VOLUMEN MEDIANTE EL METODO DE CASCARONES

VOLUMEN MEDIANTE EL METODO DE CASCARONESEl mtodo de disco es una tcnica de determinar el volumen de un slido, donde los discos son anillos circulares.- El mtodo de cascarones cilndricos es otra forma de calcular volmenes, es una tcnica de aproximacin de slidos de revolucin mediante una coleccin de delgados cascarones cilndricos y a veces conduce a clculos mas simples.-

Un cascaron cilndrico es una regin limitada por dos cilindros circulares concntricos de la misma altura h .- si el cilindro interior tiene como radio r1 y el exterior r2 , se puede escribir = (r1 + r2)/2 para el radio medio del cascaron cilndrico y t = r2 r1 para su espesor .- El volumen del cascaron ser:

V = - = (r1+r2)(r1 r2) h = 2 (r2 r1) h = 2 t h

En palabras, el volumen del cascaron es el producto del 2, su radio medio, su espesor y su altura.-Supngase ahora que queremos encontrar el volumen de revolucin generado por la rotacin en torno al eje de las y de la regio bajo la curva y = f(x) de x = a a x = b .- .- Admitamos que 0 a b y que f(x) es no negativa en [ a ; b ] .- (figura N 2)

Figura N 2

Para encontrar V , comencemos con una particin regular de [a ; b] en n subintervalos iguales de longitud x = ( b-a) / n .- Sea el punto medio del i-esimo subintervalo [xi-1 , xi] (el radio medio r) y considrese el rectngulo de base x = xi xi-1 (el espesor t) y altura f() (h).- este cascaron cilndrico se aproxima al slido de volumen Vi que se obtiene al girar la regin bajo y = f(x) y sobre [xi-1 ; xi]

Vi 2 h t 2 f() x y en consecuencia de acuerdo a la suma riemanniana se tendr:

V = 2 f() x = 2 x f(x) dx (1) Esta aproximacin del volumen V es una suma riemanniana que se acerca a

2 x f(x) dx cuando x 0 , por lo que resulta que el volumen de nuestro slido de revolucin est dado por:

V = 2 x f(x) dx (1) Es mas confiable aprender como se establecen las formulas integrales que simplemente memorizarlas.- Un recurso heurstica til para establecer la formula (1) consiste en dibujar la tira rectangular muy estrecha del rea que se muestra en la figura.- Cuando esta rea gira alrededor del eje de las y , produce un delgado cascaron cilndrico de radio x, altura y = f(x) y espesor dx .- Por lo tanto su volumen designado como dV , puede escribirse dV = 2 x f(x) dx y el volumen total:

V = 2 x y dx = 2 x f(x) dx

Siempre debemos expresar a la variable y ( y a cualquier otra variable dependiente ) en funcin de la .-variable independiente x (identificada mediante la diferencial dx) antes de la integracin.-Ejemplo N 1: encuentre el volumen del slido generado mediante la rotacin alrededor del eje de las y de la regin bajo la curva y = 3x2 x3 desde x = 0 hasta x = 3

Aqu no sera practico utilizar el mtodo de arandelas, puesto que una seccin perpendicular al eje y serie un anillo circular y encontrar sus radios interiores y exteriores requerira despejar a x de la ecuacin y = 3x2 x3 como funcin de y , pero con la formula (1) , tomando f(x) = 3x2 x3 a = 0 , b = 3

V = 2 x f(x) dx = 2 x( 3x2 x3 ) dx = 2 (3x3 x4 ) dx =

Ejemplo N 2: Encontrar el volumen del slido que queda despus de barrenar un orificio de radio a por el centro de una esfera slida de radio r> a .-

Rotamos la esfera alrededor del eje de la y el agujero es paralelo al eje de la y , la mitad superior de la esfera sin el agujero estar dada por:

V = 2 2 x f(x) dx = 2 x dx = 4 [ -]

V = [ ] cuando a = 0 quedara: V = r3

Sea ahora una regin A comprendida entre las curvas y = f(x) y y = g(x) en el intervalo [a , b]

Cuando A gira alrededor del eje las ordenadas, genera un slido, supongamos que queremos hallar el volumen de ese slido, estar dado por:

V = 2 [f() g()] x = 2 x [f(x) g(x)]dx (2) El mtodo de cascarones cilndricos es tambin una forma eficaz de calcular los volmenes de los slidos de revolucin en torno al eje de las absisas (x) .-La figura N 3 muestra la regin A limitada por las curvas x = f(y) y x = g(y) para el intervalo [c; d] por las rectas horizontales y = c , y = d , realizando un procedimiento similar que para el eje x tendramos :

Figura N 3

V = 2 [f() g()] y = 2 y [f(y) g(y)] dy (3)

Ejemplo N 3: considere la regin del primer cuadrante limitada por las curvas y = x2 , y = x3 , .- Usando el mtodo de cascarones cilndricos para calcular los volumen de los slidos que resultan de la rotacin de la regin , `primero en torno al eje y , despus , alrededor del eje de las x.-

Alrededor del eje de las y:

V = dx =

Alrededor del eje de las x:

V = dy =

Supongamos ahora que la regin gira alrededor de la recta x = -1, el volumen estar dado por:

V = dx = dx =

4Oap/14