7/23/2019 Mtodo de Fibonacci y Bsqueda de La Seccin Dorada

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Mtodo de Fibonacci

ste mtodo determina el valor mnimo de !na "!ncin en !n intervalo cerrado#c1$c2%& 'n la (r)ctica se enc!entran "!nciones con !n dominio am(lio$ sinembargo (ara ste mtodo el intervalo de b*s+!eda debe ser es(eci,cado& La

(ro(iedad +!e se as!me +!e debe tener !na "!ncin (ara este mtodo es +!edebe ser -!nimodal. esto es/

Para desarrollar a(ro(iadamente el mtodo de ibonacci$ debemos encontrars!cesivamente los (!ntos N de manera +!e sin conocer e(lcitamente a la"!ncin -". (odamos determinar la regin de incertid!mbre donde el mnimoest)& N!estra regin de incertid!mbre la encontramos (or los N (!ntos tambin con los s!(!estos de +!e " es !nimodal& Por tanto estos (!ntos son/

3onde n!estra regin de incertid!mbre est) en el intervalo # 41$461% 4 esn!estro (!nto mnimo entre N$ aora de,nimos 08c1 N618c2$ el mnimode " debe estar en esta regin de la ,g!ra 9&1&

ste (roceso se debe re(etir m!cas veces (ara (oder obtener n!estra reginde incertid!mbre: denotando n!estras variables como las sig!ientes/

Siendo d1 el anco inicial de incertid!mbre

dk8 'l anco des(!s de 4 mediciones

3es(!es de 4 mediciones tenemos la sig!iente "orm!la/

3onde los enteros 4 dan como res!ltado miembros de la s!cesin deibonacci$ generada (or la sig!iente relacin/

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La sec!encia a nos es "amiliar es 1$1$ 2$ ;$ 5$ 9$ 1;emos +!e la sol!cin a la ec!acin de ibonacci la (odemos ver como

3onde son entradas de la ec!acin caracterstica tales +!e

? ambas tienen valor res(ectivamente

Para !n N m! grande el lado dereco de la ec!acin de ibonacci dominares(ecto al seg!ndo (or lo tanto tenemos +!e eval!ando el lmite c!ando Ntiende a in,nito&

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Se tiene +!e el intervalo de incertid!mbre en c!al+!ier (!nto en el (rocesotiene !n anco

Lo c!al da consec!encia esto/@omo !na concl!sin breve$ res(ecto al anco de intervalo de incertid!mbre elmtodo de la seccin dorada converge linealmente$ al mnimo general de la"!ncin " con radio de convergencia 0&19&

Mtodo de Newtonsta tcnica (ermite lograr !na convergencia m)s r)(ida +!e la +!e o"recenotros ti(os de iteracin "!ncional& Sea " !na "!ncin +!e est) en las "!nciones

+!e tienen seg!nda derivada en !n intervalo cerrado a$ b& Sea tambin 4ense mismo intervalo$ !na a(roimacin de tal +!e la (rimera derivadaeval!ada en 0 sea distinto de cero$ adem)s de +!e B 0Bsea (e+!eCa&@onsideremos el (rimer (olinomio de Talor (ara "DE e(andido alrededor de0&

'ntonces (odemos calc!lar !na estimacin 461 del (!nto mnimo de " (araencontrar el (!nto donde la derivada de -+. se desvanece&

Si vemos gr),camente lo +!e ace ste mtodo&

'l mtodo de NeFton se obtiene s!(oniendo +!e$ como B 0B es tan (e+!eCo$el termino +!e contiene D 0E2es m!co menor +!e a(roimadamente seacercara a cero& 'ntonces des(eGando a de esto$ vemos +!ea(roimadamente n!estra es 0& ? as encontramos&

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Si s!stit!imos aora tendramos la e(resin sig!iente

Mtodo de la Regula Falsa.'l mtodo de NeFton (ara la minimiHacin se basa en el aG!ste de !n(olinomio sobre la base de la in"ormacin en !n solo (!nto: mediante el !so dem)s (!ntos$ se re+!iere menos in"ormacin en cada !no de ellos&

Por tanto s!stit!endo en la ec!acin del mtodo deneFton tenemos el (olinomio +&

3onde !na estimacin de 461(!ede ser encontrada mediante

@om(arando con el mtodo anterior vemos +!e la "!ncin "D4E no entra eneste (olinomio&

Ina veH m)s$ a +!e este mtodo no de(ende de los valores de "directamente$ (!ede ser considerado como !n mtodo (ara resolver "DE KgDE 8 0& >isto de esta manera el mtodo$ +!e se il!stra en la ,g& 9&$ toma la"orma

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@oncl!endo +!e el orden de convergencia del todo de la reg!la alsa es

&

Cubic Fit.3ados los (!ntos 4 41 G!nto con los valores "D4E$ "D4E$ "D41E$ "D41E es

(osible constr!ir !na ec!acin c!bica& 'l (!nto 461(!ede ser determinadocomo el (!nto mnimo relativo se de,ne as/

3onde/

Quadratic Fit.ste mtodo es el m)s !sado el +!e no necesita derivadas (ara s! (roceso$se necesitan tan solo ; (!ntos& Sean esos (!ntos 1$ 2 ; con s!scorres(ondiente valores "D1E$ "D2E$ "D;E: aora constr!imos el (aso de seg!ndogrado a travs de estos (!ntos&

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? de,nimos !n n!evo (!nto +M+!e es donde la derivada de + se desvanece&

3onde &

Adem)s de,namos los errores como (ara !n eMtenemos+!e/

3onde de(ende de los valores de la seg!nda tercer derivada de " en &

Si decimos +!e e4 tiende a cero$ entonces (ara !n 4 grande

Oaciendo tenemos +!e

@on la ec!acin caracterstica

La raH m)s grande de esta ec!acin es +!e de este modo determina latasa de crecimiento de 4 es el orden de convergencia del mtodo de aG!stec!adr)tico&