UNIVERSIDAD POLITCNICA DE CATALUA

ESCUELA TCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE CAMINOS, CANALES Y PUERTOS DE BARCELONA

DEPARTAMENTO DE INGENIERA DE LA CONSTRUCCIN

Proyecto de estructuras de hormign armado con armaduras de alta ductilidad

Tesina de Especialidad en Anlisis y Proyecto de Estructuras

Por:

Jess Miguel Bairn Garca

Tutor: Antonio Mar Bernat

Barcelona, Julio 2007

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Resumen Actualmente, en Espaa se fabrican aceros con caractersticas especiales de ductilidad, bajo al tipificacin SD en la Instruccin EHE, cuya capacidad de deformacin en rango plstico es muy superior a la de los aceros convencionales. La alta ductilidad de estos aceros ofrece potencialmente numerosas ventajas de cara al comportamiento estructural en estado lmite ltimo tanto frente a acciones ssmicas como gravitatorias. En esta tesina se estudian las ventajas del uso de este tipo de aceros en el proyecto de estructuras de hormign armado y se investiga la influencia en la capacidad rotacin en rtulas plsticas y de redistribucin de esfuerzos en elementos estructurales. Se contempla el uso de hormigones de hasta 100 MPa siendo consistente con el alcance que tendr la futura Instruccin Espaola de Hormign Estructural, EHE (2007). De igual modo, se investiga el uso del confinamiento en el hormign como herramienta habitual en el dimensionado de piezas dctiles capaces de producir redistribuciones importantes. Para llevara cabo este estudio se ha desarrollan dos modelos de anlisis no-lineal de estructuras de hormign: uno a nivel seccional y otro a nivel estructural. El modelo de anlisis seccional considerar secciones de geometra arbitraria constituidas por cualquier combinacin de materiales. Asimismo se ha desarrollado una variada biblioteca de modelos de materiales. A nivel estructural, se ha implementado un elemento tipo barra 3D de directriz curva arbitraria basado en la Formulacin Matricial Generalizada (FMG). Adems de extraer las principales conclusiones y realizar recomendaciones para futuros trabajos de investigacin, se ha desarrollado un catlogo de curvas de curvatura plstica y factor de endurecimiento para secciones rectangulares de hormign abarcando todo el rango de resistencias de la actual instruccin, los tipos de acero y distintos niveles de confinamiento. Siguiendo las recomendaciones elaboradas en esta tesina, puede emplearse dicho catalogo para dimensionar las regiones de rtula plstica para una ductilidad dada.

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Summary Currently, Spanish steel industry is producing steel reinforcing bars with special ductility characteristics which are typified as SD in the Spanish Code for Structural Concrete. The deformation capacity of these steels in the plastic range is considerably larger than the one of conventional steel reinforcing bars. This high ductility offers numerous potential benefits on the structural behavior under ultimate limit state, both under seismic and gravity loads. In this thesis, the benefits of using this type of steels in the design of concrete structures are studied and the influence of the rotation capacity of plastic hinges and redistribution of internal-forces is investigated. Concrete strength up to 100 MPa are been considered to be consistent with the range of applicability of the new Spanish Code (EHE, 2007). Confinement is investigated as a natural tool to achieve high sectional ductility. In order to carry out this investigation, two numerical models for the non-linear analysis of concrete structures: one at the sectional level and the other at the structural level. The sectional model allows analyzing cross sections of arbitrary geometry built with any combination of materials. Additionally, a wide library of material models has been developed. At the structural level, a 3D flexibility-based curve element has been implemented based on the Generalized Matrix Formulation (GMF). A selection of the main conclusion of this thesis is presented and recommendations for future investigations are made. On the other hand, a catalog of plastic curvatures and the hardening factor for rectangular cross-sections is offered, in the annexes of this thesis, for all concrete strengths included in the current Spanish Concrete Code, types of steel reinforcement, and different confinement levels. Following the recommendations given in this work, the mentioned catalog may be used as a tool for designing plastic hinges zones to have a given ductility.

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CONTENIDO 1. Introduccin.................................................................................................... 9

1.1. Motivacin ................................................................................................ 9

1.2. Objetivos ................................................................................................ 10

1.3. Contenido del documento....................................................................... 11

2. Estado del conocimiento .............................................................................. 13 2.1. Comportamiento de los materiales. ........................................................ 13

2.1.1. Hormign.......................................................................................... 13 2.1.2. Acero. ............................................................................................... 18

2.2. Comportamiento no-lineal de secciones................................................. 20

2.2.1. Respuesta a flexin de secciones de hormign armado. ................. 20 2.2.2. Interaccin flexin cortante............................................................... 25

2.3. Comportamiento no-lineal de estructuras de barras............................... 31

2.4. Mtodos de diseo al lmite.................................................................... 37

2.4.1 Mtodo de las rotaciones impuestas (Macchi) .................................. 38 2.4.2 Mtodo de las rotaciones ltimas (Baker) ......................................... 38 2.4.3 Clculo de las demandas de rotacin en las rtulas plsticas .......... 39

2.5. Redistribucin de esfuerzos en los cdigos de proyecto........................ 40

2.5.1. Cdigo Modelo (CM 90), CEB-FIB (1993) ........................................ 40 2.5.2. ACI318, ACI (2005) ........................................................................ 41 2.5.3. Eurocdigo 2, EC2 (2002) ................................................................ 42 2.5.4. Instruccin EHE................................................................................ 43

3. Modelo de anlisis........................................................................................ 45 3.1. Anlisis seccional ................................................................................... 45

3.1.1 Ecuaciones constitutivas ................................................................... 46 3.1.2 Descripcin geomtrica ..................................................................... 48 3.1.3 Dominios de rotura ............................................................................ 50 3.1.4 Cuantificacin de la ductilidad seccional ........................................... 51 3.1.5 Mtodo de solucin ........................................................................... 53 3.1.6 Visualizacin de resultados ............................................................... 53

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3.2. Modelo estructural .................................................................................. 55

3.2.3 Esquema de solucin no-lineal.......................................................... 55 3.2.4 Modelo seccional............................................................................... 56 3.2.5 Formulacin matricial generalizada (FMG)........................................ 56

3.3. Integracin de rtulas plsticas .............................................................. 58

3.4. Validacin............................................................................................... 60

4. Estudio paramtrico ..................................................................................... 65 4.1. Estudio seccional ................................................................................... 65

4.1.1. Propiedades mecnicas de clculo .................................................. 66 4.1.2. Propiedades caractersticas - Efecto del confinamiento transversal.................................................................................................. 69

4.2. Estudio estructural.................................................................................. 72

5. Proyecto de estructuras ............................................................................... 75 5.1. Ventajas econmicas de la redistribucin de esfuerzos......................... 75

5.2. Ventajas constructivas y de ahorro de material por alternancia de cargas

...................................................................................................................... 77

6. Conclusiones y perspectivas ........................................................................ 81 6.1. Conclusiones.......................................................................................... 81

6.2. Recomendaciones para futuras investigaciones .................................... 83

Referencias ...................................................................................................... 85 Anejo 1: Diagramas de curvaturas plsticas adimensionales y factores de endurecimiento con distintos niveles de confinamiento............................... 88 A1. Diagramas con deformaciones de clculo en los aceros y sin confinamiento ................................................................................................... 89

A1.1 Aceros B400S ....................................................................................... 89

A1.2 Aceros B400SD .................................................................................... 90

A1.3 Aceros B500S ....................................................................................... 91

A1.3 Aceros B500SD .................................................................................... 92

A2. Diagramas con deformaciones caractersticas de los aceros y distintos niveles de confinamiento.................................................................... 93

A2.1 Aceros B400S ....................................................................................... 93

A2.2 Aceros B400SD .................................................................................. 101

A2.3 Aceros B500S ..................................................................................... 109

A2.4 Aceros B500SD .................................................................................. 117

Anejo 2: INTERACCIN CORTANTE-FLEXIN EN HORMIGN ARMADO - ANLISIS ALTERNATIVO EN SECCIN VERTICAL................. 125

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1. Introduccin

1.1. Motivacin Actualmente, en Espaa se fabrican aceros con caractersticas especiales de ductilidad, bajo al tipificacin SD en la Instruccin EHE, cuya capacidad de deformacin en rango plstico es muy superior a la de los aceros convencionales. La alta ductilidad de estos aceros ofrece potencialmente numerosas ventajas de cara al comportamiento estructural en estado lmite ltimo. Una ventaja inmediata se reconoce en el proyecto sismorresistente de estructuras. En ese sentido, el comportamiento dctil bajo cargas cclicas es un eficiente mecanismo de disipacin de la energa ssmica de forma econmica; por lo que representa el mecanismo de disipacin ssmica ms empleado en las construcciones convencionales. En el campo de las acciones estticas, una estructura con un comportamiento dctil en el rango no-lineal permite redistribuciones de las leyes de esfuerzos antes del colapso. Esta capacidad de redistribucin es directamente proporcional a la capacidad de deformarse en rango no-lineal sin perder capacidad de carga; es decir, a la ductilidad. La posibilidad de modificar de forma segura la ley de esfuerzos permita, entre otras, las siguientes versatilidades en el proyecto: Reduccin de la concentracin de armadura de flexin en las zonas ms

solicitadas. Mejora de la facilidad de construccin. Optimizacin de armado ante hiptesis de carga distintas. Incremento de la seguridad global de las estructuras hiperestticas. Proyectos ms econmicos.

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Sin embargo, no siempre la mayor ductilidad de las armaduras empleadas se transfiere directamente a la estructura de hormign armado; para ello, es preciso que la misma sea dimensionada adecuadamente. La futura instruccin EHE 1 presenta varias novedades respecto a su antecesora, entre otras cabe citar, en el caso que nos ocupa, las siguientes: Generalizacin a los hormigones de alta resistencia hasta 100 MPa. Distincin del tipo de acero (S SD)2 la deformacin mxima de clculo en

la armadura traccionada. Distincin del tipo de acero (S SD) en la capacidad de redistribucin de

esfuerzos permitida. As mismo, sta se da en funcin de la profundidad de la fibra neutra, a diferencia de la edicin anterior en la que la redistribucin estaba fijada a un valor constante de 15% siempre que x/d0.45. Por redistribucin permitida por la instruccin se debe entender aquella sin realizar un clculo explcito de la capacidad de rotacin de las rtulas plsticas y de la demanda de rotacin necesaria para conseguir dicha redistribucin. El proyecto de estructuras basado en un clculo no-lineal detallado est previsto en dicha Instruccin de acuerdo a lo estipulado en su captulo 5. Por otro lado, se recuerda que los hormigones de alta resistencia presentan en general un comportamiento ms frgil que los hormigones ordinarios. En este panorama se plantea la investigacin llevada a cabo en esta tesina con la finalidad de estudiar las ventajas reales que presentan los aceros SD en el proyecto de estructuras de hormign armado, as como proponer recomendaciones para el mejor aprovechamiento de sus propiedades. En el siguiente apartado se describen los objetivos especficos de esta tesina.

