membrana vibrante
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Tema:
Ecuación Bidimensional de Onda. (Membrana Vibrante)
Objetivo General:
Efectuar un programa por medio del cual cumpla la solución de la Ecuación Bidimensional de Onda.(MATLAB)
Objetivos Específicos:
Ampliar y comprender la teoría para resolver el problema de una membrana vibrante. Desarrollar la programación detalladamente con el objetivo de ilustrarse en el tema. Análisis y comprensión de la gráfica en 3D. Investigar sobre el manejo del programa MATLAB.
Introducción:
Se harán las suposiciones siguientes:
1. La masa de la membrana por unidad de área es constante (“membrana homogénea”). La membrana es perfectamente flexible y tan delgada que no ofrece resistencia alguna a la flexión.
2. La membrana se tensa y a continuación, se fija a lo largo de toda su frontera, en el plano xy .La tensión por unidad de longitud T, provocada al estirar la membrana es la misma en todos los puntos y en todas las direcciones, y no cambia durante el movimiento.
3. La deflexión u(x,y,t) de la membrana durante el movimiento es pequeña comparada con el tamaño de ésta y todos los ángulos de inclinación son pequeños.
Para obtener la ecuación diferencial que rige el movimiento de la membrana, en la figura se consideran las fuerzas que actúan sobre una pequeña porción de la misma. Puesto que las deflexiones de la membrana y los ángulos de inclinación son pequeños, los lados de la porción son aproximadamente iguales a Δx y Δy . La tensión T es la fuerza por unidad de longitud. De donde, las fuerzas que actúan sobre los bordes de la porción son aproximadamente T Δx y TΔy.
Primero se consideran las componentes horizontales de las fuerzas. Se obtienen estas componentes al multiplicar las fuerzas por los cosenos de los ángulos de inclinación. Ya que estos ángulos son pequeños, sus cosenos están cercanos a 1. De donde las componentes horizontales de las fuerzas en bordes opuestos son aproximadamente iguales. Por tanto, el movimiento de las partículas de la membrana en la dirección horizontal será aproximadamente despreciable. Por esto se concluye que es posible considerar el movimiento de la membrana como transversal.
Las componentes verticales de las fuerzas a lo largo de los bordes, paralelas al plano yu son:
T ∆ ysenβ y −T ∆ ysen∝;
El signo menos aparece porque la fuerza que actúa sobre el lado izquierdo esta dirigida hacia abajo. Cuando los ángulos son pequeños, pueden remplazar sus senos por tangentes por lo tanto la resultante queda como:
T ∆ y ( senβ−sen∝ )≈T ∆ y ( tanβ−ta n∝)
¿T ∆ y [ux ( x+∆ x , y1 )−ux (x , y2)]
Donde los subíndices x denotan derivadas parciales y y1 y y2son valores entre y y y+Δy . De manera análoga, la resultante de las componentes verticales de las fuerzas que actúan sobre los otros bordes de la porción es:
¿T ∆ x [u y (x1 , y+∆ y )−uy (x2 , y )]
donde x1 ,y x2 son valores entre x y x +∆ x
De acuerdo con la segunda ley de Newton , la suma de las fuerzas dadas por (1)y (2) es igual a la
masa ρ∆ A de esa pequeña porción multiplicada por la aceleración ∂2u∂ t 2
donde:
ρ=¿es la masa de la membrana no desviada por unidad de área.
∆ A=∆ x ∆ y es el área de esa misma porción cuando no esta desviada.
Por tanto:
ρ∆ x ∆ y∂2u∂t 2
=T ∆ y [ux (x+∆ x , y1 )−ux (x , y2)]+T ∆ x [u y (x1 , y+∆ y )−uy (x2 , y )]
Donde la derivada de la izquierda se evalúa en algún punto apropiado (~x ,~y )correspondiente a esa porción. Al dividir entre ρ∆ x ∆ y da.
