INTRODUCCION

En los problemas de ingeniería no es siempre posible obtener soluciones matemáticas rigurosas,

solo en algunos casos simples pueden obtenerse soluciones analíticas. Cuando los problemas

implican propiedades de materiales, distribución de cargas y condiciones de contorno complejas, es

necesario introducir simplificaciones e idealizaciones para reducir el problema a una solución

matemática que sea capaz de dar resultados aceptables desde el punto de vista de la seguridad y la

economía.

RESUMEN

En desarrollos anteriores se obtuvo la ecuación diferencial para un sistema en vibración, aplicando

diversos y muy precisos métodos de cálculo. Sin embargo, la ecuación diferencial del movimiento,

para un sistema sin amortiguamiento en vibración libre, puede también ser obtenida aplicando el

Principio de Conservación de la Energía.

Es en este principio en el cual se basa el método de Rayleigh, igualando la energía potencial

máxima con la energía cinética máxima y obteniendo la frecuencia natural del sistema.

METODOS DE CÁLCULO DE LOS PERIODOS Y FORMAS DE MODOS DE VIBRACION

“METODO DE RAYLEIGH”

1. El Principio de los trabajos virtuales:

Un procedimiento alternativo al método directo, empleado hasta ahora en la formulación de

ecuaciones del movimiento, es el uso del principio de los trabajos virtuales. Puede ser

aplicado a sistemas dinámicos, con el principio de D´Alembert que establece el equilibrio

dinámico mediante la inclusión de fuerzas de inercia en el sistema.

El principio de los trabajos virtuales puede ser expresado de la siguiente manera: “En un

sistema que está en equilibrio, el trabajo de todas las fuerzas durante un desplazamiento

hipotético es igual a cero.”

Demostración:

Consideremos el oscilador amortiguado que se muestra en la figura:

Oscilador simple amortiguado

Si se supone un desplazamiento virtual (hipotético) dy, el trabajo total hecho por las fuerzas

mostradas es igual a cero.

mÿδy+cy´ δy+kyδy−F ( y ) δy=0 , δy=0

mÿ+cy ´+ky−F ( t )=0

Por lo tanto hemos obtenido la ecuación diferencial del movimiento de un oscilador

amortiguado.

2. Método de Ryleigh

Para un sistema sin amortiguación de vibración libre, la ecuación diferencial del movimiento

puede ser obtenida aplicando el Principio de Conservación de la Energía: “Si no hay fuerzas

externas actuando sobre el sistema, y no existe disipación de energía (amortiguación), la

energía total del sistema permanece constante durante el movimiento y por lo tanto, su

derivada es igual a cero.”

Sistema de resorte y masa en vibración simple

La energía total del sistema es igual a la suma de la energía cinética de la masa más la

energía potencial del resorte, en este caso la energía cinética es:

T=12m y´2

La energía potencial total del resorte para un desplazamiento final y es:

V=∫0

y

kyδy=12k y2

Sumando ambas ecuación e igualando la suma a una constante:

12m y´2+ 1

2k y2=C o

Y diferenciando con respecto al tiempo:

mÿy ´+kyy ´=0

Como y´ no puede ser cero para todos los valores del tiempo:

mÿ+ky=0

Si el movimiento es armónico, expresado por una función de desplazamiento:

y=C sin(wt+α)

Y velocidad:

y ´=wCcos(wt+α)

Donde C es el desplazamiento máximo y wC la velocidad máxima, por lo tanto en la posición

neutral la energía total es la energía cinética máxima:

Tmax=12m(wC )2

En la posición de desplazamiento máximo de la masa la velocidad es cero y toda la energía

en el sistema es energía potencial, por lo tanto.

Vmax=12kC2

La energía en el sistema cambia gradualmente, en un cuarto de ciclo, de energía puramente

cinética a energía puramente potencial .Si no se ha agregado o perdido energía durante un

cuarto de ciclo, las dos expresiones de la energía deben ser iguales:

12m(wC )2=1

2kC2

De esta ecuación se obtiene la frecuencia natural del oscilador simple:

w=√ KmEste método, en que la frecuencia natural se obtiene igualando la energía cinética máxima

con la energía potencial máxima, se llama Método de Rayleigh.

Una mejor aproximación al verdadero valor de la frecuencia natural puede lograrse usando

el Método de Rayleigh. La masa distribuida del resorte puede fácilmente ser considerada

suponiendo que el desplazamiento a lo largo del resorte es lineal.

Para la demostración consideremos la figura:

Sistema de resorte y masa con masa uniformente distribuida en el resorte.

El resorte tiene una longitud L y una masa total m. El desplazamiento de una sección

cualquiera del resorte a la distancia s del soporte se considera que es:

u= syL

= sLC sin(wt+α)

La energía potencial máxima de un resorte en tensión está dada por:

Vmax=12kC2

Un elemento diferencial del resorte, de longitud ds, tiene una masa igual a msds/L y una

velocidad máxima:

u ´max=wumax= wsCL

Entonces la máxima energía cinética del sistema es:

Tmax=∫0

L12msLds( wsC

L)2

+ 12m(wC )2

Integrando e igualando con la Vmax:

12k C2=1

2w2C2(m+ms

3)

Despejando la frecuencia natural (rad/s):

w=√ k

m+ms3

En ciclos por segundo:

f= 12π √ k

m+ms3

La aplicación del Método de Rayleigh nos muestra que se puede obtener un mejor valor de

la frecuencia natural agregando un tercio de la masa del resorte a la masa principal en

vibración.

CONCLUSIONES

El Método de Rayleigh consiste en calcular la frecuencia natural del sistema, igualando la

energía cinética máxima con la energía potencial máxima.

La aplicación del Método de Ryleigh nos muestra que se puede obtener un mejor valor para

la frecuencia natural.

BIBLIOGRAFIA CONSULTADA

Dinámica Estructural - teoría y calculo - Mario Paz.

www.sbribd.com