1.2. Objetivos Los objetivos especficos de esta tesina son los siguientes:

1. Elaboracin del estado actual del conocimiento sobre el proyecto y clculo no-lineal de estructuras de hormign.

2. Desarrollo y validacin de modelos de clculo especficos para el anlisis del comportamiento no-lineal de secciones y estructuras de hormign armado teniendo en cuenta las caractersticas de los materiales de forma realista.

3. Validacin de los modelos desarrollados. 4. Realizacin de estudios paramtricos a nivel seccional y estructural. Se

pretende estudiar la influencia del tipo de acero, tipo de hormign (se

1 En el momento de redaccin de este documento, estaba publicado el Documento 0 de la EHE-2007. 2 En la EHE, S es la designacin de las armaduras soldables de ductilidad normal, SD es la designacin de las armaduras soldables de ductilidad especial.

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incluyendo hormigones de hasta 100 MPa de forma consistente con la futura EHE) as como de la influencia del confinamiento.

5. Elaboracin de recomendaciones para el proyecto con armaduras de alta ductilidad de forma que se pueda conseguir un grado de redistribucin deseado en un anlisis no-lineal paso a paso realizado a posteriori.

1.3. Contenido del documento Esta tesina est dividida en seis captulos de los cuales la presente introduccin es el primero de ellos. En el segundo captulo se presenta un estado del conocimiento en el que se describen aspectos relacionados tanto con la fsica y simulacin del comportamiento de los materiales constituyentes del hormign armado desde el punto de vista de la investigacin y de los cdigos de diseo ms recientes. Se hace nfasis en las propiedades de las armaduras de alta ductilidad as como en las ventajas del confinamiento del hormign armado ya que son aspectos que potencian la ductilidad de la estructura y su capacidad de redistribucin. Asimismo, se aborda el estado del conocimiento referente al comportamiento dctil de secciones incluyendo algunos aspectos relevantes cuando existen importantes esfuerzos cortantes concomitantes y la incidencia en la longitud plstica y capacidad de redistribucin. Finalmente se analizan algunos criterios de diseo con verificacin explcita de la capacidad de redistribucin plstica y los criterios existentes en distintas instrucciones de referencia para permitir la redistribucin directa de esfuerzos. En el captulo tres se describen dos modelos numricos desarrollados para le anlisis de secciones transversales arbitrarias y el anlisis no-lineal de sistemas estructurales completos. El modelo estructural est basado en un elemento de flexibilidad desarrollado de acuerdo a la Formulacin Matricial Generalizada (FMG). En el mismo captulo el modelo es validado mediante la simulacin de una campaa completa de ensayos sobre losas continuas para diferentes cuantas de armado y tipos de acero. El captulo cuatro se realiza un estudio paramtrico sobre secciones transversales y estructuras. En el estudio se basa en la variabilidad de las cuantas de armado, confinamiento transversal, tipos de hormign y tipos de aceros. Se determinan los efectos en la curva momento-curvatura de la seccin. Posteriormente, se realiza un estudio paramtrico variando las propiedades de la curva momento-curvatura e investigando cmo inciden en la capacidad de redistribucin. En el captulo cinco se hace un anlisis sobre las ventajas econmicas y constructivas que pueden obtenerse al proyectar una estructura hiperesttica considerando redistribuciones de esfuerzos adecuadamente. En el captulo seis se extraen las conclusiones ms importantes de este estudio.

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2. Estado del conocimiento

2.1. Comportamiento de los materiales.

2.1.1. Hormign. Comportamiento uniaxial La resistencia a compresin del hormign se mide, generalmente, mediante el ensayo a compresin simple sobre probetas cilndricas estandarizadas con relacin altura/dimetro igual a 2. En la Fig. 1 se representan diversas curvas - para hormigones de diferentes resistencias donde se pueden destacar las siguientes caractersticas:

Rama inicial prcticamente lineal hasta niveles de tensiones moderadas. A partir de tensiones de, aproximadamente, 60% de la resistencia a compresin, hormigones normales, empieza a acusarse un comportamiento no-lineal. En este punto se ha iniciado el proceso de microfisuracin en el hormign.

A medida que aumenta la resistencia, el valor relativo de la tensin al que inicia el comportamiento no-lineal aumenta, ver Fig. 2. donde se muestran curvas tensin-deformacin normalizadas respecto a las resistencia y punto de tensin mxima.

La tensin mxima se localiza aproximadamente a una deformacin de 0.002. A medida que aumenta la resistencia del hormign, la deformacin de tensin pico es mayor y el pico es ms agudo. Es decir, el material es ms frgil.

Despus del pico el hormign pude transmitir ciertas tensiones. La curva presente una rama descendente que se hace ms abrupta con la resistencia del hormign. La deformacin aprovechable en la rama post-pico es menor con la resistencia.

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Figura 1 Curvas para hormigones de distintas resistencias, Park y Paulay (1994)

Figura 2 Curvas ( /fc - /0) para hormigones de distintas resistencias La resistencia a traccin del hormign es generalmente inferior al 20% de la de compresin. La medida de esta propiedad se realiza, por lo general, de forma indirecta debido a la gran dificultad de ensayar probetas a traccin directa. Algunos ensayos estandarizados para este fin son el brasileo o el de flexotraccin. El comportamiento del hormign a traccin es prcticamente lineal hasta alcanzar su resistencia a traccin y presenta una rama post-pico bastante ms frgil que el hormign a compresin. Por estos motivos, la resistencia a traccin no es aprovechable en estado lmite ltimo. No obstante, existe una mejora apreciable de la tenacidad del material si ste es reforzado con fibras. Comportamiento multiaxial Ante compresiones en ms de una direccin, la resistencia del hormign tiende a mejorar respecto a su comportamiento uniaxial. Esta mejora depende de la

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relacin relativa entre las tensiones principales y de si la accin se realiza en dos direccin (biaxial) o en tres (triaxial). Existen diversos estudios experimentales en los que se han medido las superficies de rotura para hormigones en estados 3D de tensiones, Chen (1982). Entre otras propuestas, una de las superficies de rotura que mejor representa el comportamiento 2D es la de Kupfer, Fig. 3.

Figura 3 Superficie de rotura biaxial de Kupfer, Park y Paulay (1994)

Existen pocas superficies de rotura analticas que puedan captar adecuadamente el comportamiento triaxial, sobretodo ante grandas compresiones hidrostticas. En ese sentido, una de las ms adecuadas es la de Willam-Warnke, Fig. 4.

Figura 4 Superficie de rotura 3D de Willam-Warnke

Adicionalmente al aumento de resistencia, se ha encontrado que la ductilidad del hormign aumenta considerablemente ante estados multicomprimidos de tensiones. Confinamiento Las bondades mejoras sustanciales de comportamiento del hormign multicompirmido son deseables ante situaciones en las que se requiere una

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mayor resistencia y ductilidad del hormign. Este es el caso de ciertas bielas fuertemente solicitadas, que pueden ser en regiones D, pilares fuertemente comprimidos y, sobretodo, en regiones que deben disipar energa bajo la accin ssmica. Una forma de proporcionar compresin lateral a una regin de hormign que, externamente, est solicitada a tensiones uniaxiales, es mediante confinamiento lateral que coaccione las deformaciones laterales debidas al efecto Poisson. ste confinamiento suele darse con armadura transversal, en forma de cercos o zunchos, o mediante planchas o telas de materiales compuestos. La Fig. 5 compara la respuesta a compresin del hormign confinado con el hormign sin confinar. Como puede apreciarse, la ductilidad del hormign aumenta considerablemente permitiendo deformaciones postpico muy altas.

Actualmente, el uso del confinamiento se ha generalizado y existen formulaciones en las distintas normativas para poder considerarlo de forma segura. As, la instruccin EHE (2007) emplea la siguiente ecuacin para calcular la resistencia del hormign confinado, donde w es la cuanta mecnica volumtrica de cercos y es un parmetro que tiene en cuenta la disposicin discreta de la armadura transversal y su efectividad.

( )1 1.5ccd cd wf f = + (2.1.1) La deformacin mxima del hormign confinado puede calcularse de acuerdo a la siguiente expresin propuesta en el EC2 (2002).

Figura 5 Hormign confinado, Mander et al (1988)

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0.1ccu cu w = + (2.1.2)

Puede observarse que en esta ecuacin la deformacin ltima depende, a travs de la cuanta mecnica de armadura transversal, del tipo de acero empleado en el confinamiento. No obstante, existe evidencia experimental de que la deformacin ltima del hormign confinado depende de la capacidad de deformacin de los cercos. Como puede verse en la Fig. 5, el hormign puede seguir sosteniendo cargas hasta la rotura de la armadura transversal. La formulacin propuesta por Mander et al (1988) reconoce explcitamente el efecto de la ductilidad de la armadura de confinamiento en la deformacin ltima del hormign confinado.

1.4 w yh succu cu

cc

ff

= + (2.1.3)

La deformacin bajo tensin mxima del hormign confinado, segn Mander et al (1988), se obtiene como:

0 0 1 5 1cccc cc

ff

= + (2.1.4)

La Ec. (2.1.3) fue obtenida a partir de un balance entre las energas de deformacin del hormign a compresin y de la armadura de confinamiento. Recientemente, Jara (2004) propuso una nueva formulacin que incorpora la energa de deformacin de las armaduras longitudinales a un balance energtico similar:

( ) 02110 3.4 0.017 0.07

0.94 302 0.015 1.1 8s sl c

ccusl yl c c

ff f f

+ + = + + + (2.1.5)

Efecto tamao en compresin El efecto del tamao de la muestra en la tenacidad del hormign a compresin ha sido demostrado experimentalmente, Bigaj (1999), CEB (1993). La Fig. 6 representa un ensayo a compresin simple en dos probetas de idntico hormign, de forma cilndrica con la misma relacin de aspecto forma, slo se ha variando la altura. Como puede observarse, la probeta de mayor altura es considerablemente ms frgil que la probeta corta.