∂2u
∂ t 2=Tρ {[ ux (x+∆ x , y1 )−ux (x , y2)
∆ x ]+[ u y (x1 , y+∆ y )−u y(x2 , y)∆ y ]}
Si se hace que ∆ xy ∆ y tiendan a cero, se obtiene la ecuación diferencial parcial
∂2u∂ t 2
=c2( ∂2u∂ x2+ ∂2u∂ y2 )
Esta se conoce como ecuación bidimensional de onda.
Desarrollo Teórico.
La Membrana Vibrante
Para resolver el problema de la membrana vibrante, tenemos que determinar una solución de la ecuación de onda bidimensional
∂2u∂ t 2
=c2( ∂2u∂ x2+ ∂2u∂ y2 )
donde:
c2=Tρ
que satisfaga la condición de frontera
u =0
sobre la frontera de la membrana para todo t≥0 (7)
Y las dos condiciones iniciales
u(x,y,0)=f(x,y) y ∂u∂ t
=g (x , y ) parat=0 (8)
Como un primer caso importante, consideremos una membrana rectangular, como se muestra.
Primer paso
Se propone una solución en forma de un producto de dos funciones que dependen de (x,y) y t por separado.
u(x,y,t) = F(x,y)G(t)
Sustituyendo u(x,y,t) en la ecuación diferencial obtenemos
F ( x , y )G̈ ( t )=c2(Fxx ( x )G ( t )+Fyy(x )G (t))
Dividiendo entre c2F G nos queda
G̈c2G
= 1F
(Fxx ( x )+Fyy (x))
La expresión de la izquierda depende únicamente de t, mientras que la expresión de la derecha depende únicamente de x,y. Por lo tanto, cada expresión debe ser igual a una constante (negativa otra vez).
G̈c2G
= 1F
(Fxx+Fyy )=−v2
Esto nos lleva inmediatamente a la ecuación diferencial ordinaria
G̈+λ2G=0 , (10)
donde λ=cv
Y a la ecuación diferencial parcial
Fxx+Fyy+v2F=0 (11)
Consideramos la ecuación 11 y aplicamos el método de separación de variables otra vez. Esto es, proponemos
F(x,y) =H(x) Q(y) (12)Sustituyendo en la ecuación 12 obtenemos, como antes,
1Hd2Hd x2
=−1Q ( d2Qd y2 +v2Q)=−k2
Esto nos lleva a las dos ecuaciones diferenciales ordinarias
d2Hd x2
+k2H=0
d2Qd y2
. p2Q=0
Donde
p2=v2−k2
Segundo paso
Las soluciones de las ecuaciones 13 y 14 son de la forma
∴H ( x )=A cos kx+B senkx
y
Q ( y )=C cos py+D sen py
De las condiciones de frontera, tenemos que u(x,y,t) debe ser cero en las orillas de la membrana, que son: x = 0, x = a, y = 0, y = b.Esto nos lleva a las condiciones
H (0 )=0
H (a )=0
Q (0 )=0
Q (b )=0
Entonces:
H (0 )=A=0
y
H (a )=B senka=0
⟹K=mπa
m=entero
Igualmente:
c=0
p=nπb
n=entero
Entonces obtenemos las soluciones:
Hm(x )=senmπxa
(15)
Qn( y )=sennπyb
entonces las funciones:
Fmn ( x , y )=Hm ( x )Qn ( y )=sen mπxa
sennπyb
(16)
son soluciones de la ecuación 11 que satisfacen las condiciones de frontera.
Puesto que:
p2=v2−k2
y
λ=c v
Entonces:
λ=c √k2+ p2
Y a cada valor de m y n le corresponde u valor de λ= :
λmn=cπ √ m2a2 + n2b2Enla ecuación paraG( t):
La correspondiente solución general es:
Gmn ( t )=Bmncos λmnt+B¿mn sen λmn t
Y entonces las funciones:
umn ( x , y , t )=Fmn(x , y)Gmn (t )
Son explícitamente:
umn ( x , y , t )=(Bmncos λmn t+B¿mn sen λmn t ) sen
mπax sen
mπby (17)
Estas funciones, para cada valor de m y n, son soluciones de la ecuación diferencial que satisfacen las condiciones de frontera.
