Cordial saludo, esta guía corresponde a la semana de trabajo virtual, iniciando el día 21 de julio hasta el 31 de julio, con

las cuales vamos a continuar desarrollando el III periodo académico. Las actividades aquí asignadas deben ser

TRANSCRITAS Y DESARROLLADAS en el cuaderno correspondiente EN SU RESPECTIVA FECHA.

Evidencias: Las evidencias de trabajo deben ser enviadas (TODAS) el día 31 de julio de 2020.

FUNCIÓN CUADRÁTICA.

El estudio de las funciones cuadráticas se aplica en la

ingeniería civil para resolver problemas específicos como

la construcción de puentes colgantes que se encuentran

suspendidos en uno de los cables amarrados a dos

torres. Por su parte, los biólogos utilizan las funciones

cuadráticas para estudiar efectos nutricionales de los

organismos.

Por ejemplo, las funciones 𝑔(𝑥) = 7𝑥2 + 3𝑥 + 1 ,

𝑓(𝑥) = −3𝑥2 + 8 y ℎ(𝑥) = −4𝑥2 son funciones

cuadráticas. A las funciones cuadráticas también se les

denomina funciones de segundo grado porque el

exponente del término 𝑎𝑥2 es 2.

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA.

La representación gráfica de una función cuadrática es

una curva llamada parábola, la cual puede abrir hacia

arriba o hacia abajo.

Si en la función 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, se cumple que

𝑎 > 0 , la parábola abre hacia arriba.

En cambio, si en la función 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, se

cumple que 𝑎 < 0 , la parábola abre hacia abajo.

Las coordenadas del vértice V se representan (ℎ, 𝑘) y se

determinan mediante las expresiones ℎ = −𝑏

2𝑎 y

𝑘 = 𝑓 (−𝑏

2𝑎), esta segunda expresión nos indica que

debemos reemplazar el valor encontrado para h en la

función cuadrática que tenemos.

El dominio de una función cuadrática es el conjunto de

los números reales R, y el rango es el intervalo [𝑘, +∞)

si la parábola abre hacia arriba o es (−∞, 𝑘] si la

parábola abre hacia abajo.

La recta paralela al eje 𝑦 que pasa por el vértice de la

parábola, se denomina eje de simetría.

Para hallar el intercepto de la parábola con en el eje 𝑦, se

remplaza 𝑥 = 0 en la expresión 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, y para

hallar los interceptos con el eje 𝑥 se remplaza 𝑦 = 0

TIPOS DE GRÁFICAS DE FUNCIONES

CUADRÁTICAS.

Según los valores de a, b y c en la expresión 𝑦 = 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥 + 𝑐, hay cuatro casos que se deben tener en cuenta

para graficar una función cuadrática:

𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒄 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙

𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄

MEGACOLEGIO LOS ARAUJOS

MONTERIA – CORDOBA

PLAN DE CLASES BAJO EL MODELO CONSTRUCTIVISTA

Docente Orientador: Luis Fernando Vergara Luna Asignatura: Matemáticas

Grado: 9 Grupo: 1,2,3

Unidad Didáctica: 2 Nombre: Racionalizando el mundo

Fecha De Inicio: 27 de julio Fecha De Finalización: 31 de julio

Total Horas: 7 Contenido: Función cuadrática

Una función cuadrática es una función de la forma

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, donde 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 ∈ 𝑅 𝑦 𝑎 ≠ 0

Caso 1. 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 , donde b = 0 y c = 0.

En este caso las parábolas tienen como vértice el punto

(0, 0) y como eje de simetría el eje 𝑦. Además se cumple

que:

Si 𝑎 > 0, la parábola abre hacia arriba.

Si |𝑎| > 1, la parábola es más estrecha que la

parábola que representa a la función 𝑦 = 𝑥2, en

donde a es igual a 1.

Si 0 < |𝑎| < 1, 1, la parábola es más ancha que la

parábola 𝑦 = 𝑥2.

Ejemplo:

Graficar las funciones:

𝒇(𝒙) =𝟏

𝟐𝒙𝟐, 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐, 𝒓(𝒙) = 𝟐𝒙𝟐, 𝒉(𝒙) = −𝟐𝒙𝟐

en el mismo plano cartesiano. Luego, compararlas.

Primero, se realiza la tabla de valores, remplazando los

valores de x en cada una de las funciones y calculando

los valores correspondientes.

Luego, se ubican los puntos en el plano cartesiano y se

traza cada parábola.

Finalmente, se comparan las parábolas con respecto a

la función 𝑔(𝑥) = 𝑥2.

Caso 2. 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒄 , donde b = 0.

La gráfica de la función 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒄 se obtiene

trasladando c unidades la gráfica de 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐. Si

𝑐 > 0, la traslación es hacia arriba. En cambio, si 𝑐 < 0,

la traslación es hacia abajo.

En este caso el eje de simetría de la parábola es el eje 𝑦

y las coordenadas del vértice son (0, c).

Caso 3. 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙, donde c = 0.