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Figura 6 Efecto tamao en el hormign a compresin, Bigaj (1999)

Una explicacin plausible de ste fenmeno puede darse en base a criterios de mecnica de la fractura. En la rama descendente, el hormign presenta fisuras que tienden a agruparse en bandas de ancho independiente del tamao de la probeta. En esta regin, el trabajo aplicado a la muestra es gastado en abrir ms las fisuras una vez que stas se han formado. La rama descendiente en una curva carga aplicada desplazamiento de la probeta, es relativamente independiente del tamao de la muestra a diferencia de la curva tensin-deformacin. Este efecto hace que elementos muy grandes sean ms frgiles que los esbeltos cuando la falla est dominada por la deformacin ltima del hormign; p.e. en pilares o vigas con poca armadura de compresin. Una forma prctica de reducir la importancia de este efecto es mediante la disposicin de suficiente armadura de compresin y armadura transversal para el atado de las primeras y confinamiento del hormign.

2.1.2. Acero. El acero presenta similar comportamiento a traccin y a compresin. Este se caracteriza por una rama lineal elstica hasta el lmite elstico fy, ver Fig. 8 . A partir de este punto presente una rama plstica con pendiente cero. A una deformacin sh, localizada en el punto B de la figura, empieza la rama de endurecimiento por deformacin donde el acero vuelve a alcanzar tensiones mayores hasta alcanzar su resistencia mxima, fs, en max. A partir de este punto empieza una rama de reblandecimiento, con estriccin alrededor de una zona que localiza un punto dbil y por donde se producir la rotura a una deformacin remanente u.

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Figura 8 Curva - de un acero dctil

Los aceros dctiles deben satisfacer unas caractersticas mnimas distintas segn sean de categora de Ductilidad Normal (S) o Ductilidad Especial (SD). En la Fig. 7 se indican los valores exigidos por la futura EHE (2007).

l alargamiento bajo carga mxima (max) caracterstico, en aceros de lmite el 400 MPa, puede ser mayor al indicado en la figura anterior; principalmente para el acero B400SD, ARCER (2003b). Probablemente por esa razn, la EHE (2007), en el comentario del Art. 38.2, permite los siguientes valores de max

Figura 7 Caractersticas mecnicas de los aceros segn la EHE (2007)

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para los aceros B400S y B400SD cuando no se dispongan de resultados experimentales. Los valores para los aceros B500S y B500SD propuestos en dicho comentario coinciden con los mnimos de la Fig. 7.

Tabla 1 Valores de max para aceros B400 y B400SD max

B400S 0.08 B400SD 0.124

2.2. Comportamiento no-lineal de secciones.

2.2.1. Respuesta a flexin de secciones de hormign armado. Considrese la viga de hormign armado de la Fig. 9 donde la zona entre las dos cargas puntuales est sometida a flexin pura. A medida que se aumenta progresivamente las cargas aplicadas se pueden distinguir los siguientes estados representados en la Fig. 10.

Figura 9 Esquema de un ensayo a flexin

Fase elstica. El hormign an no se ha fisurado y por tanto, la

seccin trabaja ntegramente. La distribucin de las tensiones responde al comportamiento elstico-lineal clsico y la fibra neutra pasa por el centro de gravedad de la seccin homogeneizada del hormign y del acero, al tratarse de una solicitacin de flexin

Fase fisurada. Se inicia cuando la tensin en la fibra ms traccionada del hormign alcanza su resistencia a traccin. A partir de ese momento la fisuracin se propaga y las tracciones que deja de resistir el hormign son absorbidas por el acero, que aumenta bruscamente su tensin. Para satisfacer el equilibrio de las fuerzas y los momentos, el eje neutro debe subir, producindose tambin un incremento de las tensiones en el hormign.

Fase de prerrotura. Puede ser debida a tres causas: que el acero alcance la deformacin plstica, que la deformacin del hormign sea la correspondiente a la tensin de pico, o que sucedan ambos hechos a la vez. El eje neutro contina subiendo, especialmente si la armadura est plastificada, ya que para equilibrar cualquier incremento de momento es necesario

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aumentar el brazo mecnico de las fuerzas internas, porque stas no pueden variar.

Figura 10 Estado de tensional en el hormign y acero bajo carga creciente

A nivel seccional, la respuesta se puede caracterizar a partir de el diagrama momento-curvatura el cul se representa en la siguiente figura. En l se ven claramente diferenciadas las tres fases anteriores; antes de alcanzar el momento de fisuracin, toda la inercia de la seccin bruta participa en la rigidez a flexin - EI.

Figura 11 Diagrama momento-curvatura

En la segunda etapa, se observa un salto brusco de la curvatura, fruto de la propagacin dinmica de la fisura y de la cada notable de la rigidez. La rigidez en la rama fisurada, en una seccin localizada justo sobre una fisura, es funcin de la cuanta de acero y de la geometra de la parte de la seccin que sigue comprimida. Sin embargo, en una seccin localizada entre dos fisuras, existen zonas de hormign traccionadas, en fase elstica, que contribuyen a la rigidez de la pieza gracias a la adherencia con el acero, ver Fig. 12. En consecuencia, el comportamiento medio, en la rama fisurada, de una porcin

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del elemento a flexin, que incluya fisuras y zonas no fisuradas, corresponde ms bien a de la lnea a trozos que se observa en la Fig. 11.

Figura 12 Distribucin de tensiones y curvaturas en un elemento fisurado.

En la tercera rama, la rigidez puede ser muy reducida producindose un mayor aumento de la curvatura que del momento. En funcin esta tercera rama, pueden definirse dos tipos de comportamientos a flexin de la seccin: 1- Rotura frgil por insuficiencia de la armadura de traccin. Tiene lugar cuando el hormign se fisura y la fuerza de traccin que se libera es superior a la capacidad mecnica de la armadura de traccin dispuesta. . Este problema se resuelve disponiendo la cuanta mnima de armadura de traccin que establecen las instrucciones vigentes. 2- Rotura dctil. Se produce si, previamente a que el hormign haya alcanzado la deformacin de agotamiento, cu, el acero plastifica, es decir, alcanza la deformacin correspondiente al lmite elstico, yy

s

fE

= . En este

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caso la curvatura aumenta considerablemente a partir de la plastificacin del acero, lo que confiere a la estructura una notable capacidad de aviso mediante la aparicin de grandes deformaciones y de numerosas y anchas fisuras. El aumento de momento, sin embargo, es muy reducido pues el incremento mximo de tensin de la armadura de traccin es s sd ydf f = , siendo sdf y ydf la carga unitaria de rotura de clculo y el lmite elstico de clculo, respectivamente, del acero. 3- Rotura frgil por compresin excesiva del hormign. Tiene lugar cuando el hormign alcanza su deformacin ltima antes de que el acero haya plastificado. En esta situacin, el punto de plastificacin del diagrama M- no es tan marcado como en el caso anterior, pues aunque corresponda a la plastificacin de la fibra ms comprimida del hormign y de la armadura comprimida, la seccin contina teniendo capacidad para resistir incrementos de momentos hasta que el hormign se agote. La curvatura ltima es menor que si la rotura fuera dctil, manifestndose sta de manera brusca, incluso explosiva, con poca fisuracin y bajas deformaciones, es decir, con poca capacidad de aviso.

La ductilidad seccional se define como el cociente entre la curvatura ltima y la de inicio de plastificacin. Es, evidentemente, una medida de la capacidad de deformacin en rango no-lineal sin prdida sustancial de la capacidad de carga:

Figura 13 Rotura frgil por agotamiento del hormign a compresin

Figura 14 Rotura dctil con gran capacidad de deformacin y fisuracin abundante

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u

y

= (2.2.1) Para una misma geometra, a mayor curvatura ltima mayor es la ductilidad de la seccin. As se ha representado en la figura 15, donde la ordenada representa la curvatura ltima adimensional:u=d u.

Figura 15 Curvatura ltima adimensional en funcin de x/d

Dicha curva est caracterizada por dos regiones diferentes segn sea el modo de falla. Si el la rotura se produce por deformacin excesiva del acero de traccin, la curvatura ltima viene dada por:

,max1

su u d x

d

= =

(2.2.2)

En cambio, si la rotura se produce por compresiones excesivas del hormign, la curvatura ltima adimensional se puede calcular como:

cuu u d xd

= = (2.2.3)

En punto en que estas dos ecuaciones representa la curvatura mxima para una geometra y caractersticas de materiales dadas, ver pico en la Fig. 15. La rama descendente es directamente dependiente de la deformacin del acero. En la prctica, esta rama slo se alcanza en caso de aceros con ductilidad baja y en los casos tericos de proyecto segn normativas que limitan la

cu

susy

cu

susy

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deformacin mxima del acero, en la prctica, a valores inferiores a los mximos reales; por ejemplo, si se limita s,max0.01 s,max0.02.

2.2.2. Interaccin flexin cortante. El esfuerzo cortante en elementos de hormign armado puede resistirse mediante dos mecanismos distintos conocidos como accin de viga y accin de arco. El primero representa la capacidad de desarrollar incrementos de tensiones normales, desarrollando por lo tanto tensiones y cortantes, entre dos secciones consecutivas, sin variar el brazo efectivo entre las resultantes de compresin y traccin en una seccin de viga. El efecto de arco se refiere a la capacidad desarrollar incrementos de momentos sin variar las fuerzas resultantes de la viga, sino variando el brazo de palanca entre ellas. El cortante resistido puede interpretarse como la componente vertical de una fuerza de compresin inclinada.

