Instrucciones: lee y resuelve los siguientes ejercicios tomando en cuenta lo aprendido durante la unidad.

1. Escribe un ejemplo de sistema no lineal de ecuaciones diferenciales. Justifica tu respuesta.Solucin:

El sistema no es lineal pues las variables involucradas no estn relacionadas de manera lineal; vemos como aparecen elevadas a una potencia o multiplicndose.

2. Para el siguiente sistema calcula la matriz jacobiana:

Solucin:Tenemos que por tanto:

3. Linealiza el siguiente sistema alrededor del punto (0,0):

Solucin:Calculamos primero su matriz jacobiana teniendo en cuenta que

Evaluamos la matriz jacobiana en el punto (0,0):

Por tanto el sistema linealizado es en forma matricial:

4. Un sistema de especies en competencia tiene las siguientes cerclinas:

Indica cules son las cerclinas y los puntos crticos del sistema.Solucin:Las cerclinas son los dos ejes y las dos rectas, las cuales segn los puntos por los que pasan seran:

Los puntos crticos es donde se intersectan las cerclinas, es decir, las y-cerclonas con las x-cerclinas. Para los ejes tenemos el punto , para la interseccin de las dos rectas que calculamos el punto , para la interseccin de la y-cerclina que calculamos con el eje x el punto y para la interseccin de la x-cerclona con el eje y el punto . 5. Si la matriz jacobiana de un sistema es

Clasifica los puntos crticos para el sistema linealizado.Solucin:Tenemos entonces el sistema linealizado:

Si calculamos el determinante de la matriz de coeficientes tenemos:

Por tanto, para el sistema linealizado, tenemos un nico punto que es el origen.Calculamos ahora los valores propios del sistema linealizado:

Como los valores propios son reales iguales y de signo opuesto, entonces el punto crtico es un punto de silla y las trayectorias de las soluciones que convergen o divergen del punto son tangentes a los vectores propios correspondientes en este punto.

6. Encuentra y esboza las cerclinas (incluyendo puntos crticos) del siguiente sistema lineal:

Solucin:Podemos escribir el sistema de manera mas simple como:

Calculamos primero los puntos crticos:

Para si entonces o bien por lo que tenemos los puntos . Luego para si entonces o bien tenemos el punto Por ltimo tenemos:

Multiplicamos la segunda por -1 y sumamos a la primera:

Entonces:

Por lo tanto los puntos crticos son Las cerclinas son tomando en cuenta y :

Graficando las cerclinas y los puntos crticos se tienen:

El plano fase del sistema es: