Medidas y errores

Instrumentos de medida

Sus características son:

Sensibilidad: Es la mínima variación de la magnitud a medir que puede apreciar el instrumento. Por tanto, un aparato es más sensible que otro si es capaz de medir variaciones más pequeñas de la magnitud medida.

Precisión: Es la mínima fracción de la magnitud medida que puede determinarse con exactitud. Por ej., una regla graduada en cm es menos precisa que una regla graduada en mm.

Exactitud: Las medidas repetidas de una misma cantidad de magnitud son las mismas. Por ej., una masa pesada en una balanza repetidas veces ha de darnos el mismo resultado.

Rapidez: El instrumento debe dar una respuesta rápida.

Calibrador (Pie de rey, Nonius)

Consta de dos escalas, la escala principal, que una regla graduada en mm y otra escala auxiliar que es una reglilla (no medida en mm) por lo general dividida en 10 unidades. El valor de una de sus unidades se calcula viendo la longitud que abarcan sobre la regla superior las diez unidades de la reglilla y dividiendo ese valor en 10 partes.

En el ejemplo 19 mm de la regla principal equivalen a las 10 unidades de la reglilla. Por tanto cada unidad de la reglilla será 19/10 = 1,9 mm.

La menor medida que puede apreciar el calibrador es la diferencia entre el valor de la primera división de la reglilla, el 1, y el valor que tiene a su derecha arriba en la regla (la raya de los 2 mm). La reglilla tiene una distancia del cero al uno de 1,9 mm y arriba, en la regla, un poco más a la derecha está la división de los 2 mm, por lo tanto 2-1,9 = 0,1. Esa será la precisión del calibrador.

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Supongamos que queremos medir la longitud de una pieza. Se realiza con la boca del calibrador. Para conocer el valor de una medida escribiremos el número tomando las primeras cifras de la regla superior y la última cifra la calcularemos por medio de la reglilla inferior.

Se leen la regla superior que es la distancia que va entre su cero y el cero de la reglilla, en este caso, 12 mm y a continuación la siguiente cifra de la medida se busca en la reglilla y será la del número de esta cuya raya de posición justo coincida con una división de la regla. Como el único que coincide con una división de arriba es el 6 6 x 0,1 = 0,6 la medida será: 12,6 mm.

La expresión del resultado con su incertidumbre será 12,6 ± 0,1 mm

Incertidumbre de una medida

Todas las mediciones tienen asociada una incertidumbre debida a los siguientes factores:

la naturaleza de la magnitud que se mide el instrumento de medición, el observador, las condiciones externas.

Cada uno de estos factores constituye por separado una fuente de incertidumbre y contribuye en mayor o menor grado a la incertidumbre total de la medida.

Las fuentes de incertidumbres se deben a:

Errores accidentales o aleatorios, se dan por causas difíciles de controlar, como el momento de iniciar una medida de tiempo, colocación de la cinta métrica, etc. Usualmente, los errores aleatorios son causados por las personas al hacer las medidas. Habitualmente se distribuyen estadísticamente en torno a una medida que sería la correcta. Para evitarlo se deben tomar varias medidas de la experiencia y realizar un tratamiento estadístico de los resultados. Se toma como valor o medida más cercana a la realidad la media aritmética de las medidas tomadas.

Errores sistemáticos que están relacionados con la forma de tomar la medida y son una desviación constante de todas las medidas ya sea siempre hacia arriba o siempre hacia abajo del valor real y son producidos, por ejemplo, por el sistema utilizado, por ejemplo, error de paralaje o por la falta de calibración del instrumento utilizado.

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En la figura 1 se representa la diferencia entre precisión y exactitud . Los centros de los círculos indican la posición del valor que se quiere medir y las cruces indican los valores de varias mediciones. La dispersión de los puntos se asocia a la precisión, mientras que su centro efectivo está asociado a la exactitud. El conjunto de medidas representa una medición a) precisa pero inexacta, b) más exacta y con la misma precisión, c) menos precisa y menos exacta, d) más exacta pero menos precisa.

