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Medicin y Error.

Definiciones:Instrumento: Dispositivo para determinar el valor o magnitud de una cantidad o variable.Exactitud: Aproximacin con la cual la lectura de un instrumento se acerca al valor real de la variable medida.Precisin: Medida de la reproducibilidad de las mediciones. Es una medida del grado con el cual mediciones sucesivas difieren unas de otras. Para tener una correcta evaluacin de la precisin de un instrumento debe considerarse tanto la conformidad como las cifras significativas. Por ejemplo el valor real de una resistencia es 1.384.572, y se mide con un multmetro el cual indica repetidamente 1.4M. Aqu se tiene conformidad pero existe un error creado por las limitaciones de la escala. El aumento de las cifras significativas incrementa la precisin de la medicin.La conformidad es condicin necesaria pero no suficiente en cuanto a precisin. De modo semejante, la precisin es condicin necesaria pero no suficiente para la exactitud.Cifras significativas: El nmero de cifras significativas, como hemos visto, es importante a la hora de cuantificar magnitud y precisin de las mediciones de una cantidad. Es importante remarcar que, cuando se manejan valores medidos con distintas cifras significativas, suele cometerse el error de escribir el resultado del error absoluto con cifras que carecen de sentido.Resolucin: Cambio ms pequeo en el valor medido al cual responde el instrumento.Sensibilidad: Relacin de la seal de salida o respuesta del instrumento respecto al cambio de la entrada o variable medida.

Tipos de errores:

Graves o gruesos:Son en gran parte de origen humano, como la mala lectura de los instrumentos, ajuste incorrecto y aplicacin inapropiada, as como equivocaciones en los clculos. Un error grave tpico es el error por efecto de carga o error de insercin.

Sistemticos:Se deben a fallas de los instrumentos, como partes defectuosas o desgastadas, y efectos ambientales sobre el equipo. Un ejemplo tpico como veremos ms adelante en el galvanmetro de Darsonval, se deriva de la friccin de los cojinetes de las partes mviles, deterioro del resorte antagnico, etc. Estos errores pueden evitarse mediante una buena eleccin del instrumento, aplicacin de factores de correccin, o recalibrando los mismos contra un patrn.

Aleatorios o fortuitos:Se deben a causas desconocidas y ocurren incluso cuando todos los errores sistemticos han sido considerados. Para compensar estos errores debe incrementarse el nmero de lecturas y usar medios estadsticos para lograr una mejor aproximacin del valor real de la cantidad medida.

fortuitos (o residuales), y en los primeros incluyen los graves o humanos, los instrumentales,ambientales, etc.

Expresando el resultado de una medicin:Error absoluto: Es directamente la diferencia entre el valor medido y el valor verdadero,

Cabe aclarar que algunos autores simplemente separan los errores en sistemticos, y

Ex X m X v

(1-1)

Ahora el valor verdadero, existe?. Lo que podemos asegurar es que cuanto ms cercano al valor verdadero se quiera llegar, ser ms el esfuerzo, y por ende, el costo del instrumento utilizado.No existe una regla nica e invariante para determinar este error. Ver puntos siguientes (1.4, y 1.5).Error relativo: Cuando se requiere comparar dos errores de dos magnitudes medidas muy diferentes, el error absoluto no es suficiente. Por lo tanto, se define,

xe X m X vX v

E xX v

(1-2)

El cual en general se expresa en porcentaje. Debido a la imposibilidad de conocer el valor verdadero, suele a veces utilizarse en su lugar, el valor verdadero convencional (Xvc) el cual puede determinarse con otro instrumento mucho ms exacto respecto al utilizado en la medicin. En la prctica generalmente con los datos del fabricante, uno puede determinar en error absoluto, entonces para hallar el error relativo, se suele utilizar en el denominador directamente el valor medido (Xm).Error lmite: Si podemos concluir que Ex es el error absoluto lmite (mximomedible), entonces podemos expresar la medicin como,

X X m Ex

(1-3)

En la mayora de los instrumentos de indicacin, la exactitud est garantizada por un cierto porcentaje de la lectura en plena escala, tambin conocido como error lmite o de garanta. Este error, para el caso de instrumentos analgicos, est relacionado a la clase del instrumento. De esta manera, el fabricante promete que el error no ser mayor que el error lmite, pero cabe aclarar que, para lecturas lejos del fondo de escala, el error relativo aumenta.

Error en un instrumento analgico:Para expresar el error lmite absoluto y tambin el relativo de un instrumento analgico, es necesario conocer ciertas definiciones segn la norma IEC 60051-1:Error intrnseco (Ex): Error propio del aparato que comete cuando se encuentra en condiciones normales de uso.Valor fiduciario (Xf): Es un valor convencional al cual se refieren los errores de un instrumento con el fin de especificar su exactitud. Esta puede ser:El lmite superior del campo de medida en: aparatos con 0 en un extremo no fuera de escala (excepto hmetros).La suma absoluta de los valores extremos de la escala, en aparatos con 0dentro de la escala.90 elctricos para cosfmetros, y fasmetros.

Ej. hmetros). El anlisis del error relativo en un hmetro serie, ser tratado ms adelante.Clase (c): Se define como clase de exactitud a:

La longitud total de la escala para aparatos con escala no lineal contrada (por

Las clases tpicas son:

c E xX f

100

(1-4)

Para instrumentos de tablero: 1; 1.5Para multmetros: 2; 2.5; 5

Lectura en un instrumento analgico:En general se observa la deflexin de una aguja dentro de una escala graduada, obtenindose,

k x : constante de lectura :

unidad de Xdivisin

m : divisiones medidas : divisinLuego el valor medido ser:

X m k x m

(1-5)

y finalmente el resultado de la medicin ser como la expresin (1-3) donde Ex se obtiene con la clase del instrumento utilizado.