En este caso las coordenadas del vértice (h, k) se pueden

hallar por medio de las expresiones ℎ = −𝑏

2𝑎 y

𝑘 = 𝑓 (−𝑏

2𝑎) el eje de simetría es una recta paralela al

eje 𝑦 cuya expresión algebraica es 𝑥 = −𝑏

2𝑎

Ejemplo:

1. Graficar la función 𝒇(𝒙) = 𝟓𝒙𝟐 − 𝟑 Primero, se establece qué caso es. Como b 5 0, la

función corresponde al caso 2 y, por tanto, es de la forma

𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒄, donde a = 5 y c = -3. En este caso, el

eje de simetría es el eje 𝑦 y el vértice es (0, -3).

Luego, se realiza una tabla de valores.

Finalmente, se ubica el vértice 𝑦 las otras parejas

ordenadas de la tabla, y se traza la parábola como se

muestra en la figura 1.

2. Graficar la función 𝒇(𝒙) = −𝟐𝒙𝟐 + 𝒙

Como c=0, la función es de la forma 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙

que corresponde al caso 3. Por tanto, se realizan los

siguientes pasos:

Primero, se determinan las coordenadas del vértice

(h, k) así:

Finalmente, se ubican los puntos y se traza la parábola

teniendo en cuenta que el eje de simetría es la recta

𝑥 =1

4. La parábola se muestra en la figura 2.

Caso 4. 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄

En este caso la gráfica de la función se obtiene

trasladando c unidades la gráfica de la función

𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙. Cuando 𝑐 > 0, la traslación es hacia

arriba y cuando 𝑐 < 0 la traslación es hacia abajo.

Ejemplo:

Graficar la función 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟑

Primero, se determinan las coordenadas del vértice

(h, k).

De donde obtenemos que el vértice es (1, 2) y el eje de

simetría es la recta x = 1.

Luego, se realiza una tabla de valores.

Finalmente, se traza la parábola ubicando el vértice y los

otros puntos de la tabla de valores. La gráfica de la

función 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟑 se obtiene al trasladar la

gráfica de 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 tres unidades hacia arriba,

como se muestra en la figura 3.

ACTIVIDAD 1.

1. Identifica cuáles de las expresiones representan

funciones cuadráticas. Justifica tu respuesta.

2. Determina el signo del coeficiente a en la expresión

que define cada parábola.

3. Grafica las siguientes funciones cuadráticas.

CEROS, RAÍCES O SOLUCIONES DE UNA FUNCIÓN

CUADRÁTICA.

Los ceros, raíces o soluciones de una función cuadrática

son los puntos de corte de la parábola con el eje x.

Dependiendo de que los puntos de corte existan o no

existan, se presentan tres casos:

Caso 1. La parábola corta el eje x en un solo punto. En

este caso, el vértice de la parábola está sobre el eje x y

por esto la función tiene una única solución real.

Caso 2. La parábola corta el eje x en dos puntos. En este

caso la función tiene dos raíces reales diferentes.

Caso 3. La parábola no corta el eje x. En este caso la

función no tiene solución en los números reales.

ECUACIÓN CUADRÁTICA.

Dependiendo de los valores de las constantes b y c, las

ecuaciones cuadráticas se clasifican en incompletas y

completas.

Ecuaciones incompletas: son aquellas ecuaciones

cuadráticas en las que b=0, c=0 o que b=0 y c=0. Por

ejemplo, las ecuaciones 5𝑥2 − 1 = 0, −3𝑥2 = 0 y

𝑥2 + 6𝑥 = 0 son ecuaciones cuadráticas incompletas.

Ecuaciones completas: son aquellas ecuaciones

cuadráticas en las que el valor de las constantes b y c es

diferente de cero. Por ejemplo, las ecuaciones

5𝑥2 − 3𝑥 + 1 = 0 y 𝑥2 − 2𝑥 + 1 = 0 son ecuaciones

cuadráticas completas.

Resolver una ecuación cuadrática significa hallar el valor

o los valores de la incógnita que hacen verdadera la

igualdad.

Gráficamente, las soluciones reales de una ecuación

cuadrática corresponden a los puntos de corte de la

parábola con el eje x.

SOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS

INCOMPLETAS.

Las ecuaciones cuadráticas incompletas se resuelven

según su forma.

Luego, todas las ecuaciones cuadráticas de esta forma

tienen como única solución

X=0.

Para resolver ecuaciones cuadráticas que tengan esta

forma se realizan los siguientes pasos:

Una función cuadrática es una función de la forma

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐=0, donde 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 ∈ 𝑅 𝑦 𝑎 ≠ 0

Por tanto, las ecuaciones de esta forma tienen dos

soluciones reales diferentes y

Para resolver las ecuaciones cuadráticas que tienen esta

forma, se realizan los siguientes pasos:

Por tanto, las ecuaciones de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑐 = 0 tienen

dos soluciones:

Ejemplos:

ACTIVIDAD 2.

1. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas

incompletas.

SOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS

COMPLETAS.

Una ecuación cuadrática completa, es decir, de la forma

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐=0, donde 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 ∈ 𝑅 𝑦 𝑎 ≠ 0 se puede

resolver utilizando tres métodos: solución por

factorización, solución completando cuadrados y solución

por fórmula general.

