Mecanica e Ondas

fascıculo 13

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April 23, 2010

Contents

13.1 Nocao de impulso. Colisoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29213.2 Colisoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29513.3 Colisoes elasticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29613.4 Colisoes elasticas a 2-dim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30513.5 Colisoes inelasticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30813.6 Colisoes. Sumario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31513.7 Exercıcio suplementar de revisao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

Mario J. PinheiroDepartamento de Fısica e Instituto de Plasmas e Fusao NuclearInstituto Superior Tecnicoemail: mpinheiro@ist.utl.pt

291

“.... we are a part of nature as a whole, whose order we follow”.

- (Espinosa, Ethics, 1673)

13.1 Nocao de impulso. Colisoes

Quando dois objectos colidem as forcas que eles exercem um sobre o outroduram usualmente um pequeno intervalo de tempo. A fim de caracterizar aaccao exercida por uma forca sobre um corpo durante um determinado intervalode tempo, introduziu-se a nocao de impulsao de uma forca. Forcas destanatureza sao chamadas de forcas impulsivas, ou forcas de percussao.

Impulso e trabalho: quando uma forca actua sobre um corpo surgem doisresultados completamente distintos chamados impulso (∆−→p ) e trabalho (W ).

Durante a colisao a forca impulsiva produz uma variacao grande do movimentodo objecto.

Chama-se

impulsao elementar de uma forca a uma grandeza vectorial d−→p dada peloproduto da forca

−→F pelo intervalo de tempo elementar dt:

d−→p =−→F dt. (13.1)

A impulsao de uma forca que actua durante um intervalo de tempo finito tf − tie

−→p f −−→p i =∫ tf

ti

d−→p =∫ tf

ti

−→F dt. (13.2)

Podemos tambem escrever−→I =

∫ tf

ti

−→F (t)dt

∆−→p = −→p f −−→p i =−→I .

(13.3)

A variacao do momento linear do objecto e igual ao impulso que actua sobreele.

Este resultado traduz o

Teorema do momento linear de um ponto material no decorrer deum choque: A variacao do momento linear do objecto e igual ao impulso queactua sobre ele.

E a equacao fundamental da teoria das colisoes, tendo o mesmo papelque a equacao m−→a =

−→F no estudo do movimento produzido por forcas que nao

sejam de percussao.

292

O produto da forca−→F pelo intervalo de tempo ∆t resulta na impulsao

−→I 1.

Momento linear: o vector −→p = m−→v e chamado momento linear 2. Haque referir em relacao a qual referencial ele e definido (se a Terra, um vagao,laboratorio, CM).

Exemplo 1: Um sujeito empurrando um vagao de massa m desde o repouso

com a forca−→F constante, tera comunicado a velocidade v ao fim do tempo ∆t:

∆t =mv

F, (13.4)

porque, de acordo com o teorema anteriormente exposto, a impulsao I = F∆t eigual a variacao da quantidade de movimento comunicada ao vagao. O trabalhoefectuado e igual a variacao da energia cinetica adquirida pelo vagao:

W =12mv2 − 0 =

(mv)2

2m=

I2

2m. (13.5)

Para uma mesma impulsao corresponde um trabalho tanto maior quanto menorfor a massa do vagao.

Por vezes e conveniente definir uma forca media F actuante durante o intervalode tempo ∆t = tf − ti produzindo o mesmo impulso e igualmente a mesmavariacao do momento:

F = 1∆t

∫ tf

tiF (t)dt

F∆t = (−→p f −−→p i) =−→I .

(13.6)

Examinemos agora o choque de duas esferas duras A1 e A2. Durante a colisao,A1 fica sujeita a reaccao

−→N exercida por A2. Podemos ainda admitir que o

sistema das duas esferas nao esta isolado, exercendo-se eventualmente forcaselectricas ou o peso,

−→F . Em cada instante verifica-se

−→F +

−→N = m1

d−→v 1

dt(13.7)

donde ∫ t′

t

(−→F +

−→N )dt = m1

∫ t′

t

d−→v 1

dt(13.8)

Daqui obtem-se

−→I 1 = m1[−→v 1(t′)−−→v 1(t)] =

∫ t′

t

(−→F +

−→N )dt. (13.9)

1Os criadores da mecanica tiveram uma grande dificuldade em distinguir as duas nocoesde impulsao possıveis, o produto da forca pelo tempo e o produto da forca pelo deslocamento.

2Ou ainda momento cinetico, quantidade de movimento linear, ou simplesmente momento.Preferimos chama-lo por momento linear de modo a sermos consistentes com a designacao domomento angular que usaremos no estudo da dinamica rotacional.

293

Como a duracao do choque τ = t′ − t e muito pequena podemos admitir que ochoque e instantaneo, supondo que a forca

−→F permanece finita, isto e, admitindo

que

limt′→t

∫ t′

t

−→F dt =

−→0 . (13.10)

Assim, da Eq. 13.15 obtem-se

−→I 1 = m1(−→v ′1 −−→v 1) = lim

t′→t

−→Ndt. (13.11)

De acordo com a lei da accao-reaccao, a esfera A2 devera ficar sujeita a percussao−−→I 2: −→

I 1 = −−→I 2

∴ m1−→v 1 + m2

−→v 2 = m1−→v ′1 + m2

−→v ′2(13.12)

A ultima expressao traduz a conservacao do momento linear, sendo asvelocidades aquelas que sao verificadas imediatamente antes e imediatamenteapos o choque. Repare que, admitindo que a duracao da colisao e muito pequena,pode-se desprezar a variacao da energia potencial durante o choque.