Error en un instrumento digital:Para determinar el error lmite o de garanta de un instrumento digital, existen varias expresiones, pero la ms difundida por la mayora de los fabricantes es la que sigue la norma IEC 485:

E x ( p% X m m dgitos)

(1-6)

donde p es un porcentaje de valor medido, y m es la cantidad de dgitos de los menos significativos para la escala seleccionada.Ejemplo: Se mide un voltaje de 17.80Vcc en un multmetro digital en la escala de19.99Vcc. La hoja de datos provista por el fabricante indica:Eu (0.1% U m 1 dgitos)

entonces,

Eu (0.1% 17.80Vcc 1 0.01Vcc) 0.0278Vcc

y el resultado de la medicin ser, V (17.80 0.03)VccCul sera el resultado si se midiera en la escala de 199.9Vcc?

Propagacin de errores:Cuando se realiza una medicin indirecta, esto es, la variable a determinar depende de ms de una medicin, surge la necesidad de evaluar como pesan cada uno de los errores en el error del resultado final.Sea una variable X f ( X 1 , X 2 ,..., X n ) , entonces desarrollando por serie de Taylor, yConsiderando que los errores son tan pequeos tal que se pueden despreciar los trminos de orden superior:

La cual se denomina ley de propagacin de errores lmites. Por ejemplo para la suma de dos mediciones:S A B

E S

1.E A 1.E B E A E B

Anlisis estadstico:El anlisis estadstico de datos de mediciones es una prctica comn ya que permite obtener una determinacin analtica de la incertidumbre del resultado final (ver punto 1.8), esto es, una vez hallados y acotados los errores sistemticos puede obtenerse un valor que caracterice a los errores restantes (aleatorios o fortuitos). Cabe aclarar que el tratamiento estadstico de datos no puede eliminar tendencias fijas contenidas en las mediciones, como por ejemplo, la que puede derivar de un error sistemtico.Para realizar el anlisis y aplicar los mtodos estadsticos mencionados, es necesario contar con un gran nmero de mediciones, o sea contar con una poblacin de datos, y adems los errores sistemticos deben ser pequeos en comparacin con los errores residuales (o aleatorios). Como ejemplo, en la siguiente tabla se muestran 50 mediciones de voltaje.Voltaje ledo [V]Nmero de lecturas

99.71

99.84

99.912

100.019

100.110

100.23

100.31

Tabla 1-1

Figura 1.1

Luego con estos datos pueden hallarse los siguientes ndices:

Media aritmtica: Tambin llamada promedio:n X iX i 1 (1-8)nDesviacin de la media: Es el alejamiento de una lectura dada de la media aritmtica:

d i X i X

(1-9)n

Cada una de las desviaciones puede ser positiva o negativa. Ntese que la 0 = dii 1Desviacin promedio: Es una indicacin de la precisin de los instrumentos:n d iD i 1 (1-10)nDesviacin estndar: Es la raz media cuadrtica de las desviaciones. Es muy utilizada en el anlisis estadstico de errores. Para un nmero finito n de datos:n

i d 2

i 1 n 1

(1-11)

La desviacin estndar tiene la ventaja de tener las mismas unidades que la variable medida.

ejmEn el siguiente cuadro se tiene los datos tomados de las corrientes de un experimento

Numero de datosDatos tomadosI (A)Media aritmtica

Desviacin mediaDesviacin estndar

112.012.00.28

213.013.0-0.72

310.010.02.28

413.513.5-1.22

512.212.20.08

613.013.0-0.72

total12.2801.25

Distribucin normal de errores:Esta distribucin, muchas veces da una buena descripcin de muchos resultados en mediciones que estn afectadas de errores. Las medidas repetidas y realizadas con gran cuidado siguen en muchos casos esta particular distribucin.El contorno de la misma es una curva con forma de campana llamada campana deGauss.

Figura 1.2Para un punto cualquiera de esta curva, la funcin distribucin de probabilidad ser:

-

y()

1e 22

Esta distribucin normal o gaussiana de error es la base del estudio analtico de los efectos aleatorios.

Todas las observaciones incluyen pequeos efectos de distorsin, llamados errores aleatorios.Los errores aleatorios pueden ser positivos o negativos.Hay igual probabilidad de errores aleatorios positivos o negativos.El rea total bajo la distribucin normal entre los lmites -, y + representa el nmero entero de observaciones. Ahora el rea sombreada entre incluye alrededor del68% de todos los casos.

Error probable:En el grfico anterior se define

r 0.6745

como error probable, esto es, se tiene

igual probabilidad (50%) de que alguna observacin/medicin tenga un error aleatorio r . El coeficiente que multiplica a la desviacin estndar se define como factor de cobertura k.

kFraccin de rea total(probabilidad p)

0.67450.5000

1.00000.6828

1.64500.9000

1.96000.9500

2.00000.9545

3.00000.9972

2.58000.9900

3.00000.9970

Tabla 1.2

1.10 Bibliografa:1) 'Instrumentacin Electrnica Moderna y Tcnicas de Medicin' de W. Cooper. EditorialPrentice Hall 1982.2) 'Anlisis de medidas elctricas' de E. Frank, Editorial Mc Graw Hill 19693) 'Technical Note 1297: Guidelines for evaluating and expressing the Uncertainty deN.I.S.T. 1994.5) Norma IRAM 35050 20006) Norma IEC 60051-1 19847) Introduction to metrology de Fluke Corporation 1995.