Solución por factorización.

Para resolver la ecuación cuadrática 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐=0 se

factoriza, si es posible, el trinomio 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 y se

iguala cada factor a cero. Luego, se resuelve cada

ecuación lineal para hallar las soluciones.

Solución completando cuadrados.

Este método se utiliza cuando el trinomio 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 no es factorizable. Para resolver una ecuación cuadrática

completando cuadrados se realizan los siguientes pasos:

Primero, se resta c en ambos lados de la igualdad

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐=0 con lo cual se obtiene la expresión

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = 2𝑐

Segundo, se dividen entre a ambos lados de la

igualdad.

Luego, se suma en ambos lados de la igualdad

y se factoriza el trinomio cuyo término es 𝑥2.

Finalmente, se extrae la raíz cuadrada y se despeja

x.

Ejemplos:

Solución por fórmula general.

Completando cuadrados se puede deducir una fórmula

general para hallar las raíces de la ecuación cuadrática

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐=0 Esta fórmula general o fórmula

cuadrática se deduce de la siguiente manera:

Ejemplo:

Resolver la ecuación 5𝑥2 − 9𝑥 − 2 = 0 Se remplazan los valores de a, b y c en la fórmula

general, teniendo en cuenta que a=5, b= -9 y c= -2.

Luego, se simplifica

Las soluciones de la ecuación 5𝑥2 − 9𝑥 − 2 = 0 son:

𝑥1=9+11

10=2

y 𝑥2=9−11

10=

−2

10=

−1

5

ACTIVIDAD 3.

1. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas

factorizando.

2. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas

completando cuadrados.

3. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas

aplicando la fórmula general.

ESTADISTICA.

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL.

Son tres: la media, la mediana y la moda y,

dependiendo de cómo estén presentados los datos,

hay maneras para calcularlas.

La media o promedio: es una medida que permite

encontrar las características básicas de un conjunto

de datos de una variable cuantitativa. Su fórmula es

la siguiente:

La moda: de un conjunto de datos es el dato que más

veces se repite. En una tabla de frecuencias, la clase

de mayor frecuencia es la clase modal y el valor de

la moda es la marca de clase modal. La moda se

representa con las letras: Mo.

La mediana: es la medida que divide el grupo de

datos en dos partes, cada una de las cuales agrupa

el 50% del total. La mediana se representa con las

letras: Me.

Para calcular la mediana, primero se ordenan los

datos de menor a mayor, teniendo en cuenta los

siguientes casos:

Caso 1. Hay un número impar de datos. En este

caso, la mediana es exactamente el dato del centro.

Caso 2. Hay un número par de datos. En este caso

no hay un único dato en el centro sino dos, y la

mediana es el promedio de estos dos datos del

centro.

Las raíces de la ecuación cuadrática 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐=0

, con 𝑎 ≠ 0 están dadas por:

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

Ejemplo:

1. Encontrar la media, mediana y moda de los siguientes valores: 84; 91; 72; 68; 87; 78; 65; 87; 79.

Solución.

Primero calculamos la media:

𝑥 =84 + 91 + 72 + 68 + 87 + 78 + 65 + 87 + 79

9=

711

9= 79

Para calcular la mediana, primero agrupamos los datos: 65; 68; 72; 78; 79; 84; 87; 87; 91.

Ahora, encontramos el valor central:

65; 68; 72; 78; 79; 84; 87; 87; 91. Por lo tanto: Me = 79.

Finalmente, encontramos la moda, y podemos ver que el 87 aparece dos veces. Al ser el valor que se más se repite, Mo =

87.

2. Las edades de los 550 estudiantes que usan como medio de transporte el bus escolar para llegar al colegio, se

presentan agrupadas en la tabla

Como la mayor frecuencia se presenta en el intervalo [5, 8), esa se considera la clase modal.

La moda es la marca de clase de este intervalo, es decir, 5+8

2= 6,5 años.

Actividad de aprendizaje

1. Determina la media, mediana y moda en la distribución: 12, 13,13, 13, 14, 16, 17, 17, 18, 19

2. Calcular la media aritmética, la mediana y la moda de la siguiente serie de números: 5, 3, 6, 5, 4, 5, 2, 8, 6, 5, 4, 8, 3,

4, 5, 4, 8, 2, 5, 4.

3. Las puntuaciones obtenidas por un grupo en una prueba han sido: 15, 13, 16, 15, 19, 18, 15, 14, 18. Calcular la moda,

la mediana y la media aritmética.

4. El número de estrellas de los hoteles de una ciudad viene dado por la siguiente serie: 3, 3, 4, 3, 4, 3, 1, 3, 4, 3, 3, 3,

2, 1, 3, 3, 3, 2, 3, 2, 2, 3, 3, 3. Hallar la moda, la mediana y la media aritmética.

La vida es más bonita cuando AMAS, cuando COMPARTES, cuando PERDONAS, cuando NO GUARDAS RENCOR y cuando

tienes a Dios en tu CORAZÓN.