Exemplo 2: Um problema com importancia pratica diz respeito ao manusea-mento de material no espaco sideral (e seguranca), quando o peso desvanece masa massa do objecto permanece. Quando a massa desse material tem toneladas,como acontece na construcao de uma estacao espacial, podem ocorrer situacoesque surpreendem a nossa intuicao. Imagine que voce e um astronauta a tra-balhar numa estacao espacial, manipulando 10 toneladas de massa m de umaestrutura que se encontra no exterior da estacao espacial (aqui supostamentecom uma massa total muito superior ao da referida estrutura). Suponha quevoce se encontra posicionado contra uma parede da estacao espacial. A massaaproxima-se de si com a velocidade de 30 cm/s e ameaca-o esmagar contra aparede. A questao que lhe ocorre de imediato e a seguinte: “poderei parar estaestrutura ou deverei saltar para o lado de imediato?”. Suponha que aplica umaforca constante F de 450 N (equivalente a levantar um peso de 45 kg) de formaconstante (e desacelerando). Os seguintes calculos monstram-nos o seguinte:

a = Fm = 0.045m/s2

s = v2

2a = 1m.(13.13)

E suficiente 1 metro para parar completamente as 10 toneladas de material !Uma facanha que esta ao alcance de uma pessoa normal...

Exemplo 3: Uma bola de massa 100 g e atirada para o solo de uma alturah = 2 m. A bola ressalta ate uma altura h = 1.5 m. Assuma que o tempo decolisao e 0.01 s (alias um valor tıpico). Determine a velocidade imediatamenteantes da colisao com o solo:

12mv2

i = mghvi =

√2gh = 6.26m/s

(13.14)

294

Depois do ressalto, a bola adquire a velocidade12mv2

f = mgh′

vf =√

2gh′ = 5.42m/s.(13.15)

O momento inicial e final sao ambos dados por:

−→p i = m−→v i = −0.63−→k (kg.m/s)

−→p f = m−→v f = 0.54−→k (kg.m/s).

(13.16)

O impulso−→I = ∆−→p = −→p f −−→p i =

−→F ∆t resulta em

∆−→p = [0.54− (−0.63)]−→k

= 1.17−→k (kg.m/s)

∴−→F = ∆−→p

∆t = 1.17−→k

0.01 = 117−→k (N)

(13.17)

o que representa uma forca muito maior do que a forca da gravidade!

Nas colisoes normalmente e mais facil medir a massa e a variacao da velocidadedo que a forca. Se o tempo durante a qual a forca actua e medido, pode-sedeterminar a forca media.

Se um impacto para um objecto em movimento, a variacao do momento e umaquantidade fixa. Ao dilatarmos o tempo de colisao diminuimos o valor da forcade impacto. Aplicamos com frequencia este princıpio em muitas situacoes:

• quando caımos para o solo de uma certa altura normalmente dobramosos joelhos de modo a aumentar o tempo de colisao e reduzindo a forca deimpacto;

• os automoveis sao projectados para serem destruıdos durante a colisao,aumentando o tempo de colisao e reduzindo a forca de impacto.

13.2 Colisoes

Chama-se choque ou colisao ao fenomeno durante o qual a velocidade de umcorpo sofre uma variacao finita num intervalo de tempo ∆t muito curto. Comoja referimos, as forcas que actuam sobre os corpos sao forcas de percussao e ointervalo de tempo ∆t e o tempo de impacto (ou tempo de choque).

Iremos em seguida estudar as colisoes entre objectos. Muitas vezes a conservacaodo momento e suficiente, mas em geral temos que recorrer a equacao de con-servacao da energia.

Existem basicamente dois tipos de colisao:

Colisoes elasticas 1) assume-se que as forcas de interaccao sao conservativas;2) a energia cinetica total antes e depois da colisao e a mesma; 3) omomento e conservado.

295

Colisoes inelasticas 1) o momento e conservado; 2) a energia cinetica totaldepois da colisao e menor que antes da colisao ocorrer:

−→P i =

−→P f e Ki 6=

Kf .

13.3 Colisoes elasticas

Colisoes elasticas: A energia total e conservada, assim como o momentolinear total.

Comecamos por analisar o caso a 1 dimensao. Assumimos que as partıculasmovem-se com velocidade −→v 1 e −→v 2 antes da colisao, tendo apos a colisao asvelocidades respectivas −→v ′

1 e −→v ′2. Se v > 0 a partıcula move-se para a direita;

se v < 0, a partıcula move-se para a esquerda.

