MEDICIÓN DEL VALOR DE CONFIANZA SOBRE EL NIVEL ESPERADO, LA DISTRIBUCIÓN NORMAL Y EL VALOR CRÍTICO.

Intervalo de confianza

Un intervalo de confianza (o nivel de confianza) es un indicador de la precisión de una medición que hiciste. También es un indicador de cuán estable es tu valor estimado, el cual es la medida de lo cerca que estará la medición hecha con respecto al valor estimado original si repitieras tu experimento. Sigue los pasos a continuación para calcular el intervalo de confianza para tus datos.

PASOS PARA SU DETERMINACIÓN

1. Escribe el fenómeno que te gustaría examinar. Supongamos que trabajas con la siguiente situación: el peso promedio de un estudiante de género masculino en la Universidad ABC es de 82 kg (180 lb). Analizarás qué tan precisamente podrás predecir el peso de los estudiantes varones de la universidad ABC dentro de un intervalo de confianza dado.

2. Selecciona una muestra de tu población escogida. Esta es la que utilizarás en la recolección de datos para evaluar tu hipótesis. Supongamos que seleccionaste, al azar, 1000 estudiantes hombres.

3. Calcula el promedio y la desviación estándar de tu muestra. Escoge un dato estadístico de tu muestra (por ejemplo, el promedio o la desviación estándar) que quieras usar para estimar el parámetro de tu población escogida. Un parámetro de población es un valor que representa una característica particular de la población. Así es cómo puedes encontrar el promedio y la desviación estándar de tu muestra:

Para calcular el promedio (o media) de los datos de la muestra, solo suma todos los pesos de los 1000 hombres que seleccionaste y divide el resultado entre 1000; es decir, el número de hombres. Esto debería darte un valor del peso promedio de 84,4 kg (186 lb).

Para calcular la desviación estándar de la muestra, tendrás que encontrar el promedio o la media de los datos. Luego, tendrás que encontrar la varianza de los datos o el promedio al cuadrado de las diferencias con respecto al valor medio. Una vez que encuentres este número, solo calcula su raíz cuadrada. Supongamos que la desviación en este caso es de 14 kg (30 lb) (ten en cuenta que esta información algunas veces podría estar disponible para ti al resolver un problema de estadística).

4. Elige el nivel de confianza que desees. Los niveles de confianza usados con mayor frecuencia son 90 %, 95 % y 99 %. Al resolver un problema, es posible que tengas este dato a tu disposición. Supongamos que escogiste 95 %.

5. Calcula tu margen de error. Puedes encontrar el margen de error usando la siguiente fórmula: Za/2 * σ/√(n). Za/2 = coeficiente de confianza, donde a = nivel de confianza, σ = desviación estándar, n = tamaño de muestra. Esta es otra forma de decir que deberías multiplicar el valor crítico por el error estándar. Así es como puedes resolver esta fórmula al dividirla en partes:

Para hallar el valor crítico, o Za/2: en este caso el nivel de confianza es de 95 %. Convierte el porcentaje a un número decimal 0,95, réstalo de 1 (1 – 0,095) y divídelo entre 2 para tener 0,025. Luego, revisa la tabla de valores z para encontrar el valor que corresponde a 0,025. Verás que el valor más cercano es -1,96 en la intersección de la fila 1,9 y la columna 0,6.

Calcula el error estándar: toma la desviación estándar, 14 kg (30 lb), y divídela entre la raíz cuadrada del tamaño de la muestra, 1000. Obtendrás 14/31,6 o 0,44 kg (0,95 lb).

Multiplica 1,96 por 0,44 (tu valor crítico por tu error estándar) para obtener 0,86; tu margen de error.

Nota: Se llama valor crítico al valor de Z necesario para construir un intervalo de confianza para la distribución

6. Expresa tu intervalo de confianza. Para expresar el intervalo de confianza, simplemente tienes que tomar el promedio o la media (82), y escribirla al lado de ± y el margen de error. La respuesta es: 82 ± 0,86. Puedes encontrar los límites superior e inferior del intervalo de confianza, sumando y restando el margen de error a la media. Entonces, tu límite inferior es 82 – 0,86 o 81,14 kg (178,14 lb), y tu límite superior es 82 + 0,86, o 82,86 kg (181,86 lb).

