos las "y"

=−

=+

2

3671

232

2

yx)(

yx)(

=−

=+

2

367

464

yx

yx →



+ y6

– y6

se anulan

2 formas de hacerlo:

23

474 +=+xx

mcm: 2x 8 + 14 = 8x + 3x

22 = 11x

21111 =

x

2 · 11 = 11 · x

11211·

= x

x = 2 Calculamos el valor de "y" por sustitución en la primera ecuación:

x2

+ y3

= 2

22

+ y3

= 2

1 + y3

= 2

mcm: y y + 3 = 2y

y – 2y = – 3 – y = – 3

mcm: 2y 2y + 6 = 4y

2y – 4y = - 6 - 2y = - 6

2y = 6

y = 3 x = 2 ; y = 3

A la vista del número de soluciones el sistema se dice que es... SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO

mÉtodo de reducciÓn (triangulación) · sistemas de ecuaciones. aplicaciones abel martín &...

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