1) Conservacao do momento:−→P i =

−→P f

m1−→v 1 + m2

−→v 2 = m1−→v ′1 + m2

−→v ′2. (13.18)

2) Conservacao da energia: Ki = Kf

12m1v

21 +

12m2v

22 =

12m1v

′21 +

12m2v

′22 (13.19)

Temos 2 equacoes e 2 incognitas: o problema esta bem definido:

(v1, v2) ⇒ (v′1, v′2). (13.20)

E conveniente reescrever a Eq. 13.18 na forma

m1(−→v 1 −−→v ′1) = m2(−→v ′2 −−→v 2) (13.21)

e a Eq. 13.19 na forma

m1(−→v 21 −−→v ′21 ) = m2(−→v ′22 −−→v 2

2) (13.22)

Ao dividirmos a Eq. 13.22 pela Eq. 13.21 obtemos

v1 + v′1 = v′2 + v2 (13.23)

ou seja −→v 1 −−→v 2 = −(−→v ′1 −−→v ′2). (13.24)

A velocidade relativa de duas partıculas depois da colisao e o negativo da ve-locidade relativa antes da colisao para qualquer colisao directa (ou central),quaisquer que sejam as massas.

A impulsao de percussao que ocorre durante a colisao de dois corpos depende dassuas massas, das suas velocidades antes do choque e das propriedades elasticasque se caracterizam por meio do chamado coeficiente de restituicao, k. A

296

Figure 1: Colisoes elasticas a 2-dim.

razao da sua existencia e a seguinte: quando uma bola de massa M em movi-mento de translacao colide com o solo (suposto perfeitamente rıgido) as veloci-dades das partıculas que a constituem, que no inıcio tem um dado valor −→v ,diminuem ate zero. A bola comeca a deformar-se e toda a sua energia cineticainicial 1

2Mv2 transforma-se em energia potencial interna do corpo deformado.Em seguida, terminada esta fase, a energia potencial elastica interna converte-sede novo em energia cinetica de movimento das partıculas da bola, sendo agora−→u a velocidade resultante do conjunto das partıculas e a sua energia 1

2Mu2.Porem, uma parte da energia mecanica total da bola nao e recuperada inteira-mente pois foi usada em produzir deformacoes residuais, aumentar a energiatermica da bola e na emissao de ondas acusticas, essencialmente. Entao e ex-pectavel que u seja inferior a v. No caso de um choque frontal de um corpocontra outro corpo fixo (solo, por ex.), define-se o coeficiente de restituicao k:

k =u

v. (13.25)

A tabela 1 da alguns valores de k para velocidades de choque da ordem de 3m/s.

Se introduzirmos no sistema de equacoes anteriores o coeficiente de restituicaok, teremos

k =| v′1 − v′2 || v1 − v2 | = −v′1 − v′2

v1 − v2(13.26)

podendo nos entao escrevermos a Eq. 13.24 na forma mais geral

v′1 − v′2 = −k(v1 − v2). (13.27)

297

Table 1: Coeficientes de restituicao para alguns materiais para velocidades daordem de 3 m/s.

corpos em contacto kmadeira contra madeira 0.5

aco contra aco 5/9marfim contra marfim 8/9

vidro contra vidro 15/16bola de basquete 0.76

Podemos considerar dois casos limite.

1) Colisao perfeitamente inelastica (k = 0).

Das Eqs. 13.21- 13.27 obtemos

v′1 = v′2 =m1v1 + m2v2

m1 + m2(13.28)

Apos a colisao, as duas partıculas movem-se com a mesma velocidade (que e avelocidade do CM).

2) Colisao perfeitamente elastica (k = 1).

As duas Eqs. 13.21- 13.27 conduzem-nos ao resultado

v′1 = v1 − 2m2m1+m2

(v1 − v2)v′2 = v2 + 2m1

m1+m2(v1 − v2)

(13.29)

Analisemos seguidamente 2 casos particulares que se encontram com frequencia:

a) Massas iguais, m1 = m2

As Eqs. 13.29 levam-nos a concluir que v′1 = v2 e v′2 = v1, isto e as 2 partıculastrocam entre si as velocidades com que iam animadas.

Se a segunda partıcula encontra-se em repouso inicialmente, −→v 2 = 0, e

v′2 = v1

v′1 = 0 (13.30)

A primeira partıcula para e a segunda move-se para a frente com a velocidadeda primeira.

b) Consideremos agora a situacao das partıculas terem massas diferentes, mas−→v 2 = 0.

A conservacao do momento da-nos

m1v1 = m1v′1 + m2v

′2 (13.31)

298

A Eq. 13.27, e atendendo a que k = 1, conduz-nos a

v1 = −v′1 + v′2 (13.32)

A resolucao deste sistema de duas equacoes da-nos

v′2 = v1

(2m1

m1+m2

)

v′1 = v1

(m1−m2m1+m2

) (13.33)

i) Se v2 = 0 e m1 = m2 obtemos o mesmo resultado encontrado no caso daalınea a).

ii) Se v2 = 0, e m1 À m2, situacao semelhante ao embate de um objecto pesadocontra um objecto leve. Da Eq. 13.33, obtemos

v′2 ≈ 2v1

v′1 ≈ v1.(13.34)

Isto quer dizer que a velocidade da partıcula pesada que colide nao e substan-cialmente modificada, mas que a partıcula de massa menor move-se para a frentecom praticamente o dobro da velocidade do objecto pesado.