Estas funciones se llaman eigenfunciones o funciones características, y los valores son
llamados eigenvalores o valores característicos de la membrana vibrante. La frecuencia de
vibración de es .
Es interesante notar que, dependiendo de los valores de a y b, varias funciones pueden
corresponder al mismo valor característico . Físicamente esto significa que pueden existir varias vibraciones de la misma frecuencia pero diferentes líneas nodales ( curvas de puntos en la membrana que no se mueven ).
Tercer paso
Es claro que una sola de las solucionesumn (x , y , t) no va a satisfacer las condiciones iniciales en general.Puesto que la ecuación es lineal y homogénea, sabemos del teorema fundamental que una suma de ellas también será una solución. Para obtener una solución que satisfaga las condiciones iniciales, consideremos la doble serie infinita
u ( x , y , t )=∑m=1
∞
∑n=1
∞
umn ( x , y ,t )=¿∑m=1
∞
∑n=1
∞
(Bmncos λmn t+Bmn sen λmnt ) . sen m. πa
x . senn .πb
y¿
(18)
De esta solución y de la condición inicial u(x,y,0) = f(x,y) , vemos que
umn ( x , y , t )=∑m=1
∞
∑n=1
❑
(Bmn ) . sen m. πa
x . senn. πb
y=f ( x , y )(19)
Esta serie se conoce como doble serie de Fourier. Los coeficientes Bmn se pueden calcular de la siguiente manera:definimos una función
Km ( y )=∑n=1
∞
Bmn . senn .πb
y (20)
Entonces:
f ( x , y )=∑m=1
∞
Km ( y ) . sen mπax (21)
para una y fija, esta última serie es la serie de Fourier de senos de la extensión periódica impar de f(x,y). Entonces
Km ( y )=2a∫0
a
f (x , y) . sen mπxadx (22)
De la ecuación 20, vemos que es la serie de Fourier de senos de Km (y), y entonces los coeficientes Bmnson
Bmn=2b∫o
b
K m ( y ).sennπybdy (23)
De las ecuaciones 22 y 23, obtenemos la fórmula generalizada de Euler:
Bmn=4ab
∫0
b
∫0
a
f ( x , y ) sen mπxasen
nπybdx dy (24 )
Similarmente, diferenciando (18) con respecto al tiempo y usando la segunda condición inicial, tenemos:
umn ( x , y ,0 )=∑m=1
∞
∑n=1
∞
B¿mn λmn sen
mπax sen
nπby=g ( x , y )(25)
Entonces, procediendo como antes, obtenemos :
B¿mn=
4ab λmn
∫0
b
∫0
a
g ( x , y ) senmπax sen
nπby dxdy (26)
Manual del Programa (MEMBRANA VIBRANTE).
Requisitos de uso:
Para el uso de este programa es necesario MatLab 7.0. Además es necesario tener los programas de de Adobe Reader y Microsoft Office
Excel.
En esta guía se encontraran los pasos para el manejo del programa de la Membrana Vibrante, aquí mostrado en el programador de Math Lab.
1. Instalar o copiar el programa dentro de la dirección C:\MATLAB7\work2. Como primer paso se procede a abrir el programa de MATLAB 7.0 de la siguiente
manera:
3. En la barra de herramientas buscamos por File, colocamos el cursor en la opción New, el cual muestra un menú desplegable el cual muestra las rutas, M-File,
Figure, Variable, Model, GUI.
4. Escogemos, la opción GUI, la cual nos muestra la ventana GUIDE Quick Start, la que a la vez muestra las pestañas Create New GUI y Open Existing GUI, escogemos esta última:
5. La opción Open Existing GUI nos mostrara la un botón de búsqueda llamado Browse…
6. A continuación obtendremos la ventana Open, donde aparecerá la opción Buscar en:, desplegamos el menú mediante la flecha de color negro, el cual nos mostrara el directorio del computador:
7. Dentro del menú desplegable buscamos por las dirección (C:) Disco local, que mostrara la carpeta de nombre MATLAB7, la cual contendrá la carpeta ProyectoMate2, que tendrá el archivo del programa llamado MembranaVibrante.fig y hacemos clic en el botón de abrir.