N NAccin de viga Accin de arco

cc

dCdM dzV z Cdx dx dx

= = + (2.2.4)

Si bien ambos mecanismos coexisten en los elementos de hormign armado, no tienen el mismo protagonismo en los distintos niveles de carga. Cuando una viga responde en rgimen elstico o fisurado en fase II, la profundidad de la fibra neutra es aproximadamente independiente del momento actuante y no existe variacin del brazo del par de fuerzas. En cambio un incremento de momento produce fundamentalmente incremento de tensiones de compresin en el hormign y traccin en el acero. En estas situaciones se admite que la resistencia a cortante se debe fundamentalmente la accin de viga. La accin de arco ocurre cuando por alguna razn no es posible el incremento de tensiones en los componentes de la seccin (plastificacin de la armadura, prdida de adherencia o aplastamiento del hormign) o bien en secciones prximas a los apoyos y aplicacin de cargas (regiones D). En este documento nos referiremos exclusivamente a la accin de viga. Evidentemente una regin viga tendr una transicin de accin viga a accin arco. Este tema no se trata en este documento, tampoco si la accin arco se desarrollar completamente o si es posible alguna superposicin de ambos efectos. Si una viga de hormign armado es sometida simultneamente a esfuerzos flectores y cortantes ocurre un patrn de fisuracin en un ngulo no paralelo al eje de la pieza; en contraposicin al caso de flexin pura, en el que la fisuracin ocurre a 90 respecto del eje de la pieza.

26

Figura 16 Elemento diferencial de viga sometido a flexin y cortante

La inclinacin de las fisuras tiene lugar debido a que la presencia de las tensiones cortantes hace que las direcciones principales no estn situadas en el sistema de coordenadas globales. En las etapas previas a la fisuracin, el hormign resiste el cortante como un par de tensiones principales de compresin y traccin a un ngulo distinto del de aplicacin de dicho esfuerzo. Una vez que la tensin principal de traccin alcanza su resistencia en el hormign (tpicamente pequea) se forma el patrn de fisuras descrito arriba. El cortante es entonces resistido mediante otros mecanismos ms complejos englobados en los trminos tradicionalmente conocidos como contribucin del hormign (Vc) y contribucin de las armaduras de corte (Vs). Los nuevos mecanismos interaccionan con las resultantes de traccin y compresin normales a la seccin dispuestas para resistir esfuerzos normales (axil y flector). La interaccin es considerada por las normativas de clculo exigiendo que las armaduras longitudinales sean capaces de resistir un cierto incremento de traccin debido al esfuerzo cortante. Tradicionalmente, este incremento de traccin se deduce haciendo un corte inclinado a travs de una fisura y desarrollando el equilibrio de los esfuerzos que aparecen en el nuevo plano. La deduccin se puede encontrar en cualquier texto clsico de estructuras de hormign p. e, Park y Paulay (1994). El anlisis consiste en estudiar el equilibrio de la rebanada diferencial de viga con un corte oblicuo que sigue la inclinacin de la fisuracin a cortante, ver Fig. 17.

27

Figura 17 Interaccin cortante flexin

El incremento que de traccin que debe resistir la armadura longitudinal, de

acuerdo a este esquema, est dado en la siguiente ecuacin.

( )1cot cot cot2s Rd s

T V V = + (2.2.5) Se puede demostrar, sin embargo, que se llega a la misma conclusin sin realizando un corte vertical, como se muestra en la Fig. 18, y tratando el elemento viga como continuo 3D, ver Anejo 2.

Figura 18 Deduccin alternativa de la interaccin cortante-flexin

Un modelo para el estudio de la interaccin total de los seis esfuerzos posibles que pueden actuar (en 3D) en una seccin de hormign armado con fisuracin inclinada fue desarrollado recientemente, Bairan (2005) y Bairan y Mari (2006a, 2006b, 2007a). En Bairan y Mari (2007b) se hacen sendos anlisis del estado del arte de los modelos de interaccin de esfuerzos flexin-cortante o de interaccin total (flexin-cortante-torsin-axil). Al aplicar dicho modelo al anlisis de la interaccin flexin-cortante, se evidencia que, ante fisuracin inclinada y a medida que las fisuras son ms abiertas, la distribucin de tensiones normales y tangenciales son como se indica en la Fig. 19b. La hiptesis tradicional de seccin fisurada, Fig. 19a, slo

28

se consigue ante esfuerzos cortantes bajos y cuando las fisuras no estn muy abiertas.

a) b)

Figura 19 Distribucin tensiones en secciones fisuradas a corte

Algunos resultados interesantes sobre los efectos que un esfuerzo cortante concomitante puede tener en la curva M- y en la respuesta seccional no-lineal en general, obtenidos en Bairan (2005) se resumen a continuacin. En la Fig. 20 se muestran curvas M- para distintos niveles de esfuerzos cortantes concomitantes, caracterizados por distintas relaciones

adimensionales del vano de cortante ( MVd

). Obsrvese que a medida que el

vano de cortante disminuye (aumenta el cortante para un mismo valor del momento) la curvatura ltima y el momento ltimo se ven reducidos. Por otro lado, el momento de plastificacin tambin se reduce. La diferencia entre el momento ltimo y el momento de plastificacin aumenta a para cortantes mayores, vea la Fig. 21.

Figura 20 Curvas M-F para distintos cortantes concomitantes

29

Figura 21 Diagrama de interaccin M-V de la resistencia ltima y plastificacin

Por otro lado, el momento de fisuracin tambin puede reducirse. As como la rigidez al fisurada inmediatamente despus del inicio de la fisuracin. La rigidez elstica tiende a aumentar a medida que los esfuerzos aumentan y se desarrolla las compresiones normales que se observa en la Fig. 19b como componente horizontal del campo de compresiones diagonales del alma a cortante. Despus de que se ha desarrollado un patrn de fisuracin inclinado, el cortante y la flexin estn efectivamente acoplados. Esto puede observarse en la Fig. 22 donde se presentan curvas momento-deformacin en la armadura longitudinal (M-s,l ) para distintos cortantes concomitantes. La mayor traccin que se obtiene en la armadura de traccin, para un mismo momento, a medida que el cortante aumenta evidencia el efecto mostrado en la Ec. 2.2.4. No obstante, como se demuestra en la Fig. 23, similar acoplamiento existe en las armaduras transversales en las curvas cortante-deformacin del cerco para distintos momentos concomitantes.

Figura 22 Curvas M-deformacin armadura longitudinal para distintos cortantes concomitantes

30

Otra observacin interesante es que la rigidez de la rama plastificada aumente con el cortante concomitante, Fig. 24. Como se ver en la siguiente seccin, esto tiene ciertas ventajas de cara a la capacidad de redistribucin de esfuerzos en zonas continuidad o donde los cortantes y momentos toman valores altos.

Figura 23 Curvas V-deormacin armadura de cortante para distintos momentos concomitantes

31

2.3. Comportamiento no-lineal de estructuras de barras Adems de la ductilidad seccional, la forma de la curva M- tiene influencia importante en la capacidad de deformacin en rango no-lineal de un elemento barra. Para estudiar ese efecto analicemos la mnsula de la Fig. 25 sometida a una carga lateral y con una curva M- como la mostrada.

Figura 25 Mnsula con carga lateral

Ante este tipo de carga, la ley de esfuerzos flectores sigue una distribucin lineal. Si se tiene en cuenta exclusivamente el comportamiento M-, calculado bajo la hiptesis de que las fisuras son paralelas al plano de la seccin transversal, la distribucin de curvaturas a lo largo de la barra es como se indica en la Fig. 26.

Figura 24 Rigidez rama plstica en funcin del vano de cortante

32

Figura 26 Distribucin de flectores y curvaturas sin efecto del cortante

En el momento de de la falla, se tiene que el momento ltimo est localizado en la seccin del empotramiento y que a cierta distancia del mismo existe una seccin que alcanza el momento de plastificacin My. Por encima de esta seccin la barra se comporta esencialmente elstica, ya sea con seccin fisurada o seccin no-fisurada, mientras que en la regin localizada entre My y Mu el acero est plastificado. La curvatura que excede en dicha zona a que se deduce de la prolongacin de la curvatura elstica (y), representada por la regin sombreada en la Fig. 26, se conoce se conoce como curvatura plstica:

( )( )PM xxEI

= , si ( )( ) M xxEI

(2.3.1)

0P = , si ( )( ) M xx EI < (2.3.2) La ley de curvaturas seccionales presenta un pico en la zona de plastificacin, indicando que all las rotaciones crecen mucho ms rpidamente que en la zona elstica. Dicha zona tiende a concentrarse en una longitud finita, conocida como Longitud plstica, que, por condiciones de equilibrio, toma un valor mximo terico de:

u yP

M ML

V= (2.3.3)

Ya que la zona plstica en una barra tiende a localizarse alrededor de las secciones crticas, una forma de reproducir, de forma simplificada, la respuesta conjunta de toda la regin plstica es concentrando todo la rotacin que ocurren en dicha zona en un solo punto mediante una rtula que se activa una vez que el momento en dicho punto alcanza el momento de plastificacin. Este punto se conoce como Rtula plstica. La rotacin total que tiene lugar en la rtula plstica es:

33

( )p y

Lp

x dx = (2.3.4) De una forma ms prctica, se suele calcular la rotacin plstica como se indica en la Ec. (2.3.5) ajustando el valor de Lp de forma apropiada. ( )p u y pL = (2.3.5) Sin embargo, el anlisis anterior es solo simplificado y sera vlido en regiones con esfuerzos cortantes pequeos. Cuando el esfuerzo cortante cobra importancia, es necesario tener en cuenta la presencia de fisuras inclinadas que y los efectos que tiene sta en la respuesta a flexin de las secciones (ver seccin 2.2.2). Como se muestra en la Fig. 28, el incremento de traccin que sufre el incremento de tracciones que experimenta la armadura longitudinal por presencia de un patrn de fisuracin inclinada puede asimilarse a un decalaje de la ley de tracciones en la armadura debida exclusivamente al esfuerzo flector. Esta analoga es empleada generalmente por los cdigos tcnicos para como un decalaje de la ley de momentos, aunque eso simplemente representa un artificio de clculo ya que la ley de esfuerzos flectores no puede variar, puesto que debe respetar unas condiciones de equilibrio y compatibilidad de deformaciones, quien vara es solamente la traccin en la armadura.

rotula plastica

zona lineal

rotula plastica

zona lineal

Figura 27 Modelo de rtulas plsticas o inelasticidad concentrada

34

Evidentemente, este efecto produce un aumento de la longitud plastificada en la barra como se indica en la Fig. 29. Lo cual se traduce en una mayor capacidad de rotacin plstica en la regin sometida a cortante si se compara con la respuesta con fisuracin slo por flexin y cortante concomitante importante. La longitud plstica puede entonces calcularse como indica la Ec. (2.3.6) en la que e representa el decalaje de la ley de tracciones. El decalaje e se calcula a partir de la Ec. (2.2.4) como se indica abajo.