iii) Se v2 = 0 e m1 ¿ m2, a partıcula leve que colide contra um objecto pesado,entao:

• v′2 ∼ 0, v′1 ∼ −v1: o objecto pesado permanece praticamente em repouso;

• a partıcula leve reverte a direccao do movimento e move-se com a veloci-dade com que incidiu inicialmente.

c) Solucao geral:

QuadroNegro 1

299

A resolucao das equacoes algebricas obtidas acima dao as velocidades daspartıcula apos o choque:

v′1 = v1m1−m2m1+m2

+ v22m2

m1+m2

v′2 = v12m1

m1+m2+ v2

m2−m1m1+m2

.(13.35)

Neste exemplo aplicamos a Regra de Cramer 3 que da a solucao de um sistemade equacoes lineares em termos de determinantes.

Determinante: E uma funcao que associa a cada matriz quadrada um escalar.Por exemplo, seja a matriz A:

(a bc d

)

O seu determinante, det(A), e: ∣∣∣∣a bc d

∣∣∣∣ (13.37)

Matriz: E uma tabela de (m× n) sımbolos sobre um corpo F . O sımbolo aij

representa o (i,j)-esimo elemento de A. Por exemplo,(

a11 a12 a13

a21 a22 a23

)

e uma matriz de ordem (2× 3), tendo 2 linhas e 3 colunas.

Regra de Cramer: Se A−→x =−→b e um sistema de equacoes algebricas, entao

a solucao do sistema e:

xj =| Aj || A | , (13.39)

onde Aj e a matriz que se obtem da matriz A substituindo a coluna j pelacoluna dos termos independentes b (veja o exemplo anterior para ilustracao).

Exemplo 4: Num choque frontal entre duas esferas solidas, as velocidadesantes e apos o choque encontram-se relacionadas pelas expressoes:

v′1 − v1 = −e(v1 − v2) (13.40)

onde 0 < e < 1 e o coeficiente de restituicao.

a) Calcule v′1 e v′2 em funcao de v1 e v2, m1, m2 e e.

3Gabriel Cramer (1704 - 1752), matematico suıco,nascido em Genebra.

300

m1v1 + m2v2 = m1v′1 + m2v

′2

−e(v1 − v2) = v′1 − v′2∴ v′1 = v1(m1−em2)+m2v2(1+e)

m1+m2

v′2 = m1v1(1+e)+v2(m2−m1e)m1+m2

(13.41)

b) Calcule a variacao da energia cinetica do sistema ∆K = Kf −Ki.

2∆K = m2v′22 + m1v

′21 − (m1v

21 + m2v

22)

= m2(v′22 − v22) + m1(v′21 − v2

1)= m2(v′2 − v2)(v′2 + v2) + m1(v′1 − v1)(v′1 + v1)

(13.42)

Como verifica-se a conservacao do momento linear:

m2(v′2 − v2) = −m1(v′1 − v1) (13.43)

podemos modificar a Eq. 13.42:

2∆K = m1(v′1 − v1)[v1 − v2 − e(v1 − v2)]= m1(v1 − v2)(1− e)(v′1 − v1)

(13.44)

Embora com calculos algebraicamente morosos, podemos usar a Eq. 13.41

v′1 − v1 =m2(1 + e)(v2 − v1)

m1 + m2

obtendo-se finalmente a expressao pedida:

∆K = −12

m1m2

m1 + m2(1− e2)(v1 − v2)2. (13.45)

Exemplo 5: Colisao perfeitamente inelastica a 1-dim.

Duas partıculas de massas m1 e m2 movem-se com velocidades −→v 1i e −→v 2i aolongo de uma recta (Vd. Fig. 2). Elas colidem e ficam coladas uma a outra comvelocidade final −→v f apos colisao.

O momento total conserva-se: −→P i =

−→P f (13.46)

obtendo-se sucessivamente

m1−→v 1i + m2

−→v 2i = (m1 + m2)−→v f−→v f = m1−→v 1i+m2

−→v 2i

m1+m2

(13.47)

Exemplo 6: Considere o corpo 2 em repouso, −→v 2i = 0. Entao, −→v f = m1−→v 1i

m1+m2.

As energias cineticas respectivas sao:

Ki = 12m1v

21i

Kf = 12 (m1 + m2)

m21v2

1i

(m1+m2)2Kf

Ki= m1

m1+m2< 1.

(13.48)

301

Figure 2: Choque perfeitamente inelastico.

Neste tipo de colisoes a energia cinetica final e sempre inferior a energia cineticainicial. Nas colisoes perfeitamente inelasticas a energia cinetica dos corpos tema sua perda maxima. A variacao da energia cinetica e dada por

Ki −Kf =12m1(v1i − vf )2 +

12m2(v2i − vf )2. (13.49)

Se −→v 2i = 0, entao:Kf =

m1

m1 + m2Ki (13.50)

Vejamos dois exemplos de grande interesse pratico:

Exemplo 7: m1 À m2: Neste caso pode admitir-se que m1 + m2 ≈ m1 ea Eq. ?? conduz a Kf ≈ Ki. Isto significa que a perda de energia cinetica einsignificante e apos o choque o conjunto mecanico desloca-se com sensivelmentea mesma energia cinetica que possuıa no inıcio do choque. E o que se procurafazer ao meter pregos, estacas, usando martelos com uma massa muito maiorque a do martelo.