La medida ideal es aquella que tiene un 100% de exactitud y un 100% de precisión.

Otro ejemplo sería

Cálculos de g en la superficiea b c d10,8 10,9 9,9 12,410,2 10,8 9,9 11,89,9 10,8 9,8 11,19,6 10,7 9,8 10,49,4 10,7 9,7 10,1Exacto pues el valor real de g se encuentra entre los valores

No exacto pues el valor real no se encuentra entre el valor más bajo y el más alto

Exacto pues el valor real de g se encuentra entre los valores

No exacto pues el valor real no se encuentra entre el valor más bajo y el más alto

No preciso pues hay mucha diferencia entre los valores

Preciso por la cercanía entre las medidas

Preciso por la cercanía entre las medidas

No preciso pues hay mucha diferencia entre los valores

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Las mediciones llevan asociadas siempre un grado de incertidumbre, que puede deberse al instrumento de medida o a la destreza de la persona que la realiza.

Incertidumbre debida al aparato de medida

La incertidumbre está relacionada con el proceso de medida. Se trata del máximo error de la medida. Evidentemente, está relacionada con la precisión del instrumento.

Cuando al realizar una serie de medidas de una misma magnitud se obtienen los mismos resultados, no se puede concluir que la incertidumbre sea cero; lo que sucede es que los errores quedan ocultos ya que son menores que la incertidumbre asociada al aparato de medición. Por regla general se toma como incertidumbre la mitad de la precisión del aparato o de la división más pequeña del instrumento.

Por ejemplo, medimos la longitud de una mesa con una cinta métrica graduada en cm, lo que implica que su precisión es de 1 cm. Supongamos que la medida es de 60 cm, la incertidumbre será de 0,5 cm y por tanto, la medida es:

Longitud = 60 ± 0,5 cm

Por ejemplo, supongamos que al medir con un instrumento graduado en mililitros repetidas veces el volumen de un recipiente se obtiene siempre 48.0 ml, entonces la incertidumbre será 0.5 ml.

Volumen = 48,0 ± 0,5 ml

Lo que significa que la medición está entre 47.5 a 48.5 ml, a éste se le conoce como intervalo de confianza de la medición y su tamaño es el doble de la incertidumbre. Esto generalmente se aplica cuando se trata de aparatos de medición tales como reglas, transportadores, balanzas, probetas, manómetros, termómetros, etc.

En buretas, pipetas, etc, se realiza una doble lectura. Por tanto, si la precisión de la bureta o pipeta es ± 0,5 ml, la incertidumbre será 2 x 0,05 ml = ± 0,1 ml.

Precisión: bureta, matraz Erlenmeyer, pipeta > probeta > vaso de precipitado

Error absoluto y error relativo

Error absoluto. Es el mayor de los siguientes valores:

o Valor absoluto de la diferencia entre el valor medido (x) y el valor tomado como exacto o representativo (xv).

ax –xv|

o Incertidumbre de la medida, es decir, la mitad de la precisión del instrumento.

Para compensar los errores aleatorios, se suele realizar varias medidas de una magnitud y se toma como valor representativo la media aritmética de todas las medidas, y como error absoluto medio, la media de todos los valores x –xv|, siempre que este supere al valor de la incertidumbre I. Tiene unidades, las mismas que las de la medida.

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Error relativo. Es la división entre el error absoluto y el valor exacto o representativo. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. No tiene unidades.

raxv raxv) . 100

Cifras significativas.

Las cifras significativas de una medida están formadas por los dígitos que se conocen no afectados por el error, más una última cifra sometida al error de la medida. Así, por ejemplo, si el resultado de una medida es 3,72 m, serán significativas las cifras 3, 7 y 2. Que los dígitos 3 y 7 son cifras exactas y que el dígito 2 puede ser erróneo. O sea, el aparato de medida puede medir hasta las centésimas de metro (centímetros), aquí es donde está el error del aparato y de la medida. Por tanto, hay que tener en cuenta:

El número de dígitos de un resultado de una medida es importante. No se pueden poner todos los dígitos que da la calculadora. Los resultados no pueden ser más precisos que los datos de donde se obtienen, es decir, los resultados deben tener tantas cifras significativas o menos que los datos de procedencia.