Figura 29 Distribucin de flectores y curvaturas - efecto del cortante (1)

u y

P

M ML e

V= + (2.3.6)

Te zV= (2.3.7)

Figura 28 Decalaje tracciones en la armadura longitudinales

s

35

Si se dispone de un modelo seccional como el desarrollado en Bairan (2005) y Bairan y Mari (2006a, 2006b y 2007a) es posible captar los efectos del cortante directamente en las curvas M- descritos en la seccin 2.2.2. Con ello puede hacerse un anlisis ms preciso de las secciones dentro de la regin plstica cuando existen cortantes importantes, sin recurrir al artificio del decalaje de momentos o tracciones como se indica en la seccin 3.3. Anlogo al concepto de ductilidad de curvaturas, se puede definir la ductilidad seccional en curvaturas (Ec. 2.2.1) se puede definir la ductilidad de la rtula plstica, en trminos de rotaciones, y de un elemento o estructura completa, en trminos de desplazamientos. Para ello es preciso determinar, en primer lugar, la rotacin y desplazamiento de inicio de planificacin. En el elemento mnsula objeto de nuestro anlisis actual, esto es (ver Figs. 30 y 31):

'2

yy pL

+= (2.3.8) 31

3yF LEI

= (2.3.9)

Figura 31 Capacidad de deformacin no-lineal de un elemento

Figura 30 Capacidad de rotacin de una rtula plstica

36

La rotacin plstica en la rtula se obtiene como: ( )p u y pL = (2.3.10) a partir de la cual es posible determinar el desplazamiento ltimo de la mnsula y las ductilidades de rotacin y desplazamiento para la rtula plstica y el elemento respectivamente: ( )0.5u y p pL L = + (2.3.11)

1 puy y

= = + (2.3.12)

( )1 0.5p py

L L = + (2.3.13)

En la Fig.. 32 se representa la relacin entre la ductilidad seccional y la ductilidad de desplazamientos para un esquema estructural de mnsula, en funcin de la longitud de rtula plstica. La importancia de la longitud de rtula plstica es destacable en la capacidad de deformacin de la estructura, variando esta en funcin de la longitud de rtula considerada adems de la ductilidad seccional. La relacin analtica en este caso es la dada en la Ec. (2.3.14).

Figura 32 Relacin ductilidad a desplazamiento - ductilidad seccional

Obsrvese como, por ejemplo, para una ductilidad de curvaturas de 5 la ductilidad de desplazamientos puede oscilar de 1.58 a 3.16 para variaciones de Lp de 0.05 L a 0.2 L.. Asimismo, si se desea una estructura con una ductilidad de desplazamientos dada, por ejemplo de 3, es la ductilidad seccional necesaria vara de 5 a 15 para el mismo rango de Lp.

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

5

10

15

20

25

30

Lp=0.05LLp=0.1 LLp=0.2 L

37

( ) ( )21 3 1 0.5p pL L LL = + (2.3.14) Modelos empricos de longitud de rtula plstica Adems del efecto del cortante en la capacidad de rotacin de una rtula plstica, existen otros fenmenos que influyen notablemente en la longitud de rtula plstica, como son:

1. Deslizamiento de las armaduras longitudinales o adherencia imperfecta. 2. Efecto de regin D en la proximidad de apoyos invalidez de la teora

de vigas en algunos casos. 3. Efectos de cargas cclicas que degradan la adherencia del armado y

abren ms las fisuras. Los anteriores son fenmenos que a veces resultan muy complejos como para ser considerados adecuadamente con modelos racionales. Es por ello que existen modelos empricamente calibrados que contemplan, de forma global, algunos de estos fenmenos observados en la experimentacin. Uno de los ms conocidos es el calibrado por Priestley, Paulay y Priestley (1994).

0.08 0.022 0.44p y yL L f f = + (2.3.15) En este modelo, L es la longitud del elemento y es el dimetro de las armaduras longitudinales. El segundo sumando representa la influencia del deslizamiento de las armaduras longitudinales.

2.4. Mtodos de diseo al lmite Es posible dimensionar las estructuras de hormign tratando de considerar el comportamiento real que tienen al sobrepasar la rama elstica. En general, los mtodos que existen se basan, de alguna forma, en asimilar el la respuesta al de una estructura plstica basndose en alguno de los dos teoremas de colapso en la teora de plasticidad: Evidentemente, como se ha visto anteriormente, el hormign dista mucho de presentar un comportamiento plstico o elastoplstico perfecto. Sin embargo, si ste se dimensiona adecuadamente puede tener una rama de carga con plastificacin de la armadura de traccin. Esta rama plstica siempre es imperfecta, ya que tiene una capacidad de deformacin limitada adems de cierta rigidez, ver Fig. 11. Es por ello, que la formacin de mecanismos de colapso o rotura segn los teoremas de lmite superior e inferior de la plasticidad debe tratarse con cuidado y, en general, hace falta comprobar la capacidad de rotacin de las rtulas plsticas y la posibilidad de que se alcance la rotura previa por incapacidad de deformacin de las zonas inelsticas. En la literatura especializada (Tich y Rakosnk (1977), Park y Paulay (1994), Meli (1987), Nilson y Winter(1994), Jirsek y Bazant (2001)) se pueden

38

encontrar varios mtodos para el diseo de estructuras de hormign, para tener en cuenta el comportamiento en rotura, en los que con verificacin explcita de la capacidad de redistribucin plstica. Particularmente, en Tich y Rakosnk (1977) y en Park y Paulay (1994) puede encontrarse un anlisis comparativo de los varios mtodos propuestos durante el siglo pasado. En general, los mtodos de diseo que contemplan la respuesta no-lineal en estado lmite ltimo tratan de satisfacer las tres condiciones siguientes:

1. Equilibrio 2. Compatibilidad rotacional 3. Condiciones de servicio

Los mtodos existentes consideran uno a dos de las condiciones anteriores y el resto se verifican a posterior. A continuacin describimos brevemente dos de estos mtodos por su relevancia histrica:

2.4.1 Mtodo de las rotaciones impuestas (Macchi) El mtodo de Macchi se basa en la superposicin de la distribucin de las leyes de momentos debidas a las cargas externas y a la redistribucin inducida por las rotaciones en las rtulas plsticas. Originalmente, el mtodo emplea el mtodo de las fuerzas para calcular ambas distribuciones de momentos. Debido a que las rotaciones plsticas en las rtulas plsticas no son conocidas a priori, el mtodo requiere seguir el siguiente proceso iterativo:

1. Clculo de las leyes de momentos elsticas. 2. Clculo de las rotaciones plsticas en las rtulas para la distribucin

actual de momentos. 3. Clculo de la distribucin de momentos para rotaciones unitarias

impuestas en las rtulas. 4. Obtencin de la nueva ley de momentos como superposicin de las

leyes calculadas en los pasos 1 y 3. 5. Correccin de las rotaciones plsticas y la distribucin actual de

momentos. 6. Volver al paso 2. La iteracin para cuando en dos iteraciones

consecutivas la diferencia entre ambas leyes de momentos no excede una cierta tolerancia.

2.4.2 Mtodo de las rotaciones ltimas (Baker) El mtodo se basa en los teoremas de la Teora Plasticidad a partir de mecanismos de colapso. En una segunda etapa, se verifica el cumplimiento de compatibilidad y servicio. El clculo se inicia determinando una distribucin de momentos flectores mximos en equilibrio con las cargas mximas exteriores. Segn la teora de plasticidad, este paso arroja un lmite superior de la carga externa que puede ser soportada por la estructura. Las secciones se dimensionan para esta distribucin de momentos obtenida anteriormente; es decir, asumiendo el desarrollo de un mecanismo de colapso y que la estructura es perfectamente plstica. Posteriormente, se calcula la capacidad de rotacin en cada una de las regiones de rtulas plsticas. Esta

39

se compara con la demanda de rotacin plstica, que puede calcularse, por ejemplo, como se explicar en el apartado 2.4.3, y se verifica que stas no exceden la capacidad de rotacin plstica. Si la capacidad de rotacin plstica es excedida en alguna rtula, se debe cambiar la distribucin de momentos en situacin de rotura, es decir, se debe elegir otro mecanismo de colapso. En un tercer paso, se calcula la ley de momentos flectores en situacin de servicio y se verifica que se satisfacen los requisitos de serviciabilidad (deformaciones y fisuracin no excesivas).

2.4.3 Clculo de las demandas de rotacin en las rtulas plsticas La demanda de rotacin en una rtula plstica puede obtenerse para cualquier diagrama de momentos teniendo en cuenta la los requisitos de compatibilidad. La estructura analizada debe deformarse bajo la accin conjunta de la ley de momentos elstica y la debida a las rtulas plsticas de modo que se satisfagan las condiciones de contorno correctas. Las rotaciones y deformaciones de la estructura justo en el momento del colapso se calculan en el momento justo anterior al de la formacin de la ltima rtula plstica que genera el mecanismo de colapso. En ese momento, la estructura es estticamente determinada y dicho anlisis puede realizarse fcilmente incluso con mtodos manuales: integracin directa de las curvaturas, viga conjugada, Trabajos Virtuales, etc. En caso de querer estudiarse una configuracin que no constituye un mecanismo de colapso completo es igualmente posible realizar el anlisis con los mtodos manuales que aplican al clculo de estructuras hiperesttica, como puede ser, por ejemplo, el de los Trabajos Virtuales con fuerzas virtuales, o con el mismo programa de clculo con que se ha obtenido la ley de esfuerzos elsticas introduciendo rtulas en los lugares apropiados. Es posible que se necesario un anlisis de prueba y error para encontrar cul es la ltima rtula plstica que se forma. En ese sentido conviene hacer uso del Teorema de los Desplazamientos, Jirsek y Bazant (2002), segn el cual el trabajo producido por la el vector de de fuerzas de referencias ( ) sobre la configuracin de desplazamientos real ( ) es superior al producido al aplicar el vector sobre cualquier otro campo de desplazamientos ( ) calculado asumiendo que cierta rtula plstica se forma de ltimo. Es decir, el campo de desplazamiento real maximiza el trabajo realizado por las fuerzas externas: *T Tf d f d (2.6.1)

40

2.5. Redistribucin de esfuerzos en los cdigos de proyecto La mayora de los cdigos de proyecto permiten tener en cuenta cierta redistribucin de esfuerzos sin necesidad de comprobar explcitamente la capacidad de deformacin de las rtulas plsticas. El porcentaje de esta redistribucin respecto al valor proveniente de un anlisis elstico est limitado y adems se exigen ciertos requisitos para garantizar una ductilidad mnima adecuada. A continuacin se analizan los requerimientos al respecto en algunos cdigos de diseo de referencia internacional y en la Instruccin EHE.