Exemplo 8: m2 À m1: neste caso tem-se Kf ≈ 0, usando-se a energia cineticapara deformar os corpos que chocam. Na pratica, tal acontece durante a for-jadura, rebitagem, em que a massa da peca a forjar e da bigorna (ou a massado rebite e seu suporte) e muito maior do que a massa do martelo.

302

Figure 3: (a): meter pregos; (b): martelo e bigorna.

303

Exemplo 9: Colisao elastica directa (ou central) a 1-dim.

O choque de dois corpos diz-se directo ou central quando a normal comum assuperfıcies dos corpos no ponto de contacto passa pelos seus centros de massa eas velocidades dos CM’s no inıcio da colisao tem a direcao desta normal comum.

Conservacao do momento:

(5kg)(2m/s) + (3kg)(−2m/s) = 5vA2 + 3vB2

5vA2 + 3vB2 = 4m/s(13.51)

A colisao e completamente elastica:

vB2 − vA2 = −(vB1 − vA1)= −(−2− 2) = 4m/s.

(13.52)

Resolvendo:vA2 = −1m/svB2 = 3m/s.

(13.53)

As energias cinetica sao as seguintes:

Ki = 12mAv2

A1 + 12mBv2

B1 = 12 × 5× 22 + 1

2 × 3× 22 = 16JKf = 1

2mAv2A2 + 1

2mBv2B2 = 1

2 × 5× 12 + 12 × 3× 32 = 16J

∴ Ki = Kf

(13.54)

Exemplo 10: Deixa-se cair uma bola sem velocidade inicial de uma altura h0

acima de uma superfıcie horizontal. A bola toca o plano com uma velocidade v0,ressalta e parte para cima com uma velocidade v1 = ev0 (e denota o coeficientede restituicao). Estude a sucessao dos ressaltos.

O choque da bola sobre o plano e acompanhado pela dissipacao da energiacinetica:

mv21 < mv2

0 ⇒ e < 1. (13.55)

Vamos admitir que a velocidade (em valor absoluto) apos o salto n a dada por:

vn = evn−1 (13.56)

A energia cinetica Kn = mv2n/2 converte-se em energia potencial gravıtica:

mghn =12mv2

n, (13.57)

obtendo-se em seguidahn

hn−1= v2

n

v2n−1

= e2

∴ hn = hn−1e2

(13.58)

ou seja, temos a seguinte sucessao das alturas maximas sucessivas atingidas pelabola:

h0

h1 = h0e2

h2 = h0e4

...,hn = h0e

2n.

(13.59)

304

A bola reparte para o alto com uma velocidade vn apos o salto n, segundo a lei

v = vn − gt (13.60)

atingindo o maximo de altura no instante t = vn/g, isto e, a duracao do salto ne

θn = 2vn

g(13.61)

e como vn =√

2ghn =√

2gh0en, obtem-se

θn = 2

√2h0

gen. (13.62)

A duracao total dos ressaltos determina-se somando o total:

τ = 2√

2h0g

∑n=∞n=1 en = 2

√2h0g e(1 + e + e2 + ... + en + ...)

τ = 2√

2h0g

e1−e .

(13.63)

Esta analise do problema mosta-nos que a duracao de cada ressalto diminui amedida que n aumenta fazendo que no final a duracao total dos ressaltos tenhaum valor finito igual a τ .

13.4 Colisoes elasticas a 2-dim

Assumiremos que a partıcula alvo esta inicialmente em repouso, −→v 2 = 0. Apartıcula incidente e a partıcula difundida definem um plano comum e o prob-lema e bi-dimensional.

As partıculas podem colidir devido a serem atraıdas uma para a outra por acaode forcas interactivas.

A Fig. 4 representa o esquema da colisao elastica entre duas partıculas.

QuadroNegro 2

305

Figure 4: Esquema da colisao elastica a 2-dim entre duas partıculas.

Exemplo 11: Colisao elastica a 2-dim.

Considere a col. elastica entre duas massas:

mA = 5kg vA1 = 4m/smB = 3kg vB1 = 0

Assuma que apos a colisao, vA2 = 2 m/s. Determine VB2, θ e φ.

Como a colisao e elastica Ki = Kf :

12 (5kg)(4m/s)2 = 1

2 (5kg)(2m/s)2 + 12 (3kg)v2

B2

∴ vB2 = 4.47m/s(13.64)

A conservacao das componentes em Ox e Oy do momento da:

(5kg)(4m/s) = (5kg)(2m/s) cos θ + (3kg)(4.47m/s) cos φ0 = (5kg)(2m/s) sin θ − (3kg)(4.47m/s) sin φ

(13.65)

Resolve-se as 2 equacoes anteriores para cosφ e sin φ, elevam-se ao quadradoambas as expressoes (porque sin2 φ + cos2 φ = 1) e obtem-se θ = 36.9o e φ =26.6o.

