LICENCIATURA EN MATEMTICAS.

ESTADSTICA III.

UNIDAD I.procesos y series de tiempo.ACTIVIDAD 2.uso de software.

ALUMNA: Mara de la Luz Prez Limn.MATRCULA: AL12525958.FACILITADORA: Patricia Bautista Otero.GRUPO: MT-MEST3-1501S-B1-001

ACTIVIDAD 2. USO DE SOFTWARE.

Instrucciones: Mediante el uso de los cdigos en R (generarAR.R, ar2simA2.R, ma2sim.R) que se encuentran en la carpeta Material de apoyo resuelve los siguientes ejercicios.

Usar el cdigo generar AR.R para simular un proceso AR( 1 ) para valores de :.

Simulacin de procesos AR(1) para los siguientes valores de 200 observaciones, obteniendo las siguientes grficas.

Ejecute en R los siguientes comandos>cambiar dir("/Users/Administrador/Documents/generaAR.R")>source("generaAR.R")>generaAR.R(200,-1)

Ejecute en R los siguientes comandos>cambiar dir("/Users/Administrador/Documents/generaAR.R")>source("generaAR.R")>generaAR.R(200,1)Para . Para

Para

Cmo se relaciona el comportamiento del proceso simulado con respecto a la observacin despus de las ecuaciones (5) y (6), en la seccin 1.1.3?

Los anlisis de las ecuaciones 5 y 6 nos dan indicativos de que el comportamiento del proceso simulado puede aplicar en algunos casos, sobre todo para las primeras grficas en donde se aprecia un tipo de variabilidad constante; slo que al simular los valores entre 1, 1.01, -1.01 y -1, no se mantiene la hiptesis de la ecuacin 5, ya que notamos que la esperanza vara conforme el tiempo y la variabilidad es cambiante conforme pasa el tiempo, esto es, la media y la varianza tienen un comportamiento drstico, y por lo tanto, la estacionariedad de segundo orden, no se cumple para los parmetros del inciso b. El comportamiento del proceso simulado tambin se puede comparar con lo que establecen las ecuaciones (26), (29) y la ecuacin (29) con , comente referente a lo que observa en las grficas y como se relaciona con la teora vista en el ejemplo (c.1). Tenemos las ecuaciones:

Si , la esperanza del proceso es .

Si , el denominador es positivo, la covarianza es positiva y no depende de .

Segn lo observado en estas ecuaciones, los procesos simulados son de segundo orden, ya que el valor esperado y la covarianza son independientes del tiempo, aunque s existe una dependencia de la movilidad de los promedios; podemos observar en la ecuacin 29, que existe tambin una indeterminacin cuando se dan los valores de y, por lo tanto, la hiptesis anterior no se puede cumplir, por otro lado si el valor anterior crece de manera evidente.Dado el vector de parmetros y la varianza del ruido blanco, la funcin ar2simA2.R simula observaciones de un proceso AR(2). Para los datos simulados, esta funcin est hecha para calcular un estimador muestral de la sucesin de autocorrelacin descrita en el tema 1.2. En la grfica que la funcin produce hay dos paneles, en el panel superior esta la grfica del proceso simulado, en el panel inferior esta la grfica del estimador para cada . Usando esta funcin produzca 10 simulaciones, cada una con observaciones, del proceso

donde es de ruido blanco normal con varianza . De los 10 casos simulados. Realizamos 10 simulaciones del proceso dado, considerando , con 200 observaciones; la varianza del ruido blanco es 1.

Es posible encontrar el orden del proceso usando ? Explique.

Se dice que los procesos autorregresivos AR (p) se caracterizan por tener una funcin de autocorrelacin simple (FAS), con coeficientes que decrecen exponencialmente en valor absoluto hacia cero, adems de tener tantos coeficientes distintos de cero, en la funcin de autocorrelacin parcial (FAP) como orden tenga el proceso. Los procesos ms habituales son los de orden 1 y 2, y las condiciones de estacionariedad (estabilidad de los polinomios) son: AR(1)AR(2) Existe una correspondencia directa entre estos parmetros y la funcin de covarianza del proceso, y esta correspondencia puede ser invertida para determinar los parmetros de la funcin de autocorrelacin (que es obtenido a partir de las covarianzas. Ahora bien, si los datos han sido generados por un modelo AR(p), slo los primeros p coeficientes de autocorrelacin parcial sern distintos de cero. Por otra parte, si los datos han sido generados por un modelo MA(q), la FAP ser infinita y tender a aproximarse a cero asintticamente. Como se indica en la pgina 25, considero que no es posible poder encontrar el orden del proceso usando , ya que para hacer la identificacin de un modelo autorregresivo para los datos, es necesario usar otra sucesin de autocorrelacin llamada autocorrelacin parcial PACF.

Dado el vector de parmetros y la varianza del ruido blanco, la funcin ma2sim.R simula observaciones de un proceso MA(2). Para los datos simulados esta funcin est hecha para calcular un estimador muestral . En la grfica que la funcin produce hay dos paneles, en el panel superior est la grfica del proceso simulado, en el panel inferior est la grfica del estimador para cada . Usando esta funcin produzca 10 simulaciones, cada una con observaciones, del proceso

donde es ruido blanco normal con varianza . En la unidad 2 se ver que para cada , cada vez que esta dentro de las bandas punteadas, significa que podemos asumir que . Siguiendo esta idea, compare las 10 grficas obtenidas de las estimaciones con lo que establece la ecuacin (22) y la discusin que sigue a esta ecuacin.Para los siguientes problemas puedes usar R para analizar los polinomios de promedios mviles y el autorregresivo.

Realizacin de 10 simulaciones del proceso MA(2), mediante el script de la funcin ma2sim.R ,con 200 observaciones para theta

Segn lo estudiado en el programa desarrollado y despus de estudiar la siguiente ecuacin (22) :

Se puede concluir que dado que el proceso es de orden 2, se cumple que la sucesin ACF se va aproximando cada vezms, a cero.

CORRECCIN.Sea un proceso de ruido blanco con varianza de . Determine si el proceso dado por

es causal.

Definicin:

En este caso se tiene que el proceso descrito se ajusta a:Para diremos que el proceso {}t se llama autorregresivo y de promedios mviles de rdenes p y q (ARMA(p,q)), si se puede escribir como:

Sea el proceso ARMA (p, q)

Luego= Obtenemos un Modelo ARMAcon ecuacin:

El modelo es invertible porque la raz de 1 0.75z = 0 y est fuera del crculo unitario, entonces concluimos que el proceso es causal.

Sea un proceso de ruido blanco con varianza de . Determine si el proceso dado por

es invertible.

Definicin:Un proceso ARMA (p, q) definido por:

es invertible, si existe una sucesin d constantes tales que: y Sea el proceso ARMA(p,q)

Hemos obtenido races y un modelo ARMA es invertible slo cuando las races de slo cuando |z|> 1.

Por lo tanto, se trata de un proceso invertible.

Fuentes de consulta:Programa Desarrollado de Estadstica III, I Unidad, Depto. de Ciencias Exactas, UNADM, 2015. Apuntes-ICT-2950-1er-Sem-2013 Tpicos de Econometra, Profesor: Louis de Grange C.Pdf.Basu, S., & Reinsel, G. C. (1992). Journal of statistical computation and simulation.

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