2.5.1. Cdigo Modelo (CM 90), CEB-FIB (1993) La redistribucin de los esfuerzos se puede aplicar slo a las piezas sometidas a flexin si, adems, la esbeltez equivalente * no es superior a 153. El margen de redistribucin permitido depende de la resistencia del hormign, de la profundidad de la fibra neutra, de si la estructura es o no traslacional, y del tipo de acero, siendo mayor en los aceros de alta ductilidad, tal como indica la Fig. 33. Analticamente, siendo el factor de redistribucin o cociente entre los momentos redistribuido y elstico, el planteamiento es el siguiente: a) Aceros de ductilidad alta o normal (S y A respectivamente):

0.44 1.25 xd

+ Si MPafck 3512 0.56 1.25 x

d + Si MPafck 6040 La redistribucin mxima permitida para prticos intraslacionales y vigas continuas es del 25% (0.75 1.0) y para prticos traslacionales del 10%, (0.90 1.0). b) Aceros de ductilidad reducida (B):

0.75 1.25 xd

+ Si MPafck 6012 0.90 1.0

3 En un prtico, la esbeltez equivalente se comprueba en el soporte ms desfavorable desde el punto de vista de la carga y de la esbeltez, operando con la expresin

*

1 15d = +

siendo la esbeltez euleriana del soporte y la cuanta geomtrica de la armadura longitudinal total del soporte.

41

Figura 33 Rotacin plstica en funcin de los tipos de acero en CM 90 y comparacin con la

EHE(1999).

2.5.2. ACI318, ACI (2005) La redistribucin de los esfuerzos slo se puede aplicar a las vigas continuas y a las piezas sometidas a flexin de prticos no traslacionales. El margen de redistribucin permitido depende de la diferencia entre las cuantas geomtricas de las armaduras de traccin y de compresin ( ' ) tal como se indica en la Fig. 34.a. Analticamente, el planteamiento es el siguiente:

'1 0.2(1 )b

=

'0.8 0.2b

= +

' 0.5 b siendo el factor de redistribucin y b la cuanta crtica de la armadura de traccin, es decir aquella para la que se produce la rotura crtica en flexin simple. La redistribucin mxima permitida es del 20%. Se observa que, conceptualmente, este planteamiento no difiere del de CM 90, habida cuenta de la relacin entre x/d y de las cuantas geomtricas de

42

armadura, aunque no tiene en cuenta la ductilidad del acero. No obstante, el lmite superior de la redistribucin permitida es inferior al de CM 90.

2.5.3. Eurocdigo 2, EC2 (2002) Como en el CM 90, la redistribucin de los esfuerzos se puede llevar a cabo sin necesidad de verificar previamente la capacidad de rotacin plstica de las secciones crticas, y slo en los elementos sometidos, bsicamente, a flexin, ver Fig. 34.b. El margen de redistribucin permitido depende de las mismas variables contempladas por el CM 90, ms la deformacin de rotura por flexin del hormign, . Analticamente, asignando a el mismo significado que en el Cdigo Modelo, el planteamiento es el siguiente: a) Aceros de ductilidad alta (C):

1 2 0.70xk kd

+ Si 50ckf MPa

3 4 0.70xk kd

+ Si 50ckf MPa> b) Aceros de ductilidad normal (B):

1 2 0.80xk kd

+ Si 50ckf MPa

3 4 0.80xk kd

+ Si 50ckf MPa> Los valores de k1, k2, k3 y k4 y pueden ser diferentes de unos pases a otros, aunque EC-2 recomienda los siguientes valores, que para cu=0.0035, coinciden con los del CM 90:

1 0.44k =

20.00141.25 0.6

cu

k = +

3 0.54k =

40.00141.25 0.6

cu

k = +

La redistribucin mxima permitida es del 30 % (0.70 1.0) si se utiliza acero de ductilidad alta o normal y del 20 % (0.80 1.0) si el acero es de ductilidad baja. El dimensionamiento de los soportes debe hacerse con los momentos obtenidos del anlisis elstico-lineal del prtico sin redistribucin alguna.

43

ACI a)

EC2 b)

Figura 34 Redistribucin de esfuerzos permitidos en ACI (a) y EC2 (b)

2.5.4. Instruccin EHE En la actual Instruccin EHE (1999) la redistribucin de esfuerzos es aplicable a los dinteles de prticos edificacin sensiblemente intraslacionales. Se permiten una redistribucin mxima del 15% del momento flector mximo en la seccin crtica, limitando superiormente el valor de la profundidad relativa, x/d, a 0.45 independientemente del tipo de acero empleado. Este criterio ser mejorado en la futura Instruccin EHE (2007), como se refleja en su Documento 0, permitiendo una redistribucin de esfuerzos variable en funcin de x/d como refleja la siguiente ecuacin:

56 125 xrd

= La redistribucin permitida est limitada a 20% en los aceros de ductilidad normal (S) y a 30% en los aceros de ductilidad especial (SD). En la siguiente figura se comparan los criterios de la futura EHE (2007) y la actual EHE (1999).

44

0

5

10

15

20

25

30

35

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

x/d

Red

istr

ibuc

in

(%)

EHE (1999) EHE (2007) Aceros S EHE (2007) Aceros SD

Figura 35 Comparacin redistribuciones permitidas en la EHE (1999) y EHE (2007)

45

3. Modelo de anlisis

3.1. Anlisis seccional Para el anlisis de secciones ante solicitaciones normales se ha empleado el modelo BCSEC (Beam-Column Section), desarrollado inicialmente en Bairan (1999) para el estudio no-lineal de soportes esbeltos de hormign armado considerando efectos diferidos y fenmenos de no-linealidad mecnica y geomtrica. El modelo ha sido extendido para considerar secciones de forma arbitraria y compuesta de mltiples materiales que pueden ser definidos por el usuario. A partir de la versin inicial, se han incorporado las siguientes modificaciones en el modelo: Generalizacin del modelo para secciones de geometras y combinacin de

materiales cualesquiera. Amplia librera de modelos constitutivos - para la mayora de los

materiales comnmente empleados en la ingeniera civil y posibilidad de incorporar relaciones - nuevas mediante puntos. Dominios de rotura de las instrucciones europeas (EC2, EHE) y americanas

(ACI-318) incorporados por defecto y posibilidad de definir nuevos dominios de rotura. Entorno grfico en Visual Basic con interfaz de usuario totalmente grfica,

amigable y didctica. Clculo automatizado de la curvatura seccional calculada a partir del

diagrama M- real (obtenido por puntos) segn dos criterios estndares de bilinearizacin empleados en la prctica: curva elastoplstica perfecta y curva bilineal con endurecimiento plstico. Clculo automtico de un factor de endurecimiento FH=Mu/My. Posibilidad de anlisis en lote de una lista larga de anlisis y generacin

de resultados til para la realizacin de estudios largos paramtricos. A continuacin se ofrece una descripcin del modelo y del programa de clculo.

46

3.1.1 Ecuaciones constitutivas Los modelos de curvas - que han sido implementados en el modelo BCSEC son los siguientes: Parbola rectngulo. Con una parbola de grado n que aumenta

crecientemente hasta el vrtice de la parbola. A partir de ese punto se mantiene la tensin hasta la deformacin de rotura especificada y luego cae a cero. La resistencia a traccin se desprecia. Parbola recta. Con una parbola de grado n que aumenta hasta el vrtice

de la misma. A partir de ah el material tiene reblandecimiento de acuerdo a la pendiente especificada. Al alcanzar la el valor de tensin ltima. La resistencia a traccin se desprecia. Lineal rectngulo. El material es lineal en traccin y compresin hasta

alcanzar el lmite elstico. A partir de ah la tensin de plastificacin se mantiene. Bilineal. El material es lineal en traccin y compresin hasta alcanzar el

lmite elstico. A partir de ah puede tener endurecimiento o reblandecimiento segn una pendiente plstica hasta alcanzar la resistencia del material fu. Discreta a trozos. El usuario puede definir la curva - que desee mediante

puntos (mximo 10 puntos) reproduciendo comportamientos general ms complejos que no puedan ser captados con los modelos anteriores. Otra caracterstica del programa es la posibilidad de realizar estudios diferidos a nivel seccional indicando el tipo de comportamiento en el tiempo que se presenta en el material definido: retraccin y fluencia o bien relajacin (no se puede tener ambos tipos de comportamiento en el mismo material a la vez). Al seleccionar una de las opciones BCSEC pregunta las propiedades definidas necesarias (coeficiente de fluencia, deformacin de retraccin o relajacin de tensiones).

Figura 36 Modelos constitutivos en BCSEC

Modelo constitutivo empleado para el hormign En los estudios realizados en este trabajo, se ha empleado el modelo constitutivo de parbola rectngulo para analizar hormigones de alta resistencia

47

y confinado de hasta 100 MPa. Los parmetros empleados en los hormigones sin confinamiento fueron tomados de acuerdo a las especificaciones de la EHE (2007) y se resumen a continuacin:

fc ec0 ecu n50 0.0020 0.0035 2.00060 0.0023 0.0030 1.64670 0.0024 0.0027 1.47880 0.0025 0.0026 1.41590 0.0026 0.0026 1.401100 0.0026 0.0026 1.400

Curvas para distintos hormigones

0

20

40

60

80

100

120

0 0.001 0.002 0.003 0.004

H50H60H70H80H90H100

Figura 37 Curvas s-e para distintos hormigones segn EHE(2007)

En el caso de secciones con confinamiento, se ha empleado el modelo anterior para la zona de recubrimiento, no confinada por la armadura transversal. Para el hormign confinado, se ha mantenido el valor del parmetro n indicado arriba. Los parmetros de deformacin pico y resistencia confinada han sido calculados de acuerdo al modelo del EHE (2007), ver Ec. 2.1.1. La deformacin ltima y en el vrtice de la parbola se ha determinado de acuerdo al modelo de Mander et al (1988) empleando considerando las caractersticas de ductilidad de la armadura empleada como confinamiento, ver Ecs. 2.1.3 y 2.1.4. Modelo constitutivo empleado para el acero El acero se ha simulado con un modelo bilineal para considerar el endurecimiento por deformacin en la rama plstica desde el punto de cedencia hasta la resistencia ltima del acero. En el estudio se han empleado tanto propiedades caractersticas y de clculo. stas fueron definidas de acuerdo a la Instruccin EHE (2007) y como se ha descrito en la seccin 2.1.2.