Exemplo 12: Pendulo balıstico.

O pendulo balıstico e um metodo usado com frequencia para determinacao darapidez de um projectil.

Tem-se:

• Bala: massa m e rapidez v1 (inicialmente)

306

• Bloco: massa M À m e rapidez inicial nula.

Depois da colisao, a massa (m + M) move-se conjuntamente ate a altura h.

Estuda-se a colisao em 2 fases:

• i) a bala colide com o bloco e fica aı bloqueada;

• ii) o conjunto bloco + bala move-se ate a uma altura maxima h.

Assume-se que durante a colisao as seguintes condicoes sao observadas:

• a duracao da colisao e curta;

• o bloco nao se move durante a colisao;

• durante a colisao nao se exerce alguma forca externa e a colisao e perfeita-mente inelastica e o momento e conservado;

• a velocidade apos a colisao e dada por mv1 = (m + M)vf

Apos a colisao:

• o conjunto m + M tem energia cinetica;

• a energia mecanica total e conservada;

• K a altura h e transformada em energia potencial do bloco e da bala aaltura h.

12 (m + M)v2

f = (m + M)gh

∴ vf =√

2gh

⇒ v1 = (m+M)m

√2gh

(13.66)

Quanto aos valores da energia verifica-se o seguinte:

Ki = 12mv2

1 = 12m (m+M)2

m2 2ghKf = 1

2 (m + M)v2f = 1

2 (m + M)2ghKf

Ki= m

m+M ¿ 1(13.67)

A maior parte da energia cinetica e perdida. Newton compreendeu que a en-ergia cinetica nao se convserva neste problema, pois que a energia tem muitasformas e pode ser convertida de uma forma de energia para outras formas queexistem potencialmente, tais como calor, luz, som, electromagnetica,... Newtoncompreendeu que se usarmos a conservacao do momento linear obteremos a re-sposta certa do problema, pois que o momento linear nao e convertıvel noutraforma.

307

Figure 5: Pendulo balıstico.

Podemos igualmente fazer uma estimativa da duracao da colisao. Assumimosque a bala desacelera uniformemente ao longo de uma distancia 0.10 m, tendouma velocidade inicial v1 = 300 m/s.

v2f − v2

o = 2as

a = −v2o

2s = − 3002

2×0.10

(13.68)

Mas comovf = vo + at (13.69)

deduz-se quet ∼ −vo

a= 6.7× 10−4s, (13.70)

o que e bem inferior em varias ordens de grandeza ao perıodo do pendulo T =

2π√

Lg = 2π

√1.149.81 = 2.14 s, t ¿ T .

13.5 Colisoes inelasticas

Colisoes inelasticas: As colisoes que nao conservam a energia cinetica saoditas colisoes inelasticas. Parte da energia cinetica e absorvida pelos corpos econvertida noutras formas de energia (termica, sonora,...). A colisao inelasticaacompanha-se sempre de uma diminuicao da energia cinetica do movimentomacroscopico.

Colisao totalmente inelastica: No caso em que a energia cinetica ab-sorvida atinge o valor maximo permitido pela conservacao do momento, a co-lisao e chamada totalmente inelastica. Os dois corpos apos a colisao unem-secomportando-se como um so corpo solido.

Assume-se que a energia interna e nula, Kint = 0, so restando a energia cineticado CM.

308

Na realidade grande parte das colisoes sao inelasticas ate certo ponto. A res-olucao dos problemas que envolvem colisoes inelasticas sao muito dificeis porquee necessario saber qual a quantidade de energia que foi perdida.

Os problemas mais simples sao aqueles que envolvem colisoes totalmente inelasticas.A consideracao da conservacao do momento e suficiente.

Exemplo 13: Colisao totalmente inelastica a 2-dim.

Sabemos que o momento linear e sempre conservado na ausencia de forcas ex-ternas,

−→P i =

−→P f .

Temos assimm1v1 = (m1 + m2)v cos θ (a)m2v2 = (m1 + m2)v sin θ (b) (13.71)

Dividindo a Eq. 13.71-(b) pela Eq. 13.71-(b), obtemos

tan θ =m2v2

m1v1(13.72)

Da Eq. 13.71-(b) resultav =

m2

m1 + m2

v2

sin θ. (13.73)

Sejam:m1 = 70kg, v1 = 2m/sm2 = 50kg v2 = 3m/s

donde se obtem

tan θ =50× 370× 2

⇒ θ = 47o ⇒ v =50

50 + 703

sin 47o= 1.71m/s. (13.74)

Ki = 12m1v

21 + 1

2m2v22 = 1

270× 22 + 1250× 32 = 365J

Kf = 12 (m1 + m2)v2 = 1

2 (50 + 70)1.712 = 175.5J.(13.75)

Como vimos, perde-se energia cinetica numa colisao totalmente inelastica.

Exemplo 14: Um protao de massa mp animado com a velocidade −→v 0 colidecom um atomo de helio, de massa 4mp, que esta inicialmente em repouso. Adireccao em que o protao deixa o ponto de impacto faz um angulo de 45o coma direccao inicial. Veja a Fig. 6.

a) Supondo que a colisao e perfeitamente elastica, quais sao as velocidades finaisde cada uma das partıculas? Em que direccao move-se o atomo de helio? Facao calculo no referencial do laboratorio.

