meccuánii_14 n (3_ hidrógeno)

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 Universidad Nacional de Trujillo Depar tamento Acad´emico de F ´ ı si ca Grupo de F ´ ısi ca T orica Semestre 2014-II 823:  Mec´ anic a Cu´ antic a 2 Dr. Antonio Riv asplata M. Lic Fernando Rabanal M. M.Sc. Carlos Mor gan Cruz. Tarea 03.  ´ Atomo sde hidroogenoides. 1. (a ) As uma q ue el ´atomo de hidr´ogeno se encuentra en el estado: Ψ =  ψ 1s √ 2 + Aψ 2  p  +  ψ 3s √ 8 Halle el valor de  A  de modo que el estado se encuentre normalizado. ¿Cu´ al es la ener g ´ ıa promedio de este estado? (b) El electr´on en el hidr´ogeno se halla en el estado ψ nm  =  R 32 √ 1 6 Y 21  + √ 1 2 Y 20  + √ 1 3 Y 21 ¿Cu´al es la energ´ ıa del electr ´on? ¿Qu´ e valor se o btiene al med ir  L 2 ? ¿Qu´e valor es puede n hallarse y con qu´ e probabilidad al medir  L z ? ¿Cu´ al es el valor esperado de  L z . 2. (a ) En el ti empo  t  = 0 el ´ atomo de hidr´ ogeno se encuentra en un estado descrito por la funci´ on de onda siguiente ψ(t  = 0) =  1 √ 10 [ 2ψ 100  + ψ 210  + √ 2ψ 211  + √ 3ψ 211 ] . Calcule el valor esperado del cuadrado del momentum angular, de su proyecci´ on y de la energ ´ ıa, para este sistema. V erique si se conservan en el tiemp o o no. (b) ¿Calcule el valor  as probab le  y el valor  promedio  del radio  r  del electr´ on en el ´ ato mo de hidogeno, en su estado fundamental? 3. La fun ci´ on de onda de un electr´ on en un ´atomo hidrogenoide es  ψ(r, θ , φ) = N e r/α , donde α =  a 0 / Z . (a) Calcule la consta nte de normalizaci´ on. (b) Si el n´ umero de nucleones es  A  = 173 y  Z  = 70, ¿Cu´ al es la probabilidad de que el electr´on se halle dentro del n´ ucleo? Asuma un radio nuclear de 1.2 × A 1/3 fm. (c) ¿Cu´ al es la probabilidad de que el electr´on se halle en la regi´ on  x,y,z >  0 (primer octante)? 4. Se sabe qu e la funci´ on radial para el ´ atomo de hidr´ ogeno se expresa como  R(r) = R(r)/r. Al resolver la ecuaci´ on diferencial radial (Hecho en clase) , se obtuvo R(ξ ) = ξ +1 e ξ Υ(ξ ), donde ξ  =  αr  y Υξ ) = k=0 c k ξ k . (a) V eriq ue que la relaci ´ on de recurencia para los coecientes  c k  es c k+1  =  2(k + + 1 n) (k + 1)(k + 2+ 2) c k .

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La estimulación temprana o atención temprana consiste en proporcionar al bebé y al niño las mejores oportunidades de desarrollo físico, intelectual y social para que sus capacidades y habilidades le permitan ser mejor de lo que hubiera sido sin ese entorno rico en estímulos intelectuales y físicos de calidad. El conjunto de actividades que permiten proporcionar dichas oportunidades al niño pueden ser aplicadas desde el nacimiento hasta los 6 o 7 años, franja de edad con mayor plasticidad cerebral. No solamente es de aplicación en niños sanos sino también para corregir trastornos reales o potenciales en su desarrollo, o para estimular capacidades compensadoras. Las madres y padres que reciben la adecuada información son los que obtienen mejores resultados con sus hijos, aunque también hay diversas guarderías y escuelas de ciclo inicial que realizan actividades de estimulación temprana en sus aulas. Glenn Doman y sus Institutos para el Logro del Potencial humano en Filadelfia, han sido los grandes precursores de la estimulación temprana.

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  • Universidad Nacional de TrujilloDepartamento Academico de FsicaGrupo de Fsica TeoricaSemestre 2014-II

    823: Mecanica Cuantica 2Dr. Antonio Rivasplata M.Lic Fernando Rabanal M.

    M.Sc. Carlos Morgan Cruz.