48

3.1.2 Descripcin geomtrica La geometra de la seccin transversal se define mediante combinacin sectores de superficies y lneas con espesor. Ambos se definen mediante puntos que deben ser dados en sentido antihorario, ver Fig. 39. A cada sector se le asigna un material de la lista definida previamente y que aparece en la pantalla. Asimismo, es necesario asignar un factor de combinacin que puede ser de +1 -1 en funcin de si el sector debe aadirse o substraerse de la seccin transversal; este sistema permite incluir huecos en la seccin transversal (-1). Para facilitar la representacin geomtrica, el usuario puede asignar un color a cada sector de la geometra que se emplear.

Ductilidad en aceros

0

100200

300400

500600

700

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

NormalEspecial

Figura 38 Modelos bilineales para aceros B500S y B500SD

49

Figura 39 Definicin geomtrica de secciones transversales

El tramo definido por dos puntos, en un sector de superficie o de lnea, puede ser recto o curvo. En caso de ser curvo se debe asignar un radio de curvatura para el tramo. Si el tramo es recto, el radio de curvatura debe ser nulo. Si el radio del tramo es distinto de cero, se considera que el tramo es un arco de crculo convexo hacia la direccin positiva del eje local 2 del tramo. La definicin del eje 1, 2 y 3 se hace de acuerdo a la regla de la mano derecha, como se ve en la siguiente figura. La direccin 1 se define como la recta que une el punto inicial y el final del tramo. La direccin 3 siempre es el vector normal al plano que apunta hacia el observador. La direccin 2 se define automticamente de acuerdo a la regla de la mano derecha de forma que se

cumpla el producto vectorial: 3 1 2 = e e e .

Figura 40 Definicin tramos curvos en sectores de superficie y lnea

50

Los sectores de lnea resultan muy tiles para definir distribuciones de armado y elementos de perfilara metlica en el caso de secciones mixtas. La geometra de la seccin transversal es la combinacin de todos los sectores de superficie y lnea definidos como se ha descrito arriba y se muestra como se indica en la figura siguiente.

Figura 41 Geometra seccin transversal

3.1.3 Dominios de rotura El modelo desarrollado, BCSEC, permite emplear cualquier conjunto de dominios de rotura para definir el momento en que se alcanza el estado lmite ltimo de la seccin. Esta caracterstica de la versatilidad para ser empleado de acuerdo a cualquier normativa. Por defecto, el programa trae incorporado los dominios de rotura de acuerdo al EC2 (coincide con los dominios de la EHE (1999) y la EHE (2007) para aceros de ductilidad normal) y del ACI-318. La principal caracterstica de los dominios de rotura del ACI-318 es que no existe un lmite prctico para la deformacin mxima del acero salvo su deformacin mxima caracterstica. Por otro lado, la deformacin ltima de los hormigones de resistencias normales, no confinados, es ligeramente inferior (0.003) a lo considerado en las normativas europeas (0.0035). La libertad de poder limitar o no la deformacin mxima del acero a traccin es sumamente importante a la hora de evaluar de una forma ms realista la ductilidad seccional de los aceros de alta ductilidad. El programa permite adems utilizar planos de rotura definidos por el usuario lo cual permite adems tener en cuenta las deformaciones ms realistas cuando el hormign se confina. Estos planos se especifican en la pantalla Deformaciones, ver figura siguiente. Se debe indicar el nmero de planos lmite que definen los dominios de rotura en orden de mayor axil de traccin a mayor axil de compresin. Cada plano se define en una fila de la tabla mostrada mediante dando los dos puntos: (1, y1) y (2, y2) en las cuatro columnas existentes.

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Por otro lado, como se ver en el apartado siguiente, es necesario calcular la curvatura de primera cedencia para calcular la ductilidad seccional. Para ello, se pide que el usuario defina la deformacin de traccin y compresin, acompaada de una coordenada y del punto en el que tiene lugar, en la que se puede considerara que comienza el comportamiento no-lineal de la seccin.

Figura 42 Planos de deformaciones

Finalmente, se debe definir el nmero variaciones automticas de esfuerzos axiles y de curvaturas, si se desea un clculo de la superficie de mecnica completa, y la fraccin de las cargas que son permanentes en el caso de que se desee un anlisis diferido.

3.1.4 Cuantificacin de la ductilidad seccional Como se vio en la seccin 2.2.1, la ductilidad de la seccin se define convenientemente como la ductilidad ltima dividida entra la ductilidad a la que termina el comportamiento lineal. No obstante, cuando se realiza un anlisis detallado paso a paso como el que se realiza aqu, no siempre existe un tramo lineal o un punto claro en el que se puede decidir que la seccin a paso al rango plstico. Esto es an ms acusado cuando se tienen cuantas altas y el hormign empieza a tener deformaciones superiores al 60% de fck antes de que el acero a traccin plastifique. Tambin puede ocurrir cuando se tienen distribuciones de armado en la direccin vertical. Por ello, es preciso emplear una convencin objetiva y bien definida que sirva de referencia para calcular las ductilidades seccionales. El programa BCSEC puede utilizar dos de los mtodos ms empleados para el clculo de la ductilidad, ambas se basan en la bilinealizacin de la curva M- real calculada punto a punto. Para ambos mtodos el primer paso consiste en calcular el punto de primera cedencia. Se tiene en cuenta que ste puede ocurrir tanto porque el acero a

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traccin efectivamente ha plastificado o bien porque el hormign a compresin tiene deformaciones altas y ya esta en la zona muy no-lineal. Normalmente se tiene aceptado que los hormigones de resistencias normales inicial a plastificar para deformaciones de 0.0015. En este estudio se ha tomado como inicio de planificacin del hormign una deformacin de 0.75 c0, considerando as los cambios de forma de la curva - en hormigones de alta resistencia. Mtodo 1: Curva elastoplstica perfecta El mtodo ms sencillo en el clculo de la ductilidad seccional fue propuesto por Paulay y Priestley (1992) y consiste simplemente en asimilar a una curva elastoplstica perfecta que cuya rama elstica pasa por el origen y por el punto de primera cedencia real, ver Fig. 43. La rama lineal se extiende hasta el momento ltimo y luego sigue con pendiente nula hasta la curvatura ltima. Puede apreciarse que el mtodo es una envolvente superior de la curva M-, por otro lado subestima la ductilidad seccional. Es decir, tanto en fuerzas como en energas sobrevalora la capacidad real, sin embargo est del lado de la seguridad en la estimacin de la capacidad de deformacin. Esta curva resulta muy cmoda para clculos manuales o en modelos ms sencillos en los que las rtulas tienen un comportamiento plstico perfecto o se emplean modelos de colapso plstico.

Figura 43 Bilinealizacin de la curva M-

Sin embargo, como se ha visto anteriormente, este modelo tendr problemas a la hora de poder reproducir la longitud de rtula plstica de forma analtica ya que no presenta diferencias entre el momento ltimo y el momento de cedencia y, por lo tanto, no ser capaz de resistir cortante concomitante alguno. De hecho, al aplicar este modelo a la Ec. 2.3.3. se tendr siempre una longitud plstica nula. As pues, una representacin seccional como est solo tiene aplicacin en un modelo estructural no-lineal con inelasticidad concentrada o con rtulas plsticas, ver Fig. 27. En el clculo de la capacidad de rotacin plstica de las

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rtulas es preciso emplear formulaciones empricas como la propuesta por los mismos autores de esta metodologa, Ec. 2.3.15. Mtodo 2: Curva bilineal Otra opcin consiste en usar una curva bilineal que va del origen hasta el punto de primera cedencia y luego une sta con el de rotura mediante una recta que tendr una cierta pendiente. Este mtodo arroja valores de ductilidad ligeramente superiores al anterior pero es de un valor ms realista. Por otro lado deja del lado de la seguridad tanto en trminos de fuerzas como de resistencias. Una ventaja interesante es que, al presentar diferencias entre Mu y My, puede emplearse en un modelo de inelasticidad distribuida para estimar la longitud plstica.

3.1.5 Mtodo de solucin Para la integracin de esfuerzos en la seccin transversal, BCSEC dispone de una funcin interna que calcula el ancho de cada regin de superficie o lineal con que se ha definido la seccin completa. Se aplica una regla de Simpson de 21 puntos en la zona traccionada y comprimida de cada regin geomtrica por separado. Esta tcnica busca mantener la misma precisin en la integracin de las regiones traccionadas y comprimidas a medida que la fibra neutra sube y se reduce la regin comprimida. No se utiliza, por lo tanto, discretizacin en fibras. El mtodo de solucin de las curvas M- para un axil dado consiste en fijar una curvatura e iterar la deformacin en la fibra de referencia mediante el mtodo de la biseccin.

3.1.6 Visualizacin de resultados Se dispone de un visualizador grfico de los resultados en trminos de esfuerzos-deformacin o bien de diagrama de interaccin, ver Figs. 44 y 45. La parte inferior de la figura permite visualizar los planos de deformacin y de tensiones para cualquiera de los materiales utilizados a medida que el usuario avanza en la curva momento-curvatura o esfuerzo axil. En la misma figura se puede representar las curvas empleadas para calcular la ductilidad seccional (elastoplstica y bilineal), los valores de las ductilidades calculados y el factor de endurecimiento de la curva bilineal: u

y

MMFH = .