8. Esto abrirá el programa, mostrando la ventana del interface del programa propiamente dicho. Pero antes se debe hacer correr el programa con el icono de play (Run) de color verde mostrado en la parte superior en la barra de herramientas de la ventana de MatLab :
9. Luego de iniciado el programa se procede a ingresar los datos del programa dentro de cada una de las ventanas, respectivamente nombradas, como es el caso de LIM a:, LIM B:, Valor m:, Valor n:, TEMP INICIAL:, DENSIDAD: , y finalmente, Función:.
Una vez ingresados los datos se presiona el botón de CALCULAR y se espera por los
resultados para LANDA ma: , A ma: , B ma y la RESPUESTA FINAL u(x,y,t):
10. En la gráfica anterior podemos ver ya los resultados del problema ingresado, con su respectiva gráfica, la cual oscila o vibra en el momento en el que el programa obtiene los datos.
Dentro de la ventada tenemos también los botones de AYUDA, el cual sirve como referencia en caso de que el usuario tenga alguna duda sobre el tema de Membrana Vibrante, con extensión pdf.
También tenemos la opción de realizar un nuevo calculo por medio del recuadro que dice ¿Desea hacer un nuevo calculo? Si la respuesta es ´SI´, entonces el programa borrara todos los datos de la ventana actual y dejara la gráfica en blanco. Si la respuesta es ´NO´ se suspenderá quedando de la forma previa al paso 9.
También se tiene el botón de IMPRIMIR el cual nos da la posibilidad de obtener los datos en un archivo de Excel.
En caso de querer guardar los datos esto se realiza desde el programa de Microsoft Excel.
11. Para terminar el programa se da un ´NO´ como repuesta a la pregunta de un nuevo cálculo y luego se cierra la ventana del interface y por ultimo la ventana de MATLAB y así todo el programa.
Observaciones
El programa está diseñado en MATLAB 7.0 el cual debe ser utilizado en Windows XP, para el manejo del mismo guiarse en el manual suministrado en este documento.
La teoría relacionada al programa se encuentra en el documento de manera detallada y explicativa para la consulta del usuario, así como también en el mismo programa puede utilizar la opción ayuda.
Cada algoritmo contiene comentarios para facilitar el conocimiento de la programación.
Cada dato a ingresar requerido, esta con su calificativo para que no exista errores en el ingreso de los mismos y consecuentemente en las repuestas.
Conclusiones
Con la ayuda de MATLAB se realizo un programa el cual nos facilita encontrar la solución de la Ecuación Bidimensional de Onda.
Para realizar esto se analizo y comprendió la teoría en primer lugar, que es la base fundamental para el desarrollar el programa.
La respuesta se puede analizar y comprender mediante una grafica en 3D, que al mismo tiempo dentro del programa se muestra sus oscilaciones, ejemplificando mejor el comportamiento de la función.
Con este programa se agilizar la resolución de los ejercicios del tema tratado. En el transcurso del trabajo se mejoro nuestros conocimientos con respecto al
manejo de MatLab. Con el proceso del desarrollo del programa y de un profundo estudio del tema,
sirvieron para una comprensión más clara del desarrollo de esta parte de las matemáticas avanzadas.
El desarrollo del programa amplio de gran manera el manejo MatLab específicamente, con respecto a lo concerniente a todo lo que tiene que ver con graficas en 3D.
Además del uso de MatLab se aprendió sobre el manejo de otros programas que sirvieron para reproducir el mismo, como es el caso de VirtualBox.
Bibliografía
MATEMÁTICA AVANZADA PARA INGENIERÍA. ERWIN KREYZIG. Volumen II, Sexta Edición.
MANUAL BASICO DE MATLAB
MANUAL DE INTERFAZ GRÁFICA DE USUARIO EN MATLAB 7.
Por Diego Barragá[email protected]
MANUAL DEMATLAB 6.5
Por Departamento de Formación Continua.