También puedes usar esta fórmula práctica para encontrar el intervalo de confianza: x̅ ± Za/2 * σ/√(n). Aquí, x̅ representa la media

Distribución normal

La distribución normal es de suma importancia en estadística por tres razones principales:

1. Numerosas variables continuas de fenómenos aleatorios tienden a comportarse probabilisticamente mediante ésta.

2. Es el límite al que convergen tanto variables aleatorias continuas como discretas.

3. Proporciona la base de la inferencia estadística clásica debido a su relación con el teorema del límite central.

Propiedades de la distribución normal

1. Su grafica tiene forma acampanada. 2. El valor esperado, la mediana y la moda tienen el mismo valor cuando la

variable aleatoria se distribuye normalmente. 3. Su dispersión media es igual a 1.33 desviaciónes estándar. Es decir, el

alcance intercuartil está contenido dentro de un intervalo de dos tercios de una desviación estándar por debajo de la media a dos tercios de una desviación estándar por encima de la media.

En la práctica, algunas de las variables que observamos sólo pueden aproximar estas propiedades. Así que si el fenómeno puede mediarse aproximadamente mediante la distribución normal se tendrá:

1. Que el polígono puede verse en forma de campana y simétrico. 2. Sus mediciones de tendencia central tienen bastante parecido. 3. El valor intercuartil puede diferir ligeramente de 1.33 desviaciones estándar. 4. El dominio de la variable aleatoria normalmente distribuida generalmente

caerá dentro de 3 desviaciones estándar por encima y por debajo de la media.

Modelo matemático

El modelo o expresión matemática que representa una función de densidad de probabilidad se denota mediante el símbolo . Para la distribución normal, se tiene la siguiente función de probabilidad.

donde

es la constante matemática aproximada por 2.71828

es la constante matemática aproximada por 3.14159

Parámetros

es cualquier valor de la variable aleatoria continua, donde

Así,

A continuación se presentan las gráficas de las funciones de densidad Normal con el objetivo de observar cambios en la distribución de probabilidad:

Caso 1:

Cuando se mantiene la misma media, pero cambia la varianza.

Ejemplo:

Caso 2:

Cuando se mantiene la misma varianza, pero cambia la media.

Ejemplo: ( y )

La distribución de probabilidad de una variable aleatoria normal con media cero y varianza 1 se llama distribución normal estándar.

INTERVALO DE CONFIANZA PARA m; CON s DESCONOCIDA

Si x y s son la media y la desviación estándar de una muestra aleatoria de una población normal con varianza s2 , desconocida, un intervalo de confianza de (1-a)100% para m es:

Donde t a/2 es el valor t con n = n-1 grados de libertad, que deja un área de a/2 a la derecha.Se hace una distinción entre los casos de s conocida y s desconocida al calcular las estimaciones del intervalo de confianza. Se debe enfatizar que para el primer caso se utiliza el teorema del límite central, mientras que para s desconocida se hace uso de la distribución muestra de la variable aleatoria t. Sin embargo, el uso de la distribución t se basa en la premisa de que el muestreo se realiza de una distribución normal. En tanto que la distribución tenga forma aproximada de campana, los intervalos de confianza se pueden calcular cuando la varianza se desconoce mediante el uso de la distribución t y se puede esperar buenos resultados.

Con mucha frecuencia los estadísticos recomiendan que aun cuando la normalidad no se pueda suponer, con s desconocida y n‡30, s puede reemplazar a s y se puede utilizar el intervalo de confianza:

Por lo general éste se denomina como un intervalo de confianza de muestra grande. La justificación yace sólo en la presunción de que con una muestra grande como 30, s estará muy cerca de la s real y de esta manera el teorema del límite central sigue valiendo. Se debe hacer énfasis en que esto es solo una aproximación y que la calidad de este enfoque mejora a medida que el tamaño de la muestra crece más

Ejemplo

El contenido de siete contenedores similares de ácido sulfúrico son 9.8, 10.2, 10.4, 9.8, 10.0, 10.2, y 9.6 litros. Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la media de todos los contenedores si se supone una distribución aproximadamente normal.

Solución: La media muestral y la desviación estándar para los datos dados son: =x 10 y s= 0.283

En la tabla se encuentra que t =2.447 con 6 grados de libertad, de aquí, el intervalo de confianza de 95% para m es:0.025

BIBLIOGRAFÍA FORMATO APA

Mario Orlando Suárez Ibujes. (2012). Estimación de intervalos de confianza. 2015, de MONOGRAFIAS.COM Sitio web: http://www.monografias.com/trabajos91/estimacion-intervalos-confianza/estimacion-intervalos-confianza.shtml

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UNAL. (2011). Distribuciones de variables aleatorias continuas / Importancia de la distribución normal. 2015, de Virtual UNAL.edu Sitio web: http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001065/html/un2/cont_233_75.html