    Tarea 03. Atomosde hidroogenoides.

    1. (a) Asuma que el atomo de hidrogeno se encuentra en el estado:

    = 1sp2+A 2p +

    3sp8

    Halle el valor de A de modo que el estado se encuentre normalizado. >Cual es la energapromedio de este estado?

    (b) El electron en el hidrogeno se halla en el estado

    n`m = R32

    r1

    6Y21 +

    r1

    2Y20 +

    r1

    3Y21

    !

    >Cual es la energa del electron? >Que valor se obtiene al medir L2? >Que valores puedenhallarse y con que probabilidad al medir Lz? >Cual es el valor esperado de Lz.

    2. (a) En el tiempo t = 0 el atomo de hidrogeno se encuentra en un estado descrito por lafuncion de onda siguiente

    (t = 0) =1p10

    2 100 + 210 +

    p2 211 +

    p3 211

    :

    Calcule el valor esperado del cuadrado del momentum angular, de su proyeccion y de laenerga, para este sistema. Verique si se conservan en el tiempo o no.

    (b) >Calcule el valor mas probable y el valor promedio del radio r del electron en elatomo de hidrogeno, en su estado fundamental?

    3. La funcion de onda de un electron en un atomo hidrogenoide es (r; ; ') = Ner=, donde = a0=Z.

    (a) Calcule la constante de normalizacion.

    (b) Si el numero de nucleones es A = 173 y Z = 70, >Cual es la probabilidad de que elelectron se halle dentro del nucleo? Asuma un radio nuclear de 1:2A1=3 fm.

    (c) >Cual es la probabilidad de que el electron se halle en la region x; y; z > 0 (primeroctante)?

    4. Se sabe que la funcion radial para el atomo de hidrogeno se expresa como R(r) = R(r)=r. Alresolver la ecuacion diferencial radial (Hecho en clase), se obtuvo R() = `+1e(), donde = r y ) =

    P1k=0 ck

    k.

    (a) Verique que la relacion de recurencia para los coecientes ck es

    ck+1 =2(k + `+ 1 n)

    (k + 1)(k + 2`+ 2)ck:

  • (b) Use lo anterior como base para obtener la funcion radial Rn`(r), normalizada, para elcaso cuando ` = n 1.

    5. Determine los valores esperados siguientes hri; hr2i; hr1i, y hr2i para el estado fundamentaldel atomo de hidrogeno.

    6. Un kaon negativo con masa mil veces mayor que la del electron, es capturado en una orbitacircular de Bohr alrededor de un nucleo de plomo (Z = 82). Asuma que resulta con el numerocuantico principal n = 10 y va decayendo a n = 9; 8; 7; :::.

    (a) >Cual es la energa del foton emitido en cada una de las transiciones?

    (b) >Cual es el radio aproximado del nucleo si el kaon es absorbido por el nucleo despues dela transicion de n = 4 a n = 3

    7. Los electrones del medio interestelar pueden recombinarse con los protones para formaratomos de hidrogeno con numeros cuanticos principales altos. Una transicion entre valoressucesivos de n da origen a una lnea (frecuencia) de recombinacion.

    (a) Una lnea de recombinacion se observa a 5:42591010Hz cuando se produce la transicionde n = 50 a n = 49. Calcule la constante de Rydberg R.

    (b) Calcule la frecuencia de la lnea de recombinacion correspondiente a la transicion n = 90a n = 89.

    8. Se conoce la formula para los estados de los atomos hidrogenoides.

    (a) Escriba la funcion de onda del estado fundamental del tritio y del helio 3.

    (b) Calcule la relacion entre las distancias mas probables del electron en ambos casos

    (c) Una reaccion nuclear cambia instantaneamente el tritio a helio 3. Asuma que la partcula y el neutrino se alejan del sistema con una velocidad muy grande. Calcule la proba-bilidad de que el electron permanezca en el estado fundamental.

    Expresiones utiles:

    C(1)m (t) =1

    i~

    Z t0hmjH^ 0(t0)jniei!mnt0dt0 ! Pmn = jC(1)m (t)j2

    Z 10

    xnexdx = n!=n+1;Z 10

    eax2dx =

    1

    2

    r

    aZ 11

    e(ax2+bx+c)dx =

    r

    aexp

    b2 4ac

    4a

    Trujillo, 19 de Enero de 2015.

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