A colisao e elastica, logo verificam-se as seguintes leis de conservacao:

1. conservacao do momento linear;

2. conservacao da energia cinetica.

309

Referencial do Laboratório

mp

mHe

He

p

v0

v0

ϕ=45 0

θ

V

v

Figure 6: Choque de um protao com um atomo de helio no referencial do labo-ratorio.

310

1) Conservacao do momento linear:

QuadroNegro 3

2) Conservacao da energia cinetica:

Temos12mpv

20 =

12mpv

2 +12(4mp)V 2 (13.76)

311

ou sejav20 = v2 + 4V 2 (13.77)

Na alınea anterior obtivemos as componentes da velocidade do atomo de helioapos a colisao. Podemos ver entao que temos

V 2 = V 2x + V 2

y =

(v0

4−√

28

v

)2

+

(√2

8v

)2

(13.78)

O desenvolvimento do calculo leva-nos sucessivamente num calculo algebricomonotono a

V 2 = v20

16 + 264v2 − 2

√2

32 v0v + 264v2

= v20

16 + v2

16 −√

216 v0v.

(13.79)

Portanto, conclui-se que

v20 = v2 +

v20

4+

v2

4− v0v

√2

4. (13.80)

Daqui obtem-se a equacao quadratica:

5v2 −√

2v0v − 3v20 = 0, (13.81)

cujas solucoes sao:v = 0.9288v0

v = −0.646v0.(13.82)

A ultima solucao e descartada, pois que o protao nao recua (como e suposto noenunciado do problema).

Podem-se obter agora as componentes da velocidade do atomo de helio apos acolisao:

Vx = v04 −

√2

8 v = 0.0858v0

Vy =√

28 v = 0.164v0.

(13.83)

O angulo θ pode agora ser calculado:

tan θ =Vy

Vx= 1.911 ⇒ θ = 62o, 38. (13.84)

assim como o modulo da velocidade

V =√

V 2x + V 2

y = 0.185v0. (13.85)

b) Calcule o angulo de difusao do protao no referencial do centro de massa.

Designemos por

• θ - angulo de difusao no referencial do laboratorio: LAB

312

• Θ - angulo de difusao no referencial do centro de massa: CM

Usemos a Eq. ja introduzida em Seccao anterior:

tanφ =sinΘ

γ + cos Θ,

onde γ ≡ m1/m2.

QuadroNegro 4

c) Sabendo que a colisao e inelastica e que tem um Q igual a 1/4 da energiainicial do protao, determine as velocidades finais de cada uma das partıculas ea direccao em que se move o atomo de helio. Calcule o angulo de difusao doprotao no referencial do CM.

Sabe-se inicialmente que Q = 14Kpi. Escrevemos em seguida a equacao da

conservacao do momento linear:

mp−→v 0 = mp

−→v + 4mp−→V . (13.86)

313

Projectando em Ox e Oy, obtem-se:

v0 = v√

22 + 4Vx,

0 = v√

22 − 4Vy.

(13.87)

donde se obtemVx = v0

4 −√

28 v

Vy =√

28 v

(13.88)

A equacao do balanco energetico e:

QuadroNegro 5

Da Eq. da conservacao da energia tinhamos obtido

V = V 2x + V 2

y =v20

16+

v2

16−√

216

v0v. (13.89)

As Eqs. obtidas anteriormente levam-nos a sucessao do seguinte calculoalgebrico:

34v2

0 = v2 + 4V 2

34v2

0 = v2 + v204 + v2

4 −√

24 v0v

12v2

0 = 54v−

√2

4 v0v

v20 = 5

2v2 −√

22 v0v

∴ 5v2 −√2v0v − 2v20 = 0

(13.90)

Esta ultima Eq. quadratica resolve-se facilmente, obtendo-se duas solucoes:

v = 0.789v0, v = −0.507v0. (13.91)

314

A segunda solucao negativa nao nos interessa porque o protao nao recua, talcomo o mostra a Fig. 6. Resta-nos entao v = 0.789v0 e pode-se agora obter ascomponentes em Ox e Oy da velocidade do atomo de helio:

Vx = v04 −

√2

8 v = 0.1105v0,

Vy =√

28 v = 0.139v0.

O angulo φ determina-se facilmente:

tanφ =Vy

Vx= 1.258 ⇒ θ = 510, 52.

A relacao entre φ e Θ ja vimos que e dada pela expressao:

tan φ =sinΘ

γ + cosΘ

Quando a colisao e inelastica, mostra-se que a Eq. ?? permanece valida, poremdeve-se substituir o γ = m1/m2 pelo novo γ:

γ =m1

m2[1− Q

K1i

(1 +

m1

m2

)]−1/2. (13.92)

Neste caso γ = 0.3015, sabendo que o protao faz um angulo de difusao de 450

com a direccao incidente, tem-se

1 = sin Θ0.3015+cos Θ

0.3015 + cos Θ = sin Θ0.3015 = sin Θ− cosΘ

0.0909 = sin2 Θ + cos2 Θ− 2 sin Θ. cosΘ = 1− sin 2Θsin 2Θ = 0.90912Θ = 65o, 38Θ = 32o, 69

(13.93)

13.6 Colisoes. Sumario

13.6.1 Condicoes

Um evento e considerado uma colisao se ∆t ¿ ∆T :

• pode-se distinguir o tempo antes, durante e depois da colisao;

• ∆t tempo de colisao;

• ∆T tempo de observacao.

