05. Conservación de la cantidad de movimiento

Teorema de transporte de Reynolds

M

t3t1 t2

Representación de un volumen material M, el cual contiene el mismo fluido (la misma masa) que se mueve y deforma al seguir el movimiento de un fluido, en tres tiempos sucesivos t1, t2 y t3.

La cantidad total de la propiedad del fluido B contenido en un volumen material M es:

∫∫∫ρ≡M

bdVB

donde b representa la propiedad B por unidad de masa.

I IIIII

tt + ∆t

M

M

Sea M un volumen material, que se mueve con la corriente de fluido, entoncesla tasa de variación con respecto al tiempo de B contenida en M es:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

neto

tIttIIItIIIttIII

0t

tIIIttIIIII

0t

BtB

tBB

tBBBB

lim

tBBBB

limDtDB

dtdB

&+∂∂

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∆−

+∆

+−+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∆

+−+==

∆+∆+

→∆

∆+

→∆

Tasa de variación de B en el volumen de control V

( )∫∫∫∫∫∫∫∫ ρ+υρ∂∂

=ρSVM

dSbbdt

bdVDtD v·n

Flujo neto de B a través de las fronteras del volumen de control V

Tasa de variación de Ben el volumen material M,siguiendo el movimientoDel fluido

Cantidad de movimiento lineal

∫∫∫ υρ≡M

dvM (Cantidad de movimiento lineal)

( )∫∫∫∫∫ ρ+υρ∂∂

=SV

dSdtDt

D v·nvvM

Ley de movimiento de Newton

Fuerza viscosa sobre la frontera de V.

( ) ∫∫∫∫∫∫∫ υρ++−=VSS

ddSdSpDt

D gτnM

Fuerza de presión sobre la frontera de V.

Fuerza gravitacionalsobre el volumen V.

Teorema de cantidad de movimiento lineal

( ) ( ) ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ υρ++−=ρ+υρVSSSV

ddSdSpdSddtd gτnv·nvv

Fuerzas externas:

( ) ( ) ∑∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ +υρ++−=ρ+υρ extVSSSV

ddSdSpdSddtd Fgτnv·nvv

Aplicaciones del teorema de momento lineal

Propulsión

Motores cohete

Motores de reacción

Hélices

En el flujo que pasa por la hélice de un avión, las líneas de corriente que pasan a loslados de la hélice, encierran el fluido que pasa por ella. El fluido de acercamiento tiene la velocidad de vuelo Vf, se acelera por la hélice a una velocidad Vp y a una velocidad todavía mayor Vw en la estela de la hélice lejos de la corriente hacia abajo,resultando en una fuerza de empuje F.

Cálculo de la velocidad Vp:Cálculo de la fuerza F:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−ρ=

2V

2V

AF2

f2

wp ( )fwp VV

21V +=

Rendimiento de propulsión:Potencia de propulsión:

( )FV

ppAVP

p

entsalppp

=

−=fw

f

p

f

p

vprop VV

V2FVFV

PP

+==≡η

Turbinas eólicas

Turbinas eólicas dispuestas en línea en una “granja eólica”. Éstas turbinas que generan 400 kW cada una tienen un diámetro de 33 m. y sus ejes se encuentran 30 m por encima del nivel del suelo.

Línea de corriente pasando a

través de la hélice.

Viento Estela

Área, A

Vw, Pa Vf, Pa

pent psal

Vp

pent

psalpa pa

Potencia de una turbina eólica:

( )fw

2fw

pwt VV2

VVAP −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

ρ=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ρ= 3

wpwt VA21

2716P máxima

Bomba de chorro

As

A

Vs

V1 V2p1 p2

( )21s

ss12 VV

AA

1AA

pp −ρ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=−

Una bomba de chorro está compuesta de un chorro coaxial de un fluido de altavelocidad que se inyecta en un tubo que lleva un fluido de menor velocidad. Almezclarse las dos corrientes, se produce un aumento en la presión corrienteabajo.

Paletas de turbina

vn

vr

Vr

Vr

Vb

α

An

En el flujo de agua que choca con el álabe o paleta de una turbina Pelton, una boquilla dirige una corriente de agua de alta velocidad tangente al disco de la turbina al cual se han fijado álabes radiales (la forma del área transversal de los álabes se esquematiza en ésta figura). Los álabes se mueven en la dirección del chorro de agua, interceptando la corriente por lo menos un álabe.

Potencia del álabe:

( ) ( )α+−ρ== cos1VVVAVFP 2bnbnbbb

Potencia de la turbina:

( )( )α+−ρ== cos1VVVVAPVVP bnnbnb

r

nt

( )2cos1

2V

AP máxima3

nnb

α+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ρ=

Flujos horizontales con una superficie libre

Flujo a través de una compuerta

hent

hsal

Vent

Vsal

W

gF( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−

ρ=salent

3salent

hhhh

g21

WF

El flujo bidimensional de agua debajo de una compuerta es un flujo uniforme,horizontal lejos tanto corriente arriba como corriente debajo de la compuerta.La fuerza limitadora o restrictiva que mantiene la compuerta fija en su lugar resulta del equilibrio de la cantidad de movimiento lineal.

Resalto hidráulico

hent

hsal

Vsal

Vent

Resalto hidráulicog

Un resalto hidráulico en el flujo a través de un canal siempre va acompañado deun aumento en la profundidad de la corriente en la dirección del flujo.

Momento angular

La ley de Newton del momento angular

( )

( )

( ) FRVR

FRVRVR

FRVR

×=×

×=×−×

×=×

mdtd

mdtdm

dtd

mdtd

Teorema del momento angular

( )

[ ]( ) ( ) ( ) υρ×+×+−×=

υρ×≡

∫∫∫∫∫∫∫

∫∫∫

VSS

M

ddSdSpdtd

d

gRτRnRH

VRH

( ) ( )( ) [ ]( )

( ) ( ) ∑∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫∫∫+υρ×+×

+−×=ρ×+υρ×

extVS

SSV

ddS

...dSpdSdRdtd

TgRτR

nRV·nVRV