No es lo mismo 3,70 m que 3,7 m. En el primer caso queremos decir que se ha precisado hasta los centímetros mientras que en el segundo caso sólo hasta los decímetros.

Un aparato de medida debería tener el error en el último dígito que es capaz de medir. Así una regla cuya escala alcanza hasta los milímetros, su error debería ser de más / menos algún milímetro. Si el error lo tuviese en los centímetros no tendría sentido la escala hasta los milímetros.

Reglas de redondeo. Una vez que sepamos cuantas cifras significativas debemos tener, el número se redondea utilizando las siguientes reglas:

Si el primer dígito no significativo (primero de la derecha) es menor que cinco, se elimina y se mantiene el anterior que se convierte así en el último. Ejemplo si el número es 3,72; como el último dígito es 2 (menor que cinco), quedaría 3,7.

Si el primer dígito no significativo (primero de la derecha) es igual o mayor que cinco, se añade una unidad al anterior que se convierte así en el último. Ejemplo si seguimos redondeando el resultado anterior (3,7) quedaría 4 dado que 7 es mayor que cinco, se suma una unidad al anterior que pasaría de 3 a 4.

Cuando el resultado de una operación matemática nos dé como resultado un número con demasiados dígitos hemos de redondearlo para que el número de cifras significativas sea coherente con los datos de procedencia.

Notación científica.

Tanto en física como en química se suelen manejar números muy grandes o muy pequeños. Una forma de evitar manejar demasiados dígitos es utilizar la notación científica. Todo número en notación científica siempre viene expresado de la misma forma:

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Una parte entera que consta de un número distinto de cero, seguido de una coma y de cifras decimales.

Una potencia de diez, con exponente positivo o negativo.

Ej: Poner en notación científica el número 487300000000El número en notación científica sería: 4,873·1011

Ej: Poner en notación científica el número 0,00000004873El número en notación científica sería: 4,873·10-8

Cálculos con datos experimentales.

Toda experiencia debe presentar un estudio estadístico. Las reglas a adoptar en el cálculo con datos experimentales son las siguientes:

Una medida se debe repetir tres o cuatro veces para intentar neutralizar el error accidental.

Se tomará como valor real (que se acerca al valor exacto) la media aritmética simple de los resultados.

El error absoluto de cada medida será la diferencia entre cada una de las medidas y ese valor tomado como exacto (la media aritmética).

El error relativo de cada medida será el error absoluto de la misma dividido por el valor tomado como exacto (la media aritmética).

Ejemplo. Medidas de tiempo de un recorrido efectuado cuatro veces por un corredor: 3,01 s; 3,11 s; 3,20 s; 3,15 s Incertidumbre = 0,01 s

1. Valor que se considera exacto:

Xv = 3,12 s

2. Errores absoluto y relativo de cada medida:

Medidas Errores absolutos x –xv|

Rango = Dispersión de las medidas = diferencia entre el valor más alto y el más bajo =

3,20-3,01 = 0,19

3,01 s |3,01 - 3,12|= 0,11 s3,11 s |3,11 -3,12| = 0,01 s3,20 s |3,20 -3,12| = 0,08 s3,15 s |3,15 - 3,12| = 0,03 s

xmedia= xv = 3,12 s x –xv|media = 0,06

x –xv|media = 0,06 > I = 0,01 Error absoluto = 0,06 s

Resultado final = 3,12 ± 0,06 s

Error relativo = (0,06/3,12).100 = 1,92%

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Si la diferencia entre un valor medido y el valor representativo es cuatro veces el error absoluto, dicho valor medido se rechaza.

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