Um evento e uma colisao se | Iext |¿| Icoll |: o impulso das forcas externas podeser desprezado e o momento e conservado.

315

13.6.2 Classificacao das colisoes

• Elastica - K e conservado;

• Inelastico - K nao e conservado;

• Completamente inelastica - as partıculas colam-se uma a outra apos acolisao.

13.6.3 Notacao

• m1 e m2 - massas das partıculas;

• v1i, v2i - velocidades iniciais das partıculas 1,2 (antes da colisao)

• v1f , v2f - velocidades finais das partıculas 1,2 (apos a colisao)

13.6.4 Equacoes

Conservacao do momento - valido para todas as colisoes:

m1−→v 1i + m2

−→v 2i = m1−→v 1f + m2

−→v 2f . (13.94)

Conservacao da energia cinetica - valido somente para as colisoes elasticas:

12m1v

21i +

12m2v

22i =

12m1v

21f +

12m2v

22f (13.95)

Experiencia: Determine experimentalmente o centro de gravidade de umcartao plano.

Pode faze-lo por meio do seguinte procedimento: Faca dois orifıcios A e B juntoas extremidades e suspenda o cartao com uma agulha de tricot do orifıcio A.Pendure na agulha um fio de prumo que tenha sido esfregado com cal. Dedilhe ofio para que este deixe a marca sobre o cartao. Repita o processo usando outroorifıcio B. A interseccao dos tracos da-se no centro de gravidade do cartao(Fig. 7).

Este foi o metodo usado por Arquimedes na demonstracao do princıpio da ala-vanca. O Princıpio do Centro da Gravidade e na verdade o Princıpio da Ala-vanca na sua forma mais geral.

13.7 Exercıcio suplementar de revisao

Exercıcio 1: Desprezando a resistencia do atrito e do ar, determinar o temponecessario para que um trem atravesse um tunel cavado atraves da Terra, por

316

Figure 7: Metodo para determinacao do centro de gravidade de um objecto.

317

Figure 8: Trem atravessando tunel cavado na Terra.

exemplo a corda AB tal como e mostrada na Fig. 8. O trem entra no ponto Ae sai no ponto B. Suponha que o raio da Terra e RT = 6370 km.

Vamos comecar por supor que o trem parte de A onde x = a (atendendo anossa colocacao da origem das coordenadas em O) com velocidade inicial nula,vo = 0. Na posicao arbitraria em que estao trem, ele e actuado pelas forcas

−→F

e−→N . Projectando no eixo Ox, tem-se:

∑F ext

x = −GMT m

r2cosα = −GMT m

r3r cos α = m

d2x

dt2. (13.96)

Mas depreende-se da Fig. 8 que x = r cosα e na proximidade da superfıcieterrestre podemos admitir, em primeira aproximacao, que r ≈ R. Podemosobter assim uma equacao com resolucao analıtica simples:

∑F ext

x = −mgR x = md2x

dt2

∴ vxdvx

dt = −k2x.(13.97)

Nesta ultima equacao pusemos k2 = g/R, onde g = GMT /R2 representa aaceleracao da gravidade.

E claro que reconhecemos de imediato a equacao diferencial de segunda ordemdo movimento harmonico simples, cuja solucao e do tipo x = a cos kt. Maspodemos fazer de conta que nao o sabemos e iremos procurar a solucao peloprocesso mais elaborado. Temos assim

∫vxdvx = −k2

∫xdx

∴ v2x

2 = −k2 x2

2 + C1

(13.98)

318

Mas sabemos que as condicoes iniciais sao: x(t = 0) = ae vx(t = 0) = 0.Obtem-se assim C1 = 1

2k2a2.

Substituindo C1 na equacao precedente tem-se

vx = ±k√

a2 − x2 (13.99)

Como supomos que na posicao onde consideramos estar o trem a velocidade vaide m para O, escolhemos o sinal negativo, vx < 0. Portanto temos

dx

dt= −k

√a2 − x2 (13.100)

Separando as variaveis (pelo metodo da separacao das variaveis), temos tambem

kdt = − dx√a2 − x2

. (13.101)

Integrando esta equacao vem

kt = arccos xa + C2

∴ x(t) = a cos kt(13.102)

pois que de x(t = 0) = a obtemos sem dificuldade C2 = 0. O trem no tunelefectua um movimento harmonico com frequencia angular ω =

√g/R. O tempo

que o trem leva a percorrer o tunel de A para B e t1 = π√

Rg ≈ 42 minutos.

Qual sera a velocidade maxima que o trm pode atingir em O?

vmax = ka = a

√R

g= 1422km/h (13.103)

Apesar da complexidade tecnica do problema, existem projectos que visam uti-lizar este processo como meio de transporte.

319