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Figura 44 Visualizacin resultados (1)

Figura 45 Representacin grfica (2) seccin confinada tras prdida de recubrimiento

55

3.2. Modelo estructural Para el anlisis de la estructura se ha desarrollado un modelo numrico en MATLAB para el anlisis no-lineal de estructuras 3D dentro del entorno de trabajo del modelo TINSA (Total interaction non-linear sectional analysis) desarrollado en Bairan (2005). Se ha implementado un elemento barra basado en fuerzas desarrollado por Mari (1985) y extendido por Molins y Roca (1998) para la simulacin de elementos curvos de fbrica. Los elementos basados en fuerzas, o flexibilidad, presentan numerosas ventajas en la aplicacin al anlisis no-lineal de estructuras aporticadas ya que, su formulacin intrnseca hace que siempre se obtenga una solucin formalmente solucin exacta sin importar la distribucin de esfuerzos y no-linealidades de la barra. La nica fuente de imprecisin en esta formulacin viene por la de la cuadratura empleada en la necesaria integracin numrica. La teora que sustenta el modelo se conoce como Formulacin Matricial Generalizada (FMG) y ser descrita en la seccin 3.2.5.

3.2.3 Esquema de solucin no-lineal Como ya se ha comentado, el modelo estructural ha sido implementado en el entorno de TINSA, Bairan (2005), programado en Matlab. Se ha aprovechado el mdulo de solucin de problemas no-lineales de dicho modelo. El mismo incluye esquemas de solucin de problemas no-lineales de tipo Newton-Raphson y Newton-Raphson modificado, Fig. 46.

Figura 46 Esquemas de Newton-Raphson y Newton-Raphson modificado

De igual forma, el modelo dispone de las siguientes herramientas de ayuda a la convergencia: Control de desplazamientos Incremento automtico de cargas en funcin de la dificultad de

convergencia de los pasos anteriores.

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Mtodo de Line-search

3.2.4 Modelo seccional Como ecuacin constitutiva de la seccin del elemento barra se ha desarrollado un modelo seccional ms sencillo que el modelo TINSA y que ha con el objetivo de disponer de una herramienta rpida para analizar sistemas estructurales completos en Matlab y realizar los estudios paramtricos de forma rpida. El modelo seccional desarrollado es el BILINSEC2.M. Es un modelo seccional 3D de 6 grados de libertad (axil, cortante esviado, torsin y flexin esviada) en la que cada componente se trata con una ley bilineal desacoplada. La carga y descarga es de tipo elastoplstica. Es decir, la descarga y la recarga se realiza con la pendiente rigidez inicial y, por lo tanto, se produce deformacin residual.

3.2.5 Formulacin matricial generalizada (FMG) La Formulacin Matricial Generalizada (FMG), Mari (1985), puede entenderse como una formulacin hbrida de elementos finitos de barras en la que los esfuerzos a lo largo del elemento se expresan como una interpolacin de las fuerzas nodales del elemento. No obstante, la funcin de interpolacin empleada no es arbitraria sino que es, de hecho, una expresin derivada internamente a partir de la consideracin del equilibrio en el elemento y de las cargas distribuidas. Para derivar la funcin de interpolacin es necesario emplear una configuracin isosttica bsica. La FMG emplea la configuracin de una mnsula en el espacio de directriz curva arbitraria (la barra recta es un caso particular), ver Fig. 46. El equilibrio en cualquier punto (s) de la directriz puede expresarse como:

SA

SB

pm

PB

S

Figura 47 Configuracin isosttica bsica para la FMG

57

*( ) ( , ) ( )XY B B XYs s s s= + N P (3.2.1) Donde es el vector de esfuerzos internos en la seccin , es el vector de fuerzas externas aplicadas en el extremo libre de la mnsula (sB) y XY* es la solucin complementaria que representa la contribucin de las cargas repartidas a lo largo del elemento en el valor del esfuerzo en el punto s. La matriz N(s,sB) representa las ecuaciones de equilibrio como se indica a continuacin:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 0

( , )0 1 0 0

0 0 1 00 0 0 1

BB B

B B

B B

s sZ Z Y Y

Z Z X XY Y X X

=

N (3.2.2)

[ ]* ( , )B TXYs

s d= N p,m (3.2.3) Donde p y m son los vectores de fuerzas y momentos distribuidos a lo largo del elemento. Posteriormente, se emplean las ecuaciones de Navier-Bresse para imponer la compatibilidad cinemtica. Aplicando estas ecuaciones se obtienen la siguiente relacin entre los desplazamientos de los extremos y las deformaciones de la barra:

( , ) ( , )BT T

B A B A B XYAs s s s ds= + d N d N (3.2.4)

Donde dA y dB son los vectores de desplazamientos nodales en los extremo de barra y es el vector de deformaciones de la seccin. Las propiedades mecnicas se introducen a nivel seccional a partir de la relacin constitutiva del modelo seccional. Empleando la matriz constitutiva seccional (Ks), la deformacin seccional en cada punto se obtiene a partir de la interpolacin de los esfuerzos (realizada de forma exacta) como se indica a continuacin en el sistema local de la seccin.

1s s s

= K (3.2.5) Empleando una matriz de transformacin de coordanadas ( ) se puede obtener la relacin correspondiente entre esfuerzos y deformaciones seccionales en coordenadas globales:

1TXY s XY

= C K C (3.2.6)

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Combinando las ecuaciones anteriores se obtiene la ecuacin de flexibilidad del elemento:

B= + *d FP d (3.2.7) donde F es la matriz de flexibilidad, d* es el vector de desplazamientos en el extremo libre producido por la deformacin libre del elemento en su configuracin isosttica bsica. Ambos se calculan como sigue:

1B

A

S T TsS

ds= F N C K CN (3.2.8) * 1 *B

A

S T Ts XYS

ds= d N C K C (3.2.9) Tras ciertas manipulaciones algebraicas, es posible encontrar la matriz de rigidez del elemento y la siguiente ecuacin de equilibrio entre los desplazamientos nodales y la fuerzas en los nodos:

*e= +P K d P (3.2.10)

Donde la matriz de rigidez del elemento viene dada por:

1 1

1 1

( , ) ( , ) ( , )( , )

T TA B A B A B

e TA B

S S S S S SS S

= N F N N F

KF N F

(3.2.11)

y P* representa las fuerzas de empotramiento perfecto debido a las cargas distribuidas que viene dada por:

1 * **

1 *

( , )A B AS S

+= N F d P

PF d

(3.2.12)

3.3. Integracin de rtulas plsticas Como se ha comentado anteriormente, al disponer de un modelo de inelasticidad distribuida, como lo es la FMG, es posible integrar directamente la capacidad de deformacin y de rotacin pltica en las zonas de rtula plstica. Para ello es preciso disponer de un modelo constitutivo de la seccin transversal realista y que sea capaz de reproducir las condiciones de equilibrio en las secciones de la barra que se encuentran dentro de la regin pltica. Para ello un diagrama bilineal como el empleado en este estudio y basado en el mtodo 2, descrito en la seccin 3.1.4, puede ser suficiente para un estudio inicial. Como se dijo en la seccin 2.2.2, uno de los efectos del esfuerzo cortante es el aumento de la rigidez de la rama plstica del diagrama M- y el aumento del parmetro u

y

MMFH = . Este efecto es beneficioso para el aumento de la

longitud de la rtula plstica tal y como se explica en la Fig. 48 donde se

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analiza un tramo de elemento sometido a una distribucin de esfuerzo flector lineal. Al aumentar el parmetro Mu-My en funcin del cortante concomitante la longitud plstica aumenta como indica la ecuacin 3.3.1.

Figura 48 Distribucin de flectores y curvaturas - efecto del cortante (2)

( ) ( )u y

P

M V M VL

V= (3.3.1)

Empleando el parmetro de de endurecimiento de la rama plstica u

y

MMFH = y

reconociendo la siguiente relacin entre el momento y el cortante en la seccin crtica:

uM LV k

= (3.3.2)

1 11 1upM LLV FH k FH

= = (3.3.4) Por otro lado, la implementacin de cualquier elemento con inelasticidad distribuida conlleva siempre el uso de alguna cuadratura para integrar la respuesta del elemento empleando un nmero finito de secciones. Se debe tener en cuenta que en al asignar un cierto peso por la integracin numrica a las seccin crtica de un elemento se est prefijando ya, de forma numrica, una longitud plstica prefijada. En ese sentido, ciertos procedimientos recientes, Michel y Fenves (2006), consisten en elegir una cuadratura o espaciamiento entre secciones de anlisis numrico de forma que la longitud plstica numrica coincida con una longitud plstica fsica posible, ya evaluada mediente expresiones empricas o deducidas mediante mecnica de la fractura. Otras formulaciones, como Armero y Ehrlich (2005), analizan el tema de la concentracin de deformaciones en elementos mediante formulacin de discontinuidades fuertes.

60

3.4. Validacin Para validar el modelo numrico, se ha reproducido la campaa experimental realizada en H. Ortega (1998) sobre una serie de losas hiperestticas de dos vanos. En esa campaa se han variado la cuanta de armado a flexin y el grado del acero de armar, emplendose tres tipos de aceros identificados como de muy baja ductilidad (MBD), baja ductilidad (BD) y alta ductilidad (AD). El objetivo de dicho estudio era evaluar la influencia de los aceros de alta ductilidad en la capacidad de redistribucin plstica en estructuras de hormign armado. Esta campaa representa una excelente base para validar un modelo que luego ser empleado para realizar estudios paramtricos sobre redistribucin de esfuerzos e influencia de caractersticas estructurales. En la Fig. 49 se muestra el esquema de un ensayo de dicha campaa experimental.

En la tabla siguiente se muestran las caractersticas geomtricas y propiedades de los materiales de los elementos ensayados. En las Figs. 50 a 52 se comparan los resultados experimentales con los obtenidos numricamente para 7, 11, 15 y 21 secciones transversales empleadas en la integracin numrica (equiespaciadas). Finalmente se muestra un resumen de los resultados obtenidos donde se corroboran los excelentes resultados del anlisis numrico. Cabe mencionar, sin embargo, que a medida que aumenta el nmero de secciones se reduce ligeramente la carga ltima obtenida. Esto se debe a dos efectos, en primer lugar a la reduccin de la longitud plstica numrica con el nmero de secciones transversales, ya comentado arriba. En segundo lugar, a que al aumentar el nmero de secciones dentro de la regin plstica es ms difcil conseguir la convergencia en trminos de

Figura 49 Ensayos de losas hiperestticas, Ortega (1998)

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equilibrio y curvatura de la seccin. Por lo general, es posible conseguir convergencia en fuerzas, ya que el cualquier error entre My y Mu tiende a ser pequeo. Por otro lado, en la rama plstica, diferencias